Формула Герона и героновы тетрады

Министерство образования РБ

Городской отдел образования

Средняя общеобразовательная школа №22

Научно-исследовательская работа

на тему «Формула Герона и героновы

тетрады».

Выполнил Зарубежнов Сергей

ученик 10 А класса,

СОШ № 22

Научный руководитель Рыцева О.Н.,

учитель математики

СОШ №22

г. Октябрьский

2005г.

Сколько тайн, на формулах распятых,

Нам раскроют завтрашние дни.

В.Михановский.

Да, много решено загадок

От прадеда и до отца,

И нам с тобой продолжить надо

Тропу, которой нет конца.

В.Ноздрев.

Содержание.

Введение.

I. Теоретическая часть.

Формула Герона и героновы тетрады.

1. Герон Александрийский и его формула.

2. Вывод формулы:

1) I способ.

2) II способ.

3) III способ.

4) IV способ (открытие).

3. Геронов определитель.

4. Задача Герона и её решение.

1) I способ.

2) II способ.

3) III способ.

4) IV способ.

II. Практическая часть. Задачи.

1. Составить таблицу героновых тетрад.

2. Найти в таблице пифагоровы триады.

3. Используя таблицу, найти:

а) площадь треугольника;

б) одну из высот треугольника;

в) радиус вписанной в треугольник окружности;

г) радиус описанной около треугольника окружности;

д) объём пирамиды;

Заключение.

Список литературы.

Введение.

С разнообразными геометрическими фигурами, с измерением длин, площадей и объёмов людям приходилось иметь дело с незапамятных времён. В практических наблюдениях они подмечали различные геометрические закономерности.

Для наблюдательного человека даже простые срезы растений- красивые геометрические фигуры:

Геометрия трав.

Математик, несбывшийся странник,

оглядись, удивляясь стократ:

в травах - срез волчицы - пятигранник,

а сеченье душицы – квадрат.

Всё на свете покажется внове

под гольцом, чья вершина в снегу:

водосбор – треуголен в основе

на цветущем альпийском лугу!

Где же круг?

Возле иглистой розы,

там, где луг поднебесный скалист,

вижу, с ветром играет берёзы

треугольно-ромбический лист.

Равиль Бухараев.

Познавать мир геометрических фигур, особенно треугольников, - занятие, приносящее высокое духовное удовлетворение.

Треугольники являются как бы стержнем, вокруг которого формируется круг элементарной геометрии.

Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интересных свойств. Треугольникам уделяли внимание многие выдающиеся ученые:

Пифагор, Герон, Торричелли, Эйлер, Гаусс и др. Многочисленные и самые разнообразные приложения формулы Герона сделали её чрезвычайно важным и интересным объектом исследования. Цель этой работы - изучение способов доказательства формулы Герона, составление таблицы героновых тетрад, решение задач с помощью этой таблицы.

3

I. Теоретическая часть.

Формула Герона и героновы тетрады.

1. Герон Александрийский и его формула.

Формула Герона – формула, выражающая площадь треугольника(S) через его стороны a,b,c: , где .

Ученый, чьё имя носит эта формула, работал в Александрии, вероятно, в 1 в. н. э. Его в основном интересовали практические приложения математики, поэтому большинство известных ему математических результатов он излагал, не доказывая и даже не формулируя, а прямо применяя их к решению конкретных задач. Но способ вычисления площади треугольника по его сторонам он изложил с доказательством и даже не в одной, а в двух своих книгах “Метрика” и “Диоптра”. Его математические работы - своеобразная энциклопедия античной прикладной математики.

2. Вывод формулы

Для произвольного треугольника верны следующие соотношения:

, (теорема синусов), ,

(теорема косинусов), S=pr, .

I способ.

Приведем доказательство Герона в современном изложении и в современных обозначениях, но без каких- либо других существенных изменений.

В треугольник АВС впишем окружность с центром H, которая

касается его сторон АВ, ВС и АС в точках D,Е и F. Площадь S

треугольника АВС равна сумме площадей треугольников АНВ, ВНС и

СНА, то есть .

4

Поскольку , и то , а значит, S=pr, где p- полупериметр треугольника ABC, r - радиус его вписанной окружности.

Отложим на луче СВ точку G так, что CG=p. Тогда BG=AD. В результате получаем S²=(pr)²=CG²*EH². Рассмотрим теперь точку L, в которой пересекаются перпендикуляры, восставленные в точках В и H к прямым ВС и НС соответственно. Точки В и H лежат на окружности с диаметром СL, поэтому

Выделим теперь пары равных углов: BHE и BHD, СНЕ и СНF, АНD

и АНF. Сумма всех этих углов равна 360°. Следовательно,

Из равенств легко видеть, что углы AHD и CLB равны. Тогда треугольники AHD и CLB подобны. Поэтому ВС:BL.=AD:DH=BG : HE, отсюда ВС:BG= BL:НЕ.

Из подобия треугольников BLK и EHK получаем BL:HE=ВК:КЕ.

Из двух последних пропорций имеем ВС:BG=ВК:КЕ, или (ВС+ВG):ВG= (ВК+КЕ): КЕ, т. е. CG: BG=BЕ: КЕ. Отсюда СG²:(CG*BG)=(BE*EC):(KE*EC) или СG²=((BE*EC):(KE*EC))*(CG*BG)

Треугольник КСН прямоугольный, поэтому КЕ*ЕС=НЕ². В итоге получаем S²=CG²*HE²=CG*BG*BE*EC=p(p-a)(p-b)(p-c). 5

способ.

В настоящее время формула Герона доказывается в несколько строк. При традиционных обозначениях имеем:

, (a²+b²-c²)/2ab.

Тогда

= = =.

В. Прасколов «Математика в школе» № 1.1990.

• Способ.

Способ, в котором ключевой момент доказательства – применение

формулы площади треугольника

Найдем сначала высоту AD треугольника ABC, проведенную к

большей его стороне BC. Положим BC=a, AC=c, BA=c, AD=ha, BD=x, СВ=a-x.

По теореме Пифагора AD²=AB²-BD² и AD²=AC²-CD². Поэтому AB²-BD²=AC²-CD², т.е. c²-x²=b²-(a-x)².

Из этого уравнения получим, что 2ax=a²+c²-b².

Поскольку AD²=AB²-BD², то =c²-x² и .

Разложим числитель на множители:

.

Так как a+b+c=2p, то a+b-c=2p-2с, a+с-b=2p-2b, b+c-a=2p-2a.

Окончательно . 6

Подставляя в формулу выражение для h , получим

.

А.Александров и др. «Геометрия для 8-9 классов», 1991.

IV.Способ.(открытие).

Пусть ABC-треугольник со сторонами a,b,c. Известно, что

, где R-радиус описанной около треугольника окружности. Найдем 4R: . Так как , то

По теореме косинусов имеем

Из основного тригонометрического тождества находим:

== =

.

Если подставить это выражение в формулу получим:

=

=

Итак .

Если a,b,c иррациональны, то вычислять площадь треугольника более удобно по формуле:

S=.

Следствие.

Если треугольник равнобедренный с основанием a и боковой стороной b, то .

Доказательство.

S====.

7

3.Геронов определитель.

Известна формула, выражающая площадь треугольника через координаты его вершин: A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), C(x₃;y₃):

.

Так как длины сторон треугольника BC=a, AC=b, AB=c связаны с координатами его вершин формулами:

a²=(x₂-x₃)² + (y₂-y₃)²,

b²=(x₁-x₃)² + (y₁-y₃)²,

c²=(x₁-x₂)² + (y₁-y₂)².

то попробуем записать формулу Герона в виде определителя, элементами которого являются a, b, c и, может быть, число.

После некоторых поисков подходящей комбинации напишем по кругу

по часовой стрелке величины: a, b, c, 0 и составим из них определитель D:

.

Структура его такова: первая строка начинается с a, и элементы идут по часовой стрелке; вторая строка начинается с b, и элементы идут против часовой стрелки; третья строка начинается с c, и элементы идут опять по часовой стрелке; четвертая строка начинается с нуля, и элементы идут против часовой стрелки. Отметим также, что i-я строка определителя (i=1, 2, 3, 4) совпадает с его i-м столбцом.

Легко получить, что D=a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2a²c².

Из формулы Герона S= выводим:

16S²=2a²b²+2a²c²+2b²c²-a⁴-b⁴-c⁴,

Следовательно,

.

Площадь треугольника удобнее, конечно, вычислять по формуле Герона, записанной в традиционном виде.

В.Дроздов «Математика в школе» № 5.1995.

8

4.Задача Герона.

Треугольники, у которых длины сторон и площадь являются

целыми числами, называются треугольниками Герона. Он рассматривал треугольники со сторонами 13,14,15 и 5,12,13, площади которых соответственно равны 84 и 30.

Задача. Найти целочисленные стороны треугольника, чтобы площадь его была также целочисленна.

Решение.

I способ.

Теорема. Если стороны треугольника a,b.c и a=mk+nl, b=ml+nk, c=(m-n)(k+l ) или, c=(m+n)(k-l) а произведение целочисленных компонент m, n, k, l, является квадратом какого-либо числа (q²=mnkl1), то площадь треугольника целочисленна.

Следствие 1. Если отношение компонент или , то треугольник прямоугольный.

Следствие 2. Если компоненты m=n или k=l, то треугольник равнобедренный.

Следствие 3. Если компоненты m=n и k=l, то решения нет, т. е. не существует равнобедренных прямоугольных треугольников с целочисленными площадью и сторонами.

Следствие 4. Величины сторон треугольника ограничены снизу, верхнего ограничения величин сторон нет.

Наименьшие треугольники (q=2): прямоугольный со сторонами 3, 4. 5; равнобедренный со сторонами 5, 5, 6.

1. Число q представляется в виде произведения простых множителей.

2. Составляется спектр матриц по q²:

3. Определяется по матрице вид треугольника (прямоугольный, равнобедренный, косоугольный) и проводится вычисление сторон и площади треугольника по формулам:

, , ,

; ,

.

Ввиду того, что сторона выражена двумя равенствами, результатом решения фактически являются два косоугольных треугольника с одинаковыми двумя сторонами ( и ) и разными третьими ( и ).

Например, а = 15, b=13, с = (4; 14), что соответствует паре треугольников со сторонами 4, 13, 15 и 14, 13, 15.

Для прямоугольных треугольников с₁=с₂, для равнобедренных с₁=с, с₂= 0 или наоборот. 9

Пример.

1. q²=6²=3²*2².

2. Спектр матриц по q²=6²

3. Вычисление сторон:

=9*2+2*1=20, =9*1+2*2=13,

=11*1=11, =7*3=21,

22, =6*11==66,

27, =6*21==126,

Треугольники: . Площади: =66 и =126.

В результате решения всего спектра матриц получается группа треугольников по q= 6.

Б.Потапов.

«Математика в школе» № 2,1995.

• способ.

Далее используем иное строение ключевого параметра q=n₁²- n₂², n₁,n₂ произвольные натуральные числа. Любая пара (m_1, m₂) возможных натуральных множителей числа q порождает одну или две героновые

тетрады (a₁,b,c,S₁) и (a₂,b,c,S₂) по формулам:

и ,,

,, .

Пример. Пусть = 5, =3. Тогда q=25-9=16=16*1=8*2=4*4.

Для =16, =1 имеем: a₁= 6*17 = 102, a₂=10*15=150. b=85-45=40, c=85+45=130.

Уменьшал пропорционально полученные размеры сторон, образуем две тетрады: (51; 20; 65; =408) и (15; 4; 13; = 24). Для =8, = 2 и ==4 получаем по одной тетраде (15; 8; 17; =60) и (6; 5; 5; =12).

10

способ.

Имеются ещё формулы, производящие героновы тетрады:

, ,

и получающиеся из них выражения для p и S:

, .

Параметрам где , можно придавать произвольные натуральные значения. Параметр играет роль коэффициента подобия.

Так, например, при , формулы про изводят триаду () и при = 1/2 - геронову триаду из взаимно простых чисел (a;b;c)=(5; 5; 8).

Однако эти формулы все же не обеспечивают весь ряд героновых тетрад на множестве натуральных и даже рациональных значений. Так, тетраду (15; 26; 37;156) можно получить только при иррациональных значениях параметров, например, при ,, и .

А теперь рассмотрим решение уравнения S=. Предположим, что стороны а, b, с и площадь S косоугольного треугольника АВС - рациональные числа, причем а<b< с вследствие чего, равно как и в случае a=b, углы А и В - острые.

Из теоремы косинусов и формулы площади следует, что косинусы и синусы углов такого треугольника также рациональны. Если, например,

, , то , .

где m>1, n>1 - рациональные числа. Тогда по теореме синусов

, откуда, например, , ,где t-коэффициент подобия. Далее, откуда и .

Общность решений уравнения S= в рациональных числах следует из того, что для любых рациональных а, b, с и S, удовлетворяющих этому уравнению, всегда существуют такие рациональные значения m, n и t, при которых по формулам получаются именно эти числа а, b, с, и S.

В самом деле, по заданным а,b, с и S однозначно определяются

, , , .

В то же время , , откуда , , .

11

Пример. Дано: а=15, b=26, c=37, S=156. Найти подходящие значения для n,m, и t.

Вычисляем: , , m=6, , .

Проверка. По формулам находим: , аналогично b=26, с=37, S=156.

Теперь для получения формул, производящих все возможные героновы тетрады непосредственно при натуральных значениях параметров и соответствующем выборе коэффициента подобия, достаточно в (1) и (2) заменить m на m/n, n на p/q (m,n,p,q) и положить где коэффициент подобия . Тогда , , , , где mp>nq.

Б.Кордемский «Математика в школе» №4,1984.

IV Способ.

Существует красивое геометрическое решение задачи Герона.

Рассмотрим произвольный Геронов треугольник, в котором проведем высоту с основанием, принадлежащем стороне треугольника, а не её продолжению (такая высота существует в любом треугольнике). Высота геронова треугольника, вообще говоря, число дробное, поэтому возьмем Геронов треугольник, подобный первоначальному, высота которого выражается натуральным числом. Нетрудно доказать, что длины отрезков x и y, на которые высота разбивает сторону c,-натуральные числа. Из рисунка следует равенство:

Обозначив для краткости , , где и - натуральные числа, получим равенство . Уединим радикал и возведем последнее равенство в квадрат. В результате имеем:

.

12

Это равенство возможно только в том случае, если -квадрат натурального числа. Аналогично убеждаемся, что и -квадрат натурального числа.

Таким образом, геронов треугольник оказался разбитым на два пифагоровых. Учитывая, что - их общий катет, по формулам пифагоровых троек имеем:

, , , ,

.

Тогда и площадь

.

Формулы , , не определяют героновых треугольников с дробными высотами. Чтобы получить все героновы треугольники, введем в последние формулы рациональный коэффициент подобия (что возможно, так как мы рассматриваем геронов треугольник, подобный первоначальному). Итак, следующие формулы дают героновы тройки:

, , где m,n,p,q,-любые натуральные числа, удовлетворяющие условию mp>nq, -все рациональные числа такие, что a,b,c-натуральные. Площадь геронова треугольника

.

Можно вывести и другие формулы, определяющие героновы треугольники. Если записать общий катет то, , , ,

причем .

Если положить, , то имеем формулы

, ,

, при этом .

Взяв, например, в последних формулах p=3, q=2, m=2, n=1, =1, найдем одну из бесконечного множества героновых тетрад: (39,25,56,420).

Треугольники Герона используются в большом числе разнообразных задач.

13

II. Практическая часть. Задачи.

1.Составить таблицу героновых тетрад.

Решение.

Героновой тетрадой называют всякое решение задачи Герона (стороны треугольника и его площадь – натуральные числа). С помощью формул

и ,, ,, .

найдем героновы тетрады. Их в этой таблице 360.

Героновы тетрады.

1. a=3 b=4 c=5 s=6. 2. a=3 b=25 c=26 s=36.

3. a=4 b=13 c=15 s=24. 4. a=4 b=51 c=53 s=90.

5. a=5 b=5 c=6 s=12. 6. a=5 b=5 c=8 s=12.

7. a=5 b=12 c=13 s=30. 8. a=5 b=29 c=30 s=72.

9. a=5 b=51 c=52 s=126. 10. a=6 b=8 c=10 s=24.

11. a=6 b=25 c=29 s=60. 12. a=6 b=50 c=52 s=144.

13. a=7 b=15 c=20 s=42. 14. a=7 b=24 c=25 s=84.

15. a=7 b=65 c=68 s=210. 16. a=8 b=15 c=17 s=60.

17. a=8 b=26 c=30 s=96. 18. a=8 b=29 c=35 s=84.

19. a=9 b=10 c=17 s=36. 20. a=9 b=12 c=15 s=54.

21. a=9 b=40 c=41 s=180. 22. a=9 b=65 c=70 s=252.

23. a=9 b=73 c=80 s=216. 24. a=9 b=75 c=78 s=324.

25. a=10 b=10 c=12 s=48. 26. a=10 b=10 c=16 s=48.

27. a=10 b=13 c=13 s=60. 28. a=10 b=17 c=21 s=84.

29. a=10 b=24 c=26 s=120. 30. a=10 b=35 c=39 s=168.

31. a=10 b=58 c=60 s=288. 32. a=10 b=102 c=104 s=504.

33. a=11 b=13 c=20 s=66. 34. a=11 b=25 c=30 s=132.

35. a=11 b=60 c=61 s=330. 36. a=11 b=90 c=97 s=396.

37. a=12 b=16 c=20 s=96. 38. a=12 b=17 c=25 s=90.

39. a=12 b=35 c=37 s=210. 40. a=12 b=39 c=45 s=216.

41. a=12 b=50 c=58 s=240. 42. a=12 b=55 c=65 s=198.

43. a=12 b=100 c=104 s=576. 44. a=13 b=13 c=24 s=60.

45. a=13 b=14 c=15 s=84. 46. a=13 b=20 c=21 s=126.

47. a=13 b=30 c=37 s=180. 48. a=13 b=37 c=40 s=240.

49. a=13 b=40 c=45 s=252. 50. a=13 b=40 c=51 s=156.

51. a=13 b=68 c=75 s=390. 52. a=13 b=84 c=85 s=546.

53. a=14 b=25 c=25 s=168. 54. a=14 b=30 c=40 s=168.

55. a=14 b=48 c=50 s=336. 56. a=14 b=61 c=65 s=420.

57. a=15 b=15 c=18 s=108. 58. a=15 b=15 c=24 s=108.

59. a=15 b=20 c=25 s=150. 60. a=15 b=26 c=37 s=156.

61. a=15 b=28 c=41 s=126. 62. a=15 b=34 c=35 s=252.

63. a=15 b=36 c=39 s=270. 64. a=15 b=37 c=44 s=264.

65. a=15 b=41 c=52 s=234. 66. a=15 b=52 c=61 s=336.

67. a=15 b=87 c=90 s=648. 68. a=16 b=17 c=17 s=120.

69. a=16 b=25 c=39 s=120. 70. a=16 b=30 c=34 s=240.

14

71. a=16 b=52 c=60 s=384. 72. a=16 b=58 c=70 s=336.

73. a=16 b=63 c=65 s=504. 74. a=17 b=17 c=30 s=120.

75. a=17 b=25 c=26 s=204. 76. a=17 b=25 c=28 s=210.

77. a=17 b=28 c=39 s=210. 78. a=17 b=39 c=44 s=330.

79. a=17 b=40 c=41 s=336. 80. a=17 b=55 c=60 s=462.

81. a=17 b=65 c=80 s=288. 82. a=17 b=87 c=100 s=510.

83. a=17 b=89 c=90 s=756. 84. a=18 b=20 c=34 s=144.

85. a=18 b=24 c=30 s=216. 86. a=18 b=41 c=41 s=360.

87. a=18 b=75 c=87 s=540. 88. a=18 b=80 c=82 s=720.

89. a=19 b=20 c=37 s=114. 90. a=19 b=60 c=73 s=456.

91. a=20 b=20 c=24 s=192. 92. a=20 b=20 c=32 s=192.

93. a=20 b=21 c=29 s=210. 94. a=20 b=26 c=26 s=240.

95. a=20 b=34 c=42 s=336. 96. a=20 b=37 c=51 s=306.

97. a=20 b=48 c=52 s=480. 98. a=20 b=51 c=65 s=408.

99. a=20 b=53 c=55 s=528. 100. a=20 b=65 c=75 s=600.

101. a=20 b=70 c=78 s=672. 102. a=20 b=99 c=101 s=990.

103. a=21 b=28 c=35 s=294. 104. a=21 b=41 c=50 s=420.

105. a=21 b=45 c=60 s=378. 106. a=21 b=61 c=68 s=630.

107. a=21 b=72 c=75 s=756. 108. a=21 b=82 c=89 s=840.

109. a=21 b=85 c=104 s=420. 110. a=22 b=26 c=40 s=264.

111. a=22 b=50 c=60 s=528. 112. a=22 b=61 c=61 s=660.

113. a=22 b=85 c=91 s=924. 114. a=24 b=32 c=40 s=384.

115. a=24 b=34 c=50 s=360. 116. a=24 b=35 c=53 s=336.

117. a=24 b=37 c=37 s=420. 118. a=24 b=45 c=51 s=540.

119. a=24 b=70 c=74 s=840. 120. a=24 b=78 c=90 s=864.

121. a=24 b=87 c=105 s=756. 122. a=25 b=25 c=30 s=300.

123. a=25 b=25 c=40 s=300. 124. a=25 b=25 c=48 s=168.

125. a=25 b=29 c=36 s=360. 126. a=25 b=33 c=52 s=330.

127. a=25 b=34 c=39 s=420. 128. a=25 b=38 c=51 s=456.

129. a=25 b=39 c=40 s=468. 130. a=25 b=39 c=56 s=420.

131. a=25 b=51 c=52 s=624. 132. a=25 b=51 c=74 s=300.

133. a=25 b=52 c=63 s=630. 134. a=25 b=60 c=65 s=750.

135. a=25 b=63 c=74 s=756. 136. a=25 b=74 c=77 s=924.

137. a=25 b=84 c=101 s=840. 138. a=26 b=26 c=48 s=240.

139. a=26 b=28 c=30 s=336. 140. a=26 b=35 c=51 s=420.

141. a=26 b=40 c=42 s=504. 142. a=26 b=51 c=55 s=660.

143. a=26 b=51 c=73 s=420. 144. a=26 b=60 c=74 s=720.

145. a=26 b=74 c=80 s=960. 146. a=26 b=75 c=91 s=840.

147. a=26 b=80 c=90 s=1008. 148. a=26 b=80 c=102 s=624.

149. a=26 b=85 c=85 s=1092. 150. a=27 b=29 c=52 s=270.

151. a=27 b=30 c=51 s=324. 152. a=27 b=36 c=45 s=486.

153. a=28 b=45 c=53 s=630. 154. a=28 b=50 c=50 s=672.

155. a=28 b=60 c=80 s=672. 156. a=28 b=65 c=89 s=546.

157. a=28 b=91 c=105 s=1176. 158. a=28 b=96 c=100 s=1344.

159. a=29 b=29 c=40 s=420. 160. a=29 b=29 c=42 s=420.

161. a=29 b=35 c=48 s=504. 162. a=29 b=52 c=69 s=690.

163. a=29 b=52 c=75 s=546. 164. a=29 b=60 c=85 s=522.

15

165. a=29 b=65 c=68 s=936. 166. a=29 b=75 c=92 s=966.

167. a=29 b=78 c=101 s=780. 168. a=30 b=30 c=36 s=432.

169. a=30 b=30 c=48 s=432. 170. a=30 b=39 c=39 s=540.

171. a=30 b=40 c=50 s=600. 172. a=30 b=51 c=63 s=756.

173. a=30 b=52 c=74 s=624. 174. a=30 b=56 c=82 s=504.

175. a=30 b=68 c=70 s=1008. 176. a=30 b=72 c=78 s=1080.

177. a=30 b=74 c=88 s=1056. 178. a=30 b=82 c=104 s=936.

179. a=31 b=68 c=87 s=930. 180. a=32 b=34 c=34 s=480.

181. a=32 b=50 c=78 s=480. 182. a=32 b=53 c=75 s=720.

183. a=32 b=60 c=68 s=960. 184. a=32 b=65 c=65 s=1008.

185. a=33 b=34 c=65 s=264. 186. a=33 b=39 c=60 s=594.

187. a=33 b=41 c=58 s=660. 188. a=33 b=44 c=55 s=726.

189. a=33 b=56 c=65 s=924. 190. a=33 b=58 c=85 s=660.

191. a=33 b=75 c=90 s=1188. 192. a=34 b=34 c=60 s=480.

193. a=34 b=50 c=52 s=816. 194. a=34 b=50 c=56 s=840.

195. a=34 b=55 c=87 s=396. 196. a=34 b=61 c=75 s=1020.

197. a=34 b=65 c=93 s=744. 198. a=34 b=78 c=88 s=1320.

199. a=34 b=80 c=82 s=1344. 200. a=35 b=35 c=42 s=588.

201. a=35 b=35 c=56 s=588. 202. a=35 b=44 c=75 s=462.

203. a=35 b=52 c=73 s=840. 204. a=35 b=53 c=66 s=924.

205. a=35 b=65 c=82 s=1092. 206. a=35 b=73 c=102 s=840.

207. a=35 b=75 c=100 s=1050. 208. a=35 b=78 c=97 s=1260.

209. a=35 b=84 c=91 s=1470. 210. a=36 b=40 c=68 s=576.

211. a=36 b=48 c=60 s=864. 212. a=36 b=51 c=75 s=810.

213. a=36 b=61 c=65 s=1080. 214. a=36 b=77 c=85 s=1386.

215. a=36 b=82 c=82 s=1440. 216. a=37 b=37 c=70 s=420.

217. a=37 b=39 c=52 s=720. 218. a=37 b=72 c=91 s=1260.

219. a=37 b=91 c=96 s=1680. 220. a=37 b=100 c=105 s=1848.

221. a=38 b=40 c=74 s=456. 222. a=38 b=65 c=87 s=1140.

223. a=39 b=39 c=72 s=540. 224. a=39 b=41 c=50 s=780.

225. a=39 b=42 c=45 s=756. 226. a=39 b=52 c=65 s=1014.

227. a=39 b=55 c=82 s=924. 228. a=39 b=58 c=95 s=456.

229. a=39 b=60 c=63 s=1134. 230. a=39 b=62 c=85 s=1116.

231. a=39 b=80 c=89 s=1560. 232. a=39 b=85 c=92 s=1656.

233. a=40 b=40 c=48 s=768. 234. a=40 b=40 c=64 s=768.

235. a=40 b=42 c=58 s=840. 236. a=40 b=51 c=77 s=924.

237. a=40 b=52 c=52 s=960. 238. a=40 b=68 c=84 s=1344.

239. a=40 b=74 c=102 s=1224. 240. a=40 b=75 c=85 s=1500.

241. a=40 b=96 c=104 s=1920. 242. a=40 b=101 c=101 s=1980.

243. a=41 b=41 c=80 s=360. 244. a=41 b=50 c=73 s=984.

245. a=41 b=50 c=89 s=420. 246. a=41 b=51 c=58 s=1020.

247. a=41 b=60 c=95 s=798. 248. a=41 b=66 c=85 s=1320.

249. a=41 b=84 c=85 s=1680. 250. a=41 b=87 c=104 s=1740.

251. a=41 b=104 c=105 s=2100. 252. a=42 b=56 c=70 s=1176.

253. a=42 b=75 c=75 s=1512. 254. a=42 b=82 c=100 s=1680.

255. a=43 b=61 c=68 s=1290. 256. a=44 b=52 c=80 s=1056.

257. a=44 b=65 c=87 s=1386. 258. a=44 b=75 c=97 s=1584.

16

259. a=45 b=45 c=54 s=972. 260. a=45 b=45 c=72 s=972.

261. a=45 b=50 c=85 s=900. 262. a=45 b=60 c=75 s=1350.

263. a=45 b=85 c=104 s=1872. 264. a=45 b=102 c=105 s=2268.

265. a=48 b=51 c=51 s=1080. 266. a=48 b=55 c=73 s=1320.

267. a=48 b=64 c=80 s=1536. 268. a=48 b=68 c=100 s=1440.

269. a=48 b=74 c=74 s=1680. 270. a=48 b=85 c=91 s=2016.

271. a=48 b=90 c=102 s=2160. 272. a=50 b=50 c=60 s=1200.

273. a=50 b=50 c=80 s=1200. 274. a=50 b=50 c=96 s=672.

275. a=50 b=58 c=72 s=1440. 276. a=50 b=65 c=65 s=1500.

277. a=50 b=66 c=104 s=1320. 278. a=50 b=68 c=78 s=1680.

279. a=50 b=69 c=73 s=1656. 280. a=50 b=76 c=102 s=1824.

281. a=50 b=78 c=80 s=1872. 282. a=50 b=85 c=105 s=2100.

283. a=50 b=102 c=104 s=2496. 284. a=51 b=51 c=90 s=1080.

285. a=51 b=52 c=53 s=1170. 286. a=51 b=52 c=97 s=840.

287. a=51 b=52 c=101 s=510. 288. a=51 b=53 c=100 s=714.

289. a=51 b=68 c=85 s=1734. 290. a=51 b=75 c=78 s=1836.

291. a=51 b=75 c=84 s=1890. 292. a=51 b=91 c=100 s=2310.

293. a=52 b=52 c=96 s=960. 294. a=52 b=56 c=60 s=1344.

295. a=52 b=61 c=87 s=1560. 296. a=52 b=70 c=102 s=1680.

297. a=52 b=73 c=75 s=1800. 298. a=52 b=80 c=84 s=2016.

299. a=53 b=53 c=56 s=1260. 300. a=53 b=53 c=90 s=1260.

301. a=53 b=75 c=88 s=1980. 302. a=53 b=85 c=104 s=2244.

303. a=54 b=58 c=104 s=1080. 304. a=54 b=60 c=102 s=1296.

305. a=54 b=72 c=90 s=1944. 306. a=55 b=55 c=66 s=1452.

307. a=55 b=55 c=88 s=1452. 308. a=55 b=65 c=100 s=1650.

309. a=55 b=104 c=105 s=2772. 310. a=56 b=61 c=75 s=1680.

311. a=56 b=100 c=100 s=2688. 312. a=57 b=65 c=68 s=1710.

313. a=57 b=76 c=95 s=2166. 314. a=57 b=82 c=89 s=2280.

315. a=58 b=58 c=80 s=1680. 316. a=58 b=58 c=84 s=1680.

317. a=58 b=70 c=96 s=2016. 318. a=60 b=60 c=72 s=1728.

319. a=60 b=60 c=96 s=1728. 320. a=60 b=63 c=87 s=1890.

321. a=60 b=73 c=91 s=2184. 322. a=60 b=78 c=78 s=2160.

323. a=60 b=80 c=100 s=2400. 324. a=61 b=69 c=100 s=2070.

325. a=61 b=74 c=87 s=2220. 326. a=61 b=91 c=100 s=2730.

327. a=63 b=84 c=105 s=2646. 328. a=64 b=68 c=68 s=1920.

329. a=65 b=65 c=66 s=1848. 330. a=65 b=65 c=78 s=2028.

331. a=65 b=65 c=104 s=2028. 332. a=65 b=68 c=101 s=2184.

333. a=65 b=68 c=105 s=2142. 334. a=65 b=70 c=75 s=2100.

335. a=65 b=72 c=97 s=2340. 336. a=65 b=76 c=87 s=2394.

337. a=65 b=87 c=88 s=2640. 338. a=65 b=100 c=105 s=3150.

339. a=68 b=75 c=77 s=2310. 340. a=68 b=87 c=95 s=2850.

341. a=68 b=100 c=104 s=3264. 342. a=70 b=70 c=84 s=2352.

343. a=70 b=91 c=91 s=2940. 344. a=70 b=95 c=101 s=3192.

345. a=72 b=85 c=85 s=2772. 346. a=73 b=73 c=96 s=2640.

347. a=74 b=78 c=104 s=2880. 348. a=75 b=75 c=90 s=2700.

349. a=75 b=86 c=97 s=3096. 350. a=76 b=85 c=105 s=3192.

351. a=78 b=82 c=100 s=3120. 352. a=78 b=84 c=90 s=3024.

17

353. a=78 b=95 c=97 s=3420. 354. a=80 b=80 c=96 s=3072.

355. a=80 b=85 c=85 s=3000. 356. a=80 b=104 c=104 s=3840.

357. a=85 b=85 c=102 s=3468. 358. a=89 b=99 c=100 s=3960.

359. a=91 b=98 c=105 s=4116. 360. a=96 b=102 c=102 s=4320.

2. Используя таблицу найти пифагоровы триады.

Пифагоровой триадой называется каждая тройка (a,b,c) натуральных

чисел, которая удовлетворяет уравнению .

Пифагоровы триады.

1. a=5 b=4 c=3 2. a=10 b=8 c=6

3. a=10 b=8 c=6 4. a=13 b=12 c=5

5. a=13 b=12 c=5 6. a=15 b=12 c=9

7. a=15 b=12 c=9 8. a=17 b=15 c=8

9. a=17 b=15 c=8 10. a=20 b=16 c=12

11. a=20 b=16 c=12 12. a=25 b=20 c=15

13. a=25 b=20 c=15 14. a=25 b=24 c=7

15. a=25 b=24 c=7 16. a=26 b=24 c=10

17. a=26 b=24 c=10 18. a=29 b=21 c=20

19. a=29 b=21 c=20 20. a=30 b=24 c=18

21. a=30 b=24 c=18 22. a=34 b=30 c=16

23. a=34 b=30 c=16 24. a=35 b=28 c=21

25. a=35 b=28 c=21 26. a=37 b=35 c=12

27. a=37 b=35 c=12 28. a=39 b=36 c=15

29. a=39 b=36 c=15 30. a=40 b=32 c=24

31. a=40 b=32 c=24 32. a=41 b=40 c=9

33. a=41 b=40 c=9 34. a=45 b=36 c=27

35. a=45 b=36 c=27 36. a=50 b=40 c=30

37. a=50 b=40 c=30 38. a=50 b=48 c=14

39. a=50 b=48 c=14 40. a=51 b=45 c=24

41. a=51 b=45 c=24 42. a=52 b=48 c=20

43. a=52 b=48 c=20 44. a=53 b=45 c=28

45. a=53 b=45 c=28 46. a=55 b=44 c=33

47. a=55 b=44 c=33 48. a=58 b=42 c=40

49. a=58 b=42 c=40 50. a=60 b=48 c=36

51. a=60 b=48 c=36 52. a=61 b=60 c=11

53. a=61 b=60 c=11 54. a=65 b=52 c=39

55. a=65 b=52 c=39 56. a=65 b=56 c=33

57. a=65 b=56 c=33 58. a=65 b=60 c=25

59. a=65 b=60 c=25 60. a=65 b=63 c=16

61. a=65 b=63 c=16 62. a=68 b=60 c=32

63. a=68 b=60 c=32 64. a=70 b=56 c=42

65. a=70 b=56 c=42 66. a=73 b=55 c=48

67. a=73 b=55 c=48 68. a=74 b=70 c=24

69. a=74 b=70 c=24 70. a=75 b=60 c=45

71. a=75 b=60 c=45 72. a=75 b=72 c=21

18

73. a=75 b=72 c=21 74. a=78 b=72 c=30

75. a=78 b=72 c=30 76. a=80 b=64 c=48

77. a=80 b=64 c=48 78. a=82 b=80 c=18

79. a=82 b=80 c=18 80. a=85 b=68 c=51

81. a=85 b=68 c=51 82. a=85 b=75 c=40

83. a=85 b=75 c=40 84. a=85 b=77 c=36

85. a=85 b=77 c=36 86. a=85 b=84 c=13

87. a=85 b=84 c=13 88. a=87 b=63 c=60

89. a=87 b=63 c=60 90. a=89 b=80 c=39

91. a=89 b=80 c=39 92. a=90 b=72 c=54

93. a=90 b=72 c=54 94. a=91 b=84 c=35

95. a=91 b=84 c=35 96. a=95 b=76 c=57

97. a=95 b=76 c=57 98. a=97 b=72 c=65

99. a=97 b=72 c=65 100. a=100 b=80 c=60

101. a=100 b=80 c=60 102. a=100 b=96 c=28

103. a=100 b=96 c=28 104. a=101 b=99 c=20

105. a=101 b=99 c=20 106. a=102 b=90 c=48

107. a=102 b=90 c=48

3. Используя таблицу, найти:

a) площадь треугольника;

	Стороны	Ответ
1. 2. 3. 4. 5. 6.	5 9 25 29 27 51	29 73 63 65 30 75	30 80 74 68 51 84	72 216 756 936 324 1890

б) одну из высот треугольника;

	Стороны	Высота	Ответ
1. 2. 3. 4. 5. 6.	7 9 9 10 35 40	15 10 40 10 78 51	30 80 74 68 51 84	большая большая средняя меньшая большая меньшая	12 8 9 8 72 24

19

в) радиус вписанной в треугольник окружности;

	Стороны	Ответ
1. 2. 3. 4. 5. 6.	15 15 14 16 17 26	15 20 30 52 87 52	24 25 40 60 100 63	12,5 12,5 25 32,5 72,5 32,5

г) радиус описанной около треугольника окружности,

	Стороны	Ответ
1. 2. 3. 4. 5. 6.	8 10 10 11 11 13	26 17 35 13 90 37	30 21 39 20 97 30	3 3,5 4 3 4 4,5

д) объём пирамиды.

Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 м, 8 м, 10 м, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Ответ: 40 м.

20

Заключение.

Пусть властно по своей орбите

Нас ритм сегодняшний кружит-

Вернее будущее видит

Лишь тот, кто прошлым дорожит.

О.Дмитриев.

Герон Александрийский (около I века) древнегреческий математик и механик; дал систематическое изложение основных достижений античности в математике и механике.

Общение, хотя и книжное, с великим Героном доставило мне радость от ощущения как бы сотворчества. Я наслаждался решением задач с помощью его формулы. Какая радость, когда решение найдешь самостоятельно! Ведь только в самостоятельном преодолении препятствий вырабатывается характер и появляется уверенность в собственных силах.

И в наше время, как и в далёком прошлом практика выдвигает перед математикой сложные задачи. Необходимо глубже и детальнее изучать явления окружающего нас мира и решать конкретные практические задачи. Для этого необходимо не только безукоризненно владеть теми знаниями, которые человечество приобрело в прошлом, но и находить, открывать новые средства математического исследования.

И если эта работа хотя бы в некоторой степени поможет кому-то в познании мира геометрических фигур, я буду считать, что писал её не напрасно.

21

Список литературы.

1. А.Д Александров и др. “Геометрия для 8-9 классов”.

Москва, “Просвещение”, 1991.

2. “Энциклопедический словарь юного математика”.

Москва, “Педагогика”, 1985.

3. “Математика в школе”, №3, 1983.

“Математика в школе”, №4, 1984.

“Математика в школе”, №1, 1990.

“Математика в школе”, №2, 1995.

“Математика в школе”, №5, 1995.

4. “Словарь античности”, Москва, “Прогресс”, 1989.

5. “Большая Советская энциклопедия”, Москва, “Современная энциклопедия”, 1971.

6. “Всемирная история 500 биографий”, Москва, “Современник”, 2000.

7. “Как решать задачу”, Д.Пойа, Львов, “Квантор”, 1991.