Диплом: Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени - текст диплома. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Диплом

Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени

Банк рефератов / Радиоэлектроника

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Дипломная работа
Язык диплома: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 4837 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной дипломной работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Тема : Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в ре альном времени . Оглавление Введение Постановка проблем , формулировка задач Глава 1. Теоретический анализ существующих алгоритмов спектрального анал и за. 1.1. Введение в спектральное оценивание 1.1.1. Задача спектрального оценивания 1.1.2. Проблемы в области спектрального оценивания. 1.1.3. Спектральные оценки по конечным последовательностям данных 1.1.4. Общая картина 1.2. Основные определения и теоремы классического спектрального анализа 1.2.2 Операции дискретизации и взвешивания для получения дискретно - временных рядов Фурье. 1.2.3. Анализ эргодичных дискретных процессов. 1.3. Классические методы спектрального анализа. 1.3.1. Введение. 1.3.2. Окна данных и корреляционные окна в спектральном анализе. 1.3.3. Периодограммные оценки спектральной плотности мощности. 1.3.4. Коррелограммные оценки спектра. 1.3.5. Область применения. 1.4. Авторегресс ионное спектральное оценивание. 1.4.1. Введение. 1.4.2. Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера. 1.4.3. Методы оценивания коэффициентов отражения. 1.4.3.1. Геометрический алгоритм. 1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга. 1.4.4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадр а тов. 1.4.5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод 1.4.6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов 1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего . 1.6. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии. 1.7. Методы оценивания частоты , основанные на анализе собственных значений. 1.7.1. Введение. 1.7.2. Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала. 1.7.3. Оценки частоты в пространстве шума. Глава 2. Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа. Особенности реализации . Заключение. Выводы. Приложени e А . Смещение периодограммы Уэлча. П риложени e В . Методы и интерфейсы межзадачного системного и межсистемного о б мена в среде Windows ’ 95 (Delphi 3.0) Приложени e С . Достоверность полученных оценок спектральной плотности мощн о сти. Приложени e D . Таблица экспериментальных результатов по разрешаю щей способн о сти методов спектрального анализа. Приложени e E . Таблица и графики «С лабые синусоидальные составляющие» Приложени e F . Дисперсии оценок СПМ как функции частоты. Приложени e G . Таблица наилучших в смысле структурной устойчивости параметров адаптив ного градиентного метода . Приложени e Н. Графики оценок СПМ при различных значениях порядка авторегре с сионной модели. Приложени e I . Список используемой литературы. Введение Спектральный анализ - это один из методов обработки сигналов , который по з во ляет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала . Преобразование Фурье является математической основой , которая связывает временной или простра н ственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала ) с его представлением в ч а стотной области . Мет оды статистики играют важную роль в спектральном анализе , п о скольку сигналы , как правило , имеют шумовой или случайный характер . Если бы о с новные статистические характеристики сигнала были известны точно или же их можно было бы без ошибки определить на коне чном интервале этого сигнала , то спектрал ь ный анализ представлял бы собой отрасль точной науки . Однако в действительности по одному-единственному отрезку сигнала можно получить только некоторую оценку его спектра .[1] К обработке сигналов в реальном масшта бе времени относятся задачи анализа аудио , речевых , мультимедийных сигналов , в которых помимо трудностей , связанных непосредственно с анализом спектрального содержания и дальнейшей классификацией последовательности отсчетов (как в задаче распознавания реч и ) или изменения формы спектра - фильтрации в частотной области (в основном относится к мультимедийным сигналам ), возникает проблема управления потоком данных в современных вычисл и тельных системах . Реальность накладывает отпечаток как на сами вычислительны е а л горитмы , так и на результаты экспериментов , поднимая вопросы , с которыми не ста л киваются при обработке всей доступной информации. При обработке сигналов обычно приходится решать задачи двух типов - задачу обнаружения и задачу оценивания . При обнаружени и нужно дать ответ на вопрос , пр и сутствует ли в данное время на входе некоторый сигнал с априорно известными пар а метрами . Оценивание - это задача измерения значений параметров , описывающих си г нал [1]. Сигнал часто зашумлен , на него могут накладываться меша ющие сигналы . П о этому для упрощения указанных задач сигнал обычно разлагают по базисным соста в ляющим пространства сигналов . Для многих приложений наибольший интерес пре д ставляют периодические сигналы . Вполне естественно , что используются Sin и Cos . Т а кое р азложение можно выполнить с помощью классического преобразования Фурье. При обработке сигналов конечной длительности возникают интересные и вза и мозависимые вопросы , которые необходимо учитывать в ходе гармонического анализа . Конечность интервала наблюдения влияет на обнаружимость тонов в присутствии сильных шумов , на разрешимость тонов меняющейся частоты и на точность оценок п а раметров всех вышеупомянутых сигналов. Постановка проблемы , формулировка задачи На настоящее время существует большое количество алгоритмов и групп алг о ритмов , которые так или иначе решают основную задачу спектрального анализа : оц е нивание спектральной плотности мощности , с тем чтобы по полученному результату судить о характере обрабатываемого сигнала .Основной вклад сделан такими ис след о вателями как : Голд Б . ( Gold B .), Рабинер Л . ( Rabiner L . R .), Бартлетт M . ( Bartlett M .S.) Однако каждый из алгоритмов имеет свою область приложения . Например , градиен т ные адаптивные авторегрессионные методы не могут быть применены к обработке данных с б ыстро меняющимся во времени спектром . Классические методы имеют ш и рокую область применения , но проигрывают авторегрессионным и методах , основа н ных на собственных значениях , по качеству оценивания . Но в реальном масштабе вр е мени использование последних затр уднено из-за вычислительной сложности. Более того , применение каждого из методов обычно требует выбора значений параметров (выбор окна данных и корреляционного окна в классических методах , п о рядка модели в авторегрессионном алгоритме и алгоритме линейного предсказания , предполагаемого числа собственных векторов в пространстве шума в методе Писаре н ко ) и правильный выбор требует экспериментальных результатов с каждым классом алгоритмов . Таким образом , имеется следующая задача : На основе существующих алгори тмов проанализировать возможность их пр и менения как к последовательной обработке сигналов в реальном времени , так и к блочной обработке и оценить качество получаемых результатов . Критериями «кач е ства» оценки спектральной плотности мощности в общем случае являются смещение этой оценки и ее дисперсия . Однако аналитическое определение этих величин ната л кивается на определенные математические трудности и в каждом конкретном случае на практике просто визуально совмещают графики нескольких реализаций спектраль ной оценки и визуально определяют смещение и дисперсии к функции частоты . Те области совмещенных графиков спектральных оценок , где экспериментально определенное значение дисперсии велико , будет свидетельствовать о том , что спектральные особе н ности видимые в спектре одной реализации не могут считаться статистически знач и мыми . С другой стороны , особенности совмещенных спектров в тех областях , где эта дисперсия мала , с большой достоверностью могут быть соотнесены с действительными составляющими анализируемого сигнала . Из вышесказанного сформулируем следующие подзадачи : I . теоретическое и практическое исследование алгоритмов блочной обработки II . анализ классических алгоритмов блочной обработки всей последовательн о сти в части применения окон данных и коррел яционных окон III. анализ алгоритмов обработки сигналов в реальном масштабе времени Кроме этих теоретических проблем , существует ряд практических вопросов , специфичных для обработки сигналов в реальном времени . Среди них выбелим : Необходимость в «одновременном» выполнении следующих основных этапов обработки данных : 1.) Непосредственное получение последовательности входных данных (ци ф ровые отсчеты аудио-сигнала , речевого сигнала ). 2.) Обработка получаемых отсчетов сигнала. 3.) Представление обработанной информации 4.) Возможность контролировать процесс обработки информации Ограничение длительности интервала выборки поступающих данных вычи с лительными ресурсами Ограничение длительности интервала выборки характером сигнала Если первый вопрос очевиден в рамках обработки данных в реальном времени , то второй и третий вопросы требуют осмысления причин этих ограничений . К сформулированным выше зад ачам добавим : IV. задачу построения схемы управления обработкой данных в реальном врем е ни , основанной , в силу первой проблемы , на параллельных вычислениях и протоколах взаимодействия и синхронизации ; V. экспериментальный анализ по второй проблеме , то есть исследование вли я ния вычислительных ресурсов и методов оцифровки данных на максимально допуст и мую длину интервала выборки ; VI. анализ длительности интервала выборки , исходя из характера сигнала. В качестве основного подхода к решению проблем и исследования применим методологию математического моделирования и вычислительного эксперимента . Эк с периментальные входные данные будем формировать следующим образом для задачи анализа алгоритмов блочной обработки всей после довательности отсчетов формируем дискретизированные отсчеты данных тест-сигнала из суммы ко м плексных синусоид и аддитивных окрашенных шумовых процессов , сформированные посредством пропускания белого шума через фильтр с частотной характеристикой типа припод нятого косинуса или окна Хэмминга . Таким образом , в этом случае эксперимент определяется набором , где - последов а тельность к омплексных синусоид с амплитудами дБ и частотами Гц , а - последовательность шумовых процессов с параметрами : це н тральная частота Гц. , динамический диапазон перекрываемых частот Г ц. , мощность шума дБ . для анализа классических алгоритмов блочной обработки всей последовател ь ности в части применения окон данных и корреляционных окон экспе римент и подсчет основных характеристик окон будем производить над дискретизированными отсчетами соответствующих функций. для анализа алгоритмов обработки сигналов в реальном масштабе времени используем аудио и речевой сигна лы. Выходными данными экспериментов будем считать : для задачи анализа алгоритмов блочной обработки всей последовательности отсчетов : 1.) оценку спектральной плотности мощности , полученную с помощью того или иного метода спектрального анализа , по которой можно судить о качестве применяем о го метода , сравнивая истинную спектральную плотность мощности сформированного сигнала с полученной оценкой 2.) вычислительные и временные затраты метода для анализа окон данных и корреляционных окон - расчетные основные хара к теристики такие как : максимальный уровень боковых лепестков , эквивалентная шир и на полосы , ширина полосы по уровню половинной мощности , степень корреляции и т.д.. для анализа сигналов в реальном масштабе времени : спектральная плотность мощности (функция , зависящая в этом эксперименте также и от времени ). Для оценки составляющих в спектре сигнала в данный момент времени. Глава 1. Теоретический анализ сущес твующих алгоритмов спе к трального анализа. 1.1. Введение в спектральное оценивание 1.1.1. Задача спектрального оценивания Задача спектрального оценивания подразумевает оценивание некоторой фун к ции частоты . О характеристиках спектральной оценки судят по тому , насколько хор о шо она согласуется с известным спектром тест-сигнала в некоторой непрерывной обл а сти частот .[1] 1.1.2. Проблемы в области спектрального оценивания. Интерес к альтернативным методам спектрального анализа поддерживается тем улучшением характеристик , которое они обещают , а именно более высоким частотным разрешением , повышенной способностью к обнаружению слабых сигналов или же с о хранением «достоверности» формы спектра при меньшем числе используемых пар а метров . Аналитически описать хара ктеристики большинства методов в случае огран и ченного времени анализа (то есть в случае короткой записи данных ) весьма затру д нительно [1] Спектральное разрешение относится к числу главных проблем современного спектрального оценивания , в особенности примен ительно к анализу коротких послед о вательностей данных . При этом то , что понимается под термином «разрешение» , носит весьма субъективный характер . Принято характеризовать относительные величины разрешающей способности двух спектральных оценок на основе визу альных впечатл е ний . [1] 1.1.3. Спектральные оценки по конечным последовательностям данных Спектральная оценка , получаемая по конечной записи данных , характеризует некоторое предположение относительно той истинной спектральной функции , которая была бы пол учена , если бы в нашем распоряжении имелась запись данных бесконечной длины . Именно поэтому поведение и характеристики спектральных оценок должны описываться с помощью статистических терминов . Общепринятыми статистическими критериями качества оценки являю т ся ее смещение и дисперсия . Аналитическое опр е деление этих величин обычно наталкивается на определенные математические трудн о сти , поэтому на практике просто совмещают графики нескольких реализаций спе к тральной оценки и визуально определяют смещение и диспе рсию как функции частоты . Те области совмещенных графиков спектральных оценок , где экспериментально опр е деленное значение дисперсии велико , будут свидетельствовать о том , что спектральные особенности , видимые в спектре отдельной реализации , не могут считат ься статистич е ски значимыми . С другой стороны , особенности совмещенных спектров в тех областях , где эта дисперсия мала , с большой достоверностью могут быть соотнесены с действ и тельными частотными составляющими анализируемого сигнала . Однако в случае к о рот ких записей данных часто не удается получить несколько спектральных оценок , да и сам статистический анализ отдельных спектральных оценок , полученных по к о ротким записям данных , в общем , случае представляет собой весьма трудную пробл е му .[1] 1.1.4.Обща я картина Из формального определения спектра , следует , что спектр является некоторой функцией одних лишь статистик второго порядка , относительно которых в свою оч е редь предполагается , что они остаются неизменными , или стационарными во времени . Следовател ьно , такой спектр не передает полной статистической информации об ан а лизируемом случайном процессе , а значит , дополнительная информация может соде р жаться в статистиках третьего и более высокого порядка . Кроме того , многие обычные сигналы , которые приходитс я анализировать на практике , не являются стационарными . Однако короткие сегменты данных , получаемые из более длинной записи данных , можно считать локально стационарными . Анализируя изменения спектральных оценок от одного такого сегмента к другому , можно з а тем составить представление и об изм е няющихся во времени статистиках сигналов , то есть нестационарных . 1.2.Основные определения и теоремы классического спектрального анализа 1.2.1.Непрерывно-временное преобразование Фурье . Определение : Непрерывно-вр еменным преобразованием Фурье называется функция В спектральном анализе переменная в комплексной синусоиде с о ответствует частоте , измеряемой в герцах , если переменная измеряется в единицах времени (в секундах ). По сути дела , непрерывно-временное преобразование Фурье идентифицирует частоты и амплитуды тех комплексных синусоид , на которые разл а гается некоторое произвольное колебание. Определение : Обратное преобразование Фурье определяется выражением Существование прямого и обратного преобразований Фурье с непрерывным временем для данной функции определяется целым рядом условий . Одно из достаточных условий состоит в том , что сигнал должен быть абсолютно интегрируемым в смысле 1.2.2 Операции дискретизации и взвешивания для получения дискретно-временных рядов Фурье . Определение : Функцией отсчетов с инт ервалом называется следующая функция : Предположим , что берутся отсчеты непрерывного действительнозначного си г нала с ограниченным спектром , верхняя частота которого равна герц , так что преобразование Фурье равно нулю при частотах больше . Отсчеты сигнала с и н тервалом Т могут быть получены посредством умножения этого сигнала на функцию отсчетов : Теперь найдем непрерывное преобразование Фурье , это свертка спектра сигнала и преобразования Фурье функции отсчетов по времени с интервалом Т секунд : То есть свертка с преобразованием Фурье функции отсчетов просто периодически продолжает с частотным интервалом 1/ T Гц , соответствующим частотному интервалу между импульсными функциями . В общем случае отсчеты в одной области (например , временной ) приводят к периодическому продо лжению в области преобразования (например , частотной ). Если частота отсчетов выбрана достаточно низкой , так что , то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними (эффект наложения в частотной области ). Частота отсчетов получила название частоты отсчетов Найквиста. Для того чтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам , то есть осуществить инт ерполяцию некоторого континуума значений между этими отсч е тами , можно пропустить дискретизованные данные через идеальный фильтр нижних частот , обладающий прямоугольной частотной характеристикой (взвешивание в ч а стотной области ), используя теоремы о сверт ке во временной и частотной областях , получим : Полученное выражение представляет собой математическую запись теоремы о т счетов во временной области , которая утверждает , что с помощью этой и нтерполяц и онной формулы действительный сигнал с ограниченным спектром может быть точно восстановлен по бесконечному счетному числу известных временных отсчетов , взятых с частотой . Аналогич ный результат может быть получен и для комплексных сигналов с ограниченным спектром. Дуальной к теореме отсчетов во временной области является следующая Теорема . Для ограниченного временем по длительности сигнала верно , что где Таким образом , пр еобразование Фурье некоторого сигнала с ограниче н ной длительностью может быть однозначно восстановлено по эквидистантным отсч е там спектра такого сигнала , если выбранный интервал отсчетов по частоте удовлетв о ряет условию герц. Пусть дан произвольный непрерывный сигнал и его преобразование , которые в общем случае могут быть неограниченными по спектру и по длител ь ности . Если положить , что N отсчетов во времени взяты с равномерным интерв а лом T секунд , то ограничим спектр этого сигнала частотами герц взвешиван и ем в частотной области : , здесь - функция окна в частотной области . При этом сигнал трансформируется следующим образом . Далее берутся отсчеты во временной области сформированн о го первой операцией и ограниченного по спектру сигнала , соответств у ющие изменения в спектре можн о представить как . Теперь огр а ничимся длительностью сигнала NT : . И снова свертка в частотной области для спектра полученног о на этапе 2 . Последнее что осталось сделать - взятие отсчетов по частоте с интервалом 1/ NT герц , это приводит к периодическому продолжению исходных N временных отсчетов . Сигнал на после д нем этапе принимает следующий вид : , а его преобразование : . Окончательно можно получить , что если исходный сигнал и - его преобр азование , то на четвертом шаге и связаны следующими соотношениями : , где Последние соотношения называют дискрет но-временными рядами Фурье. И с ходя из процесса построения дискретно-временных рядов Фурье , можно установить требуемое точное соотношение между рядом Фурье временной последовательности и соответствующей непрерывно-временной функцией или между рядом Фурье пр еобр а зования и исходной функции преобразования . Если ширина спектра ограничена частотой 1/ T герц , то ряд Фурье временной последовательности будет сохранять и с ходные значения в отсчетных точках , однако ряд Фурье последовательности пр е образований будет состоять из отсчетов некоторого «размытого» варианта исходного преобразования . С другой стороны , если длительность фактически огр а ничена интервалом NT секунд , то ряд Фурье последовательности преобразований с о храняет исходные значения в отсчетных точках , однако ряд Фурье временной последовательности будет состоять из некоторого «размытого» варианта исходного сигнала . Эффекты размытия можно ослабить за счет уменьшения T (так что 1/ T будет соответствовать более широкой полосе ) или увеличения N (так что NT будет с о ответствовать большей длительности ), в результате чего дискретно-временной рад Фурье будет точнее аппрокси мировать непрерывное преобразование . Ряд будет иде н тичным непрерывному преобразованию только в случае периодических сигналов , кот о рые можно представить в виде суммы из комплексных синусоид с частотами k / NT герц , где k =0,1,... N -1. 1.2.3. Анализ эргодичных дискретных процессов. Определение : Дискретный случайный процесс эргодичен в среднем если Определение : Дискретный случай ный процесс автокорреляционно эргодичен если Допущение об эргодичности позволяет не только ввести через усреднение по времени определения для среднего значения и автокорреляции , но позволяет дать п о добное определение спектральной плотности мощн ости : Определение : Эта эквивалентная форма спектральной плотности мощности получается п о средством статистического усреднения модуля дискретно-временного преобразования Фурье взвешенной с овокупности данных , для случая когда число отсчетов данных ув е личивается до бесконечности . Статистическое усреднение необходимо здесь потому , что дискретно-временное преобразование само является случайной величиной , изм е няющейся для каждой используемой реа лизации . Это определение эквивалентно определению спектральной плотности мощности как дискретно-временное преобраз о вание Фурье автокорреляционной последовательности. Если в последнем опреде лении не учитывать операцию математического ожид а ния , то получим оценку спектральной плотности мощности , которая называется выб о рочным спектром : Хотя выборочный спектр не является состояте льной оценкой истинной спе к тральной плотности мощности , эта оценка может быть использована если выполнять некоторого рода усреднение или сглаживания . На использовании этой оценки основан классический периодограммый метод определения спектральной плотности мощности. 1.3. Классические методы спектрального анализа. 1.3.1 Введение Оценки СПМ , основанные на прямом преобразовании данных и последующем усреднении , получили название периодограмм . Оценки СПМ , для получения которых по исходным данным сначала формиру ется корреляционные оценки , получили назв а ние коррелограммных методов спектрального оценивания . При использовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится принимать множество компромиссных решений , с тем , чтобы по конечному количеству отсчетов данных получать статистически устойчивые спектральные оценки с макс и мально возможным разрешением . К этим компромиссным решениям относятся , в час т ности , выбор таких функций окна для взвешивания данных и корреляционных функций и таких параметров усреднения во временной и в частотной областях , которые позв о ляют сбалансировать требования к снижению уровня боковых лепестков , выполнению эффективного усреднения по ансамблю и к обеспечению приемлемого спектрального разрешения . Устойчивые результаты (малые спектрал ьные флюктуации ) и хорошая точность (малое смещение относительно истинных спектральных значений на всех ч а стотах ) достижимы только тогда , когда произведение TB , где Т - полный интервал з а писи данных , а B - эффективное разрешение по частоте , значительно пр евышает ед и ницу . Все эти компромиссы можно количественно охарактеризовать в случае гауссо в ских процессов , для которых подробно теоретически изучены статистические характ е ристики классических спектральных оценок . Однако выбор конкретного метода спе к тральног о оценивания в случае негауссовских процессов зачастую обосновывается только экспериментальными данными . Да и выбор функции окна очень часто основ ы вается на данных экспериментальных , а не теоретических исследований . 1.3.2. Окна данных и корреляционные ок на в спектральном анализе. Окна представляют собой весовые функции , используемые для уменьшения размывания спектральных компонент , обусловленного конечностью интервалов наблюдения . Так , можно считать , что воздействие окна на массив данных (как мульт и пликат ивной весовой функции ) состоит в уменьшении порядка разрыва на границе п е риодического продолжения . Этого добиваются , согласуя на границе возможно большее число производных взвешенных данных . Проще всего обеспечить такое согласование , сделав эти производные равными или , по крайней мере , близкими к нулю . Таким обр а зом , вблизи границ интервала взвешенные данные плавно стремятся к нулю , так , что периодическое продолжение сигнала оказывается непрерывным вплоть до произво д ных высших порядков. С другой стороны , мо жно считать , что окно мультипликативно воздействует на базисное множество так , чтобы сигнал произвольной частоты имел значительные пр о екции только на те базисные векторы , частоты которых близки к частоте сигнала . Оба подхода ведут , конечно , к одинаковым ре зультатам. 1.3.3. Периодограммные оценки Спектральной Плотности Мощности. Пренебрегая операцией вычисления математического ожидания и полагая , что конечное множество данных содержит N отсчетов , получаем выборочный спектр который может быть вычислен по конечной последовательности данных . Одн а ко поскольку была опущена операция математического ожидания , эта оценка будет н е устойчивой или несостоятельной . И для сглаживания применяется что-то в роде псевд о усреднения по ансамблю . Существует три различных типа сглаживания быстрых флюктуаций спектра . Первый метод заключается в усреднении по соседним спектральным частотам . Если для вычисленный выборочный спектр на сетке частот , то модиф и цированная оценка периодограммы на частоте может быть получена посредством усреднения в P точках с каждой стороны от этой частоты Обобщением этого подхода является обработка выборочного спектра с пом о щью фильтра нижних частот с частотной характеристикой . В этом случае м о дифицированную периодограмму можно записать в виде свертки частотной характер и стики фильтра нижних частот и самого выборочного спектра Вторым методом сглаживания выбор очного спектра является усреднение по псевдоансамблю периодограмм за счет деления последовательности из N отсчетов да н ных на P неперекрывающихся сегментов по D отсчетов в каждом , так что DP < N (наз ы ваемым периодограмма Бартлетта ). Тогда p -ый сегмент будет с остоять из отсчетов , где n =0,1,.., D -1, p =0,1,.. P -1. Для каждого сегмента независимо в ы числяется выборочный спектр в диапазоне частот Далее на каждой частоте , представляющей интерес , P отдельных немодифиц и рованных периодограмм усредняются , с тем чтобы получить окончат ельную оценку : Математическое ожидание и дисперсия даются следующими выражениями : Из выражения для дисперсии видно , что устойчивость спектральной оценки Бартлетта улучшается как величина , обратная числу сегментов P . Третьим и одним из самых эффективных методов является метод периодограмм Уэлча . Основное отлич ие от периодограммы Бартлетта состоит в том , что здесь и с пользуется окно данных и осуществлено перекрывающееся сегментирование послед о вательности отсчетов . Применение окна данных дает незначительное ухудшение ра з решения по частоте , так как сам спектр окна вносит погрешности в результирующий спектр , однако удается достичь уменьшения влияния боковых лепестков спектра пр я моугольного окна , которое косвенно применяется при сегментировании последов а тельности данных . Целью перекрытия сегментов является увеличение числа усредня е мых сегментов и тем самым уменьшение дисперсии оценки спектральной плотности мощности . Сам метод состоит в следующем . Пусть дана запись комплексных данных , которая разбивается на число сегментов D со сдвигом S отсчетов между соседними сегментами , тогда взвешенный p -ый сегмент будет состоять из отсчетов , где n = 0,1.. D -1, p = 0,1.. P -1, P =[( N - D )/ S +1]. А выб о рочный спектр взвешенного p -ого сегмента в диапазоне частот , где И окончательный вид периодограммы Бартлетта приобретает вид : С реднее и дисперсия оценки выглядят следующим образом (доказательство пе р вого соотношения в приложении А ): При использовании перекрытия соседних сегментов можно сформировать большее число псевдореализаций , чем в методе Бартлетта , а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча , хотя порядок имеет тот же самый . Экспериментал ь ные результаты приведены в соответствующем раз деле . 1.3.4. Коррелограммные оценки Спектральной Плотности Мощности. Альтернативным методом является коррелограммный метод . Косвенный метод основан на использовании бесконечной последовательности значений данных для ра с чета автокорреляционной последовате льности , преобразование Фурье которой дает искомую СПМ . В отличии от прямого метода , который основан на вычислении квадр а та модуля преобразования Фурье для бесконечной последовательности данных с и с пользованием соответствующего статистического усреднения. Показано , что результ и рующая функция , получаемая без использования такого усреднения и называемая в ы борочным спектром , оказывается неудовлетворительной из-за статистической нес о стоятельности получаемых с ее помощью оценок , поскольку среднеквадратичная о шибка таких оценок сравнима по величине со средним значением оценки . Автокорреляционная последовательность на практике может быть оценена по конечной записи данных следующим образом (несмещенная оценка ): , где или смещенной оценкой автокорреляции , которая имеет меньшую , по сравн е нию с несмещенной оценкой , дисперсию : , где Коррелограммный метод заключается в подстановке в определение спектрал ь ной плотности мощности оценку автокорреляционной последовательности (коррел о граммы ). Таким образом , имея две оценки автокорреляционной последовательности получаем две оценки спектральной плотности мощности : , , где , где - ядро Дирихле Эффект неявно присутствующего окна из-за конечности данных приводит к свертке истинной спектральной плотности с преобра зованием Фурье дискретно-временного прямоугольного или треугольного (как в случае со смещенными оценками ) окна . Для уменьшения этого эффекта используется корреляционное окно и ко р релограммна я оценка спектральной плотности мощности в общем виде выглядит сл е дующим образом : Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе. 1.3.5. Область применения. Классические методы спектрального анализа применимы почти ко всем классам сигналов и шумов в предположении о стационарности . Вычислительная эффективность периодограммных и коррелограммных методов основана на использовании алгоритма Быстрого Преобразования Фурье . Недос т атком всех методов спектрального анализа я в ляется искажения в спектральных составляющих по боковым лепесткам из-за взвеш и вания данных при помощи окна . Сравнение экспериментальных результатов с другими методами и характеристики взвешивающих окон приведены в соответствующем разд е ле. 1.4. Авторегрессионное спектральное оценивание. 1.4.1. Введение Одна из причин применения параметрических моделей случайных и процессов и построения на их основе методов получения оценок спектральной плотности мощности обу словлена увеличением точности оценок по сравнению с классическими методами . Еще одна важная причина - более высокое спектральное разрешение . Далее рассма т риваются следующие методы : метод Юла-Уалкера оценивания авторегрессионных п а раметров по последователь ности оценок автокорреляционной функции , метод Берга оценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок коэффиц и ентов отражения , метод раздельной минимизации квадратичных ошибок линейного предсказания вперед и назад - ковариационный метод , метод совместной минимизации квадратичных ошибок прямого и обратного линейного предсказания - модифицирова н ный ковариационный . Модель временного ряда (называемая модели авторегрессии-скользящего сре д него в случае входной последовательности - белого шу ма ), которая пригодна для а п проксимации многих встречающихся на практике детерминированных и стохастич е ских процессов с дискретным временем , описывается следующим разностным уравн е нием : Сис темная функция , связывающая вход и выход этого фильтра имеет рационал ь ную форму : Если в качестве входной последовательност и использовать белый шум , то приходим к АРСС-модели . Спектральную плотность для АРСС-модели получаем , подставляя , что дает , где , , а - дисперсия возбуждающего белого шума В частных случаях для авторегрессионной модели и модели скользящего среднего п о лучаем соответственно : 1.4.2. Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера . Из соотношения , связывающего параметры АРСС-модели с порядком ав торегрессии p и скользящего среднего q : Поскольку полагается , что u [ k ] - белый шум , то , , m>q , m<0 В частном случае для авторегрессионных параметров , получае м : , , m = 0 , m <0 В матричном виде эти соотношения выглядят следующим образом : Т аким образом , если задана автокорреляционная последовательность для , то АР-параметры можно найти в результате решения последнего матричного соотношения (называемого нормальными уравнениями Юла-Уалкера ), где автокорреляционная ма т рица является и теплицевой , и эрмитовой. Наиболее очевидным подходом к авторегрессионному оцениванию является решение нормальных уравнений Юла-Уалкера , в которые вместо значений неизвестной автоко р реляционной функции подставляем их оценки . Результаты экспериментов с этим , пе р вым методом АР-оценивания и сравнение с другими методами этого класса приведены в соответствующем разделе. 1.4.3. Методы оценивания коэффициентов отражения . Рекурсивное решение уравнений Юла-Уал кера методом Левинсона связывает АР-параметры порядка p c параметрами порядка p -1 выражением : , где n =1,2,.. p -1 Коэффициент отражения определяется по известным значениям автокорреляцио н ной функции : , где Из всех величин только непосредственно зависит от автокорреляционной фун к ции . В разное время предлагалось несколько различ ных процедур оценки коэффицие н та отражения , рассмотрим некоторые из них. 1.4.3.1. Геометрический алгоритм. Ошибки линейного предсказания вперед и назад определяются соответственно след у ющими выражениями : Рекурсивные выражения , связывающие ошибки линейного предсказания моделей п о рядков p и p - 1 , определяются простой подстановкой и в рекурсивное с о отношение для авторегрессионных параметров : Несло жно показать , что коэффициент отражения обладает следующим свойством (я в ляется коэффициентом частной корреляции между ошибками линейного предсказания вперед и назад ) : Используя оценки взаи мной корреляции и автокорреляции ошибок предсказания вп е ред и назад , получим : Таким образом , геометрический алгоритм использует алгоритм Левинсона , в котором вместо обычного коэффициента отражения , вычисляемого по известной автокоррел я ционной функции , используется его оценка Окончательный вид выражений геометрического алгоритма : , где n =1,2,.. p -1 , , где 1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга. Алгоритм Берга идентичен геометрическому , однако оценка коэффициента отражения находится из других соображений , а именно : при каждом значений параметра p в нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок линейного предсказания вперед и назад (то есть выборочная дисперсия ошибки предсказания ): Приравнивая производные к н улю , имеем оценку для : Некоторым обобщением является взвешивание среднего квадрата ошибки предсказ а ния для уменьшения част отного смещения , наблюдаемого при использовании базового метода Берга : что приводит к следующей оценке : 1.4.4. О ценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов. Налагая ограничения на авторегрессионные параметры , с тем чтобы они удовлетворяли рекурсивному выражению метода Левинсона , в методе Берга происходит минимизация по одного параметра - коэффици ента отражения . Более общий подход состоит в минимизации одновременно по всем коэффициентам линейного предсказания . Итак , пусть для оценивания авторегрессионных параметров порядка p использ уются последовательность данных .Оценка линейного предсказания вперед порядка p для отсчета будет иметь форму : где - коэффициенты линейного предсказания вперед порядка p . Ошибка линейного предсказания : В матричном виде это выражение записывается как : и соотношение для ошибки : Однако если рассматривать , в котором минимизируется следующая , невзвешенная выборочная дисперсия : то матрица принимает теплицевый вид (далее ее будем обозначать ). Нормальные уравнения , минимизирующие средний квадрат ошибки имеют следующий вид : Элементы эрмитовой матрицы имеют вид корреляционных форм , где Таким образом , авторегрессионные параметры могут быть получены в результате р е шения нормальных уравнений . Рассмотрим алгоритм , который в решении нормальных уравнений учитывает тот факт , что эрмитова матрица получена как произведение двух теплицевых и в результате этого сводит количество вычислений к . При использовании алгоритма Холецкого потребовалось бы операций. Ошибки линейного предсказания вперед и назад p -ого порядка Здесь вектор данных , вектор коэффициентов линейного предсказания вперед и вектор линейного предсказания назад определяется следующими выражениями : , , На основе отсчетов измеренных комплексных данных ковариационный метод линейного предсказания позволяет раздельно минимизировать суммы квадратов ош и бок линейного предсказания вперед и назад : , что приводит к следующим нормальным уравнениям : , Введем необходимые для дальнейшего определения : , исходя из вида и можно записать : , , где вектор столбцы и даются выражениями : , Важными также являются следующие выражения : Пара векторов-столбцов и определяются из выражений : Аналогично определяются вектора и , а также и через матрицы и . Процедура , используемая для обновления порядка вектора линейного предсказания вперед выглядит следующим образом : , где , в котором Соответствующий вид имеет процедура обновления порядка дл я вектора предсказания назад : , где , Векторы и должны удовлетворять следующим рекурсиям обновления порядка : Используя тот факт , что является эрмитовой матрицей имеем следующие выраж е ния для и : Введем скалярные множители Соответствующие рекуррентные выражения для и имеют следующий вид : Наконец , еще одна рекурсия обновления порядка необходима для вектора : Обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания вперед осуществляется в соответствии с выражением : Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного пре д сказания вперед : Аналогичным образом обновление временного индекса в векторе коэффициентов л и нейного предсказания назад ведется в соответствии с выражением : Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного пре д сказания назад : , где комплексный скаляр удовлетворяет выражениям : Соответствующие рекурсии по временному индексу для действительных скаляров и даются следующими выражениями : , Начальные условия необходимы для того , чтобы начать рекурсивное решение с поря д ка равно го нулю : , , , , , , Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе. 1.4.5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод 1.4.6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов 1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авт орегрессии - скользящего среднего . Модель авторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы , чем авт о регрессионная модель , поэтому следует ожидать , что получаемые с ее помощью оценки спектральной плотности мощности будут обладать большими во зможностями для п е редачи формы различных спектров . Основой спектрального оценивания при помощи модели авторегрессии-скользящего среднего является аппроксимация СС-процесса а в торегрессионной моделью высокого порядка . Пусть - системная функция СС ( q )-процесса -системная функция АР-процесса, эквивалентного этому СС ( q )-процессу , то есть Применим обратное z -преобразование к обеим частям последнего равенства , используя теорему об обратном преобразовании произведения функций , получим : причем Таким образом , СС-параметры можно определить по параметрам некоторой эквив а лентной авторегрессионной модели посредством решения произвольной подсистемы из q уравнений . Используя АР-оценки высокого поря дка можно зап и сать следующую систему уравнений : В идеальном случае ошибка должна быть равна нулю при всех значениях m , за исключением m =0, однако на практике при использовании конечной записи данных эта ошибка не будет равна нулю , поэтому оценки для CC -параметров должны определятся посредством минимизации дисперс ии квадрата ошибки : Из структуры уравнения для оценок параметров скользящего среднего видно , что эти оценки можно найти , решив соответствующие нормальные уравнения (здесь использ у ется либо «Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера» , либо «Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов» ) Общая процедура раздельного оценивания авторегрессионных параметров и параме т ров скользящего среднего заключается в следу ющем . Этап первый - определение авт о регрессионных параметров по исходным данным , после этого исходную последов а тельность данных необходимо подвергнуть фильтрации для получения временного р я да приближенно соответствующего некоторому СС-процессу (этап второй ). Этот фильтр имеет системную функцию вида : , где - оценки авторегрессионных параметров , определенные с помощью метода наименьших квадр а тов . Системная функция процесса авторегресии-скользящего среднего равна , п о этому Таким образом , пропуская запись измеренных данных через фильтр с системной функцией , полу чаем на его выходе аппроксимирующий процесс скользящего среднего . Этап третий : для оценивания СС-параметров применяется процедура , оп и санная в начале этого раздела . Оценка спектральной плотности мощности АРСС-процесса имеет вид : , где - оценка автокорреляции , полученная по фильтрованной последовательности Экс периментальные результаты приведены в соответствующем разделе. . 1.6. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии. Оценка спектральной плотности мощности по методу минимума дисперсии не является истинной функцией СПМ , поскольку площадь под гр афиком МД-оценки не характер и зует полную мощность измеряемого процесса . Обратное преобразование Фурье , соо т ветствующее МД-оценке , также не совпадает с автокорреляционной последовательн о стью . Таким образом , МД-оценку можно считать спектральной оценкой в том смысле , что она описывает относительные интенсивности компонент частотного спектра , но не является оценкой истинной СПМ . Минимальная дисперсия - это характеристика , кот о рая более информативна вблизи начала координат оценки . Она получается посредством мин имизации дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра , частотная хара к теристика которого адаптируется к спектральным компонентам входного процесса на каждой представляющей интерес частоте. Рассмотрим фильтр с p +1 коэффициентами . Выход этого фил ь тра , соответствующий входу , определяется сверткой : Дисперсия на выходе рассматриваемого фильтра определяется выражением : Коэффициенты фильтра необходимо выбирать таким образом , чтобы на частоте частотная характеристика этого фильтра имела единичный коэффициент усиления . Это ограничение можно записать следующим образом : , где Отсюда следует , что синусоида с частотой , поданная на вход такого фильтра , про й дет без искажений . Для режекции компонент спектра , удаленных от частоты , нео б ходимо минимизировать дисперсию на выходе рассматриваемого фильтра при после д нем ограничении . То есть рассматривается задача условной минимизации : Несложно показать , что при таком ограничении решение по методу минимума диспе р сии для коэффициентов фильтра будет удовлетворять уравнению : Само значение дисперсии : Отсюда получается выражение для спектральной оценки минимальной дисперсии : Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе. 1.7. Методы оценивания частоты , основанные на анализе собственных знач е ний. 1.7.1. Введение Ключевой операцией в методах , основанных на анализе собственных значений , являе т ся разделение информации , содержащейся в автокорреляционной матрице или матрице данных , на два векторных подпространства - подпространство сигнала и подпростра н ство шума . В этих подпространствах можно определять различные функции от вект о ров сигнала и шума для получения оценок частоты . Однако эти оценки не сохраняют мощность анализируемого процесса и , следовательно , не являются оценками истинной СПМ . Далее будет рассмотрен метод классификации множественных сигналов. Основная формула практически всех м етодов оценивания частоты , основанных на анализе собственных значений имеет следующий вид : , здесь - собственные значения а втокорреляционной матрицы , упорядоче н ные по степени их убывания ; главные собственные вектора ( ), соо т ветствующие собственным значениям .На собственные векторы натянуто подпространство шума матрицы и всем им соответствует одно и то же собственное значение . На главные собственные векторы натянуто подпр о с транство сигнала матрицы . Разложение автокорреляционной матрицы на собственные значения можно двумя сп о собами использовать для получения спектральных оценок или , точнее говоря , улу ч шенных пр оцедур оценок частоты . Сохранение одной лишь информации , соответств у ющей собственным векторам пространства сигнала , то есть формирование для матриц аппроксимации пониженного порядка , эффекти вно способствует увеличению отн о шения сигнал /шум , поскольку устраняет вклад мощности компонент подпространства шума . Этот факт лежит в основе процедур оценок частоты главных компонент (подпр о странства сигнала ). Свойство инвариантных прямых подпространств ( подпространств шума и сигнала ) положено в основу процедур оценок частоты в подпространстве шума . 1.7.2.Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала. 1.7.3.Оценки частоты в пространстве шума. Глава 2. Экспериментальный анализ алгоритмов спектрально го ан а лиза. В данной работе математическое моделирование и вычислительные эксперименты пр е следовали следующие задачи : 1.) Провести сравнительный анализ численных методов спектрального анализа на ра з личных типах тестовых сигналах. 2.) Выявить особен ности каждого из методов и на их основе сделать вывод о целесоо б разности применения того или иного алгоритма в следующих условиях вычисл и тельного эксперимента : 2.0.) Тест-сигнал состоит из смеси комплексных синусоид и шумовых процессов (белых шумов , пропущенных через фильтры с частотными характеристиками типа приподнятого косинуса ) (используем для проверки способности метода к сохранению «достоверности» формы спектра ) 2.1.) Несколько комплексных синусоид , присутствующие в анализируемом си г нале, имеют близкие частоты (этот тип тестовых сигналов используем для получения предельной разрешающей способности по частоте ) 2.2.) В сигнале присутствуют слабые синусоидальные составляющие на фоне сильных шумовых процессов (анализируем способность спе ктральных оценок обеспечивать обнаружение слабых компонент сигнала ). 2.3.) Проводим серию испытаний с одним методом и формируем при этом ра з личные реализации процесса (здесь анализируем качество оценки СПМ , ра с сматриваемое как функция дисперсии оце нки , зависящая от частоты ; мен ь шим значениям функции соответствует лучшая оценка на заданной частоте ). Здесь же вводится в рассмотрение равномерный критерий оценки качества получаемых оценок СПМ и на основе его делается вывод о наилучшем методе в рамках св оего класса и , вообще , о лучшем из всех исследованных в рамках данной работы. 2.4.) Для вычислительных схем функционирующих в реальном масштабе врем е ни проводим серию экспериментов , направленных на выявление влияния значений параметров на структурн ую устойчивость алгоритма. 2.5.) Серия экспериментов , направленных на решение вопроса о выборе знач е ний параметров в параметрических методах оценки СПМ (выбор порядка в авторегрессионном методе и методе авторегрессии-скользящего среднего , а также п орядок модели линейного предсказания в ковариационном методе ; шаг адаптации в адаптивном авторегрессионном алгоритме ; действительный весовой множитель в рекурсивном алгоритме наименьших квадратов ; колич е ство главных собственных векторов , отвечающих подпрос транству сигнала в методе , основанном на собственных значениях ; тип окна в классических м е тодах спектрального анализа ). Сохранение « достоверности » формы спектра - одно из свойств , которое присуще практически всем исследованным методам . Однако меру « досто верности » сложно определить аналитически и затем количественно для каждого из методов , поэтому « д о стоверность » относится к числу субъективных критериев качества получаемых оценок и основным подходом к сравнению алгоритмов является визуальное сравнение полу ч а емых оценок с истинным априорно известным спектром тест-сигнала . Результаты сра в нения полученных каждым из исследованных методов оценок приведены в прилож е нии C . Максимально допустимое разрешение оценки СПМ для всех рассмотренных методов приведены в при ложении D . Как и следовало ожидать наилучшими в смысле спе к трального разрешения являются альтернативные неклассические методы . Основной н е достаток классических методов заключается в искажающем воздействии какого бы то ни было взвешивающего окна . А псевдоус реднение по ансамблю за счет сегментации данных приводит к еще более худшему разрешению (приложение D график N ). От эт о го недостатка свободны все остальные взятые в рассмотрение методы . Однако в случае авторегрессионных методов увеличение порядка модели н аряду с улучшением разр е шающей способности приводит к эффекту появления ложного спектрального пика или к расщеплению спектральной линии (что продемонстрировано на графике N прилож е ния D ). Оценки по методу минимума дисперсии и оценки , полученные авторегресс ио н ными методам , связаны некоторыми соотношениями , поэтому эти же эффекты прису т ствуют и в МД-оценках . В случае алгоритмов , основанных на сингулярном разложении матрицы данных , значительные ложные пики также имеют место при увеличении п о рядка модели . Практически все методы позволяют экспериментально обнаружить слабые синусо и дальные составляющие . В таблице приложения Е приведены максимально допустимое соотношение сигнал /шум для всех методов , при котором еще возможно обнаружить составляющие сигнала , а т акже графики , иллюстрирующие результаты исследования. Приложение F включает в себя получение и исследование дисперсии оценок СПМ как функции частоты. Выбор правильных параметров в методах , функционирующих в реальном масштабе времени сопряжен со значитель ными трудностями . С одной стороны , если рассматр и вать градиентный адаптивный авторегрессионный метод , выбор большего параметра адаптации приводит к улучшению разрешающей способности и к увеличению «дост о верности» спектра , с другой стороны это приводит к во зрастанию структурной н е устойчивости всей вычислительной схемы , а на больших порядках модели , вообще , к разрушению алгоритма . В эксперименте с аудио сигналом для каждого представления отсчетов (под представлением понимается следующий набор установок : част ота ди с кретизации из диапазона 8 Кгц . - 44 Кгц., количество каналов - 1 (моно )/ 2(стерео ), к о личество битов на отсчет 8 бит /16 бит ) и для каждого набора параметров схемы , осуществляющей сбор данных в реальном масштабе времени (количество (значения из диап азона : 3,...,128) и длина буферных областей задержек данных на входе и выходе (значения из диапазона : 256,...,16384 отчета )) было выбрано компромиссное решение . Результаты приведены в приложении G . Поскольку наилучшее значение порядка фильтра в авто регрессионной модели , как пр а вило , не известно , на практике приходится испытывать несколько порядков моделей . Базируясь на этом , вводят тот или иной критерий ошибки , по которому затем определ я ем требуемый порядок модели . Если порядок модели выбран слишком малым , пол у чаются сильно сглаженные спектральные оценки , если излишне большим - увеличив а ется разрешение , но в оценке появляются ложные спектральные пики . Таким образом , применительно к авторегрессионному спектральному оцениванию выбор порядка м о делей эк вивалентен компромиссу между разрешением и величиной дисперсии для классических методов спектрального оценивания . Очевидно , что следует увеличивать порядок АР-модели до тех пор , пока вычисляемая ошибка предсказания не достигнет минимума . Однако во всех ис с ледованных методах оценка дисперсии монотонно уменьшается с увеличением порядка модели . Следовательно , одной дисперсии обычно не достаточно для того , чтобы определить момент окончания процедуры изменения п о рядка. Для выбора порядка АР-модели предложено мно го различных критериев - своего рода целевых функций . Рассмотрим некоторые из них . Первый критерий называется око н чательная ошибка предсказания (ООП ). Согласно этому критерию , выбор порядка ос у ществляется таким образом , чтобы минимизировать среднюю дисперси ю ошибки на каждом шагу предсказания. , где N - число отсчетов данных , p - порядок АР-процесса и - оценочное значение ди с персии белого шума (которая будет использоваться в качестве ошибки линейного пре д сказания ).Выбирается такое значение порядка , при котором величина ООП минимал ь на . Однако использование этого и последующих критериев дает отличные результаты только для идеа льных авторегрессионных процессов , а в случае реальных данных р е зультат оказывается сильно заниженным. Вторым критерием , основанным на методике максимального правдоподобия является информационный критерий Акаике (он представляет исключительно теоретический интерес , а на практике используется как нижняя граница порядка модели ) На практике обычно порядок модели выбирают в интервале от N /3 до N /2 где N - длина обрабатываемой последовательност и отсчетов . В приложении Н приведены графики оценок СПМ , полученных при различных значениях порядка модели. Особенности реализации Для решения поставленных задач был разработан и реализован язык проектир о вания алгоритмов , включающий в себя средства меж задачного обмена данными , то есть построение распределенных по процессам вычислительных алгоритмов , определенные части которого исполняются параллельно несколькими процессам . Дальнейшим разв и тием этого подхода является построение сетевых распределенных сх ем алгоритмов . Существует большое количество приложений этого подхода . Заключение В данной работе : 1. T еоретически проанализированы методы спектрального анализа , а также возмо ж ность применения этих методов в современных вычислительных системах для о бр а ботки данных в реальном масштабе времени. 2. Получены результаты поставленных экспериментов и на их основе выбран наиболее подходящий метод оценивания спектральной плотности мощности в аддитивной смеси комплексных синусоид и окрашенного стационарног о шумового процесса для каждого из типов экспериментов , сформулированных в разделе экспериментальных результатов. 3. Дано описание и выполнена реализация схемы управления процессом обработки данных в реальном времени , использующая преимущества параллел ьной архитект у ры вычислительных систем. 4. C формулирован ряд требований по вычислительным ресурсам при реальной обр а ботке , сделан анализ длины выборки данных при различном представлении входн о го сигнала. 5. Получены результаты по эксперименту вычисле ния характеристик окон и на их о с нове выбрано наилучшее решение в смысле разрешения (недостаточное качество разрешения по частоте в классических спектральных методах может быть улучшено исключительно выбором весового окна , а выбор параметров метода второст епенен по отношению к выбору окна ) в каждом эксперименте по оцениванию спектрал ь ной плотности мощности тест-сигнала. Приложени e А. Смещение периодограммы Уэлча. Здесь доказывается факт , который используется в разделе классических методов . Сре д нее период ограммы Уэлча можно записать в следующем виде : Докажем , что его можно представить в виде свертки истинного спектра (спектральной плотности мощности ) и нормированного квадрата модуля дискретн о-временного пр е образования используемого окна данных , то есть как , где и Рассмотрим выборочный спектр взвешенного p -ого сегмента в диапазоне частот : Найдем непосредственно ква драт модуля в последнем равенстве Подставив в формулу для математического ожидания периодограммы Уэлча , получим следующее в ыражение : Введем в рассмотрение следующее окно данных (свертка используемого окна данных с тем же комплексно сопряженным , но в обратном времени , окном ): Его дискретно-временное преобразование Фурье равно , по теореме о свертке во вр е менной области , произведению преобразований Фурье окна данных и окна . Если заметить , что преобразование окна равно комплексно-сопряженному преобразованию окна , то искомое выражение для будет ра в но квадрату модуля , где Заменяя кратную сумму в выражении и учитывая , то обстоятельство , что за пределами интервала шириной D отсчетов окно данных тождественно ра вно нулю , имеем : Приложени e I . Список используемой литературы.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- А я вчера так лоханулся!
- Ну так расскажи.
- Иду, значит, через подворотню, подходит ко мне ну очень аппетитная блондинка в лифчике и трусиках, подмигивает и молвит: "Палка - пятьсот гривен". В общем, даю я ей деньги, и ведёт она меня к себе на этаж...
- Ну, а дальше-то что?
- Да лох я последний, вот что!
- Но почему, Жора?!
- Дык палка-то для селфи оказалась!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, диплом по радиоэлектронике "Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru