Реферат: Формула Герона и героновы тетрады - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Формула Герона и героновы тетрады

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 4355 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Министерство образования РБ Городской отдел образования Средняя общеобразовательная школа №22 Научно-исследовательская работа н а тему « Формула Герона и героновы тетрады » . Выполнил Зарубежнов Сергей ученик 10 А класса, СОШ № 22 Научный руководитель Рыцева О.Н., учитель математики СОШ №22 г. Октябрьский 2005г. Сколько тайн, на формулах распятых, Нам раскроют завтрашние дни. В.Михановский . Да, много решено загадок От прадеда и до о тца, И нам с тобой продолжи ть надо Тропу, которой нет конца. В.Ноздрев. Соде ржание . Введение. I. Теоретическая часть . Формула Герона и героновы тетрады. 1. Герон Александрийский и его формула. 2. Вывод формулы: 1 ) I способ . 2 ) II способ . 3 ) III способ . 4) IV способ (открытие). 3. Геронов определитель. 4. Задача Герона и её решение . 1) I способ. 2) II способ. 3) III способ. 4) IV способ. II . Практическая часть. Задачи. 1. Составить таблицу героновых тетрад. 2. Н айти в таблице пифагоровы триады. 3. Используя таб лицу, найти: а) площадь треугольника ; б) одну из высот треугольник а ; в) радиус вписанной в треугольник окружности ; г) радиус описанной около треугольника окружности ; д) объём пирамиды; Заключение. Список литератур ы . Введение. С разнообразными геометрическими фигурами, с измерением длин, площадей и объёмов людям приходилось иметь дело с незапамятных времён. В практических наблюдениях они подмечали различные геометрические закономерности. Для наблюдательного человека даже п ростые срезы растений - к расивые геометрические фигуры: Геометрия трав. Математик , несбывшийся странник, о глядись, удивляясь стократ: в травах - срез вол чи цы - пятигранник, а сечень е душицы – квадрат. Всё на свете покажется внове под гольцом, чья вершина в снегу: в одосбор – треуголен в основе н а цветущем альпийском лугу! Где же круг? Возле иглистой розы , т ам, где луг поднебесный скалист, вижу , с ветром игр ае т берёзы треугольно - ромбический лист. Равиль Бух ар а ев. Познавать мир геометрических фигур, особенно треугольников, - занятие, приносящее высокое духовное удовлетворение. Треугольники являются как бы стержнем, вокруг которого формируется круг элементарной геометрии. Это не случайно. Несмотря на то , что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интересных свойств . Треугольникам уделяли внимание многие выдающиеся ученые: Пифагор, Герон, Торричелли, Эйлер, Гаусс и др. Многочисленные и самые разнообразные приложения формулы Герона сделали её чрезвычайно важным и и нтересным объектом исследования . Цель этой р аботы - и зучение способов доказательства формулы Герона, составление таблицы героновых тетрад , решение задач с помощью этой таблицы. 3 I. Теоретическая часть. Формула Герона и героновы тетрады. 1. Герон Александрийский и его формула. Формула Герона – формула, выражающая площадь треугольника( S ) через его стороны a , b , c : , где . Ученый, чьё имя носит эта формула, работал в Александрии, вероятно, в 1 в. н . э. Его в основном интересовали практические приложения математики, поэтому большинство известных ему математических результатов он излагал, не доказывая и даже не формулируя, а прямо применяя их к решению конкретных задач. Но способ вычисления площади треугольника по его сторонам он изложил с доказательством и даже не в одной, а в двух своих книгах “Метрика” и “Диоптра”. Его математические работы - своеобразная энциклопедия античной прикладной математики. 2. Вывод формулы Для произвольного треугольника верны следующие соотношения: , (теорема синусов), , (теорема косинусов), S = pr , . I способ. Приведем доказательство Герона в современном изложении и в современных обозначениях, но без каких- либо других существенных изменений. В треугольник АВС впишем окружность с центром H , которая касается его сторон АВ, ВС и АС в точках D ,Е и F . Площадь S треугольника АВС равна сумме площадей треугольников АНВ, ВНС и СНА, то есть . 4 Поскольку , и то , а значит, S = pr , где p - полупериметр треугольника AB C, r - радиус его вписанной окружности. Отложим на луче СВ точку G так, что CG = p . Тогда BG = AD . В результате получаем S 2 =( pr ) 2 = CG 2 * EH 2 . Рассмотрим теперь точку L , в которой пересекаются перпендикуляры, восставленные в точках В и H к прямым ВС и НС соответственно. Точки В и H лежат на окружности с диаметром С L , поэтому Выделим теперь пары равных углов: BHE и BHD , СНЕ и СН F , АН D и АН F . Сумма всех этих углов равна 360°. Следовательно, Из равенств легко видеть, что углы AHD и C LB равны. Тогда треугольники AHD и CLB подобны. Поэтому ВС : BL .= AD : DH = BG : HE , отсюда ВС : BG = BL : НЕ . Из подобия треугольников BLK и EHK получаем BL : HE = ВК : КЕ . Из двух последних пропорций имеем ВС : BG = ВК : КЕ , или ( ВС + В G ): В G = ( ВК + КЕ ): КЕ, т. е. CG : BG = B Е : КЕ . Отсюда С G 2 :(CG*BG)=(BE*EC):(KE*EC) или С G 2 =((BE*EC):(KE*EC))*(CG*BG) Треугольник КСН прямоугольный, поэтому КЕ*ЕС = НЕ 2 . В итоге получаем S 2 =CG 2 *HE 2 =CG*BG*BE*EC=p(p-a)(p-b)(p-c) . 5 способ . В настоящее время формула Герона доказывается в несколько строк. При традиционных обозначениях имеем: , ( a 2 + b 2 - c 2 )/2 ab . Тогда = = = . В. Прасколов «Математика в школе» № 1.1990. С пособ . Способ, в котором ключевой момент доказательства – применение формулы площади треугольника Найдем сначала высоту AD треугольника ABC, проведенную к большей его стороне BC. Положим BC = a , AC = c , BA = c , AD = ha , BD = x , СВ = a - x . По теореме Пифагора AD 2 = AB 2 - BD 2 и AD 2 = AC 2 - CD 2 . Поэтому AB 2 - BD 2 = AC 2 - CD 2 , т.е. c 2 - x 2 = b 2 -( a - x ) 2 . Из этого уравнения получ и м, что 2 ax = a 2 + c 2 - b 2 . Поскольку AD 2 = AB 2 - BD 2 , то = c 2 - x 2 и . Ра з л ожим числител ь на множители : . Так как a + b + c =2 p , то a + b - c =2 p -2 с , a + с - b =2 p -2 b , b + c - a =2 p -2 a . Окончательно . 6 Подставляя в формулу выражение для h , получим . А.Александров и др. «Геометрия для 8-9 классов», 1991. IV . Способ.(открытие). Пусть ABC -треугольник со сторонами a , b , c . Известно, что , где R -радиус описанной около треугольника окружности. Найдем 4 R : . Так как , то По теореме косинусов имеем Из основного тригонометрического тождества находим: = = = . Если подставить это выражение в формулу получим: = = Итак . Если a , b , c иррациональны, то вычислять площадь треуг ольника более удобно по формуле: S = . Следствие. Если треугольник равнобедренный с основанием a и боковой стороной b , то . Доказательство. S = = = = . 7 3.Геронов определитель . Известна формула, выражающая площадь треугольника через координаты его вершин: A ( x 1 ; y 1 ), B ( x 2 ; y 2 ), C ( x 3 ; y 3 ): . Так как длины сторон треугольника BC = a , AC = b , AB = c связаны с координатами его вершин формулами: a 2 =( x 2 - x 3 ) 2 + ( y 2 - y 3 ) 2 , b 2 =(x 1 -x 3 ) 2 + (y 1 -y 3 ) 2 , c 2 =( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 . то попробуем записать формулу Герона в виде определителя, элементами которого являются a , b , c и, может быть, число. После некоторых поисков подходящей комбинации напишем по кругу по часовой стрелке величины: a , b , c , 0 и составим из них определитель D : . Структура его такова: первая строка начинается с a , и элементы идут по часовой стрелке; вторая строка начинается с b , и элементы идут против часовой стрелки; третья строка начинается с c , и элементы идут опять по часовой стрелке; четвертая строка начинается с нуля, и элементы идут против часовой стрелки. Отметим также, что i -я строка определителя (i=1, 2, 3, 4) совпадает с его i-м столбцом. Легко получить, что D = a 4 + b 4 + c 4 -2 a 2 b 2 -2 b 2 c 2 -2 a 2 c 2 . Из формулы Герона S = выводим: 16S 2 =2a 2 b 2 +2a 2 c 2 +2b 2 c 2 -a 4 -b 4 -c 4 , Следовательно , . Площадь треугольника удобнее, конечно, вычислять по формуле Герона, записанной в традиционном виде. В.Дроздов «Математика в школе» № 5.1995. 8 4. Задача Герона . Треугольники, у которых длины сторон и площадь являются целыми числами, называются треугольниками Герона. Он рассматривал треугольники со сторонами 13,14,15 и 5,12,13, площади которых соответственно равны 84 и 30. Задача. Найти целочисленные сто роны треугольника, чтобы площадь его была также целочисленна. Решен ие . I способ. Т еорема. Если стороны треугольника a , b . c и a = mk + nl , b = ml + nk , c =( m - n )( k + l ) или , c =( m + n )( k - l ) а произведение целочисленных компонент m, n, k, l , является кв адратом какого-либо числа ( q 2 =mnkl 1 ), то площадь треугольника целоч исленна . Следств ие 1. Если отношение компонент или , то треугольник прямоугольный . Следстви е 2. Если компоненты m=n или k=l , то треугольник равнобедренный. Следстви е 3. Если компоненты m=n и k=l , то решения нет, т. е. не существует равнобедренных прямо угольных треугольников с целочисленными площадью и сто ронами. Следстви е 4. Величины сторон треугольника огран ичены снизу, верхнего ограничения величин сторон нет. Наименьшие треугольники ( q = 2): прямоугольный со сто ронами 3, 4. 5; равнобедренный со сторонами 5, 5, 6. 1. Число q представляется в виде произведения простых множителей. 2. Составляется спектр матриц по q 2 : 3. Определяется по м атрице вид треугольника (прямо угольный, равнобедренный , косо угольный) и проводится вы числение сторон и площади треугольника по формулам: , , , ; , . Ввиду того, что сторона выраже на двумя равенствами, результато м решения фа ктически являются два косоуголь ных треугольника с одинаковыми двумя сторонами ( и ) и разными третьими ( и ) . Например, а = 15, b = 13, с = (4; 14), что соответствует паре треугольников со сторонами 4, 13, 15 и 14, 13, 15. Д ля п рямоугольных треугольников с 1 = с 2 , для равнобедренных с 1 = с , с 2 = 0 или наоборот. 9 Пример. 1. q 2 = 6 2 =3 2 * 2 2 . 2. Спектр матриц по q 2 = 6 2 3. Вычисление сторон: =9 * 2+2 * 1=20, =9 * 1+2 * 2=13, =11 * 1=11, = 7 * 3=21, 22, = 6 * 11= =66, 27, =6 * 21= =126 , Треугольники: . Площади: =66 и =126. В результате решения всего спектра матриц получ ается группа треугольников по q = 6. Б.Потапов. «Математика в школе» № 2,1995. способ. Далее используем иное ст роение ключевого параметра q = n 1 2 - n 2 2 , n 1 , n 2 произвол ьные натуральные числа . Любая пара ( m 1 , m 2 ) возможны х натуральных множителей числа q порожда ет одну или две героновые тетрады ( a 1 , b , c , S 1 ) и ( a 2 , b , c , S 2 ) по формулам: и , , , , . П ример. Пусть = 5, = 3. Тогда q = 25 -9= 16= 16 * 1=8 * 2=4 * 4. Д ля =16, =1 имеем: a 1 = 6 * 17 = 102, a 2 = 10 * 15=150. b =85-45=40, c =85+45=130. Уменьшал пропорционально полученные размеры сторон, обра зуем две тетрады: (51; 20; 65; =408) и (15; 4; 13; = 24). Д ля = 8, = 2 и = = 4 получае м по одной тетраде (15; 8; 17; =60) и (6; 5; 5; = 12). 10 способ . Имеются ещё формулы, производящие героновы тетрады: , , и получающиеся из них выраж ения для p и S : , . Пара метрам где , можно придавать произволь ные натуральные значения. Параметр играет роль коэффициента подобия. Так, например, при , формулы про изводят триаду ( ) и при = 1/2 - геро нову триаду из взаимно простых чисел ( a ; b ; c )=(5; 5; 8). Однако эти формулы все ж е не обес печивают весь ряд героновых тетрад на множестве натуральных и даже рациональных значений . Так, тетра ду (15; 26; 37 ;156 ) мо жно получить тол ько при иррациональных зна чениях параметров, например, при , , и . А теперь рассмотрим решение уравнения S = . Предположим, что стороны а, b , с и площадь S косо угольн ого треугольника АВС - раци о н а ль ные числа, причем а< b < с вследст вие чего, равно как и в случае a = b , углы А и В - острые. Из теоремы косинусов и формулы площади следует , что косинусы и синусы углов такого треугольника так же рациональны. Если, например, , , то , . где m >1, n >1 - рациональные числа. Тогда п о теореме синусов , откуда, например, , , где t - к оэффициент подобия. Д алее, откуда и . Общность решений уравнения S = в ра циональных чис лах следует из того, что для лю бых рациональных а, b , с и S , удовлетворяющих этому урав нению, всегда существуют таки е рациональные значения m , n и t , при которых по формулам получаются именно эти числа а, b , с, и S . В самом деле, по заданным а, b , с и S однозначно определяются , , , . В то же время , , откуда , , . 11 Пример. Дано: а =15, b =26, c =37, S = 156. Найти подходящие значения для n , m , и t . В ычисляем: , , m =6, , . Пр оверка. По формулам находим: , аналогично b =26, с =37, S =1 56. Теперь для получения формул, п роизводящ их все возможн ые героновы тетра ды непосредственно при натуральных значениях параметров и с оответствую щем выборе коэфф ициента подобия, достаточно в (1) и (2 ) заменить m на m / n , n на p / q ( m , n , p , q ) и положить где коэффициент подобия . Тогда , , , , где mp > nq . Б.Кордемский «Математика в школе» №4 ,1984. IV Способ. Существует красивое геометрическое решение задачи Герона. Рассмотрим произвольный Геронов треугольник, в котором проведем высоту с основанием, принадлежащем стороне треугольника, а не её продолжени ю ( такая высота существует в любом треугольнике). Высота геронова треугольника, вообще говоря, число дробное, поэтому возьмем Геронов треугольник, подобный первоначальному, высота которого выражается натуральным числом. Нетрудно доказать, что длины отрезков x и y , на которые высота разбивает сторону c ,-натуральные числа. Из рисунка следует равенство: Обозначив для краткости , , где и - натуральные числа, получим равенство . Уединим радикал и возведем последнее равенство в квадрат. В результате имеем: . 12 Это равенство возможно только в том случае, если -квадрат натурального числа. Аналогично убеждаемся, что и -квадрат натурального числа. Таким образом, г еронов треугольник оказался разбитым на два пифагоровых. Учитывая, что - их общий катет, по формулам пифагоровых троек имеем: , , , , . Тогда и площадь . Формулы , , не определяют героновых треугольников с дробными высотами. Чтобы получить все героновы треугольники, введем в последние формулы рациональный коэффициент подобия (что возможно, так как мы рассматриваем геронов треугольник, подобный первоначальному). Итак, следующие формулы дают героновы тройки: , , где m , n , p , q , -любые натуральные числа, удовлетворяющие условию mp > nq , -все рациональные числа такие, что a , b , c -натуральные. Площадь геронова треугольника . Можно вывести и другие формулы, определяющие героновы треугольники. Если записать общий катет то, , , , п ричем . Если положить, , то имеем формулы , , , при этом . Взяв, например, в последних формулах p =3, q =2, m =2, n =1, =1, найдем одну из бесконечного множества героновых тетрад: (39,25,56, 420 ) . Треугольники Герона используются в большом числе разн ообразных задач. 13 II . Практическая часть. Задачи. 1. Составить таблицу героновых тетрад. Решение. Героновой тетрадой называют всякое решение задачи Герона (стороны треугольника и его площадь – натуральные числа). С помощью формул и , , , , . найдем героно вы тетрады. Их в этой таблице 36 0. Ге роновы тетрады . 1. a =3 b =4 c =5 s =6. 2. a=3 b=25 c=26 s=36. 3. a=4 b=13 c=15 s=24. 4. a=4 b=51 c=53 s=90. 5. a=5 b=5 c=6 s=12. 6. a=5 b=5 c=8 s=12. 7. a=5 b=12 c=13 s=30. 8. a=5 b=29 c=30 s=72. 9. a=5 b=51 c=52 s=126. 10. a=6 b=8 c=10 s=24. 11. a=6 b=25 c=29 s=60. 12. a=6 b=50 c=52 s=144. 13. a=7 b=15 c=20 s=42. 14. a=7 b=24 c=25 s=84. 15. a=7 b=65 c=68 s=210. 16. a=8 b=15 c=17 s=60. 17. a=8 b=26 c=30 s=96. 18. a=8 b=29 c=35 s=84. 19. a=9 b=10 c=17 s=36. 20. a=9 b=12 c=15 s=54. 21. a=9 b=40 c=41 s=180. 22. a=9 b=65 c=70 s=252. 23. a=9 b=73 c=80 s=216. 24. a=9 b=75 c=78 s=324. 25. a=10 b=10 c=12 s=48. 26. a=10 b=10 c=16 s=48. 27. a=10 b=13 c=13 s=60. 28. a=10 b=17 c=21 s=84. 29. a=10 b=24 c=26 s=120. 30. a=10 b=35 c=39 s=168. 31. a=10 b=58 c=60 s=288. 32. a=10 b=102 c=104 s=504. 33. a=11 b=13 c=20 s=66. 34. a=11 b=25 c=30 s=132. 35. a=11 b=60 c=61 s=330. 36. a=11 b=90 c=97 s=396. 37. a=12 b=16 c=20 s=96. 38. a=12 b=17 c=25 s=90. 39. a=12 b=35 c=37 s=210. 40. a=12 b=39 c=45 s=216. 41. a=12 b=50 c=58 s=240. 42. a=12 b=55 c=65 s=198. 43. a=12 b=100 c=104 s=576. 44. a=13 b=13 c=24 s=60. 45. a=13 b=14 c=15 s=84. 46. a=13 b=20 c=21 s=126. 47. a=13 b=30 c=37 s=180. 48. a=13 b=37 c=40 s=240. 49. a=13 b=40 c=45 s=252. 50. a=13 b=40 c=51 s=156. 51. a=13 b=68 c=75 s=390. 52. a=13 b=84 c=85 s=546. 53. a=14 b=25 c=25 s=168. 54. a=14 b=30 c=40 s=168. 55. a=14 b=48 c=50 s=336. 56. a=14 b=61 c=65 s=420. 57. a=15 b=15 c=18 s=108. 58. a=15 b=15 c=24 s=108. 59. a=15 b=20 c=25 s=150. 60. a=15 b=26 c=37 s=156. 61. a=15 b=28 c=41 s=126. 62. a=15 b=34 c=35 s=252. 63. a=15 b=36 c=39 s=270. 64. a=15 b=37 c=44 s=264. 65. a=15 b=41 c=52 s=234. 66. a=15 b=52 c=61 s=336. 67. a=15 b=87 c=90 s=648. 68. a=16 b=17 c=17 s=120. 69. a=16 b=25 c=39 s=120. 70. a=16 b=30 c=34 s=240. 14 71. a=16 b=52 c=60 s=384. 72. a=16 b=58 c=70 s=336. 73. a=16 b=63 c=65 s=504. 74. a=17 b=17 c=30 s=120. 75. a=17 b=25 c=26 s=204. 76. a=17 b=25 c=28 s=210. 7 7. a=17 b=28 c=39 s=210. 78. a=17 b=39 c=44 s=330. 79. a=17 b=40 c=41 s=336. 80. a=17 b=55 c=60 s=462. 81. a=17 b=65 c=80 s=288. 82. a=17 b=87 c=100 s=510. 83. a=17 b=89 c=90 s=756. 84. a=18 b=20 c=34 s=144. 85. a=18 b=24 c=30 s=216. 86. a=18 b=41 c=41 s=360. 87. a=18 b=75 c=87 s=540. 88. a=18 b=80 c=82 s=720. 89. a=19 b=20 c=37 s=114. 90. a=19 b=60 c=73 s=456. 91. a=20 b=20 c=24 s=192. 92. a=20 b=20 c=32 s=192. 93. a=20 b=21 c=29 s=210. 94. a=20 b=26 c=26 s=240. 95. a=20 b=34 c=42 s=336. 96. a=20 b=37 c=51 s=306. 97. a=20 b=48 c=52 s=480. 9 8. a=20 b=51 c=65 s=408. 99. a=20 b=53 c=55 s=528. 100. a=20 b=65 c=75 s=600. 101. a=20 b=70 c=78 s=672. 102. a=20 b=99 c=101 s=990. 103. a=21 b=28 c=35 s=294. 104. a=21 b=41 c=50 s=420. 105. a=21 b=45 c=60 s=378. 106. a=21 b=61 c=68 s=630. 107. a=21 b=72 c=75 s=756. 108. a=21 b=82 c=89 s=840. 109. a=21 b=85 c=104 s=420. 110. a=22 b=26 c=40 s=264. 111. a=22 b=50 c=60 s=528. 112. a=22 b=61 c=61 s=660. 113. a=22 b=85 c=91 s=924. 114. a=24 b=32 c=40 s=384. 115. a=24 b=34 c=50 s=360. 116. a=24 b=35 c=53 s=336. 117. a=24 b=37 c=37 s=420. 118. a=24 b=45 c=51 s=540. 119. a=24 b=70 c=74 s=840. 120. a=24 b=78 c=90 s=864. 121. a=24 b=87 c=105 s=756. 122. a=25 b=25 c=30 s=300. 123. a=25 b=25 c=40 s=300. 124. a=25 b=25 c=48 s=168. 125. a=25 b=29 c=36 s=360. 126. a=25 b=33 c=52 s=330. 127. a=25 b=34 c=39 s=420. 128. a=25 b=38 c=51 s=456. 129. a=25 b=39 c=40 s=468. 130. a=25 b=39 c=56 s=420. 131. a=25 b=51 c=52 s=624. 132. a=25 b=51 c=74 s=300. 133. a=25 b=52 c=63 s=630. 134. a=25 b=60 c=65 s=750. 135. a=25 b=63 c=74 s=756. 136. a=25 b=74 c=77 s=924. 137. a=25 b=84 c=101 s=840. 138. a=26 b=26 c=48 s=240. 139. a=26 b=28 c=30 s=336. 140. a=26 b=35 c=51 s=420. 141. a=26 b=40 c=42 s=504. 142. a=26 b=51 c=55 s=660. 143. a=26 b=51 c=73 s=420. 144. a=26 b=60 c=74 s=720. 145. a=26 b=74 c=80 s=960. 146. a=26 b=75 c=91 s=840. 147. a=26 b=80 c=90 s=1008. 148. a=26 b=80 c=102 s=624. 149. a=26 b=85 c=85 s=1092. 150. a=27 b=29 c=52 s=270. 151. a=27 b=30 c=51 s=324. 152. a=27 b=36 c=45 s=486. 153. a=28 b=45 c=53 s=630. 154. a=28 b=50 c=50 s=672. 155. a=28 b=60 c=80 s=672. 156. a=28 b=65 c=89 s=546. 157. a=28 b=91 c=105 s=1176. 158. a=28 b=96 c=100 s=1344. 159. a=29 b=29 c=40 s=420. 160. a=29 b=29 c=42 s=420. 161. a=29 b=35 c=48 s=504. 162. a=29 b=52 c=69 s=690. 163. a=29 b=52 c=75 s=546. 164. a=29 b=60 c=85 s=522. 15 165. a=29 b=65 c=68 s=936. 166. a=29 b=75 c=92 s=966. 167. a=29 b=78 c=101 s=780. 168. a=30 b=30 c=36 s=432. 169. a=30 b=30 c=48 s=432. 170. a=30 b=39 c=39 s=540. 171. a=30 b=40 c=50 s=600. 172. a=30 b=51 c=63 s=756. 173. a=30 b=52 c=74 s=624. 174. a=30 b=56 c=82 s=504. 175. a=30 b=68 c=70 s=1008. 176. a=30 b=72 c=78 s=1080. 177. a=30 b=74 c=88 s=1056. 178. a=30 b=82 c=104 s=936. 179. a=31 b=68 c=87 s=930. 180. a=32 b=34 c=34 s=480. 181. a=32 b=50 c=78 s=480. 182. a=32 b=53 c=75 s=720. 183. a=32 b=60 c=68 s=960. 184. a=32 b=65 c=65 s=1008. 185. a=33 b=34 c=65 s=264. 186. a=33 b=39 c=60 s=594. 187. a=33 b=41 c=58 s=660. 188. a=33 b=44 c=55 s=726. 189. a=33 b=56 c=65 s=924. 190. a=33 b=58 c=85 s=660. 191. a=33 b=75 c=90 s=1188. 192. a=34 b=34 c=60 s=480. 193. a=34 b=50 c=52 s=816. 194. a=34 b=50 c=56 s=840. 195. a=34 b=55 c=87 s=396. 196. a=34 b=61 c=75 s=1020. 197. a=34 b=65 c=93 s=744. 198. a=34 b=78 c=88 s=1320. 199. a=34 b=80 c=82 s=1344. 200. a=35 b=35 c=42 s=588. 201. a=35 b=35 c=56 s=588. 202. a=35 b=44 c=75 s=462. 203. a=35 b=52 c=73 s=840. 204. a=35 b=53 c=66 s=924. 205. a=35 b=65 c=82 s=1092. 206. a=35 b=73 c=102 s=840. 207. a=35 b=75 c=100 s=1050. 208. a=35 b=78 c=97 s=1260. 209. a=35 b=84 c=91 s=1470. 210. a=36 b=40 c=68 s=576. 211. a=36 b=48 c=60 s=864. 212. a=36 b=51 c=75 s=810. 213. a=36 b=61 c=65 s=1080. 214. a=36 b=77 c=85 s=1386. 215. a=36 b=82 c=82 s=1440. 216. a=37 b=37 c=70 s=420. 217. a=37 b=39 c=52 s=720. 218. a=37 b=72 c=91 s=1260. 219. a=37 b=91 c=96 s=1680. 220. a=37 b=100 c=105 s=1848. 221. a=38 b=40 c=74 s=456. 222. a=38 b=65 c=87 s=1140. 223. a=39 b=39 c=72 s=540. 224. a=39 b=41 c=50 s=780. 225. a=39 b=42 c=45 s=756. 226. a=39 b=52 c=65 s=1014. 227. a=39 b=55 c=82 s=924. 228. a=39 b=58 c=95 s=456. 229. a=39 b=60 c=63 s=1134. 230. a=39 b=62 c=85 s=1116. 231. a=39 b=80 c=89 s=1560. 232. a=39 b=85 c=92 s=1656. 233. a=40 b=40 c=48 s=768. 234. a=40 b=40 c=64 s=768. 235. a=40 b=42 c=58 s=840. 236. a=40 b=51 c=77 s=924. 237. a=40 b=52 c=52 s=960. 238. a=40 b=68 c=84 s=1344. 239. a=40 b=74 c=102 s=1224. 240. a=40 b=75 c=85 s=1500. 241. a=40 b=96 c=104 s=1920. 242. a=40 b=101 c=101 s=1980. 243. a=41 b=41 c=80 s=360. 244. a=41 b=50 c=73 s=984. 245. a=41 b=50 c=89 s=420. 246. a=41 b=51 c=58 s=1020. 247. a=41 b=60 c=95 s=798. 248. a=41 b=66 c=85 s=1320. 249. a=41 b=84 c=85 s=1680. 250. a=41 b=87 c=104 s=1740. 251. a=41 b=104 c=105 s=2100. 252. a=42 b=56 c=70 s=1176. 253. a=42 b=75 c=75 s=1512. 254. a=42 b=82 c=100 s=1680. 255. a=43 b=61 c=68 s=1290. 256. a=44 b=52 c=80 s=1056. 257. a=44 b=65 c=87 s=1386. 258. a=44 b=75 c=97 s=1584. 16 259. a=45 b=45 c=54 s=972. 260. a=45 b=45 c=72 s=972. 261. a=45 b=50 c=85 s=900. 262. a=45 b=60 c=75 s=1350. 263. a=45 b=85 c=104 s=1872. 264. a=45 b=102 c=105 s=2268. 265. a=48 b=51 c=51 s=1080. 266. a=48 b=55 c=73 s=1320. 267. a=48 b=64 c=80 s=1536. 268. a=48 b=68 c=100 s=1440. 269. a=48 b=74 c=74 s=1680. 270. a=48 b=85 c=91 s=2016. 271. a=48 b=90 c=102 s=2160. 272. a=50 b=50 c=60 s=1200. 273. a=50 b=50 c=80 s=1200. 274. a=50 b=50 c=96 s=672. 275. a=50 b=58 c=72 s=1440. 276. a=50 b=65 c=65 s=1500. 277. a=50 b=66 c=104 s=1320. 278. a=50 b=68 c=78 s=1680. 279. a=50 b=69 c=73 s=1656. 280. a=50 b=76 c=102 s=1824. 