Курсовая: Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 975 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы



МИНИСТЕКРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ




КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему

Приближенное вычисление определенного интеграла
при помощи квадратурной формулы Чебышева”






Студента 2-го курса: Полякова Е.В.

Научный руководитель: Куприна Л.А.







Днепропетровск 2000г.



Содержание.

1. Общая постановка и анализ задания.

1.1. Введение

1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа

1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников

1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)

1.5. Квадратурная формула Чебышева

2 . Решение контрольного примера

3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.

4. Заключение и выводы.

5. Список литературы.

6. Листинг программы. Вывод на экран.




1. Общая постановка и анализ задачи.

1.1. Введение.


Требуется найти определенный интеграл


I =


по квадратурной формуле Чебышева.


Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.

Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1).

Рис. 1. Криволинейная трапеция.


Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница

= F(b) - F(a)

где

F’(x) = f(x)

Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления.

Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a, b].

Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными .

Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида


где

xk - выбранные узлы интерполяции;

Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но

не от вида функции (k=0,1,2,........, n).

R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.

Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения.

При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.

Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек

xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n)

xo= a; xn= b;

h= (b-a)/n ;

и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах

yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,......,n)


1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа


Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти


По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда


где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:

Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:

1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x);

2.для полинома степени n последняя формула точная.



Пологая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:


где

(k=0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN.


Определитель системы есть определитель Вандермонда


Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским.

Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул :





1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников.

Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой примем за приближенное значение интеграла


y

B

A





0 a b x

рис 1.3.1 Криволинейная трапеция



Рис. 1.3.2. Метод трапеций.





Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников.


По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —

для метода трапеций:

,

для метода средних прямоугольников:

.

1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)

Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... ,xn=b с шагом

Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения

1=y1+y2+ ... +y2m-1

2=y2+y4+ ... +y2m

получим обобщенную формулу Симпсона:

Остаточный член формулы Симпсона в общем виде:

где k I (x2к-2,x)


1.5. Квадратурная формула Чебышева


Рассмотрим квадратурную формулу вида:



функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=ao+a1x+...+anxn . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах


f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n


f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n


f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n


. . . . . . . . . . . . . . . .


f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn


получим формулу Чебышева.

Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены в таблице 3.


Таблица 3 – Значения х1,х2,..,хn для различных n.

n

I

ti

n

i

ti

2

1;2

 0,577350

6

1;6

 0,866247

3

1;3

 0,707107


2;5

 0,422519


2

0


3;4

 0,266635

4

1;4

 0,794654

7

1;7

 0,883862


2;3

 0,187592


2;6

 0,529657

5

1;5

 0,832498


3;5

 0,321912


2;4

 0,374541


4

0


3

0




2. Решение контрольного примера



где a=0 ; b= ; при n=5;


f(x) = sin(x);



i

xi

yi

1

0,131489

0,131118

2

0,490985

0,471494

3

0,785

0,706825

4

0,509015

0,487317

5

0,868511

0,763367



x1= /4+/4*t1=/4+/4(-0,832498)=0,131489


x2= /4+/4*t2=/4+/4(-0,374341)=0,490985


x3= /4+/4*t3=/4+/4*0=0,785


x4=1- x2=1-0,490985 = 0,509015


x5=1- x1=1-0,131489=0,868511

y1=sin(x1) = sin(0,131489)=0,131118

y2=sin(x2) = sin(0,490985)=0,471494


y3=sin(x3) = sin(0,785)=0,706825


y4=sin(x4) = sin(0,509015)=0,487317


y5=sin(x5) = sin(0,868511)=0,763367



I = /10(0,131118+0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) =

=/10*2,560121=0,8038779.



3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.

Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы xi

Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yi

Процедура CHEB - используя массивы xi и yi, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.

Процедура TABL - это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент - функция)


При запуске программы нужно ввести границы интегрирования.

После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем высчитывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h.

После этого используем процедуры FORM и CHEB .

Получив результат, выводим таблицу ( процедура TABL ) и интеграл.












4. Заключение и выводы.

Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.

Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом.




















5.Список литературы:

1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“

2. Крылов В.И. “Приближенные вычисления интегралов“ - М. : Физмат.

3. Демидович и Марон “Основы вычислительной математики“

4. Копченова и Марон “Вычислительная математика в примерах и задачах”

5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.

6. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.

7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.



6. Листинг программы.

Программа написана на языке Tubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг:

program integral;


uses crt;


const n=5;

k=-0.832498;

l=-0.374541;

z=0.0;


type aa=array[1..n] of real;


var x,y:aa;

a,b,h,ich:real;


{ заполнение х-сов в массив х[5] }


procedure vvod(var a,b:real;var c:aa);

var i:integer;

t:aa;

Begin

t[1]:=k;

t[2]:=l;

t[3]:=z;

t[4]:=l;

t[5]:=k;


for i:=1 to n-1 do

c[i]:=((b+a)/2+(b-a)/2*t[i]);

for i:=n-1 to n do

c[i]:=1 - c[n+1-i];

end;


{ заполнение y-ков в массиве у[5] }


procedure form(var x:aa; var y:aa);

var i:integer;

Begin

for i:=1 to n do

y[i]:=sin(x[i]); {функция}

end;


{ процедура для расчета интеграла по квадратурной

формуле Чебышева }


procedure cheb(var y:aa;var ich:real);

var i:integer;

Begin


ich:=0;

for i:=1 to n do

ich:=ich+y[i]*h;

end;


{ процедура вывода таблицы}


procedure tabl;

var i:integer;

Begin

writeln(' ___________________________________ ');

writeln('| i | t | x | y |');

writeln(' ___________________________________ ');

writeln('| 1 |',k:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|');

writeln('| 2 |',l:9:6,'|',x[2]:9:6,' |',y[2]:9:6,'|');

writeln('| 3 |',z:9:6,'|',x[3]:9:6,' |',y[3]:9:6,'|');

writeln('| 4 |',l:9:6,'|',x[4]:9:6,' |',y[4]:9:6,'|');


writeln('| 5 |',k:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|');

writeln(' ___________________________________ ');

end;



Begin


clrscr;

writeln(' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я');

writeln(' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А ');

writeln;

writeln('Введите границы интегрирования a,b:');

readln(a,b);

vvod(a,b,x);

h:=(b-a)/n;

writeln('h=',h:9:6);

form(x,y);

cheb(y,ich);

tabl;

writeln('I=',ich:8:6);


end.







Вывод результата :


П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я

О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А


Введите границы интегрирования a,b:

0 1.5708

h= 0.314160

____________________________

| i | t | x | y |

____________________________

| 1 |-0.832498| 0.131556 | 0.131177|

| 2 |-0.374541| 0.491235 | 0.471716|

| 3 | 0.000000| 0.785400 | 0.707108|

| 4 |-0.374541| 0.508765 | 0.487099|

| 5 |-0.832498| 0.868444 | 0.763325|

____________________________

I=0.804383


1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- У тебя был кто-нибудь до меня?
- Сегодня?
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru