Реферат: Тригонометрия - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Тригонометрия

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 142 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

с а b Ученика 10-В класса общеобразовательной школы І-ІІІ ступеней №7 г. Нежина Сипливца Алексея Начнем с есте ственного «изначального» вопроса: откуда появились и как накапливалис ь тригонометрические знания лю дей? Задачи, в которых требуется измерят ь углы, появились так же давно и столь же настойчиво требовали своего реш ения, как и задачи, сводящиеся к измерению расстояний. Более того, эти две измерительные операции сосуществуют неразделимо. Роль измерения углов оказывается особенно значительной в тех случаях, когда непосредственн ое измерение расстояний оказы вается затрудненным или невозможным всл едствие удален ности или недоступности предметов. В свою очередь измере ние углов может быть охарактеризовано измерением специальных отрезков прямой — тригонометрических линий. Тригонометрия начала свой путь пра ктического и теоретического развития и про ходит его вместе с геометрие й. Все древние цивилизации вноси ли свой вклад в дело накоп ления тригонометрических знаний. История мат ематической науки дает тому немало убедительных примеров. На одной из гл иняных табличек Древнего Вавилона, возраст которой опре деляют вторым т ысячелетием до нашей эры, решается задача: вычислить длину хорды ( s ) круга, исходя из величины ( d ) диа метра и высоты (а) сегмента, отсекае мого этой хордой. Описа ние задачи и правила ее решения таковы, что в них з аметно использование подобия треугольников и теоремы Пифагора. В привы чной нам символике этот способ может быть выражен формулами Руководитель одной из самых ран них научных школ Древней Греции Фалес из Милета (ок. 625— 547 до н. э.) упоминал в числе научных достижений древних египтян метод определения высоты пре дмета по длине отбрасываемой им тени. Этот метод послужил основой гномон ики — учения о солнечных часах. Как широко известно, гномон — это прямой шест, вертикально установленный на горизонтальной площадке. Его тень в т ечение сол нечного дня перемещается, «заметая» некоторую площадь. Сере дина линии, окаймляющей эту площадь, будучи соединена с ос нованием гном она, образует полуденную линию: север - юг. Отношение длины тени к длине ше ста (или обратное отноше ние) определяет высоту солнца над горизонтом. Де ление линии дает части дня — часы. Регулярные замеры позволяют отыскать пункт солнцестояния, найти длину солнечного года и решить другие задачи . Элементы тригонометрии содержались во многих сочин ениях древнегреческих математиков. В трактате Архимеда «Измере ние кру га», например, приведена лемма: «Если вписанный в дугу окружности отрезо к прямой сломан на две неравные части и если из середины дуги опустить на него перпендикуляр, то он разделит сломанную линию пополам». Это, очевид но, дает воз можность вычислять хорды суммы и разности двух заданных дуг. В «Началах» Евклида, где автор избегает рассуждений метри ческого (изме рительного) характера, содержится, конечно, мень ше тригонометрических элементов, хотя их не столь уж трудно обнаружить и интерпретировать. Нап ример, во второй книге это го сочинения теоремы 12 и 13 по существу эквивален тны теоре ме косинусов. Наибольшее внимание ученых тех да вних времен привлекали тригонометрические соотношения на сферических поверхностях. Это было продиктовано нуждами астрономии и географии. Дел о в том, что преобладающей гипотезой о строении вселенной была геоцентри стская. Согласно этой гипотезе земля есть шар, распо ложенный в центре не бесной сферы, которая равномерно вра щается вокруг своей оси. Светила ра сположены на этой сфере. Их движения и подвергаются изучению. При этом бо льшое значе ние приобретают математические задачи о расположении точе к и фигур на сферах и об их движениях (перемещениях). Работы, в которых подобные задачи решаются, получили на звание сферики. В сферику включались теоремы об окруж ностях и сферах, гр афические приемы построения сферических треугольников, сферопея или о бъединение кинематических моде лей, изображающих мир (армиллы), и др. В сф ерике, таким образом, сочетались элементы практической астрономии, гео графии (определение места наблюдения, направления пути по положению неб есных светил) и геометрии на сферах. Плоская тригонометрия при таких условиях отнюдь не игр а ла лишь второстепенную роль по сравнению с тригонометрией сферическо й. У нее была своя область приложений. Кроме того, она являлась частью прак тической астрономии, так как в последней широко используются ортогонал ьные проектирования. Фигуры, находящиеся или передвигающиеся на сфере, п роек тируются на плоскости, избранные для отсчетов: плоскости го ризонт а, меридиана или др. Тем самым многие задачи сводят ся к плоским случаям. И змерительные операции при этом чаще всего прилагаются к хордам. Многокр атное применение подоб ных операций неизбежно порождало стремление та булировать значения хорд, составлять таблицы их значений. Одно из самых первых значительных достижений в составл е нии тригонометрических таблиц относится ко II в. н. э. Оно находится в зн аменитом сочинении К. Птолемея «Матема тическое собрание в 13 книгах». Со чинение это более известно под названием «Алмагест», что является средн евековой латини зацией арабского термина «Альмаджисти», который сам яв ляет ся переводом с греческого «Мегале», т. е. «Великая (книга)». В этом соч инении Птолемея собраны, систематизированы и обобщены все известные к т ому времени результаты, получен ные в астрономии и в смежных с нею науках . Великим же оно было названо потому, что существовала «Малая астрономия » - сборник сочинений, знать содержание которых было необходимо для пони мания того, что написано в «Алмагесте». В сборник входили, прежде всего, сочинения по сферике, а также те работы Архимеда, Евклида, Аристарха Само сского и других ученых, где рассматривались смежные математические зад ачи. Как плоская, так и сферическая тригонометрии входят в п ер вую из книг «Алмагеста». Метод составления тригонометриче ских табл иц состоял в следующем. В основе всех построений находится круг заданног о диаметра. На нем рассматривается единственная тригонометрическая ха рактеристика: длина хорды, стягивающей дугу, соответствующую данному це нтральному уг лу. Задача состояла в составлении (вычислении) таблицы зна чений этой функции с наибольшей по возможности точностью и высокой част отой в последовательности значений аргумента. По существу таблицы хорд являются первичной формой табли цы синусов. При вычислениях Птолемей пользуется 60-ричной системой счисления. Для удобства и определенности в вычислениях он делит окружно сть на 360 равных частей, диаметр — на 120 час тей (соответственно радиус дели тся на 60 частей) с последую щим более дробным делением градусов на минуты, секунды, терции и т. д. Для начала вычисляются длины хорд, являющихся сторо нами правильных вписанных в окружность многоугольни ков с 3, 4, 5, 6, 10 сторона ми. Чтобы из этих, «опорных» значений получать значения др у гих (а в конечном счете любых) хорд, у Птолемея выведены соотношения, экв ивалентные следующим: а) sin 2 a + cos 2 a = 1 — формула для вычисления длин хорд дополнительных у глов; б) sin (a — в) = sin a cos в — cos a sin в — формула для вычис ления синуса разности двух углов как частный случай теоремы П толемея. К этим соотношениям он прибавляет способ нахождения хорд для половины заданного угла и соотношение, эквива лентное известному: Этих результатов оказалось для Птолемея достаточно, чтобы составить таблицу значений хорд для углов от 0 до 180° с час тотой по лградуса , что соответствует таблице синусов у глов первой четверти с частотой в четверт ь градуса . Последующие проверки , произведенные в десятичной системе , показали , что значения о к азались точными до пятого десятичного знака включительно. Таким образом, уже в самые первые век а нашей эры (т. е. около двух тысяч лет тому назад) элементы плоской тригоно метрии сложились в единую систему и заняли определенное место в сов окупности математических знаний. Они вначале су ществовали в виде относ ительно элементарной части в системе неразделенных знаний, имевших сво ей главной целью решение задач практической астрономии. По своему значе нию они усту пали основам сферической тригонометрии, так как теоремы последней непосредственно примыкали к астрономическим суж дениям. При менения же плоской тригонометрии к измерениям не доступных расстояний и, следовательно, к решению треуголь ников и других фигур стимулировал и составление таблиц три гонометрических функций и почти полностью от э того зависели. Также рано и естественно определились направления разви тия плоской тригонометрии. Они состояли во введении других тригонометр ических характеристик, кроме птолемеевских хорд; в отыскании формул, вы ражающих связи между этими характе ристиками; в разработке вычислите льных приемов, имеющих целью облегчить составление таблиц тригономет рических функ ций. По этим направлениям и происходило накопление тригоно м етрических знаний в последующие века. Процесс накопления замедлялся ил и ускорялся в зависимости от общего хода разви тия математических и воо бще научных знаний. Подъем и ус корение происходили в эти времена главны м образом в Индии (начиная с IV— VI вв.) и в государствах Ближнего и Среднего В остока (начиная с VIII— IX вв.). Математики и астрономы, работавшие на территории Индост анского полуострова, восприняли греческую тригонометрию хорд и широко ее применяли. В их руках она получила многочис ленные усовершенствовани я, среди которых следующие: а) замена хорды полухордой и введение таким образом ли нии синусо в; б) введение линии косинусов и синусов-версусов (т. е. обра щенных синус ов): sinvers a = R — cos a; в) выражение величины тригонометрических линий в частях окружно сти и подготовка тем самым радианного измерения углов; г) фактическое введение линий тангенсов и котангенсов при решении з адач об определении недоступных расстояний и высот без явной их интерп ретации как новых тригонометрических объектов; д) составление таблиц значен ий тригонометрических функций. В науке арабоязычных стран Ближнего и Среднего Востока н акопление и совершенствование тригонометрических знаний происходило гораздо энергичнее. Оно достигало такого уровня, который фактически озн ачал происходившее выделение триго нометрии в отдельную, обладающую во зрастающей долей само стоятельности часть математики. Общеизвестно, что становление науки, в том числе матема тики, в указанных государствах сопровождалось (а в ряд е мест начиналось) систематическим изучением математических со чинени й, написанных в Древней Греции и в других странах. Рукописи собирались во всех местностях, куда распространя лось влияние арабских халифатов. Сво зили эти сочинения в ад министративные центры, где их изучали, переводил и на араб ский язык, устраняли ошибки, уточняли данные, снабжали тек сты к омментариями. Затем их дополняли результатами собствен ных исследован ий. Так в те времена складывались научные школы и научная литература, опи рающаяся в интересующей нас области — тригонометрии — в основном на до стижения индий ской и древнегреческой математики и астрономии. На этом пути рано, начиная, по-видимому, с VIII в., стали появлят ься арабские зиджи. Это были сборники астрономиче ских и тригонометриче ских таблиц, сопровождаемых поясне ниями и доказательствами соотношен ий между тригонометри ческими функциями. Зиджи являлись как учебниками , так и справочниками при решении разнообразных задач: измерения времени , определения географических координат, расположение планет на небесно й сфере, вычисления времени восхода и за хода солнца, луны и их затмений. К нашему времени сохранилось свыше 100 зиджей, среди которых — знаменитый « Гургандский», составленный в Самарканде в научной школе Улугбека (1394— 1449). Зиджи более раннего времени были целиком ориентированы н а составление возможно более точных тригонометрических таб лиц. Из соде ржания зиджей видно, что не позднее IX в. были вве дены и табулированы вслед за синусом, косинусом и синусом-версусом новые тригонометрические функ ции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Сравнительно быстро они приоб рели самостоя тельные трактовки. С течением времени становилось все труднее включать быстро разрастающийся тригонометрический матери ал в рамки зиджа. Поэтому, начиная с X— XI вв. стали появляться отдельные (сам о стоятельные) трактаты о плоской и сферической тригономет рии. В сочине ниях такого рода тригонометрические линии начали получать свою тракто вку уже без обращения к птолемеевской системе построения хорд (так делал , например, аль-Фараби). В ряде других сочинений постепенно вводились осно вные соотношения между тригонометрическими функциями, которые снаб жа лись доказательствами и по мере возможности систематизи ровались. Так, в частности, поступал аль-Баттани (ок. 858— 929) в работе «Усовершенствование Алмагеста». Сочинение это впоследствии оказало большое влияние и на раз витие тригоно метрии в Европе. Такой же характер имел и не меньшее влия н ие оказал «Канон Мас ’ уда» аль-Бир уни (973— 1048). Вы числительные трудности арабскими математиками также были успешно преодолены. Об этом, например, говорит получение значения sin 1° с точностью до 17-го знака (в десятичной записи) в таблицах Каши, работавшего в Самарканде в научном центре, основ анном Улугбеком. Сосредоточимся теперь на вопросе о т ом, как тригонометрия преобразовалась в самостоятельную часть математ ики. Как было сказано ранее, происхо дило накопление тригоно метрических знаний и этот процесс обогащения п ривел к тому, что начиная примерно с XIII в. накопленный материал стал подвергаться систематизации, состав ляя отдельную, во многом самостоятельную, область математики — тригоно метрию. Убедительным доказательством т ого, что такое качественное изменение происходило, можно считать появле ние специальных сочинений, посвященных систематическому изложению три гоно метрии. Впервые подобные сочинения появились, как было выше указан о, среди арабских рукописей. Приведем еще один, пожа луй, наиболее характе рный пример: это «Трактат о полном че тырехстороннике» Н асирэддина Туей (1201 — 1274). Трактат этот состо ит из пяти частей (книг). Первые две книги содержат вспомогательный матер иал для построения тригоно метрии: соответственно теорию составных отн ошений и доказа тельство теоремы Менелая для плоского четырехсторонни ка. В третьей книге введены понятия синуса и косинуса, правила решения пл оских треугольников и доказательство теоремы си нусов. В четвертой и в пятой книгах из лагаются основы сфериче ской тригонометрии. В первой из них рассмотрены доказательст ва теоремы Менелая для полного сферического четырехстор онника. В другой собраны методы решения сферических треуголь ников, в то м числе косоугольных. Для этого доказываются тео ремы синусов и тангенс ов. Такая структура тригонометрических сочинений сделалась в арабских сочинениях стандартной. Более подробно эта часть истори и тригонометрии освещена в очень хорошо написанной брошюре Г. П. Матвиев ской «Ста новление плоской и сферической тригонометрии» (М.: Знание, 1982). В н ей показано, как из вспомогательного раздела астро номии тригонометрия превращалась в самостоятельную матема тическую дисциплину. В Европе первое сочинение, в кот ором тригонометрия рас сматривалась как самостоятельная математическ ая дисциплина, было написано в 1462— 1464 гг. Его автором был ИоганнМюллер (1436— 1476), более известный в истории науки как Р егиомонтан (по месту рождения). Называлось это сочи нение «Пять кни г о треугольниках всех видов». Основное содер жание его, по всей видимост и, позаимствовано из арабских источников, главным образом из упомянутог о выше сочинения Насирэддина Туей. Однако оно в значительной степени пер е работано, систематизировано, дополнено собственными резуль татами ав тора и мастерски изложено. Хотя автор при жизни не успел его издать и его н апечатали лишь в 1533 г., но сочинение это было известно и ранее, сыграв больш ую роль в дальнейшем развитии тригонометрии. До сих пор тригонометрия формир овалась и развивалась под определяющим влиянием астрономии. Положение в этом смысле мало изменилось даже тогда, когда самостоятельное существ о вание тригонометрии стало общепризнанным фактом. Вслед за Региомонта ном, тригонометрией много занимался Коперник, посвятивший ей две главы с воего знаменитого капитального труда «Об обращениях небесных тел» (1543). К таблице тан генсов Региомонтана Коперник добавил таблицу секансов, что позволило заменять деление на синус и косинус умножением в целях облегч ения вычислений. Знаменитый астроном Тихо-Браге (1546— 1601) разработал много вычислительных прие мов, облегчающих задачу решения треугольников как плоских, так и сферических. Таблицы тригонометрических функций, по форме и по составу близкие к ныне употребляемым, составил в 1551 г. Ретик, ученик Ко перника. К концу XVI в. устойчивый хар актер приобрели названия всех тригонометрических функций. Техника оперирования с тригоно метрическими функциями до стигла к этому времени высокого уровня, и мат ематики не встре чали в этом вопросе принципиальных трудностей. В сочин е ниях И. Кеплера, Й. Бюрги, Ф. Виета и других математиков встречаются (и нер едко) сложные преобразования с тригономет рическими функциями, выведен ы многие формулы. Особенно при мечательными для тематики, рассматриваем ой в настоящей главе, представляются работы Виета. Исходя из известных уже формул д ля синуса и косинуса двух углов, Виет получил выражения для этих же функц ий в случае кратных аргументов, а также многие формулы, в том чис ле рекур рентные. Как уже было рассказано в главе 4 настоя щей книги, среди результ атов Виета появились и такие, в кото рых устанавливались связи между три гонометрией и алгеброй. Существо этого открытия состояло в том, что Виет у удалось свести задачу решения кубических уравнений в неприводимом сл учае к задаче о трисекции угла. Аналогию эту он сумел рас ширить, установи в связи между задачами о делении угла на рав ные части и задачами выделен ия классов алгебраически разре шимых уравнений. В последующем связи меж ду алгебраиче скими и тригонометрическими результатами не прерывалис ь. Новое обогащение содержания т ригонометрии происходило как часть истории математического анализа. И когда после пер вых ошеломляющих открытий понадобилось привести в сист ему математический анализ, пришлось сделать то же и с тригономет рическ ими функциями. Эта работа, ее результаты нашли свое от четливое выражени е в трудах Л. Эйлера. Теорию тригонометри ческих функций Эйлер изложил в 8- й главе 1-го тома своей книги «Введение в анализ бесконечных» (1748 г., на русск ом языке из дана в 1961 г.). Тем самым он завершил более или менее успеш ные поп ытки своих ближайших предшественников. Эйлер ввел близкую к привычно й нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрич еских функций любого аргумента. Эти функции он рассматривал как безраз мерные числа, называя их общим термином «трансцендентные количества, по лучающиеся из круга». Тем самым был сделан важный шаг. Дело в том, что пред шественники Эйлера неизменно связывали понимание тригон о метрических функций с образами линий в круге некоторого радиуса, назы вая его «полным синусом» (sinus totus). Теперь же тригонометрические функции сост авили просто некоторый класс аналитических функций как действительных , так и комп лексных аргументов, что было проделано с характерной для того времени смелостью и оправдывалось на первых порах только правильность ю и полезностью достигаемых при этом резуль татов. Вскоре, в 1770 г., появилось и удер жавшееся до наших дней название тригонометрические функции. Его ввел Г. С. Клюгель в работе «Аналитическая тригонометрия». В то же примерно время (т. е. во вто рой половине XVIII в.) построение общей системы тригонометрических и примык ающих к ним знаний развивалось и в несколько ином направлении. И. Г. Ламбер т (1728— 1777) в «Очерках об употреблении математики и ее приложений» (1770) провел обобщение триго нометрии на четырехугольники, создав таким образом тет рагонометрию. Еще через несколько лет, в 1774— 1776 гг., в работах А. И. Лекселя (1741 — 1784) было произведено дальней шее обобщение и построена полигонометрия . Рассматривая n-угольник со сторонам а 1 , a 2 , ..., а n и углами ф 1 , ф 2 , ..., ф n между продолжениям и сторон и предыдущими сторонами, Лексель по лучил соотношения : Суммы в левых частях приведенных равенств экви валентны суммам векторов , направленных по сто ронам многоугольников . Из этих формул , справед ливых и для невыпуклых , и для само пересек ающихся многоугольников , в работах Лекселя вы ведены основные формулы тригонометрии и тетрагонометрии . Затем он распространил теорию на 5, 6, 7-угольники и решил ряд задач на исследование n-угольников , исходя из заданных диагоналей и углов этих диагоналей со сторонами. Результаты Лекселя были существенно дополнены С. Люилье (1750— 1840) в книге «Полигонометрия, или об изм ерении прямолинейных фигур» (1789). Основную роль в ис следованиях Люилье иг рало выражение для площади много угольника, которую он вычислял так: отк инув одну из n сторон, он состав ил все парные произведения остальных n — 1 сторон на синусы углов между этими сторонами и, складывая пол ученные произ ведений, нашел удвоенную площадь много угольника. Исходя из этой формул ы, Люилье получил все фор мулы полигонометрии, в том числе и формулы Лексе ля. Свои теоремы Люилье применил к решению n -угольника: по п — 1 сторона м и n — 2 углам; по всем углам и n — 2 сторонам; по всем сторонам и n — 3 углам. Наконец, Люилье обобщил и эти р езультаты на пространст венные случаи и, развивая работы Эйлера о много гранниках, создал (в 1799— 1805) полиэдрометрию — у чение об измерении многогранников (полиэдров), описав ее в работе «Теоре мы полиэдрометрии». Основной теоремой полиэдрометрии является сле дую щая: «Площадь каждой грани многогранника равна сум ме произведений площ адей остальных граней на косинусы уг лов, образуемых ими с этой гранью». Подведем итоги. Как видно из со держания, тригоно метрия прошла следующие стадии развития : 1. Тригонометрия была вызвана к жи зни в раннюю пору разумной деяте льности людей , необходимостью производить измерения уг лов. 2. Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Непосредственным результатом этого было то, что стало возможным решать плоские треугольники главным образом с целью определения расстояний д о удаленных или недоступных о бъектов. 3. В интересах практической астр ономии и географических иссл едований были получены аналогичные результаты для тре угольников на сф ерических поверхностях. С тех пор плоская и сферическая три гонометрии развивались как неотъемлемые части единой науки. 4. Измерительный характер задач тр игонометрии при массовом их повторении приводил к настоятельной необходимости та булировать значения вводимых тригонометрических функций. 5. По мере оформления представлен ий о тригонометрических функц иях они превращались в самос тоятельные объекты ис следований, т. е. собственно в функции, объекты, обладающие самостоятельным значением и своими ос обыми свойствами. 6. В начале XVI в. были установлены взаимные интерпр е тации между решениями определенного класса неприводимых алгебраических уравнений и задачами о делении угла, тем са мым положено начало установлению связей между алге брой и тригонометрией. 7. В XVIII в. триго нометрические функции были включены в систему математичес кого анализа в качестве одного из классов аналитических функций. Почти одновременно тригономет рия получила широкие обобщения в геометрическом плане. Таким образом, к XIX в. тригонометрия приобрела разнооб разны е интерпретации, не теряя своей теоретической целостно сти, а наращивая ее.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Ребёнок, спящий вместе с родителями, отпугивает аиста.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Тригонометрия", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru