Контрольная: Метод ветвей и границ - текст контрольной. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Контрольная

Метод ветвей и границ

Банк рефератов / Экономика и финансы

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Контрольная работа
Язык контрольной: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 1002 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы



Министерство образования Р.Ф.

Тюменский государственный нефтегазовый университет

Институт нефти и газа







Кафедра менеджмента

В отраслях ТЭК




Контрольная работа по

Дисциплине «Экономическая математика, методы и модели»

Вариант №4









Выполнил: студент гр.

МОс2 Ваганова А.Р.

Проверил: Захаров А.В













Тюмень 2002 г.


Метод ветвей и границ. Рассмотрим задачу, состоящую в определении максимального значения функции

при условиях

Как и при решении сформулированной задачи методом Гомори, первоначально находим симплексным методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X0. Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение задачи и .

Если же компонент плана Х0 имеются дробные числа, то Х0 не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что для всякого последующего плана Х.

Предполагая, что найденный оптимальный план Х0 не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть например переменная приняла в плане Х0 дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане её значение будет по крайней мере либо больше, либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу , либо больше или равно ближайшему большему целому числу . Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования:


Найдем рассмотренными выше методами решение задач линейного программирования (I) и (II). Очевидно, здесь возможен один из следующих 4:

  1. Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нём и дают решение исходной задачи.

  2. Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи, аналогичные задачам (I) и (II).

  3. Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане второй задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше, или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и он вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.

Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (I) и (II).

  1. Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда выделяем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (I) и (II).

Таким образом, описанный выше интеграционный процесс может быть представлен в виде некоторого дерева, на котором исходная вершина отвечает оптимальному плану Х0 задачи (32)-(34), а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (I) и (II). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

Итак, процесс нахождения решения задачи целочисленного программирования (32)-(35) методом ветвей и границ включает следующие этапы:

10 Находят решение задачи линейного программирования (32)-(34)

20 Составляют дополнительные ограничения для одной из переменных, значение которой в оптимальном плане задачи (32)-(34) является дробным числом.

30 Находят решения задач (I) и (II), которые получаются из задачи (32)-(34) в результате присоединения дополнительных ограничений.

40 В случае необходимости составляют дополнительные ограничения для переменной, значение которой является дробным, формулируют задачи, аналогичные задачам (I) и (II), и находят их решение. Интеграционный процесс продолжают до тех пор, пока не будет найдена вершина, соответствующая целочисленному плану задачи (32)-(34) и такая, что значение в этой вершине больше или равно значению функции в других возможных для ветвления вершинах.

Описанный выше метод ветвей и границ имеет более простую логическую схему расчетов, чем рассмотренный выше метод Гомори. Поэтому в большинстве случаев для нахождения решения конкретных задач целочисленного программирования с использованием ЭВМ применяется именно этот метод. В частности в рассмотренном выше ППП «Линейное программирование в АСУ» для отыскания целочисленного решения конкретных задач используется метод ветвления и границ.

2.51 Методом ветвей и границ найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции

при условиях

xj – целые (j=)

Р е ш е н и е. Находим решение сформулированной задачи симплексным методом без учета условия целочисленности переменных. В результате устанавливаем, что такая задача имеет оптимальный план Х0= (18/5, 3/5, 0, 0, 24/5). При этом плане F= (X0)=39/5.

Так как в плане Х0 значения трех переменных являются дробными числами, то Х0 не удовлетворяет условию целочисленности, и следовательно, не является оптимальным планом исходной задачи.

Возьмем какую-нибудь переменную, значение которой является дробным числом, например х1. Тогда эта переменная в оптимальном плане исходной задачи будет принимать значение, либо меньшее или равное трём:, либо больше или равно четырём: .

Рассмотрим две задачи линейного программирования:

(I) (II)

Задача (I) имеет оптимальный план на котором значение целевой функции . Задача (II) неразрешима.

Исследуем задачу (I). Так как среди компонент оптимального плана этой задачи есть дробные числа, то для одной из переменных, например x2, вводим дополнительные ограничения:

Рассмотрим теперь следующие две задачи:

(III)

(IV)

Задача (IV) неразрешима, а задача (III) имеет оптимальный план (3, 1, 3, 3, 3), на котором значение целевой функции задачи

Таким образом исходная задача целочисленного программирования имеет оптимальный план Х*= (3, 1, 2, 3, 3). При этом плане целевая функция принимает максимальное значение .

Схему реализованного выше вычислительного процесса можно представить в виде дерева, ветвями которого являются соответствующие ограничения на переменные, а вершинами – решения соответствующих задач линейного программирования (рис 2.5).

Дадим геометрическую интерпретацию решения задачи (50)-(53). На рис. 2.6 показана область допустимых решений задачи (50)-(52).

Из него видно, что данная задача имеет оптимальный план(18/5, 3/5, 0, 0, 24/5). В то же время не является планом задачи (50)-(53), поскольку три переменные имеют дробные значения. Возьмем переменную х1 и рассмотрим задачи (I) и (II).

Как видно из рис. 2.7задача (I) имеет оптимальный план (3, 3/2, 0, 9/2, 3/2), а из рис.2.8 следует, что задача (II) неразрешима.

Поскольку среди компонент плана есть дробные числа, выберем переменную х2 и рассмотрим задачи (III) (IV). Задача (III) имеет оптимальный план(3, 1, 2, 3, 3) (рис. 2.9), а задача (IV) неразрешима (рис. 2.10).

Итак, Х*= (3, 1, 2, 3, 3) является оптимальным планом задачи (50)-(53). При этом плане .

Решение задачи, правые части которых содержат параметр.

Алгоритм решения задачи (60)-(62) подобен рассмотренному выше алгоритму решения задачи (57)-(59).

Полагая значение параметра t равным некоторому числу t0, находим решение полученной задачи линейного программирования (60)-(62). При данном значении параметра t0 либо определяем оптимальный план, либо устанавливаем неразрешимость задачи. В первом случае найденный план является оптимальным для любого, где

и числа qi и pi определены компонентами оптимального плана и зависят от t0:

Если при t = t0 задача (60)-(62) неразрешима, то, либо целевая функция задачи (60) не ограничена на множестве планов, либо система уравнений не имеет неотрицательных решений. В первом случае задача неразрешима для всех , а во втором случае определяем все значения параметра , для которых система уравнений (61) несовместна, и исключаем их из рассмотрения.

После определения промежутка, в котором задача (60)-(62) имеет один и тот же оптимальный план или неразрешима, выбираем новое значение параметра t, не принадлежащее найденному промежутку, и находим решение полученной задачи линейного программирования. При этом решение новой задачи ищем с помощью действенного симплекс-метода. Продолжая итерационный процесс, после конечного числа шагов получаем решение задачи (60)-(62).

Итак, процесс нахождения задачи (60)-(62) включает следующие основные этапы:

10. Считая значение параметра t равным некоторому числу , находят оптимальный план или устанавливают неразрешимость полученной задачи линейного программирования.

20. Находят значения параметра , для которых задача (60)-(62) имеет один и тот же оптимальный план или неразрешима. Эти значения параметра t исключают из рассмотрения.

30. Выбирают значения параметра t из оставшейся части промежутка и устанавливают возможность определения нового оптимального плана находят его двойственным симплекс-методом.

40. Определяют множество значений параметра t, для которых задача имеет один и тот же новый оптимальный план или неразрешима. Вычисления проводят до тех пор, пока не будут исследованы все значения параметра .

2.66. Для каждого значения параметра найти максимальное значение функции

при условиях

Р е ш е н и е . Считая значение параметра t в системе уравнений (81) равным нулю, находим решение задачи (80)-(82) (табл. 2. 41).

Таблица 2.41

i

Базис

Сб

Р0

3

-2

5

0

-4

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

1

Р3

5

12+t

1

1

1

0

0

2

Р4

0

8+4t

2

-1

0

1

0

3

Р5

-4

10-6t

-2

2

0

0

1

4



20+29t

10

-1

0

0

0

1

Р3

5

7+4t

2

0

1

0

-?

2

Р4

0

13+t

1

0

0

1

?

3

Р2

-2

5-3t

-1

1

0

0

?

4



25+26t

9

0

0

0

?

Как видно из табл. 2.41, при t =0 есть оптимальный план задачи. Однако является оптимальным планом и тогда среди его компонентов не окажется отрицательных чисел, т.е. при 5-3t0; 7+4t0;

13+t или при Таким образом, если то- оптимальный план задачи (80)-(82), при котором

Исследуем теперь, имеет ли задача оптимальные планы при . Если , то 5-3t<0> и следовательно, X=(0,5 – 3t, 7+4t, 13+t, 0) не является планом задачи. Поэтому при нужно перейти к новому плану, который был в то же время оптимальным. Это можно сделать в том случае, когда в строке вектора Р2 имеются отрицательные числа . В данном случае это условие выполняется. Поэтому переходим к новому опорному плану, для чего введем в базис вектор Р1 и исключаем из него вектор Р2 (табл. 2.42).

Таблица 2.42

i

Базис

Сб

Р0

3

-2

5

0

-4

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

1

Р3

5

17+2t

0

2

1

0

?

2

Р4

0

18-2t

0

1

0

1

1

3

Р1

3

-5+3t

1

-1

0

0

-?

4



70-t

0

9

0

0

5

Как видно из табл. 2.42, -оптимальный план задачи для всех t, при которых Следовательно, если является оптимальным планом исходной задачи, причем .

Если t>17/2, то не является планом задачи, так как третья компонента 17 – 2t есть отрицательное число. Поскольку среди элементов 1-й строки табл. 2.42 нет отрицательных при t>17/2 исходная задача неразрешима.

Исследуем теперь разрешимость задачи при t< -7/4. В этом случае Х= (0,5 -3t, 7+4t, 13+t, 0) (см. табл.2.41) не является планом задачи, так как третья компонента 7+4t есть отрицательное число. Чтобы при данном значении параметра найти оптимальный план (это можно сделать, так как в строке вектора Р3 стоит отрицательное число -1/2), нужно исключить из базиса вектор Р3 и ввести в базис вектор Р5 (табл. 2.43).

Таблица 2.43

i

Базис

Сб

Р0

3

-2

5

0

-4

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

1

Р5

-4

-14-8t

-4

0

-2

0

1

2

Р4

0

20+5t

3

0

1

1

0

3

Р2

-2

12+t

1

1

1

0

0

4



32+30t

11

11

1

0

0

Как видно из табл. 2.43, является оптимальным планом задачи для всех значений параметра t, при которых

Таким образом, если , то задача (80)-(82) имеет оптимальный план , при котором

Из табл. 2.43 так же видно, что при t<4 задача неразрешима, поскольку в строке вектора Р4 нет отрицательных элементов.

Итак, если , то задача не имеет оптимального плана; если оптимальный план, а если , то - оптимальный план, а если , то - оптимальный план, а если , то задача неразрешима.


1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Спать - это единственная возможность получить удовольствие от жизни, когда других удовольствий уже не надо, или они недоступны.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru