Реферат: Линейная зависимость векторов - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Линейная зависимость векторов

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 185 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. Пусть задана система векторов а 1 , а 2 , а 3 ,…,а л (1) одной размерности. Определение: система векторов (1) называет ся линейно-независимой, если равенство a 1 а 1 + a 2 а 2 +…+ a л а л =0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все чис ла a 1 , a 2 ,…, a л =0 и О R Определение: система векторов (1) называет ся линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a i № 0 (i=1,…,k) Свойства 1. Ес ли система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима 2. Если система векторов содержит линейн о-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой. 3. Если система векторов линейно-независ има, то и любая ее подсистема будет линейно независимой. 4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта си стема векторов будет линейно зависимой. Определение: два вектора называются колл инеарными, если они лежат на параллельных прямых. Определение: три вектора называются комп ланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. Теорема: Если заданы два вектора a и b, приче м а № 0 и эти векторы коллинеарны, то найдетс я такое действительное число g , что b= g a. Теорема: Для того что бы два вектора были л инейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны. Доказательство: достаточность. Т.к. векто ры коллинеарны, то b= g a. Будем считать, что а,b № 0 ( если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b- g a=0. Т.к. коэфф. При b № 0, то система линейно зависима по определ ению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. a а+ b b=0, a № 0. а= -b/ a *b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число. Теорема: для того, чтобы три вектора были л инекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Нео бходимость. Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Д оказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то a а+ b b+ g c=0, g № 0. с= - a / g *а - b / g *b. с-диагональ параллелограмма, поэт ому a, b, c лежат в одной плоскости. БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Определение: пусть задан а некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совок упность линейно-независимых векторов системы. В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого векто ра. В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвол ьную пару. В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех не компланарных векторов. 2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинак овой масштабной ед. на осях. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяет ся заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересе чения и одинаковой масштабной ед. на осях. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение: скалярным произведением двух векторов назы вается произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. (а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0; u>90, пр-е отриц. Свойства: 1. (а ,b)= (b,а) 2. ( a а,b)= a (а,b) 3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с) 4. (а,а)=|a| 2 – скал.квадрат. Определение: два вектора называются орто ганальными, когда скалярное пр-е равно 0. Определение: вектор называется нормиров анным, если его скал.кв.равен 1. Определение: базис множества векторов на зывается ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагонал ьны и каждый вектор нормирован. Теорема: Если векторы а и b заданы координа тами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сум ме произведений соответствующих координат. Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произве дения. cos u=a,b/|a||b|=x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 /sqrt(x 1 2 +y 1 2 +z 1 2 )*sqrt(x 2 2 +y 2 2 +z 2 2 ) ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение: векторным произведением двух векторов a и b о бозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям : 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку. Свойства: 1. [a,b]= - [b,a] 2. [ a а,b]= a [а,b] 3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c] 4. [a,a]=0 Теорема: Длина векторного произведения в екторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах. Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения. Теорема: Пусть векторы а и b заданы координ атами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно о пределителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координат ы второго. Определение: ортой вектора а называется в ектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e a =a/|a| РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. 1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур- е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от т очки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр. 1. Ах +By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю. Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур -ем (1). Доказательство: подставим коорд. т.М 0 в ур-е (1) и получим Ах 0 +By 0 +C=0 (1’ ). Вычтем (1)-(1’ ) получим А(х-х 0 )+B(y-y 0 )=0, n(A,B), М 0 М(х-х 0 , y-y 0 ). Слева в полученном равенстве записано скаля рное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M 0 M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой. Вектор n(A,B) называется норм альным вектором прямой. Замечание: пусть ур-я А 1 х+B 1 y+C 1 =0 и А 2 х+B 2 y+C 2 =0 определяют одну и ту же пряму ю, тогда найдется такое действительное число t, что А 1 =t*А 2 и т.д. Определение: если хотя бы один из коэффиц иентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным. 1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0) 2. С=0, А=0, By=0, значит у=0 3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0 4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ 5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY 2. x/a+y/b=1. Геом.смысл: прямая отсекает на осях коорди нат отрезки а и b 3. x-x 1 /e=y-y 1 /m Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.п р.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M 1 М(х-х 1 ; y-y 1 ) 4. x-x 1 /x 2 -x 1 =y-y 1 /y 2 -y 1 Пусть на прямой даны две точки М 1 (x 1 ;y 1 ) и М 2 (x 2 ;y 2 ). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан напр авляющий вектор q(x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ) 5. y=kb+b. u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем угловой к оэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x 1 /e/e=y-y 1 /m/e. y-y 1 =k(x-x 1 ) при y 1 -kx 1 =b, y=kx+b 6. xcos q +ysin q -P=0 q - угол между вектором ОР и положительным нап р. оси ОХ. Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. дл ины n. |n|=1, n(cos q , sin q ). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos q x+sin q y. Прирав няем правые части. Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду. Ах+By+C=0 xcos q +ysin q -P=0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos 2 q =(A*t) 2 Sin 2 q =(B*t) 2 -p=C*t cos 2 q +sin 2 q =t 2 (A 2 +B 2 ), t 2 =1/A 2 +B 2 , t= ± sqrt(1/ A 2 +B 2 ). Sign t= - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель. 7. Система: x=et+x 1 и y=mt+y 1 НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до пря мой. 1. xcos q +ysin q -P=0 q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ. Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. дл ины n. |n|=1, n(cos q , sin q ). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos q x+sin q y. Прирав няем правые части. Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду. Ах+By+C=0 xcos q +ysin q -P=0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos 2 q =(A*t) 2 Sin 2 q =(B*t) 2 -p=C*t cos 2 q +sin 2 q =t 2 (A 2 +B 2 ), t 2 =1/A 2 +B 2 , t= ± sqrt(1/ A 2 +B 2 ). Sign t= - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель. 2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки о т прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и то чка по одну сторону. Теорема: Пусть задано нормальное уравнен ие прямой xcos q +ysin q -P=0 и М 1 (x 1 ;y 1 ), тогда отклонение точки М 1 = x 1 cos q +y 1 sin q -P=0 Задача: найти расстояние от точки М 0 (x 0 ;y 0 ) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний прини мает вид d=| x 0 cos q +y 0 sin q -P|. d=|Ах 0 +By 0 +C|/sqrt(A 2 +B 2 ) ГИПЕРБОЛА. Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояни й от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть вели чина постоянная Каноническое уравнение: Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом рассто янии от начала координат. |F 1 F 2 |=2c, М – произвольная точка гиперболы. r 1 , r2 – расстояния от М до фокусов; |r 2 -r 1 |=2a; ac) е гиперболы >1 (т.к. с>a) Определение: окружность – эллипс у котор ого а=b, с=0, е=0. Выразим эксцентриситеты через а и b: е эллипса является мерой его “вытянутости” е гиперболы характеризует угол раствора между асимптота ми 2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокус у F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно б ольшой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е0 r 1 =xe+a d 1 – расстояние от М(x,y) до прямой D 1 xcos180+ysin180-p=0 x=-p x=-a/e б м =-x-a/e d 1 =-б м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.) Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директ рисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперб олу, если >1, параболу, если =1. ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы. Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной си стемы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которо й находится фокус. r= r d=p+ r cos j e= r /p+ r cos j - полярное уравнение эллипса, п араболы и правой ветви гиперболы. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М 0 (x 0 ;y 0 ) – точк а касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо: у-у 0 =y’ (x 0 )(x-x 0 ) Рассмотрим касательную к кривой следовательно ya 2 y 0 -a 2 y 0 2 +b 2 x 0 x-b 2 x 0 2 =0 - уравнение касательной к элли псу. - уравнение касательной к гипе рболе. - уравнение касательной к пара боле. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. Преобразование на плоскости есть применение преобразов аний параллельного переноса и поворота. Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотр им все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя спосо бами: (е 1 ;е 1 ’ )=cos u (е 1 ;е 2 ’ )=cos (90+u)= -sin u (е 2 ;е 1 ’ )=cos (90-u)=sin u (е 2 ;е 2 ’ )=cos u Базис рассматривается ортонормированный: (е 1 ;е 1 ’ )=(е 1 , a 11 е 1 + a 12 е 2 )= a 11 (е 1 ;е 2 ’ )= (е 1 , a 21 е 1 + a 22 е 2 )= a 21 (е 2 ;е 1 ’ )= a 12 (е 2 ;е 2 ’ )= a 22 Приравниваем: a 11 =cos u a 21 = - sin u a 12 =sin u a 22 =cos u Получаем: x=a+x’ cos u – y’ sin u y=b+x’ sin u – y’ cos u - формулы поворота системы координат на угол u. ------------ x=a+x’ y=b+y’ - формулы параллельного переноса ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Определение: Инвариантой ур-я (1) линии втор ого порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат. Теорема: инвариантами уравнения (1) линии в торого порядка относительно преобразования системы координат являютс я следующие величины: I 1 ; I 2 ; I 3 Вывод: при преобразовании системы коорди нат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию. Определение: I 2 >0 – элиптический тип I 2 <0 – гиперболический тип I 2 =0 – параболический тип ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задана на плоскости линия уравнением (1). Параллельный перенос: Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в с истеме X’ O’ Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой ока зались равными нулю. После этого: a 11 x’ 2 +2a 12 x’ y’ +a 22 y’ 2 +a’ 33 =0 (2) точка О’ находится из условия: a 13 ’ =0 и a 23 ’ =0. Получается система a 11 x 0 +a 12 y 0 +a 13 =0 и a 12 x 0 +a 22 y 0 +a 23 =0 Покажем, что новое начало координат (если система разреши ма) является центром симметрии кривой: f(x’ ;y’ )=0, f(-x’ ;-y’ )= f(x’ ;y’ ) Но точка О’ существует если знаменатели у x 0 и y 0 отличны от нуля . Точка O’ – единственная точка. Центр симметрии кривой существует если I 2 № 0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперб олического типа Поворот: Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе коорди нат уравнение не содержит члена с x’ y’ т.е. мы делаем коэфф. а 12 =0. a 12 ’ = -0,5(a 11 -a 22 )sin2u+a 12 cos2u=0 (разделим на sin2u), получим: , после такого преобразования уравнение принимает вид a 11 ’ x’ 2 +a 22 ’ y’ 2 +2a 13 ’ x’ +2a 23 ’ y ’ +a 33 ’ =0 (3) ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема: Пусть задана линия элиптическог о типа т.е. I 2 >0 и пусть I 1 >0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I 3 <0 – эллипс; 2. I 3 =0 – точка; 3. I 3 >0 – ур-е (1) не определяет. Если I 3 =0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I 3 >0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пус ть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*). Доказательство: 1. пусть I 2 >0, I 1 >0, I 3 <0, тогда а 11 ’ ’ x’ ’ 2 +a 22 ’ ’ y’ ’ 2 = -I 3 /I 2 I 2 =a 11 ’ ’ a 22 ’ ’ > 0 I 1 = a 11 ’ ’ +a 22 ’ ’ > 0 a 11 ’ ’ > 0; a 22 ’ ’ > 0 Итак, под корнями стоят положительные числа, следователь но, уравнение эллипса. 2. I 3 >0 в данном случае под кор нем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет д ействительного геометрического образа. 3. I 3 =0 в данном случае т(0,0) – сл учай вырождения эллипса. ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема: Пусть уравнение (1) определяет лин ию гиперболического типа. Т.е. I 2 <0, I 3 № 0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I 3 =0 – пару пересекающихся прямых. Доказательство: I 2 <0; I 2 = a 11 ’ ’ a 22 ’ ’ < 0. Пусть a 11 ’ ’ >0; a 22 ’ ’ <0 Пусть I 3 >0 В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ. Пусть I 3 <0 -(-а 11 ’ ’ )x’ ’ 2 +a 22 ’ ’ y’ ’ 2 = -I 3 /I 2 В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY Пусть I 3 =0 а 11 ’ ’ x’ ’ 2 -(-a 22 ’ ’ )y’ ’ 2 =0 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмот рим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a 11 x 2 +2a 12 xy+a 22 y 2 Определение: ненулевой вектор ( a , b ) координ аты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором ас имптотического направления заданной кривой. ( a , b ) – вектор асимптотического направления. a 11 a 2 +2a 12 a b +a 22 b 2 =0 (*) Рассмотрим ( a ’ , b ’ ) параллельный ( a , b ): следовательно . Дробь a / b ха рактеризует вектор асимптотического направления. Задача: выяснить какие асимптотические н аправления имеют кривые 2-го порядка. Решение: положим, что b № 0 и поделим на b 2 , получим: a 11 ( a / b ) 2 +2a 12 a / b +a 22 =0 из этого квадратного уравнения найдем a / b . т.к. у линий гиперболического и параболического типов I 2 Ј 0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I 2 >0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления). Найдем асимптотические направления у гиперболы: ( a , b ) 1 =(a,b) ( a , b ) 2 =(-a,b) Векторы асимптотического направления являются направляющими вектора ми для асимптот. Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определ яются асимптотами гиперболы. Найдем асимптотические направления у параболы: y 2 =2px y 2 -2px=0 u(x,y)= y 2 +0, y=0 ( a , b )=(0,0) Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симмет рии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параб олу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимп тотическое направление, но асимптот не имеет. РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ. Пусть задано трехмерное пространство. Теорема: Плоскость в афинной системе коор динат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C № 0 одновреенно. Справедлива и обратная тео рема. Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскост и, задаваемой общим уравнением. Вектор n – нормальный вектор плоскости. 2. Уравнение плоскости в отрезках: 3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой. Пусть n(A,B,C) и М(x 0 ;y 0 ;z 0 ). Запишем ур-е пл-ти: Ax+By+Cz+D=0 Ax 0 +By 0 +Cz 0 =-D A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0 1. Ур авнение плоскости ч/з 3 точки. Пусть известны три точки не принадл. одной прямой. М 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ); М 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ); М 3 (x 3 ;y 3 ;z 3 ) Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоск ости то векторы компланарны. М 1 М x-x 1 y-y 1 z-z 1 М 1 М 2 x 2 -x 1 y 2 -y 1 z 2 -z 1 =0 М 1 М 3 x 3 -x 1 y 3 -y 1 z 3 -z 1 2. Па раметрическое ур-е плоскости. Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарны х векторов. V(V 1 ;V 2 ;V 3 ); U(U 1 ;U 2 ;U 3 ); M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), тогда плост ость имеет вид: система: x=x 0 +V 1 t+U 1 s и y=y 0 +V 2 t+U 2 s и z=z 0 +V 3 t+U 3 s РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ. Ax+By+Cz+D=0; M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, поэтому n 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ); n 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторам и.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Прогресс – это когда добротная красивая коробка используется в хозяйстве, а дорогой новомодный гаджет, который был в ней упакован, уже давно устарел и выброшен.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Линейная зависимость векторов", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru