Курсовая: Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 975 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

МИНИСТЕКРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИ ЧЕСКИЙ УН ИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА на тему “Приближенное вычисление определ енного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева” Студента 2-го курса : Пол якова Е.В. Научный руководитель : Купр ина Л.А. Днепропетровск 2000г. Содержание. 1. Общая постановка и анализ задания. 1.1. Введение 1.2. Вывод формул численного интегрирования с использован ием интерполяционного полинома Лагранжа 1.3 Формула трапеций и ср едних прямоугольник ов 1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула ) 1.5. Квадратурная формула Чебышева 2 . Решение контрольного примера 3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм. 4. Заключение и выводы. 5. Список литературы. 6. Листинг прог раммы . Вывод на экран. 1. Общая постановка и анализ задачи. 1.1. Введение . Требуется найти определенный интеграл I = по квад ратурной формуле Чебышева. Рассмотрим , что представляет из себя вообще квадрату рная формула , и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл. Известно, что определенный инт еграл ф ункции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной крив ыми x =0 , y = a , y = b и y = (Рис. 1). Рис . 1. Криволинейная трапеция. Если f(x) неп рерывна на отрезке [a, b], и известна ее первоо бразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может б ыть вычислен по , известной всем , формуле Н ьютон а - Лейбница = F(b) - F(a) где F ’ (x) = f(x) Однак о во многих случаях F(x) не может быть на йдена , или первообразная получается очень сло жной для вычисления. Кроме того , функция часто задается таб лично . Поэтому большое значение приобретает п риближенное и в первую очередь численное интегрирование. Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интегра ла по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторы х точках ( узлах ) отрезка [ a, b]. Численное определение однократного инте грала называется механическ ой квадратурой , а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными . Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом , мы получим квад ратурные формулы вида где x k - выбр анные узлы интерполяции ; A k - коэф фициенты , зависящие только от выбора узлов , но не от вида функции (k=0,1,2,........, n ). R - остаточный член , или погрешность квад ратурной формулы. Отбрасывая остаточный член R, мы соверш аем погрешность усечения. При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления. Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n рав ных частей системой точек x i = x o + i .. h; ( i = 0,1,2,......,n) x o = a; x n = b; h = ( b - a )/ n ; и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах y i = f(x i ) ; ( i = 0,1,2,......,n) 1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn про межутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Т реб уется приближенно найти По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа . Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы . Отсюда , воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадрат урную формулу : Для выч исления коэффициентов А i заметим что : 1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x); 2.для полинома степени n последняя формул а точная. Пологая y=xK (k=0,1,2. .,n), получим линейную систему из n+1 уравнений : где (k=0,1,..,n), из которой можно определить коэффиц иенты А0, А 1,..,А N. Определитель системы есть определитель Ва ндермонда Заметим , что при применении этого мето да фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним . Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С .М . Никольским. Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул : 1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников. Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой , получим прямолинейную трапецию аАВ b, площадь которой примем за приближен ное значение интеграла y 0 a b x рис 1.3.1 Криволиней ная трапеция Рис . 1.3.2. Метод трапеций. Рис . 1.3.3. Метод средних прямоугольников. По метод ам трапеций и средних прямоугольников соответ ственно интеграл равен сумме площадей прямоуг ольных трапеций , где основание трапеции какая- либо малая величи на (точность ), и сумма площадей прямоугольников , где основание прям оугольника какая-либо малая величина (точность ), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника , которое г рафик функции должен пересекать в середине . Соответс т венно получаем формулы пл ощадей — для метод а трапеций : , для метод а средних прямоугольников : . 1.4. Общая форм ула Симпсона (параболическая формула ) Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значения фун кции y=f(x) для равноотстоящих точек а =x0,x1, ... ,xn=b с ш агом Применив фор мулу Симпсона к каждо му удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и вве дя обозначения 1 =y 1 +y 2 + ... +y 2m-1 2 =y 2 +y 4 + ... +y 2m получим обобщенную формулу Симпсона : Остаточный член формулы Симпсона в об щем виде : где k I (x 2к -2 ,x 2к ) 1.5. Квадратурная форму ла Чебышева Рассмотрим квадратурную формулу вида : функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=a o +a 1 x+...+a n x n . Проинтегрировав , преобразовав и подставив з начения многочлена в узла х f(x 1 )=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 12 +a 3 x 13 +...+a n x 1n f(x 2 )=a 0 +a 1 x 2 +a 2 x 22 +a 3 x 23 +...+a n x 2n f(x 3 )=a 0 +a 1 x 3 +a 2 x 32 +a 3 x 33 +...+a n x 3n . . . . . . . . . . . . . . . . f(x n )=a 0 +a 1 x n +a 2 x n2 +a 3 x n3 +...+a n x nn получим формулу Чебышева. Значения х 1,х 2,..,х n для различных n пр иведены в таблице 3. Таблица 3 – Значения х 1,х 2,..,х n для различных n. n I t i n i t i 2 1;2 0,577350 6 1;6 0,866247 3 1;3 0,707107 2;5 0,422519 2 0 3;4 0,266635 4 1;4 0,794654 7 1;7 0,883862 2;3 0,187592 2;6 0,529657 5 1;5 0,832498 3;5 0,321912 2;4 0,374541 4 0 3 0 2. Решение контрольного примера где a=0 ; b= ; при n=5; f(x) = sin(x); i x i y i 1 0,131489 0,131118 2 0,490985 0,471494 3 0,785 0,706825 4 0,509015 0,487317 5 0,868511 0,763367 x 1 = /4+ /4*t 1 = /4+ /4(-0,832498)=0,131489 x 2 = /4+ /4*t 2 = /4+ /4(-0,374341)=0,490985 x 3 = /4+ /4*t 3 = /4+ /4*0=0,785 x 4 =1- x 2 =1-0,490985 = 0,509015 x 5 =1- x 1 =1-0,131489=0,868511 y 1 =sin(x 1 ) = sin(0,131489)=0,131118 y 2 =sin(x 2 ) = sin(0,490985)=0,471494 y 3 =sin(x 3 ) = sin(0,785)=0,706825 y 4 =sin(x 4 ) = sin(0,509015)=0,487317 y 5 =sin(x 5 ) = sin(0,868511)=0,763367 I = /10(0,131118+ 0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) = = /10*2,560121=0,8038779. 3. Описание про граммы Integral. pas. Алгоритм. Процед ура VVOD - заполняет массив , содержащий в себе аргументы x i Процедура FORM - и спользуя массив , содержащий аргументы x i заполняет массив y i Процедура CHEB - используя массивы x i и y i , высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла. Процедура TABL - это подпрограмма , осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент - функция ) При запуске программы нужно ввести г раницы интегрирования. После ввода границ интегрирования исполь зуется процедура VVOD, а затем вы считывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h. После этого используем процедуры FORM и CHEB . Получив результат , выводим таблицу ( процед ура TABL ) и интеграл. 4. Заключение и выводы. Таким образом очевидно , что при вычислении определенн ых интегралов с помощью квадратурных формул , а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения , а только п риближенное. Чтобы максимально приблизиться к достовер ному значению интеграла нужно уметь правил ьно выбрать метод и формулу , по ко торой будет вестись расчет . Так же очень важно то , какой будет взят шаг интегр ирования. Хотя численные методы и не дают о чень точного значения интеграла , но они оч ень важны , так как не всегда можно реш ить задачу интегриров ания аналитическим с пособом. 5.Список литературы : 1. Ракитин Т.А ., Первушин В.А. “ Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“ 2. Крылов В.И . “Пр иближенные вычислени я интегралов“ - М . : Физмат. 3. Демидович и Марон “Основы вычислитель ной математики“ 4. Копченова и Марон “Вычислительная мат ематика в примерах и задачах” 5. Вольвачев А.Н ., Крисевич В.С . Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС . Минск .: 1989 г. 6. Зуев Е.А . Язык программирования Turbo Pascal . М .1992 г. 7. Скляров В.А . Знакомьтесь : Паскаль . М . 1988 г. 6. Листи нг программы. Программа написа на на языке Tubro Pascal 7.0 для MS - DOS . Ниже приве ден ее листинг : program integral; uses crt; const n=5; k=-0.832498; l=-0.374541; z=0.0; type aa=array[1..n] of real; var x,y:aa; a,b,h,ich:real; заполнение х-сов в массив х [5] procedure vvod(var a,b:real;var c:aa); var i:integer; t:aa; Begin t[1]:=k; t[2]:=l; t[3]:=z; t[4]:=l; t[5]:=k; for i:=1 to n-1 do c[i]:=((b+a)/2+(b-a)/2*t[i]); for i:=n-1 to n do c[i]:=1 - c[n+1-i]; end; заполнение y-ков в массиве у [5] procedure form(var x:aa; var y:aa); var i:integer; Begin for i:=1 to n do y[i]:=sin(x[i]); функция end; процедура для расчета интеграла по квадратурной формуле Чебышева procedure cheb(var y:aa;var ich:real); var i:integer; Begin ich:=0; for i:=1 to n do ich:=ich+y[i]*h; end; процедура вывода таблицы procedure tabl; var i:integer; Begin writeln(' ___________________________________ '); writeln('| i | t | x | y |'); writeln(' ___________________________________ '); w riteln('| 1 |',k:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|'); writeln('| 2 |',l:9:6,'|',x[2]:9:6,' |',y[2]:9:6,'|'); writeln('| 3 |',z:9:6,'|',x[3]:9:6,' |',y[3]:9:6,'|'); writeln('| 4 |',l:9:6,'|',x[4]:9:6,' |',y[4]:9:6,'|'); writeln('| 5 |',k:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|'); writeln(' ___________________________________ '); end; Begin clrscr; writeln(' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я '); writeln(' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А '); writeln; writeln('Введите границы интегр ирования a,b:'); readln(a,b); vvod(a,b,x); h:=(b-a)/n; writeln('h=',h:9:6); form(x,y); cheb(y,ich); tabl; writeln('I=',ich:8:6); end. Вывод результата : П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А Введите границы интегрирования a,b: 0 1.5708 h= 0.314160 ____________________________ | i | t | x | y | ____________________________ | 1 |-0.832498| 0.131556 | 0.131177| | 2 |-0.374541| 0.4 91235 | 0.471716| | 3 | 0.000000| 0.785400 | 0.707108| | 4 |-0.374541| 0.508765 | 0.487099| | 5 |-0.832498| 0.868444 | 0.763325| ____________________________ I=0.804383
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Я помню доллар ещё совсем маленьким, ему было всего 6 рублей. И вот он рос, и стал совсем большим. Теперь ему под 70. Надеюсь, он скоро сдохнет.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru