Архангельский Государственный Технический Университет
Реферат по теме «Теорема Гаусса для электростатических полей в вакууме»
Выполонил: студент СФ 1-10
Ершов И.С.
Проверил: Махин В.Э.
2002 г.
Теорема Гаусса для электростатических полей в вакууме
Силовые линии поля
Любое силовое поле является векторным, поэтому для наглядности его изображают с помощью особых линий, называемыми силовыми. Тогда и электростатическое поле можно изображать с помощью силовых линий. Силовые линии имеют следующие свойства:
Силовые линии указывают направление вектора Е электрического поля. В любой точке напряженность поля направлена по касательной к силовой линии.
Силовые линии поводятся так, чтобы величина вектора Е была пропорциональна числу линий, проходящих через единичную площадь, перпендикулярную этим линиям.
Силовые линии электростатического поля начинаются только на положительных, а заканчиваются на отрицательных зарядах.
Число линий, выходящих или входящих в заряд пропорционально его величине.
Силовые линии никогда не пересекаются, т.к. это означало бы, что в одной точке пространства Е поля принимало 2 разных значения.
Поток вектора напряженности электрического поля
По сути, поток вектора Е (ФЕ) можно рассматривать энергетическую характеристику электрического поля. Этот параметр имеет боле универсальное значение по сравнению с потенциалом. По определению поток вектора Е – величина скалярная.
Примечание: в физике под потоком некоторой физической величины понимается количество этой величины, проходящее в единицу времени через некоторую выбранную поверхность.
Если
рассматривать однородное электрическое
поле (
)
поток вектора Е вычисляется следующим
образом
(1)
То
есть, результат скалярного произведения
на
,
где
-
напряженность электрического поля,
-
вектор, равный произведению рассматриваемой
площади S
на нормаль к этой площади. Тогда в
скалярной форме уравнение (1) перепишем
так:
Все приведенные зависимости справедливы только в том случае, если поле однородное.
В случае неоднородного поля поверхность S следует разбить на элементарные участки dS с выполнением следующих условий:
Элементарный участок плоский
В его пределах поле должно быть однородным
(2)
Поток через всю площадь S определяется интегрированием данного выражения
(2’)
Во многих случаях поток вектора Е рассматривается через замкнутую поверхность. В этом случае результирующий поток вектора Е определяется следующим образом
(2’’)
Интегрирование проводится по замкнутому контуру.
Примечание:
При
определении потока
через некоторую поверхность, особенно
если эта поверхность не плоская, возникает
неоднозначная ситуация, она связана с
неопределенностью в выборе нормали к
этой поверхности
>0
<0>
Данная
неоднозначность устраняется следующим
образом. Физики условились направлять
векторы
и
наружу из ограниченного поверхностью
объёма. Тогда для силовой линии, выходящей
из поверхности,
<
и
>0
для входящей
>
и
<0
Если внешнее поле пронизывает замкнутую поверхность, поток вектора Е равен 0, т.к. количество силовых линий на входе и выходе одинаково. Тогда ясно, что поток напряженности через замкнутую поверхность будет отличным от нуля в том случае, когда внутри этой поверхности электрические заряды, т.к. они создают электрическое поле, силовые линии которого либо начинаются, либо заканчиваются на этом заряде.
Итак, поток вектора Е через замкнутую поверхность будет не равен нулю только в том случае, если суммарный заряд внутри этой поверхности не равен нулю. Отсюда следует, что поток вектора Е зависит от величины заряда. В этом физическая суть теоремы Гаусса. Она устанавливает точное соотношение между ФЕ через замкнутую поверхность и суммарным зарядом внутри этой поверхности (иными словами теорема Гаусса устанавливает взаимосвязь между зарядом и создаваемым им полем).
Докажем теорему Гаусса. Для этого изначально рассмотрим поле точечного заряда q. Из свойств силовых линий поля известно, что их густота выбирается так, чтобы количество этих линий пронизывающих единичную поверхность численно равнялась модулю вектора Е, тогда полное число силовых линий через некоторую произвольную сферическую поверхность радиусом r определяется следующим образом:
выберем данную поверхность вокруг рассматриваемого точечного заряда q. Тогда число силовых линий через данную поверхность определяется следующим образом
(3)
Итак, мы получили зависимость (3) для поля точечного заряда q. Приведенный вывод показывает, что геометрические параметры данной задачи в полученном выражении отсутствуют, т.е. число линий поля заряда q на любом расстоянии будет одинаковым.
Примечание: отсюда и следует, что силовые линии электростатического поля могут начинаться и заканчиваться только на заряде.
В общем случае рассматривается некоторая замкнутая поверхность, внутри которой заключено произвольное распределение зарядов. Представим это распределение как совокупность точечных зарядов. Тогда результирующий поток через данную поверхность определяется следующим образом:
С
другой стороны по принципу суперпозиции
Выражение под знаком суммы определяет ФЕ поля отдельного точечного заряда. Для этого случая справедливо уравнение (3), тогда
,
где
Q – суммарный заряд, заключенный внутри рассматриваемой поверхности.
Теорема доказана.
Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность прямопропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности.
Полученное выражение является фундаментальным положением классического электромагнетизма. Теорема Гаусса в некоторых случаях существенно упрощает вычисление вектора напряженности электрического поля определенных распределений зарядов. Повторим все вышеприведенные расчеты, но с помощью теоремы Гаусса.
Поле бесконечно длинного равномерно заряженного тонкого цилиндра (нити)
Даная ситуация распадается на 2 случая:
Нужно
вычислить напряженность поля внутри
цилиндра (r
Снаружи
(r>R)
В первом случае напряженность поля равна 0, т.к. в соответствии с теоремой Гаусса если внутри цилиндра выделить замкнутую поверхность в виде коаксиального с ним цилиндра, то внутри этой поверхности заряд отсутствует, значит по теореме Гаусса:
Во втором случае также выделим такую же замкнутую поверхность, но r>R. Считаем, что внутри выделенной поверхности оказался участок цилиндра длинной l. Поток через выделенную поверхность складывается из двух составляющих:
(Торцевые поверхности и боковую поверхность).
ФЕторц=0
т.к.
параллелен
Sторц..
По
определению потока
По теореме Гаусса
Из полученных выражений следует, что уменьшение радиуса r при неизменной линейной плотности заряда, т.е. при приближении к поверхности цилиндра, напряженность поля может достигать очень больших значений если рассматриваемый цилиндр очень тонкий. В этом случае вблизи цилиндра поле можно считать однородным. Покажем это прейдя от линейной плотности заряда к поверхностной.
Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости
Рассмотрим
плоскость с поверхностной плотностью
заряда
.
В соответствии с теоремой Гаусса выделим
замкнутую поверхность в виде цилиндра,
с осью, перпендикулярной рассматриваемой
плоскости. По аналогии с предыдущим
случаем поток напряженности через
выделенную поверхность имеет 2
составляющие, но поле плоскости
параллельно оси цилиндра. Таким образом,
напряженность через боковую поверхность
равна 0. Отличным от нуля останется поток
через боковые поверхности. По определению
потока:
По
теореме Гаусса
27 апреля 2002