Диплом: Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов - текст диплома. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Диплом

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Дипломная работа
Язык диплома: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 4234 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной дипломной работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

40 2 Министерство общего и профессионального образования Сочинский г осударственный университет туризма и курортного дела Педагогический институт Математический факультет Кафедра общей математики ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов. Выполнила : студентка 5-го курса дневной формы обучения Специальность 010100 „Математика” Прокофьевой Я . К. Студенческий билет № 95035 Научный руководитель : доцент , канд . техн . наук Позин П.А. Сочи , 2000 г. СОДЕРЖАНИЕ Введение………………………………………………………………………..…… 3 Глава 1. Уравне ния гиперболического типа. § 1.1. Задачи , приводящие к уравнениям гиперболического типа..……………… 5 1.1.1. Уравнение колебаний струны..………………………………………… 5 1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах…….……………… 8 § 1.2. Метод разделения переменных …………………………… ……………….. 10 1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны….………………………… 10 Глава 2. Уравнения параболического типа. § 2.1. Задачи , приводящие к уравнениям параболического типа……………….. 17 2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.………………………. 17 2.1.2. Распрост ранение тепла в пространстве.……………………………… 19 § 2.2. Температурные волны.………………………………………………………. 23 Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. § 3.1. Дифракция излучения на сферической частице…………………………… 29 Заключение……………… …………………………………………………………. 40 Литература………………………………………………………………………….. 41 ВВЕДЕНИЕ Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика . Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интеграль ном исчислении» Л . Эйлера. Классические уравнения математической физики являются линейными . Особенность линейных уравнений состоит в том , что если U и V – два решения , то функция U + V при любых п остоянных и снова является решением . Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теор ию этих уравнений. Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений . Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных высту пает численное интегрирование. Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов . Сюда относятся явления , изучаемые в гидродинамике , теории упругости , электродинамике и т.д . Возникающие при этом математические зада чи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. Постановка задач математической физики , будучи тесно связанной с изучением физических проблем , имеет свои специфические черты . Так , например , начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов. Круг вопросов , относящихся к математической физике , чрезвычайно широк . В данной работе рассматриваются задачи математической физики , приводящие к уравнениям с част ными производными. Расположение материала соответствует основным типам уравнений . Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач , приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1.1. Зада чи , приводящие к уравнениям гиперболического типа. Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах , связанных с процессами колебаний . Простейшее уравнение гиперболического типа называется волновым уравнением . К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны , продольных колебаний стержня , эле ктрических колебаний в проводе , крутильных колебаний вала , колебаний газа и т.д. 1.1.1. Уравнение колебаний струны. В математической физике под струной понимают гибкую , упругую нить . Напряжения , возникающие в струне в любой момент времени , направлены по к асательной к ее профилю . Пусть струна длины в начальный момент направлена по отрезку оси О x от 0 до . Предположим , что концы струны закреплены в точках . Если струну отклонить от ее первоначального положения , а потом п редоставить самой себе или , не отклоняя струны , придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость , или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость , то точки струны будут совершать движения – говорят , что струна начнет колебаться . Задача з аключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени. Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения . В силу этого можно предполагать , что движени е точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости . При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией , которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t . Рис . 1.1. Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости , то будем предполагать , что длина элемента струны равняется ее проекции на ось Ox , т.е . . 1 1 Это предположение эквивалентно тому , что мы пренебрегаем величиной по сравнению с 1. Действительно , . Также будем предполагать , что натяжение во всех точках струны одина ковое ; обозначим его через Т. Рассмотрим элемент струны . Рис . 1.2. На концах этого элемента , по касательным к струне , действуют силы Т . Пуст ь касательные образуют с осью Ox углы . Тогда проекция на ось Ou сил , действующих на элемент , будет равна . Так как угол мал , то можно положить , и мы будем иметь : (здесь мы приме нили теорему Лагранжа к выражению , стоящему в квадратных скобках ). Чтобы получить уравнение движения , нужно внешние силы , приложенные к элементу , приравнять силе инерции . Пусть - линейная плотность струны . Тогда масса элемента струны будет . Ускорение элемента равно . Следовательно , по принципу Даламбера будем иметь : . Сокращая на и обозначая , получаем уравнение движения . (1) Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны . Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно . Искомая функция должна удовлетворять еще граничным условиям , указывающим , что делается на концах струны , и начальным ус ловиям , описывающим состояние струны в начальный момент ( t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Пусть , например , как мы предполагали , концы струны при неподвижны . Тогда при любом t должны выполнятся равенства : (2 ’ ) (2 ’ ’ ) Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи. В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму , которую мы ей придали . Пусть эта форма определяется функцией f ( x ). Таким обра зом , должно быть (3 ’ ) Далее , в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны , которая определяется функцией . Таким образом , должно быть (3 ’ ’ ) Условия (3 ’ ) и (3 ’ ’ ) являются начальными услови ями. Замечание. В частности , может быть или . Если же и , то струна будет находится в покое , следовательно , . 1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах. Как указывалось выше , к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах . Электрический ток в проводе характеризуется величиной i ( x , t ) и напряжением v ( x , t ), которые зависят от координаты x точки провода и от времени t . Рассматривая элемент провода , можем написать , что падение напряжения на элементе равно . Это падение напряжения складывается из омического , равного , и индуктивного , равного . Итак, (4) где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности , рассчит анные на единицу длины провода . Знак минус взят потому , что ток течет в направлении , обратном возрастанию v . Сокращая на , получаем уравнение (5) Далее , разность токов , выходящего из элемента и входящего в него за в ремя , будет Она расходуется на зарядку элемента , равную , и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции , равную (здесь А – коэффициент утечки ). Приравнивая эти выражения и сокращая на , получим уравнение (6) Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями. Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение , содержащее только искомую функцию i ( x , t ), и уравнение , содержаще е только искомую функцию v ( x , t ). Продифференцируем члены уравнения (6) по x ; члены уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С . Произведя вычитание , получим : Подставляя в последнее уравнение выражение из уравнения (5), получим : или (7) Аналогичным образом получается уравнение для определения v ( x , t ): (8) Если пренебречь утечкой через изоляцию и сопротивлением , то уравнения (7) и (8) п ереходят в волновые уравнения : где обозначено : . Исходя из фи зических условий , формулируют граничные и начальные условия задачи. § 1.2. Метод разделения переменных. 1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны. Метод разделения переменных или метод Фурье , является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными . Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны , закрепленной на концах . Итак , будем искать решение уравнения удовлетворяющее однородным граничным условиям (9) и начальным условиям (10) Уравнение (1) линейно и однородно , поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения . Имея достаточно большое число частных решений , можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение . Поставим основную вспомогательную задачу : найти решение уравнения н е равное тождественно нулю , удовлетворяющее однородным граничным условиям (11) и представимое в виде произведения (12) где X ( x ) – функция только переменного x , T ( t ) – функция только переменного t . Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим : или , после деления на XT , (13) Чтобы функция (12) была решением ур авнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно , т . е . 0 ‹ х ‹ , t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t , а л евая – только х . Фиксируя , например , некоторое значение х и меняя t (или наоборот ), получим , что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение (14) где – постоянная , которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус , ничего не предполагая при этом о ее знаке. Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для опреде ления функций X ( x ) и T ( t ) (15) (16) Граничные услови я (11) дают : Отсюда следует , что функция X ( x ) должна удовлетворять дополнительным условиям : X (0) = X ( ) = 0, (17) Так как иначе мы имели бы в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения . Для функции T ( t ) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет. Таким образом , в связи с нахождением функции X ( x ) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях : найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи : (18) а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями , а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля. Рассмотрим отдельно случаи , когда параметр отрицателен , равен нулю или положителен. 1. При ‹ 0 задача не имеет нетривиальных реш ений . Действительно , общее решение уравнения (15) имеет вид Граничные условия дают : Х (0) = С 1 + С 2 = 0; т . е. Но в рассматриваемом случае – действительно и положительно , так что . Поэтому С 1 =0, С 2 = 0 и , следовательно, Х (х ) 0. 