281. a=50 b=78 c=80 s=1872. 282. a=50 b=85 c=105 s=2100. 283. a=50 b=102 c=104 s=2496. 284. a=51 b=51 c=90 s=1080. 285. a=51 b=52 c=53 s=1170. 286. a=51 b=52 c=97 s=840. 287. a=51 b=52 c=101 s=510. 288. a=51 b=53 c=100 s=714. 289. a=51 b=68 c=85 s=1734. 290. a=51 b=75 c=78 s=1836. 291. a=51 b=75 c=84 s=1890. 292. a=51 b=91 c=100 s=2310. 293. a=52 b=52 c=96 s=960. 294. a=52 b=56 c=60 s=1344. 295. a=52 b=61 c=87 s=1560. 296. a=52 b=70 c=102 s=1680. 297. a=52 b=73 c=75 s=1800. 298. a=52 b=80 c=84 s=2016. 299. a=53 b=53 c=56 s=1260. 300. a=53 b=53 c=90 s=1260. 301. a=53 b=75 c=88 s=1980. 302. a=53 b=85 c=104 s=2244. 303. a=54 b=58 c=104 s=1080. 304. a=54 b=60 c=102 s=1296. 305. a=54 b=72 c=90 s=1944. 306. a=55 b=55 c=66 s=1452. 307. a=55 b=55 c=88 s=1452. 308. a=55 b=65 c=100 s=1650. 309. a=55 b=104 c=105 s= 2772. 310. a=56 b=61 c=75 s=1680. 311. a=56 b=100 c=100 s=2688. 312. a=57 b=65 c=68 s=1710. 313. a=57 b=76 c=95 s=2166. 314. a=57 b=82 c=89 s=2280. 315. a=58 b=58 c=80 s=1680. 316. a=58 b=58 c=84 s=1680. 317. a=58 b=70 c=96 s=2016. 318. a=60 b=60 c=72 s=1728. 319. a=60 b=60 c=96 s=1728. 320. a=60 b=63 c=87 s=1890. 321. a=60 b=73 c=91 s=2184. 322. a=60 b=78 c=78 s=2160. 323. a=60 b=80 c=100 s=2400. 324. a=61 b=69 c=100 s=2070. 325. a=61 b=74 c=87 s=2220. 326. a=61 b=91 c=100 s=2730. 327. a=63 b=84 c=105 s=2646. 328. a=64 b=68 c=68 s=1920. 329. a=65 b=65 c=66 s=1848. 330. a=65 b=65 c=78 s=2028. 331. a=65 b=65 c=104 s=2028. 332. a=65 b=68 c=101 s=2184. 333. a=65 b=68 c=105 s=2142. 334. a=65 b=70 c=75 s=2100. 335. a=65 b=72 c=97 s=2340. 336. a=65 b=76 c=87 s=2394. 337. a=65 b=87 c=88 s=2640. 338. a=65 b=100 c=105 s=3150. 339. a=68 b=75 c=77 s=2310. 340. a=68 b=87 c=95 s=2850. 341. a=68 b=100 c=104 s=3264. 342. a=70 b=70 c=84 s=2352. 343. a=70 b=91 c=91 s=2940. 344. a=70 b=95 c=101 s=3192. 345. a=72 b=85 c=85 s=2772. 346. a=73 b=73 c=96 s=2640. 347. a=74 b=78 c=104 s=2880. 348. a=75 b=75 c=90 s=2700. 349. a=75 b=86 c=97 s=3096. 350. a=76 b=85 c=105 s=3192. 351. a=78 b=82 c=100 s=3120. 352. a=78 b=84 c=90 s=3024. 17 353. a=78 b=95 c=97 s=3420. 354. a=80 b=80 c=96 s=3072. 355. a=80 b=85 c=85 s=3000. 356. a=80 b=104 c=104 s=3840. 357. a=85 b=85 c=102 s=3468. 358. a=89 b=99 c=100 s=3960. 359. a=91 b=98 c=105 s=4116. 360. a=96 b=102 c=102 s=4320. 2. Используя таблицу найти пифагоровы триады. Пифагоровой триадой называется каждая тройка ( a , b , c ) натуральных чисел, которая удовлетворяет уравнению . Пифагоровы тр иады . 1. a =5 b =4 c =3 2. a =10 b =8 c =6 3. a=10 b=8 c=6 4. a=13 b=12 c=5 5. a=13 b=12 c=5 6. a=15 b=12 c=9 7. a=15 b=12 c=9 8. a=17 b=15 c=8 9. a=17 b=15 c=8 10. a=20 b=16 c=12 11. a=20 b=16 c=12 12. a=25 b=20 c=15 13. a=25 b=20 c=15 14. a=25 b=24 c=7 15. a=25 b=24 c=7 16. a=26 b=24 c=10 17. a=26 b=24 c=10 18. a=29 b=21 c=20 19. a=29 b=21 c=20 20. a=30 b=24 c=18 21. a=30 b=24 c=18 22. a=34 b=30 c=16 23. a=34 b=30 c=16 24. a=35 b=28 c=21 25. a=35 b=28 c=21 26. a=37 b=35 c=12 27. a=37 b=35 c=12 28. a=39 b=36 c=15 29. a=39 b=36 c=15 30. a=40 b=32 c=24 31. a=40 b=32 c=24 32. a=41 b=40 c=9 33. a=41 b=40 c=9 34. a=45 b=36 c=27 35. a=45 b=36 c=27 36. a=50 b=40 c=30 37. a=50 b=40 c=30 38. a=50 b=48 c=14 39. a=50 b=48 c=14 40. a=51 b=45 c=24 41. a=51 b=45 c=24 42. a=52 b=48 c=20 43. a=52 b=48 c=20 44. a=53 b=45 c=28 45. a=53 b=45 c=28 46. a=55 b=44 c=33 47. a=55 b=44 c=33 48. a=58 b=42 c=40 49. a=58 b=42 c=40 50. a=60 b=48 c=36 51. a=60 b=48 c=36 52. a=61 b=60 c=11 53. a=61 b=60 c=11 54. a=65 b=52 c=39 55. a=65 b=52 c=39 56. a=65 b=56 c=33 57. a=65 b=56 c=33 58. a=65 b=60 c=25 59. a=65 b=60 c=25 60. a=65 b=63 c=16 61. a=65 b=63 c=16 62. a=68 b=60 c=32 63. a=68 b=60 c=32 64. a=70 b=56 c=42 65. a=70 b=56 c=42 66. a=73 b=55 c=48 67. a=73 b=55 c=48 68. a=74 b=70 c=24 69. a=74 b=70 c=24 70. a=75 b=60 c=45 71. a=75 b=60 c=45 72. a=75 b=72 c=21 18 73. a=75 b=72 c=21 74. a=78 b=72 c=30 75. a=78 b=72 c=30 76. a=80 b=64 c=48 77. a=80 b=64 c=48 78. a=82 b=80 c=18 79. a=82 b=80 c=18 80. a=85 b=68 c=51 81. a=85 b=68 c=51 82. a=85 b=75 c=40 83. a=85 b=75 c=40 84. a=85 b=77 c=36 85. a=85 b=77 c=36 86. a=85 b=84 c=13 87. a=85 b=84 c=13 88. a=87 b=63 c=60 89. a=87 b=63 c=60 90. a=89 b=80 c=39 91. a=89 b=80 c=39 92. a=90 b=72 c=54 93. a=90 b=72 c=54 94. a=91 b=84 c=35 95. a=91 b=84 c=35 96. a=95 b=76 c=57 97. a=95 b=76 c=57 98. a=97 b=72 c=65 99. a=97 b=72 c=65 100. a=100 b=80 c=60 101. a=100 b=80 c=60 102. a=100 b=96 c=28 103. a =1 00 b =96 c =28 104. a =101 b =99 c =20 105. a =101 b =99 c =20 106. a =102 b =90 c =48 107. a =102 b =90 c =48 3. Используя таблицу, найти: a ) площадь треугольника ; С тороны Ответ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 5 9 25 29 27 51 29 73 63 65 30 75 30 80 74 68 51 84 72 216 756 936 324 1890 б) одну из высот треугольника ; Стороны В ысот а Ответ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 9 9 10 35 40 15 10 40 10 78 51 30 80 74 68 51 84 больш ая большая средняя меньшая большая меньш ая 12 8 9 8 72 24 19 в) радиус вписанной в треугольник окружности ; Стороны Ответ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 15 15 14 16 17 26 15 20 30 52 87 52 24 25 40 60 100 63 12,5 12,5 25 32,5 72,5 32,5 г) радиус описанной около треугольника окружности, Стороны Ответ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 8 10 10 11 11 13 26 17 35 13 90 37 30 21 39 20 97 30 3 3,5 4 3 4 4,5 д) объём пирамиды. Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 м, 8 м, 10 м, а боковые ребра н а клонены к плоскости основания под углом . Ответ: 40 м. 20 Заключение. Пусть властно по своей орбите Нас ритм сегодняшний кружит- Вернее будущее видит Лишь тот, кто прошлым дорожит. О.Дмитриев. Герон Александрийский (около I века) древнегреческий математик и механик; дал систематическое изложение основных достижений античности в математике и механике . Общение, хотя и книжное, с великим Героном доставило мне радость от ощущения как бы сотворчества. Я наслаждался решением задач с помощью его формулы. Какая радость, когда решение найдешь самостоятельно! Ведь только в самостоятельном преодолении препятствий вырабатывается характер и появляется уверенность в собственных силах. И в наше время, как и в далёком прошлом практика выдвигает перед математикой сложные задачи. Необходимо глубже и детальнее изучать явления окружающего нас мира и решать конкретные практические задачи. Для этого необходимо не только безукоризненно владеть теми знаниями, которые человечество приобрело в прошлом, но и находить, открывать новые средства математического исследования. И если эта работа хотя бы в некоторой степени поможет кому-то в познании мира геометрических фигур, я буду считать, что писал её не напрасно. 21 Список литератур ы . 1. А.Д Александров и др. “ Геометрия для 8-9 классов ” . Москва, “ Просвещение ” , 1991. 2. “ Энциклопедический словарь юного математика ” . Москва, “ Педагогика ” , 1985. 3. “ Математика в школе ” , №3, 1983 . “ Математика в школе ” , № 4 , 198 4 . “ Математика в школе ” , № 1 , 19 90 . “ Математика в школе ” , № 2 , 19 95 . “ Математика в школе ” , № 5 , 1 9 95 . 4. “ Словарь античности ” , Москва, “ Прогресс ” , 1989. 5. “ Большая Советская энциклопедия ” , Москва, “ Современная энциклопедия ” , 1971. 6. “ Всемирная история 500 биографий ” , Москва, “ Современник ” , 2000. 7. “ Как решать задачу ” , Д.Пойа, Львов, “ Квантор ” , 1991.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Хоккеистам лучше, чем фигуристам. Им можно на клюшки опираться.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Формула Герона и героновы тетрады", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru