Реферат: Применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 848 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

8 Понятие о разностных уравнениях. Уравнение вида: , (1) где - фиксированное число , а - произвольное натуральное число, - члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнен ием -го порядка. Решить разностно е уравнение означает найти все последовательности , удовлетворя ющ и е уравнению (1). Разностные уравне ния часто используются в моделях экономической динамики с дискретным в ременем, а также для приближен ного решения дифференциальных уравнений. Разностное уравнение вида , (2) где - некоторые функции от , называется линейным разностным уравнением -го порядка. В случае, когда ко эффициенты являют ся константами, методы решения данного класса уравнений во многом анало гичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэфф ициентами. Рассмотрим это для разностных уравнений второго порядка: . (3) Так же как и для линейных дифференциальных уравнений, общее решение урав нения (3) определяется по формуле : , (4) где - некоторое частное решение уравнения (3), - общее решение соответствующего однородного уравнения (с лучай ). Для нахождения общего решения однородного уравнения необхо димо с начал а решить характеристическое уравнение . (5) После этого могут возникнуть варианты : 1) Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится п о формуле: , (6) где и - про извольные константы. 2) Оба корня действительны и равны , тог да . (7) 3) В случае комплексно- сопряженных корней . (8) Модель рынка с запаздыванием сбыт а В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это хара ктерно, например, для сельского хозяйства. И в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким о бразом, функция предложения сдвинута по времени относительно цены , т.е. будем полагать, что , в то врем я как функция спроса одномоментно отвечает цене: . Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предл ожения от цены: . (9) Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребова нного объемов товара: , откуда с учетом (9) имеем или . Поделив обе части этого равенства на и переходя для удобства на шаг вперед по времени, пол учаем линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка отно сительно цены с постоянными коэффициентами: . (10) Пусть тогда . Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (10) удобно искать в виде постоянной величины: ; . После подстановки в это уравнение оно легко определяется: . (11) Величина явля ется равновесной ценой. Общее решение уравнения (10) определяется формуло й , (12) где - произвольная величина. Пусть в начальны й момент времени известна цена (задача Коши), тогда подстановкой в равенство (12) находим или , так что в окончательном виде получаем или . (13) П роанализируем полученное решени е. В зависимости от входных параметров задачи и формул (9) динамика цены во времени может быть разной. Здесь возможны три варианта: 1) - текущая цена расходится с равновесной ценой с увеличением размаха колебаний во круг нее; 2) - текущая цена стремится к равновесной цене с колебаниями около нее; 3) - две точк и равновесия: в зависимости от четности имеет место колебание от одной точки к другой. а б в 0 1 2 3 4 Рис. 1 Рыночная модель с запасами В этой модели предполагаются запасы товара как разность м ежду предложением и спросом . Примем следующие допущения. 1. Спрос и предложение представляют собой линейные функции от текущей цены : . (14) 2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на пр едшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна относительной величине запаса с некоторым коэффициентом (при наличи И за паса цена на товар в последующий период падает): . (15) Подстановка соотношений (14) в (15) приводит к линейному разностному уравнен ию первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены : или . (16) Пусть , тогда , сле довательно . Хар актеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (16) удобно искать в виде постоянной величины: . Величина явля ется равновесной ценой, или стационарн ым решение м уравнения (16) Общ ее решение уравнения (10) определяется формулой . Пусть - зна чение цены в начальный момент времени , тогда решение этого уравнения имеет вид или . (17) Сходимость во времени к значению суще ственно завис и т от величины и знак а основания степени в (17) . Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметр ов задачи: 1) , откуда - монотонная сходимость к равновесному значению ; 2) , откуда , т.е. ; 3) , откуда - сходимость цены к равновесному значению с ко лебаниями около него; 4) , т.е. - две точки равновесия: и , на к аждом шаге по времени цена «перескакивает» с одного значения на другое; 5) , т.е. - цена расходится с увеличением амплитуды колебаний. а б в г д 0 1 2 3 4 Рис.2 Модель делового цикла Самуэльсона – Хикса Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего приме нение линейных разностных уравнений, м одель делового цикла Самуэльсона – Хикса (динамический вариант модели Кейнса). В этой модели используется принцип акселерации, т.е. пред по ложение, что масштабы инвестирования п рямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное пред по ложение характеризуется следующим уравнением , (18) где коэффициент - фактор акселерации, - величина инвестиций в период , - величины национального дохода соответственно в -м и -м период ах. Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от вел ичины национального дохода на предыдущем этапе, т.е., что . (19) Условие равенства спроса и предложения имеет вид: . (20) Подставляя в (20) выражение для из (18) и выражение для из (19), находим: . (21) Уравнение (21) известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейн ое неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными ко эффициентами (если предположить, что на протяжении рассматриваемых пер иодов величины и постоянн ы). Замечание . Можно легко найти частное решение уравнения (21), если предположить, что , (22) т.е. , использовав в качестве частного решения рав новесное решение . Из (21) в силу (22) имеем , (23) откуда . (24) Заметим, что выра жение в формуле (24) носит название мультипликатора Кейнса и является одномерны м аналогом матрицы полных затрат. Паутинные модели рынка Свойство непрерывной функции (теорема о существовании кор ня) находит неожиданное применение в математических моделях рынка. Как и звестно, две основные категории рыночных отношений – спрос и предложен ие. И то и другое зависят от многих факторов, среди которых главный – это цена товара. Обозначим цену товара , объем спроса , величину предложения . При малых имеем (спрос превышает предложение), при больших , наоборот, . Считая и непрерывными функциями, приходим к заключению, что сущест вует такая цена , для которой , т.е. равен спрос равен предложению. Цена назы вается равновесной, спрос и предложение при этой цене также называются равновесными. Установление равновесной цены – одна из главных задач рынка. Рассмотри м простую модель поиска равновесной цены – так называемую паутинную модель . Она объясняет феномен регулярно повторяющихся циклов изменения объемов продажи и цен. Пред по ложим, что решение о величин е объема производства принимается в зависимости от цены товара в предыд ущий период времени. Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 3. Пусть в начальной точке предложение товара имеет значение и вы брано так в зависимости от цены товара в пр едыдущий период. Поскольку эта цена больше равновесной, то на кривой спр оса ей соответствует объем покупок . Про изводителю, исходя из такой информации о состоянии рынка, приходится опу стить цену товара до величины . Цен а ниже равновесной, поэтому на рынке увеличивается спрос до величины . На к ривой предложения этой величине соответствует цена предложения и т.д. В этом случае спираль сходится к точке рыночного равновесия . Рис. 3 Впрочем, описанная «спираль» не всегда «скручивается». В некоторых случ аях она может и «раскручиваться», как показывает, например, рис. 4. От каких свойств функций и зависит сходимость или расходимость описанной выше «спир али»? Этот вопрос очень сложен. Поэтому, укажем лишь один фактор, влияющий на сходимость – эластичность (спроса, соответственно, предложения). Рис. 4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяй ства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно не простая задача ра счета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разно го вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в трудах известного американского экономиста В. Леонтьева в 1936 год у, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и используют аппарат мат ричного анализа. Балансов ые соотношения . Предположим, что производственная сфера хозяйства представляет собой отраслей, каждая их которых производит свой однород ный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в пр одукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год. Введем следующие обозначения: - общ ий объем продукции -й отрасли (ее валовой выпуск); - объ ем продукции -й отрасли, потребляемый -й отраслью при производстве объема продукции ; - объ ем продукции -й отрасли, предназначенный для реализации (потребле ния) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного по требления. К нему относятся личное потребление, удовлетворение обществ енных потребностей и т.д. Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой продукт -й отрасли должен быть равен сумме объемов потреблен ия в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форм е балансовые отношения имеют вид , (10) Уравнения (24) называются соотношениями баланса. Линейная модель многоотраслевой экономики . В. Леонтьевым, на основании анализа экономики США в период п еред В торой М ировой В ойной, был установлен важный факт: в течение длительного времени величины меняются оче нь незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явле ние становится понятным в свете того, что технология производства остае тся на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, о бъем потребления -й отраслью продукции -й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа. В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производ ства продукции -й отрасли объема нужн о использовать продукцию -й отрасли объема , где - пос тоянное число. При таком допущении технология производства принимаетс я линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При эт ом числа назы ваются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности, ; (24) Тогда уравнение (24) можно переписать в виде системы уравнений: (25) Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (век тор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат: (26) Тогда система уравнений (25) в матричной форме имеет вид (27) Обычно это соотношение называют уравнением лине йного межотраслевого баланса . Вместе с описанием м атричного представления (26) это уравнение носит название модели Леонтьева . Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В пер вом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления . Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для це лей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода (например, год) известен вектор конечного потреблен ия и требуется определить вектор валового выпуска. Необходимо решить систему линейных уравне ний (27) с неизвестной матрицей и заданным вектором . Также система (27) имеет особенности, вытекающие из прикладного характера данной задачи: все элементы матрицы и векторов и должны быть неотрицательными. Продуктивные модели Леонтьева Матрица , все элементы которой неотрицательны, называется пр одуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнен ия (27) – вектор , все элементы которого неотрицательны. Для уравнения типа (27) разработана соответствующая математическая теори я исследования решения и его особенностей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства теорему, позволяющую устанавлива ть продуктивность матрицы. Теорема . Если для матрицы с неотрицательными элементами и некоторого вектор а с неотрицательными компонентами уравнения (27) имеет решение с неотрицательными компонентами, то матрица продуктивна . И ными словами, достаточно установить наличие полож ительного решения системы (27) хотя бы для одного положительного вектора , чтобы матрица была продуктивной. Перепишем систему (27) с использова нием единичной матрицы в виде . (28) Если существует обратная матрица , то существует и единственное решение уравнения (28) . (29) Матрица называется матрицей полных з атрат . Существует несколько критериев продуктивности матрицы . Первый критерий продуктивности . Матрица продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны. Второй критерий продуктивности . Матрица с неотрицательными элементами продуктивна, если су мма элементов по любому ее столбцу (строке) не прев ышает единиц ы : , (30) причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы. Рассмотрим приме нение модели Леонтьева на несложном примере. Пример 1 . Таблица 1 содержит да нные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период. Требует ся найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30. Таблица 1. № п/п Отрасль Потре бление Конечный продукт Валово й выпуск 1 2 3 1 Добыча и переработка углеводородов 5 35 20 40 100 2 Энергетика 10 10 20 60 100 3 Машиностроение 20 10 10 10 50 Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления и мат рицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (24) и (26), Матрица удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В сл учае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечног о продукта будет иметь вид Требуется найти новый вектор валового выпуска , удовлетворяющий соотношениям баланса в предполож ении, что матрица не изменяется. В таком случае компоненты , , неиз вестного вектора находятся из системы уравнений, которая, согласно (25), имеет в данном случае вид В матричной форм е эта система выглядит следующим образом: , или , где матрица имеет ви д Отсюда рас читывается новый вектор как решение этого уравнения баланса: . Найдем обратную матрицу (матрицу полных затрат) , с использованием формулы (31) Определитель матрицы , так что обратная ма трица и решение указанной системы уравнений существуют. Вычисление обр атной матрицы дает ся с точностью д о третьего знака: . Заметим, что найденная обратная матрица удовлетворяет первому критери ю продуктивности матрицы . Теперь можно вычислить вектор валового выпуска : . Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие вало вые выпуски: добычу и переработку углеводородов на , уровень энергетики – на и выпуск машиностроения – на по сравн ению с исходными величинами, указанными в табл. 1. Динамическая модель Леонтьева Так как мы рассмотрели продуктивную модель межотраслевог о баланса безотносительно ко времени, т.е. все ее компоненты полагались о средненными за некоторый временной интервал и «одномоментными». В реал ьности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потреблен ия в период , определяется не текущим выпуском, а выпуском в посл едующий период . Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в ч астности инерцией планирования и перенастройки, мобилизацией внутренн их ресурсов и изменение транспорта сырья и т.д. С учетом этого система уравнений баланса, в предположении о постоянстве доли внутреннего потребления каждой отраслью, будет иметь следующий ви д (32) Соотношения (32) составляют систему линейных разностных уравнений первог о порядка с постоянными коэффициентами . Как и прежде, введем вектор валового выпуска , матрицу прямых затрат и вектор конечного потребления . Тогда систему (32) можно переписать в матричной форме: . (33) Теперь задача формулируется следующим образом: при заданном векторе ко нечного потребления и матрице определить динамику (изменение во времени) вектора валового выпуска . Одна из основных задач прогноза с использованием динамической модели Л еонтьева такова: известны динамика вектора конечного потребления и вектор валового выпуска в начальный момент времени ; требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент врем ени . Эту задачу можно решить при помощи формулы: . (33) Пример 2. Обратимся к данным табл. 1. Пусть известны продуктивная матрица , а также заданные в момент времени векторы валового выпуска и , указанные в этой таблице: Требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени , если все компоненты вектора конечного потребления увеличиваются на за кажды й период. Решение. Вектор конечного потребления, согласно условию задачи, имеет ви д . Применяя формулу (33), получаем . Теперь нужно вычислить матрицу изме няя состояния и вектор и подставить их в это уравнение. Выполняя указанные действия, получим решение поставленной задачи: . Таким образом, при указанном темпе роста продукта конечного потреблени я необходимо через два временных цикла увеличить компоненты валового в ыпуска соответственно на , и по сравн ению с исходными величинами на начальный момент времени. Список литературы: 1. А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов – Математика в эко номике - М: Финансы и статистика, 1999 2. М. С. Красс – М атематика для экономических специальностей – М: ИНФРА – М., 1999 3. Математика в экономике: Учебно-методическое пособие // Под редакцией Н. Ш. Кремера – М: Финстатинформ, 1999
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Мужик возвращается домой от врача очень обеспокоенный. Жена его спрашивает:
- Что с тобой?
- Все очень плохо: врач дал мне таблетки и сказал, что мне придется их пить всю жизнь.
- И что же в этом такого страшного?
- А то, что он мне их дал всего 7 штук.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru