Подборка основных формул по курсу функциональный анализ по материалам лекции Бекаревой

Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E.  xE u: ?x-u?<

Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LE, (0,1) zE\L ?z?=1 (z,L)>1-

Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E, если xE uL: ?x-u?<

Теорема: Чтобы L было плотно в H  ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение: Непрерывный оператор – AxAx₀ при x x₀

Определение: (X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение: Ограниченный оператор - ?x??1 с: ?Ax??c

Теорема: A – ограниченный  xX ?Ax??c?x?

Теорема: Для того чтобы А был непрерывен  чтобы он была ограничен

Теорема: {A_n} равномерно ограничена  {A_n}- ограничена.

Теорема: {A_nx} – ограниченно  {?A_n?}- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ?A_n-A?0, n, обозначают A_nA

Определение: Слабая сходимость - xX ?(A_n-A)x?_Y0, n

Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость  {A_n} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема: Банаха-Штенгауза A_nA n слабо  1) {?A_n?}- ограничена 2) A_nA, x’X, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)Y, D(A)X   A’:XY 1) A’x=Ax, xD(A) 2) ?A’?=?A?

Определение: Равномерная ограниченность - a x: ?x(t)??a

Определение: Равностепенная непрерывность t₁,t₂ : ?x(t₁)-x(t₂)?<

Теорема: (X,Y) полное, если Y – полное.

Определение: Ядро – {xX | Ax=0}

Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X^*:=(X,E)

Определение: Сопряженный оператор A^*: Y^*X^*

Теорема: Банаха A:XY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда  A^-1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый

Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A^-1-ограничен.

Теорема: A^-1  и ограничен  m>0 xX ?Ax??m?x?

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XY – линейный ограниченный функционал  ! yH xH f(x)=(x,y)

Определение: MX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. MX компактно  >0  конечная -сеть

Теорема: Арцела. MC[a,b] компактно  все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение: (X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. A(X,Y)  A^*(X^*,Y^*)

Линейные нормированные пространства

1. Пространства векторов

сферическая норма

кубическая норма

ромбическая норма

p>1

1. Пространства последовательностей

p>1

или пространство ограниченных последовательностей

пространство последовательностей, сходящихся к нулю

пространство сходящихся последовательностей

1. Пространства функций

пространство непрерывных на функций

пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций

?_p[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)

- пополнение ?_p[a,b] (Гильбертово)

Неравенство Гёльдера p,q>0

Неравенство Минковского