2. При = 0 также не существует нетривиальных решений . Действительно , в этом случае общее решение уравнения (15) им еет вид Х (х ) = С 1 х + С 2 . Граничные условия дают : т . е . С 1 = 0 и С 2 = 0 и , следовательно, Х (х ) 0. 3. При › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде Граничные условия дают : Если Х (х ) не равно тождественно нулю , то D 2 0, поэтому (19) или где n - любое целое число . Следовательно , нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях Этим собственным значениям соответствуют собственные функции где D n – произвольная постоянная. Итак , только при значениях , равных (20) существуют нетривиальные решения задачи (11) (21) определяемые с точностью до произвольн ого множителя , который мы положили равным единице . Этим же значениям n соответствуют решения уравнения (9) (22) где A n и B n – произвольные постоянные. Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем , что функции (23) являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций , одна из которых зависит только от х , другая – от t . Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций (x) и (x). Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае . В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений (24) также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные услови я позволяют определить A n и B n . Потребуем , чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10) (25) Из теории рядов Фурье известно , что произвольная кусочно-непр ерывная и кусочно-дифференцируемая функция f ( x ), заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье (26) где (27) Если функции (x) и (x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье , то (28) (29) Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает , что для выполнения начальных условий надо полож ить (30) чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи. Итак , мы доказали , что ряд (24), где коэффициен ты A n и B n определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование , представляет функцию u ( x , t ), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10). Замечание. Решая рассмотренн ую задачу для волнового уравнения другим методом , можно доказать , что ряд (24) представляет решение и в том случае , когда он не допускает почленного дифференцирования . При этом функция должна быть дважды дифференцируемой , а - один раз дифференцируемой. Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 2.1. Задачи , приводящие к уравнениям гиперболического типа. 2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне. Рассмотрим одноро дный стержень длины . Будем предполагать , что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одина кова . Изучим процесс распространения тепла в стержне. Расположим ось Ох так , что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х = . Рис . 2.1. Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено , что скорость расп ространения тепла , т . е . количество тепла , протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени , определяется формулой (1) где S – площадь сечения рассматриваемого стержня , k – коэффициент теплопроводности. Рассмотрим элемент стержня , заключенный между сечениями с абсциссами х 1 и х 2 (х 2 – х 1 = х ). Количе ство тепла , прошедшего через сечение с абсциссой х 1 за время t, будет равно (2) то же самое с абсциссой х 2 : (3) Приток Q 1 - Q 2 в элемент сте ржня за время t будет равняться : (4) Этот приток тепла за время t затратился на повышение температуры элемента сте ржня на величину u: или (5) где с – теплоемкость вещества стержня , – плотность вещества стержня ( xS – масса элемента стержня ). Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла , получим : Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности ) в однородном стержне. Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено , функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям , соответствующим физическим условиям задачи . Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные . Условия , которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для , следующие : u (x, 0) = ц (x), (7) u (0, t) = ш 1 (t), (8) u ( , t) = ш 2 (t). (9) Физическое условие (7) (начальное условие ) соответствует тому , что при в разных сечениях стержня задана температура , равная ц (x). Условия (8) и (9) (граничные условия ) соответствуют тому , что на концах стержня при х = 0 и при х = поддерживается температура , равная ш 1 (t) и ш 2 (t) соответственно. Доказывается , что уравнение (6) имеет единственное решение в области , удовлетворяющее условиям (7) – (9). 2.1.2. Распространение тепла в пространстве. Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве . Пусть u (x, y, z, t) – температура в точке с коор динатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путем установлено , что скорость прохождения тепла через площадку s, т . е . количество тепла , протекающего за еди ницу времени , определяется формулой (аналогично формуле (1)) (10) где k – коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды , которую мы считаем одн ородной и изотропной , n – единичный вектор , направленный по нормали к площадке s в направлении движения тепла . Таким образом , можем записать : где – направляющие косинусы вектора n, или Подставляя выражение в формулу (10), получаем : Q = -k n grad u s. Количество тепла , протекающего за время
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Воспоминания о той лихой пьянке с мастером тату удалялись с трудом.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, диплом по математике "Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru