Курсовая: Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 975 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы



МИНИСТЕКРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ




КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему

Приближенное вычисление определенного интеграла
при помощи квадратурной формулы Чебышева”






Студента 2-го курса: Полякова Е.В.

Научный руководитель: Куприна Л.А.







Днепропетровск 2000г.



Содержание.

1. Общая постановка и анализ задания.

1.1. Введение

1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа

1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников

1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)

1.5. Квадратурная формула Чебышева

2 . Решение контрольного примера

3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.

4. Заключение и выводы.

5. Список литературы.

6. Листинг программы. Вывод на экран.




1. Общая постановка и анализ задачи.

1.1. Введение.


Требуется найти определенный интеграл


I =


по квадратурной формуле Чебышева.


Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.

Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1).

Рис. 1. Криволинейная трапеция.


Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница

= F(b) - F(a)

где

F’(x) = f(x)

Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления.

Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a, b].

Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными .

Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида


где

xk - выбранные узлы интерполяции;

Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но

не от вида функции (k=0,1,2,........, n).

R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.

Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения.

При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.

Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек

xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n)

xo= a; xn= b;

h= (b-a)/n ;

и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах

yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,......,n)


1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа


Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти


По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда


где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:

Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:

1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x);

2.для полинома степени n последняя формула точная.



Пологая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:


где

(k=0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN.


Определитель системы есть определитель Вандермонда


Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским.

Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул :





1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников.

Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой примем за приближенное значение интеграла


y

B

A





0 a b x

рис 1.3.1 Криволинейная трапеция



Рис. 1.3.2. Метод трапеций.





Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников.


По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —

для метода трапеций:

,

для метода средних прямоугольников:

.

1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула)

Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... ,xn=b с шагом

Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения

1=y1+y2+ ... +y2m-1

2=y2+y4+ ... +y2m

получим обобщенную формулу Симпсона:

Остаточный член формулы Симпсона в общем виде:

где k I (x2к-2,x)


1.5. Квадратурная формула Чебышева


Рассмотрим квадратурную формулу вида:



функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=ao+a1x+...+anxn . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах


f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n


f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n


f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n


. . . . . . . . . . . . . . . .


f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn


получим формулу Чебышева.

Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены в таблице 3.


Таблица 3 – Значения х1,х2,..,хn для различных n.

n

I

ti

n

i

ti

2

1;2

 0,577350

6

1;6

 0,866247

3

1;3

 0,707107


2;5

 0,422519


2

0


3;4

 0,266635

4

1;4

 0,794654

7

1;7

 0,883862


2;3

 0,187592


2;6

 0,529657

5

1;5

 0,832498


3;5

 0,321912


2;4

 0,374541


4

0


3

0




2. Решение контрольного примера



где a=0 ; b= ; при n=5;


f(x) = sin(x);



i

xi

yi

1

0,131489

0,131118

2

0,490985

0,471494

3

0,785

0,706825

4

0,509015

0,487317

5

0,868511

0,763367



x1= /4+/4*t1=/4+/4(-0,832498)=0,131489


x2= /4+/4*t2=/4+/4(-0,374341)=0,490985


x3= /4+/4*t3=/4+/4*0=0,785


x4=1- x2=1-0,490985 = 0,509015


x5=1- x1=1-0,131489=0,868511

y1=sin(x1) = sin(0,131489)=0,131118

y2=sin(x2) = sin(0,490985)=0,471494


y3=sin(x3) = sin(0,785)=0,706825


y4=sin(x4) = sin(0,509015)=0,487317


y5=sin(x5) = sin(0,868511)=0,763367



I = /10(0,131118+0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) =

=/10*2,560121=0,8038779.



3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.

Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы xi

Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yi

Процедура CHEB - используя массивы xi и yi, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.

Процедура TABL - это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент - функция)


При запуске программы нужно ввести границы интегрирования.

После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем высчитывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h.

После этого используем процедуры FORM и CHEB .

Получив результат, выводим таблицу ( процедура TABL ) и интеграл.












4. Заключение и выводы.

Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.

Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом.




















5.Список литературы:

1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“

2. Крылов В.И. “Приближенные вычисления интегралов“ - М. : Физмат.

3. Демидович и Марон “Основы вычислительной математики“

4. Копченова и Марон “Вычислительная математика в примерах и задачах”

5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.

6. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.

7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.



6. Листинг программы.

Программа написана на языке Tubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг:

program integral;


uses crt;


const n=5;

k=-0.832498;

l=-0.374541;

z=0.0;


type aa=array[1..n] of real;


var x,y:aa;

a,b,h,ich:real;


{ заполнение х-сов в массив х[5] }


procedure vvod(var a,b:real;var c:aa);

var i:integer;

t:aa;

Begin

t[1]:=k;

t[2]:=l;

t[3]:=z;

t[4]:=l;

t[5]:=k;


for i:=1 to n-1 do

c[i]:=((b+a)/2+(b-a)/2*t[i]);

for i:=n-1 to n do

c[i]:=1 - c[n+1-i];

end;


{ заполнение y-ков в массиве у[5] }


procedure form(var x:aa; var y:aa);

var i:integer;

Begin

for i:=1 to n do

y[i]:=sin(x[i]); {функция}

end;


{ процедура для расчета интеграла по квадратурной

формуле Чебышева }


procedure cheb(var y:aa;var ich:real);

var i:integer;

Begin


ich:=0;

for i:=1 to n do

ich:=ich+y[i]*h;

end;


{ процедура вывода таблицы}


procedure tabl;

var i:integer;

Begin

writeln(' ___________________________________ ');

writeln('| i | t | x | y |');

writeln(' ___________________________________ ');

writeln('| 1 |',k:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|');

writeln('| 2 |',l:9:6,'|',x[2]:9:6,' |',y[2]:9:6,'|');

writeln('| 3 |',z:9:6,'|',x[3]:9:6,' |',y[3]:9:6,'|');

writeln('| 4 |',l:9:6,'|',x[4]:9:6,' |',y[4]:9:6,'|');


writeln('| 5 |',k:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|');

writeln(' ___________________________________ ');

end;



Begin


clrscr;

writeln(' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я');

writeln(' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А ');

writeln;

writeln('Введите границы интегрирования a,b:');

readln(a,b);

vvod(a,b,x);

h:=(b-a)/n;

writeln('h=',h:9:6);

form(x,y);

cheb(y,ich);

tabl;

writeln('I=',ich:8:6);


end.







Вывод результата :


П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я

О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А


Введите границы интегрирования a,b:

0 1.5708

h= 0.314160

____________________________

| i | t | x | y |

____________________________

| 1 |-0.832498| 0.131556 | 0.131177|

| 2 |-0.374541| 0.491235 | 0.471716|

| 3 | 0.000000| 0.785400 | 0.707108|

| 4 |-0.374541| 0.508765 | 0.487099|

| 5 |-0.832498| 0.868444 | 0.763325|

____________________________

I=0.804383


1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Страховая компания "Засчитана ходка!", здравствуйте! Чем могу вам помочь?
- Как-как??! Какая ещё ходка, кому засчитана?! Вы там упоротые, что ли?
-...Страховая компания "Защита-находка", здравствуйте...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru