Лабораторная работа № 6

Лабораторная работа № 7

Телешовой Елизаветы, гр. 726,

Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.

1. Постановка задачи.

Испекла бабка колобок и поставила его остывать на окошко. И решил колобок, что пока он остывает, он вполне может обежать лес, посмотреть на лесных жителей и снова вернуться к деду и бабке. Сказано – сделано. Спрыгнул колобок из окошка и покатился в лес. Помогите колобку найти кратчайший маршрут его движения по лесу, если расстояния между норами лесных жителей, а также домом деда и бабки даны в таблице.

2. Математическая модель задачи.

Для решения задачи присвоим каждому пункту маршрута определенный номер: дед и бабка – 1, заяц – 2, волк – 3, медведь – 4 и лиса – 5. Соответственно общее количество пунктов . Далее введем альтернативных переменных , принимающих значение 0, если переход из i-того пункта в j-тый не входит в маршрут и 1 в противном случае. Условия прибытия в каждый пункт и выхода из каждого пункта только по одному разу выражаются равенствами (1) и (2).

(1)

(2)

Для обеспечения непрерывности маршрута вводятся дополнительно n переменных и дополнительных ограничений (3).

(3)

Суммарная протяженность маршрута F, которую необходимо минимизировать, запишется в следующем виде:

(4)

В нашем случае эти условия запишутся в следующем виде:

(1); (2);

(3)

(4)

3. Решение задачи методом ветвей и границ.

1) Анализ множества D.

Найдем оценку снизу Н. Для этого определяем матрицу минимальных расстояний по строкам (1 где расстояние минимально в строке).

=> ;

Аналогично определяем матрицу минимальных расстояний по столбцам.

=> ;

;

Выберем начальный план: . Тогда верхняя оценка:

.

Очевидно, что , где означает переход из первого пункта в j-тый. Рассмотрим эти подмножества по порядку.

2) Анализ подмножества D₁₂.

;

;

;

;

;

3) Анализ подмножества D₁₃.

;

;

;

;

4) Анализ подмножества D₁₄.

;

;

;

;

;

5) Анализ подмножества D₁₅.

;

;

;

;

;

6) Отсев неперспективных подмножеств.

;

Подмножества D₁₃ и D₁₅ неперспективные. Т.к. , но , то далее будем рассматривать подмножество D₁₄.

.

7) Анализ подмножества D₁₄₂.

;

;

;

;

;

8) Анализ подмножества D₁₄₃.

;

;

;

;

9) Анализ подмножества D₁₄₅.

;

;

;

;

;

10) Отсев неперспективных подмножеств.

;

Подмножество D₁₄₃ неперспективное. Т.к. , но , то далее будем рассматривать подмножество D₁₄₅.

.

9) Анализ подмножества D₁₄₅₂.

;

;

;

;

;

9) Анализ подмножества D₁₄₅₃.

;

;

;

;

;

;

Оптимальное решение: .

.

Таким образом, маршрут колобка: дед и бабка – медведь – лиса – заяц – волк – дед и бабка.