Диплом: Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами - текст диплома. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Диплом

Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Дипломная работа
Язык диплома: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 7926 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной дипломной работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

47 Государственный комитет Российской Федерации по высшему образ ованию Саратовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им . Н. Г. Чернышевского Кафедра математического анализа ИССЛЕДОВАНИЕ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ ДИПЛОМНАЯ РАБОТА студентки 524 группы механико- математического факультета Чуркиной Любови Васильевны Научный руководитель к. ф.- м. н , доцент Тимофеев В . Г. Заведующий кафедрой доктор ф.- м. н ., профессор Прохоров Д. В. г. Саратов -1996 г. Оглавление. Наимено вание Стр. Введение 3 § 1. Некоторые вспомогательные определения 7 § 2. Простейшие свойства модулей нерперывности 20 § 3. Обобщение теоремы Джексона 24 § 4. Обобщение неравенства С. Н. Бернштейна 27 § 5. Дифференциальные свойства тригонометрических полино мов , аппроксимирующих заданную функцию 30 § 6. Обобщение обратных теорем С . Н . Бернштейна и Ш . Валле- Пуссена 34 § 7. Основная теорема 44 § 8. Решение задач 47 Литература 50 Введение Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами . В ней даются необходимые и достаточные условия для того , чтобы наилучшие приближения имели заданный ( степенной ) порядок убывания. Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “ В ведения ” и восьми параграфов. В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи : При каких ограничениях на непрерывную функцию F ( u ) (-1 Ј u Ј +1) её наилучшие приближения E n [ F ;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок j ( n -1 )? При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию f ( x ) её наилучшее приближение E n [ f ] тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок j ( n -1 )? Подстановка u=cos(x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно , следовательно , рассматрив ать лишь задачу 2. Мы ограничимся случаем , когда j ( d ) О N a , для некоторого a , где j ( d ) - функция сравнения р- го порядка и для 0< d < h Ј p С. Н. Бернштейн , Д. Джексон и Ш. Валле- Пуссен получили зависимости между оценками сверху для E n [ f ] и дифференциальными свойствами f . Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А. Зигмундом . нам предстоит , поэтому , получить зависимости между дифференциальными свойствами f и оценками E n [ f ] снизу . Впервые задачами типа 1 занимался С. Н. Бернштейн . А именно , им получено ассимптотическое равенство : , где m - некоторое число . Наша основная теорема формулируется следующим образом : Пусть j О N a . Для того чтобы необходимо , чтобы для любого натурального k> a , и достаточно , чтобы для некоторого натурального k> a где Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы. В § 1 даётся ряд вспомогательных определений , которые понадобятся в дальнейшей работе. В § 2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков . По чти все эти свойства используются в дальнейшем тексте. § 3 посвящен обобщению теоремы Джексона . Как известно , Джексон доказал следующую теорему : если f имеет непрерывную r- ую производную f (r) , то Таким образом , теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений , если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции. В 1947 г . появилась работа С. Н. Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение : пусть Тогда В § 3 доказываем : (*) В § 4 формулируется доказанное в работе С. Б. Стечкина [2] обобщение известного неравенства С. Н. Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома . Мы приводим затем ряд с ледствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем § 5. В § 5 рассматривается следующая задача . Пусть тригонометрический полином t n , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов t n достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f . Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами t n ? Если t n , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье , то ответ тривиален : для того что бы , необходимо и достаточно , чтобы равномерно относительно n . ( f О H k [ w ], если ). Оказывается , что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения : для того , чтобы равномерно относительно n . Отметим еще один результат параграфа : для того чтобы , необходимо и достаточно чтобы . § 6 посвящён “ обратным теоремам ” теории приближения . Известно предложение : пусть . Тогда , если a не целое , r= [ a ], b = a - r , то f имеет нерперывную производную . Случай целого a рассмотрен Зигмундом . В этом случае . Нетрудно показать , что эти два предложения эквивалентны следующему : пусть 0< a < k и . Тогда . В работе [3] С. Н. Бернштейн доказал также эквивалентность условий и . Мы переносим эти теоремы на условия вида , где j О N a . Кроме того , в этом параграфе доказано , например , такое предложение : пусть k - натуральное число и ; для того , чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия . В конце параграфа даются уточнения теорем Валле- Пуссена. В § 7 доказывается основная теорема . Мы даём здесь же оценку E n [ f ] снизу , если . Именно , тогда Случай a =0 установлен С. Н. Бернштейном [3]. В § 8 мы рассматриваем несколько решений зада ч с использованием различных модулей непрерывности. § 1. Некоторые вспомогательные определения. В работе рассматриваются непрерывные функции f с периодом 2 p и их приближение тригонометрическими полиномами . Через t n ( x ) обозначается тригонометрический полино м порядка не выше n , а через t n * ( x ) =t n * ( x,f )- тригонометрический полином , наименее уклоняющийся от f среди всех t n (x) . Мы полагаем и пишем Введём ряд определений. Определение 1. При каждом фиксированном классом Липшица порядка a называется множество всех непрерывных функция f , модуль непрерывности каждой из которых удовлетворяет условию где С 8 - какая- нибудь положител ьная постоянная , которая не зависит от d и которая , вообще говоря , является различной для разных функций . Этот класс обозначается H a или Lip a. Определение 2. Обозначим при фиксированном натуральном r через W (r) L класс функций f , которая имеет абсолютно не прерывные производные до ( r- 1) порядка и у которой r - я производная принадлежит классу L . Определение 3. Для непрерывной на [ a,b ] функции f ( x ) назовём модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем непрерывности функцию w ( d ) =w ( f; d ) , определён ную на [ 0, b-a ] при помощи следующего равенства : (1.1) или , что то же самое, (1.1 ’ ) Свойства модуля непрерывности : 1) w(0)=0; 2) w(d) есть функция , монотонно возрастающая ; 3) w(d) есть функция непрерывная ; 4) w(d) есть функция полуаддитивная в том смысле , что дл я любых и (1.2) Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности . Свойство 2) вытекает из того , что при больших d нам приходится рассматривать sup на более широком множестве значений h . Свойство 4) следует из того , что если мы число представим в виде h=h 1 +h 2 , и , то получим Из неравенства (1.2) вытекает , что если то т. е . (1.3) Теперь докажем свойство 3). Так как функция f ( x ) равномерно непрер ывна на [ a,b ], то при и , следовательно , для любых d , при а это и означает , что функция w(d) непрерывна . Определение 4. Пусть функция f ( x ) определена на сегменте [ a,b ] . Тогда для любого натурального k и любых и h>0 таких , что k- й разностью функции f в точке x с шагом h называется величина (1.4) а при и h>0 таких , что k- й симметричной разностью - величина (1.4 ’ ) Лемма 1. При любых натуральных j и k сп раведливо равенство (1.5) Доказательство. Действительно , так как при любом натуральном k то Лемма доказана. Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула : (1.6) Доказательство . Воспользуемся индукцией по k . При k= 1 тождество (1.6) проверяется непосредственно : . Предполагая его справедливость при k- 1 ( k і 2), получим Лемма доказана. Определение 5. Если измеримая п ериода ( b-a ) функция f ( x ) О L q ( L q - класс всех вещественных измеримых на [ a,b ] функции f ( x )), то под её интегральным модулем гладкости порядка k і 1 понимают функцию Лемма 3. Если то справедливо (1.7) Доказательство. В самом деле, и так далее . Лемма доказана. Определение 6. Если функ ция f(x) ограничена на [ a,b ], то под её модулем гладкости порядка k і 1 понимают функцию заданную для неотрицательных значений и в случае , когда k =1, представляющую собой модуль непрерывности. Свойства модулей гладкости : 1) 2) есть функция , монотонно возрастающая ; 3) есть функция непрерывная ; 4) При любом натуральном n имеет место ( точное ) неравенство (1.8) а при любом - неравенство (1.8 ’ ) 5) Если функция f ( x ) имеет всюду на [ a,b ] непрерывные производные до ( r- 1)- го порядка , и при этом ( r-1 )- я производная , то (1.9) Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того , что 2 ) Свойство 2) доказывается точно так же , как и для случая обычного модуля непрерывности. 3) Предполагая для определённости , что d>d ’ , получим Этим непрерывность функции w k ( d ) доказана. 4) Используя равенство лемму 2 § 1, имеем Этим неравенство (1.8) доказано . Неравенство (1.8 ’ ) следует из монотонности функции w k ( t ) и неравенства (1.8). 5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 § 1, получим Определение 7. Пусть k - натуральное число . Будем говорить , что функция есть модуль непрерывности k - го по рядка функции f , если где - конечная разность функции f k - го порядка с шагом h : Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k= 1 и k= 2. Случай k= 1 является классическим ; вместо мы будем писать просто и называть эту функцию модулем непрерывност и ; функцию мы будем называть модулем гладкости . Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить , что функция - есть функция сравнения k- го порядка , если она удовлетворяет следующим условиям : 1) определена для , 2) не убывает, 3) , 4) Нетрудно показать , что если f є 0, то есть функция сравнения k- го порядка ( см . Лемму 5 § 2). Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k - го порядка . Будем говорить , что функция f принадлежит к классу , если найдётся константа С 10 >0 такая , что Вместо будем писать просто H k a . Если для последовательности функций f n (n=1,2,...) где С 10 не зависит от n , то будем писать : равномерно относительно n . Понятие классов является естественным обобщением классов Липшица и классов функций , имеющих ограниченную k - ю производную. Определение 10. Зафиксируем число a >0 и обозначим через p наименьшее натуральное число , не меньше чем a ( p=- [- a ]). Будем говорить , что функция принадлежит к классу , если она 1) есть функция сравнения p - го порядка и 2) удовлетворяет условию : существует константа С 11 >0 такая , что для Условие 2) является небольшим ослаблением условия “ не убывает ” . Функции класса N a будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении . Определение 11. Будем говорить , что функция имеет порядок , если найдутся две положительные константы С 12 и С 13 такие , что для всех t , для которых определены функции и , . При выполнении этих условий будем писать . Определение 12. Ядром Дирихле n - го порядка называется функция (1.10) Это ядро являе тся тригонометрическим полиномом порядка n и при этом (1.10 ’ ) Определение 13. Ядром Фейера n - го порядка называется функция (1.11) Ядро Фейера F n ( t ) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле , и значит , является тригонометрическим полиномом пор ядка ( n-1 ). Так что имеют место равенства (1.11 ’ ) (1.11 ’ ’ ) где D k ( t )- ядра Дирихле. Определение 14. Ядром Джексона n - го порядка называется функция (1.12) Свойства ядер Джексона. а ) При каждом n ядро J n ( t ) является чётным неотрицательным тригонометрическим по линомом порядка 2 n -2 вида , где j k =j k ( n ) - некоторые числа б ) в ) г ) Доказательство. а ) Учитывая , что для ядер F n ( t ) Фейера имеют место равенства получим где j k ( k =1,2,...,2 n -2) - некоторые числа , и в частности , в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем Этим свойст во а ) доказано. б ) Это равенство следует из равенства , полученного для j 0 . в ) Так как при любом и при ( ** ), то г ) Совершенно аналогично случаю в ) полу чим Что и требовалось доказать. Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется функция , (1.13) n =1,2,3,..., k - натуральное , где (1.13 ’ ) Ядра типа Джексон а обладают следующими свойствами : а ) б ) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро J n,k ( t ) является чётным неотрицательным тригонометрическим пол иномом порядка k ( n -1) в ) n 2k- 1 , т. е . существуют постоянные С 14 > 0 и С 1 5 >0, такие , что при всех n =1,2,3,... будет г ) При любом s >0 имеет место неравенство д ) При любом натуральном Доказательство свойств ядер типа Джексона. а ) Это свойство вытекает из равенств определения б ) Это свойство следует из 1- го неравенства определения и из того , что в силу р авенств (1.11) и (1.11 ‘ ’ ) будет (1.14) где - некоторые целые числа. в ) Учитывая неравенства (**), будем иметь (1.15) С другой стороны (1.15 ‘ ) г ) Это неравенство вытекает из перв ого равенства определения и неравенства (1.15 ‘ ) д ) Действительно , с одной стороны , в силу неравенств (1.15 ‘ ) и (**) (1.16) где A-const , а с другой стороны , учитывая соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sin t Ј t , при всех t і 0 (***), имеем (1.16 ‘ ) A 1 -const . Неравенства (1.16) и (1.16 ‘ ) равносильны условию , что и требовалось доказать. § 2. Простейшие свойства модулей нерперывности. Этот параграф носи т вспомогательный характер . Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков . Все рассматриваемые здесь функции f 1 , f 2 , ... - непрерывны. ЛЕММА 1. Для любого натурального k и любого d і 0 (2.1) Доказательство : по определению, Лемма доказана. ЛЕММА 2. Пусть f и l - натуральные числа , l0, h >0. Тогда (2.6) Если кроме того 0< d < h , то (2.7) Д оказательство : Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для hЈd . Найдём натуральное число p из условий (2.8) Т огда h< p d -1 , и так как - является неубывающей функцией от h , то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим Рассмотрим случай для h0 (5.7) равномерно относительно n . Следствие 3.2. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n Тогда (5.8) Теорема 4. Для того , чтобы , необходимо и достаточно , чтобы (5.9) равномерно относительно n. Это вытекает из теоремы 1, следствия 3.1 и того замечания что если выполнено условие (5.9), то . Теорема 5. Для того , чтобы , необходимо и достаточно , чтобы (5.10) Это доказывается аналогично теореме 4, только вместо следствия 3.1 нужно воспользоваться следствием 3.2. Неравенства теоремы 3 имеют тот недостаток , что их правые части явно зависят от константы С 20 . Таким образом , если вместо фиксированного номера n и одного полинома t n рассматривать последовательность полиномов t n ( n =1,2,...), то С 20 окажется , вообще говоря , независящей от n и теорема 3 даёт оценки , не равномерные относительно n . Покажем как избавиться от этого неудобства. Теорема 6. Пусть для некоторого натурального k (5.11) и (5.12) Тогда для любого d >0 (5.13) равномерно относ ительно n . Доказательство. Пусть сперва . Из неравенства (5.2) следует , что и на основании (5.11) (5.14) Рассмотрим случай . Положим в (5.14) . Тогда получим Из этого неравенс тва , в силу (4.7), следует , что Но так как , по условию , , то Отсюда Окончательно, и теорема доказ ана. В следующем параграфе будет показано , как можно видоизменить ограничения (5.11) теоремы 6. § 6. Обобщение обратных теорем С . Н . Бернштейна и Ш . Валле- Пуссена. В этом параграфе обобщаются и уточняются так называемые “ обратные теоремы ” теории приб лижения . Речь идёт об оценке дифференциальных свойств функции f , если известны свойства последовательности её наилучших приближений E n . Лемма 9. Зададим натуральное число k , и пусть (6.1) и . (6.2) Тогда (6.3) Доказательство. Имеем , согласно (2.1), Но из (2.10) и (6.2) получаем а из (2.2) и (6.1) Поэтому левая часть этого неравенства не зависит от n , а поэтому и лемма доказана. Для получения хороших оценок обычно достаточно взять . Однако на исключена возможность , что в некоторых случаях другой выбор может оказать ся предпочтительнее. Теорема 7. Пусть k - натуральное число , функция не убывает и (6.4) Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия (6.5) Доказательство. Необходимость усло вия (6.5) вытекает из следствия 3.2. Установим его достаточность , для чего воспользуемся леммой 9. Получаем : Положим здесь ; тогда для будем иметь и поэтому и теорема доказана. Отметим два следствия из этой теоремы. Следствие 7.1. Пусть k - натуральное число , функция не убывает и (6.6) Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия (6.7) Следствие 7.2. Пусть k - натуральное число и Если и (6.8) то равномерно относительно n . Это вытекает из теорем 7 и 6. Теорема 7 показывает , что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить . Теперь мы получим оценки для , исходя только из условий вида (6.4). Попутно выясняется , что при некоторых дополнительных ограничени ях на функцию условие (6.5) становится излишним . Суть дела в том , что при этих ограничениях (6.4) влечёт (6.5). Лемма 10. Пусть (6.9) где . Тогда для любого натурального k (6.10) Доказательство. Зафиксируем натуральное число n , определим натуральное p из условий и построим последовательность номеров положив Для оценки представим в таком виде : Так как , то отсюда (6.11) Оценим U l (k) . Имеем для l= 1,2,..., p откуда Но есть тригонометрический полином порядка не выше n l . Поэтому по неравенству С. Н . Бернштейна, (6.12) Заметим теперь , что , в силу определения последовательности n l , и для Поэтому , пользуясь ещё монотонностью последовательности F n 2 находим , что для (6.13) При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно : и лемма доказана. Теорема 8. Для любо го натурального k и любого (6.14) Доказательство. Имеем Отсюда , по лемме 10, Воспользуемся теперь леммой 9 . Получаем : Если , то . Кроме того, Поэтому для и теорема доказана. Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том , при каких ограничениях на E n усл овие (6.4) влечёт Теорема 9. Зададим натуральное число k ; пусть и . Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение у словия (6.15) Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность . Согласно теореме 8, дл я Положим здесь и заметим , что тогда для и , в силу условия , Поэтому для и тео рема доказана. Следствие 9.1. Пусть и . Тогда для всех натур альных классы эквивалентны. Следствие 9.2. Пусть и . Если то для любого фиксированного натурального равномерно относительно n . Рассмотрим теперь следующий вопрос . как связаны приближения функции f с приб лижениями и дифференциальными свойствами её производных f (r) ? Теорема 10. Зададим натуральное число r, и пусть (6.16) где (6.17) Тогда f имеет непрерывную производную f (r) и (6.18) С. Н. Бернштейн [3] доказал такую теорему : если ряд сходится , то функция f имеет непрерывную производную f (r) . Рассмотрение этого доказательства С. Н. Бернштейна показывает , что на самом деле им установлено следующее , более общее предложение : пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную f (r) и равномерно относительно x . В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение. Доказательство. при . Поэтому равномерно относительно x . Отсюда следует , что если n k ( k =0,1,2,...) есть возрастающая последовательность номеров , то Зафиксируем натуральное число n и положим Тогда будем иметь (6.19) где Докажем , что формулу (6.19) можно продифференцировать почленн о r раз , т. е. (6.20) Для этого достаточно установить , что ряд справа равномерно сходится . Прежде всего , оценим . Имеем откуда Оценим теперь . По неравенству С. Н. Бернштейна, Пользуясь этой оценкой , получаем : Но Поэтому (6.21) Итак , доказана сходимость ряда , а вместе с этим установлена и формула (6.20). Из (6.20) и (6.21) вытекает , что и теорема доказана. В некоторых с лучаях оценка (6.18) может быть упрощена . Пусть , например, (6.22) Тогда Поэтому при выполнении условия (6.22) вместо (6.18) можно написать Следствие 10.1. Пусть r - натуральное число и сходится ряд Тогда (6.23) Теорема 11. Пусть r - натуральное число и для функции f сходится ряд Тогда для любого нату рального k и любого (6.24) Доказательство. Имеем Отсюда , по лемме 10, Далее , согласно теореме 10, Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем Заметим , что Таким образом , если , то и теорема доказана. § 7. Основная теорема. Обратимся теперь к рассмотрению следующего вопроса : каковы необходимые и достаточные условия того , чтобы где - заданная невозрастающая функция ? Насколько нам известно , эта задача не была до сих пор решена даже для случая . Мы решим её для функций сравнения . Лемма 11. Пу сть и для некоторого натурального (7.1) Тогда существует такая константа с >0, что (7.2) Доказательство. Согласно (7.1), найдутся две такие константы С 60 >0 и C 61 >0, что (7.3) Последнее из этих неравенств , теорема 1 и теорема 3 влекут неравенство (7.4) В силу ( 2.1) и (2.2), имеем Отсюда Пользуясь (7.3) и (7.4), находи м , далее (7.5) Вспомним теперь , что . Это даёт нам для Подставляя эту оценку в (7.5), получаем (7.6) Мы можем без ограничения общности считать , что здесь . Положим в (7.6) Тогда получим окончательно и лемма доказана. Основная теорема. Пусть . Для того чтобы (7.7) необходимо , чтобы для всех натуральных , и достаточно , чтобы для некоторого натурального . (7.8) Доказательство. Пусть имеет место (7.7), т. е . найдутся две положительные константы С 67 и С 68 , для которых (7.9) Тогда , по теореме 1 и в силу первой половины неравенства (7.9), для любого k имеем т. е. Отсюда , в силу , и если , то , ввиду монотонности и , Далее , из второй половины неравенства (7.9) и теоремы 9 вытекает существование константы С 72 такой , что для любого Этим заканчивается доказательство необходимости условия (7.8). Пусть имеет место (7.8): (7.10) с С 73 >0. Тогда по теореме 1 и в силу второй половины неравенства (6.10), а по лемме 11, где С 77 >0. Таким образом , установлена достаточность условия (7.8), и основная теорема п олностью доказана. Приведём в заключение обобщение леммы 11 на тот случай , когда оценки сверху и снизу имеют разные порядки. Теорема 12. Пусть и (7.11) Тогда (7.12) Доказательство. Имеем , как при доказательстве леммы 11, Полож им здесь Тогда получим , что Теорема доказана. § 8. Решение задач. Пример 1. Пусть Тогда при каждом Пример 2. Пусть график функции f ( x ) имеет вид , изображённый на рис .8.1. Тогда график фу нкции показан на рис .8.2. Рис . 8.1. Р ис . 8.2. Пример 3. Пусть при и пусть - периодическое продолжение функции на всю ось. Рис . 8.3. Рис . 8.4. Тогда если функцию рассматривать на сегменте длины так , что ( рис . 8.3) то ( рис . 8.4) т. е . модуль непрерывности функции в точке не достигает своего наибольшего значения и , следовательно , отличается от модуля непрерывности э той функции на всей оси. Пример 4. При функция является моду лем непрерывности. Пример 5 . При функция является модулем не прерывности. Пример 6. При имеем так что при всех будет . Литература. 1. Бернштейн С. Н . О свойствах однородных функциональных классов // Доклады Ак . Наук СССР ,-1947.- № 57.- с .111-114. 2. Стечкин С. Б . О порядке наилучших приближений непрерывных функций // До клады Ак . Наук СССР ,-1949.- № 65.- с .135-137. 3. Бернштейн С. Н . О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Сообщ . Харьк . Матем . о- ва (2), -1912.- № 13.- с .49-144. 4. Бернштейн С. Н . Экстремальные свойства полиномов и н аилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной . Часть I,- М.- Л .,-1937. 5. Никольский С . Обобщение одного неравенства С. Н. Бернштейна // Доклады Ак . Наук СССР ,-1948.- № 65.- с .135-137. 6. Гончаров В. Л . Теория интерполирования и приближе ния функций.- М.- Л .,-1934. 7. Дзядык В. К . Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами . - М .: Наука .-1977.- с .512. 8. Стечкин С. Б . О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Доклады Ак . Наук СССР ,-1949.- № 65.- с .135-137. 9. Тиман А. Ф . Теория приближения функций функций действительного переменного . - М .: ГИФМЛ ,-1960.- с . 624. 10. Ахиезер Н. И . Лекции по теории аппроксимаций.- М .: ГИТТЛ ,-1947.-324. 11. Арестов В. В . О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Ма тематические заметки,- т .22.-1977.- № 2.- с .231-243. 12. Стечкин С. Б . О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв . АН СССР- Математика ,-1931.- № 15.- с .219-242.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
— Сегодня День Исполнения Желаний!
— Ура! Я хочу принца на белом коне!
— К сожалению, День Загадывания Желаний был вчера.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, диплом по математике "Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru