Реферат: Проективная геометрия - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Проективная геометрия

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 2322 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Проективная геометрия Проективная геометрия развилась и выделилась в особую ветвь геометрических знаний в первые десятилетия 19 века . Источником этого явились потребности графики и архитектуры , развитие теории изображений в перспективе. Так , французский геометр Понселе одним из первых выделил особые свойства геометрических фигур, названные им проективными. Что это за свойства ? Пусть F- произвольная фигура в некоторой плоскости a , b - какая - либо другая плоскость , т.О - произвольная точка пространства , не принадлежащая ни одной плос кости (a и b). Точка , отсоединенная с любой точкой М фигуры F, определяет прямую (ОМ ), пересекающую плоскость b в некоторой точке М / , которую мы будем называть проекцией точки М (на плоскости b из центра О ). Проекции всех точек фигуры F на плоскость b составят некоторую фигуру F / , которая называется проекцией фигуры F. Операция , с помощью которой в данной задаче из фигуры F получена фигура F / носит название центрального проектирования из точки О . Если изменить положение точки О и плоскости b мы получим бесконечное множество фигур (или иначе говоря , центральных проекций фигуры F), которые в чем-то будут похожи на фигуру F, но в чем-то и отличаться . Например , проектируя правильный треугольник , получим тоже треугольник , но произвольной формы . Проектируя ок р ужность , можем получить эллипс или параболу , или даже гиперболу . При таком проектировании не сохраняются метрические характеристики фигур (длина , площадь и т . д . ). Какие же свойства сохраняются ? Они обычно называются инвариантами преобразования , каковым в данном случае является преобразование проектирования . Именно эти свойства фигур , инвариантные по отношению к такому проектированию , Понселе назвал проективными свойствами , а предмет , их изучающий - проективной геометрией. Примеры инвариантных свойств. 1) Если фигура или объект - прямая , то после проектирования получим также прямую. 2) Если фигура F- коническое сечение , т.е . описывается квадратичной формой a 11 x 2 +a 22 y 2 +a 12 xy+a 13 x+a 23 y+a 33 =0, то проекцией точек на коническом сечении лягут также на некотор ое коническое сечение . Таким образом , отдельные виды конических сечений (окружности , эллипсы , параболы , гиперболы ) в проективной геометрии не отличаются - в отличие от аффинной , например , где эллипс всегда перейдет в эллипс. Важной предпосылкой превращен ия проективной геометрии в самостоятельную дисциплину , было введение в употребление бесконечно удаленных геометрических элементов . Займемся их определением. Пусть А - произвольная точка пространства и a - прямая , не проходящая через точку А . Проведем плоскость a через точку А и прямую а . Рассмотрим всевозможные прямые , проходящие через точку А и лежащие в плоскости a (рис .2). Установим соответствие межд у прямыми пучка , проходящего через А и точками на прямой а . Например , лучу m соответствует точка M . Очевидно , что какую бы точку на прямой a мы ни выбрали , ей всегда соответствует определенный луч . Однако , нельзя утверждать , что любому лучу соответствует т очка прямой a . Действительно , возьмем луч a / , соответствующей точки на a мы не найдем . Таким образом , соответствие между лучами пучка и точками прямой a не является взаимно однозначными . Это не всегда удобно при операциях проектирования . Чтобы устранить э то неудобно , условимся считать параллельные прямые , пересекающими на бесконечности . Тогда луч а / из пучка А , параллельный а , будет иметь на этой прямой соответствующую точку ,но не обычную ,а называемую бесконечно удаленной точкой . Это новый геометрический объект . Все параллельные друг другу прямые в плоскости a имеют одну общую бесконечно удаленную точку , поэтому систему параллельных прямых называют пучком с бесконечно удаленным центром (рис .3). Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых в плоскости считаются различными . Таким образом , каждая плоскость содержит бесконечно много различных бесконечно удаленных точек . Совок упность всех бесконечно удаленных точек плоскости называется бесконечно удаленной прямой . Таким образом , каждая плоскость содержит одну бесконечно удаленную прямую. Вполне логично совокупность всех бесконечно удаленных прямых назвать бесконечно удаленной плоскостью. Выводы : множество объектов обычного евклидова пространства дополняется новыми элементами : 1) К множеству точек каждой прямой добавляется одна бесконечно удаленная точка ; 2) К множеству прямых каждой плоскости добавляется одна бесконечно удал енная прямая ; 3) К множеству всех плоскостей пространства R 3 добавляется бесконечно удаленная плоскость. Определение : прямая дополненная бесконечно удаленной точкой называется проективной прямой . Проективную прямую следует представлять в виде замкнутой линии . Плоскость , дополненная бесконечно удаленной прямой называется проективной плоскостью . Пространство , дополненное бесконечно удаленной плоскостью называется проективным пространством. Термин бесконечности иногда употребляется и в обычной , элементарно й геометрии (например , что параллельные прямые сходятся в бесконечности ),но это лишь словесное выражение , в проективной же геометрии бесконечно удаленные элементы играют такую же роль , как и обыкновенные геометрические образы . В обычной геометрии большую р оль играет изучение метрических свойств фигур (длины , площади , углы , объемы ). В проективной , процесс измерения теряет смысл , т . к например , один конец отрезка может оказаться в бесконечности . Таким образом , метрические свойства фигур не являются проективн ыми свойствами . Проективная геометрия , как и любая другая , строится на некоторой системе аксиом . Все аксиомы разбиты на три группы : 1.Аксиомы связи : Кратко сформулируем их , учтя , что теперь в понятие любого объекта включается бесконечно удаленные элеме нты. 1.1. Какие бы ни были две точки А и В всегда существует прямая , проходящая через них. 1.2. Какие бы ни были две различные точки А и В , существует не более одной прямой , проходящей через них. 1.3. На каждой прямой имеется не менее трех точек . Существуе т по крайней мере 3 точки , не лежащие на одной прямой. 1.4. Через каждые три точки А , B, C не лежащие на одной прямой , проходит некоторая плоскость a . На каждой плоскости имеется не менее одной точки. 1.5. Через каждые три точки А , B, C не лежащие на од ной прямой , проходит не более одной плоскости. 1.6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости a , то каждая точка прямой а лежит в плоскости a . 1.7. Если две плоскости a и b имеют общую точку А , то они имеют еще по крайней мере одну общую точку. 1.8. Имеется не менее четырех точек , не лежащих на одной плоскости. 1.9. Каждые две прямые , расположенные в одной плоскости имеют общую точку. Эти аксиомы повторяют аксиомы обычной евклидовой геометрии за исключением пункта 1.9 , которого там нет. 2. Аксиомы порядка : В элементарной геометрии в основу определения порядка следования точек на прямой заложено понятие о расположении точки между двумя другими точ ками . Т . е . если есть две точки А и В то обязательно найдется точка С на прямой А В , лежащая между А и В. Такой порядок расположения точек является основой введения координат точек на прямой (в дальнейшем на плоскости и в пространстве ), т.е . позволяет сдел ать отображение взаимного расположения точек на множество действительных чисел , ввести единицу измерения . В проективной геометрии прямая есть замкнутая в бесконечности линия , поэтому нельзя в определение порядка положить принцип : что при заданных А и В на йдется точка С между ними , определяющая порядок следования точек на прямой как А , В , C. И все-таки , какое-то определение порядка точек на проективной прямой необходимо сделать хотя бы для введения ней системы координат , определения проекции фигур в вычисл и тельной геометрии или машинной графике. На прямой в обычной евклидовой геометрии положение точек можно было характеризовать одним числом , одной координат ой , отсчитываемой в некотором масштабе от точки , принятой за ноль . Так как в проективной геометрии бесконечно удаленная точка является равноправной с любой другой точкой , то уже невозможно одним числом представить координату этой бесконечно удаленной точ к и. Здесь уже , на проективной прямой исходят из рассмотрения взаимного расположения двух пар точек . Пусть A и B, C и D две пары точек , расположенные на проективной прямой (рис .5). Тогда чтобы совместить точку C с другой точкой своей пары , т.е . CD мы при движении ее по прямой обязательно встретимся в какой-то момент с т . A или т . B. Аналогично , чтобы совместить B с A, при движении точки B она когда-нибуд ь совпадет с C или D. В таком случае говорят , что пара точек A и B разделяет пару точек C и D. На этом основаны аксиомы порядка и введения координат на проективной прямой. 2.1. Каковы бы ни были три различные точки A, B, C произвольной прямой U, на этой пря мой существует такая точка D, что пара A, B разделяет пару C, D. 2.2. Если пара A, B разделяет пару C, D; пара C, D разделяет пару A, B. 2.3. Каковы бы ни были четыре различные точки A, B, C, D прямой из них могут быть всегда единственным образом составл ены две раздельные пары . Аксиомы 2.4 , 2.5 касаются взаимного расположения пяти точек . Если пары С ,D и C, E разделяют A, B, то D E не разделяет A, В (ри с .6). Если C, D и C, E не разделяют A, B, то D, E не разделяет A, B (рис .7). 2.6. Пусть A, B и C, D две пары точек прямой U, A / , B / и C / , D / их проекции из какого угодно центра на произвольную другую прямую U / . Тогда если пары A, B и C, D разделяют друг друга , то пары A / , B / и C / , D / тоже разделяют друг друга. Таким образом , разделенность двух пар точек есть свойство , инвариантное относительно проектирова ния . Это один из инвариантов проективной геометрии . Это свойство позволяет упорядочивать точки на прямой . Так если дан отрезок АВ на проективной прямой , то множество его внутренних точек можно упорядочить так : точка M предшествует точке N, если пара A, N разделяет пару M, B (рис .8). Две произвольные точки А , В проективной прямой U разделяют ее на два отрезка (рис .9). Чтобы отличить один из двух рассматриваемых отрезков от другого , нужно указать какую-нибудь его точку . Поэтому в проективной геометрии отрезок иногда обозначается тремя буквами . Например отрезок A С В обозначают отрезок с концами А , В и внутренней точкой С . Если точка D принадлежит другому отрезку то его можно обозначить А D В . Как легко видеть , пара точек А , В разделяет пару точек С , D. Отрезки А C В и A D B называются дополнительными др уг к другу. Мы рассмотрели , как вести порядок точек на каком-либо отрезке проективной прямой . Точки М , N , принадлежащие отрезку А В упорядочены так , что точка М предшествует точки N, если пара А , N разделяет пару M, B. Чтобы это распространить на все точк и отрезка А , В надо показать выполнение условия транзитивности : т.е . если точка М предшествует точке N, точка N предшествует точка Р , то точка М предшествует точке Р , т . е . надо показать , что пара АР разделяет пару M, B. Т . к . А , N разделяет пару М , В , т о точка М лежит на отрезка А M N. Т . к . A, P разделяет N, B, то точка N лежит на отрезке A N P, таким образом весь отрезок A M N лежит внутри отрезка A N P и т . о . точка М предшествует Р (рис .10). Для да льнейшего введения системы координат на проективной прямой нам понадобится понятие гармонически сопряжённых пар точек . Для их определения рассматривается проективные понятия трёхвершинника и четырёхвершинн ика . Условимся называть трёхвершинником совокупность трёх точек , не лежащих на одной прямой и трёх прямых , попарно соединяющих эти точки (рис . 12). Точки A, B, C назовём вершинами , прямые a, b, c сторонами трёхвершинника . Рассмотрим второй трёхвершинни к A / , B / , C / . Для доказательств многих теорем проективной геометрии используется теорема Дезарга (являющаяся основной теоремой проективной геометрии ). Сформулируем её : ”Если соответственные стороны трёх вершинников ABC и A / B / C / (т . е . AB и A / B / , BC и B / C / , AC и A / C / ) пересекаются в точках P, Q, R лежащих на одной прямой , то прямые , соединяющие соответственные вершины сходятся в одной точке (O)” . Справедлива и обратная теорема Дезарга : ”Если прямые , соединяющие соответственные вершины двух трёхвершинников A BC и A / B / C / сходятся в одной точке , то соответственные стороны пересекаются в точках лежащих на одной прямой” . Обычно прямую u ,где расположены точки пересечения соответствующих сторон , называют осью преспективы , а точку , в которой сходятся прямые , соединя ющие соответствующие вершины называют центром перспективы . Тогда обе теоремы Дезарга сформулируются одним утверждением : ”Если два трёхвершинника имеют ось перспективы , то они имеют и центр перспективы и обратно” . Определение : Плоская фигура , составленная четырьмя точками , из которых никакие три не лежат на одной прямой , и шестью прямыми , соединяющими попарно эти точки называется полным четырёхвершинником . Указанные стороны называются вершинами , прямые - сторонами четырёхвершинника . Вершины - A, B, C, D. Стороны - a, b, c, d, s, t (рис . 13). Стороны , не имеющие общей вершины , называются противоположными . Это a и d , b и c , s и t . Точки пересечения прот ивоположных сторон называются диагональными точками четырёхвершинника . Здесь это точки P, Q, R. При помощи полного четырёхвершинника определяется понятие гармонически сопряжённых пар точек. Определение : Пару точек S и T произвольной прямой и называют гарм онически сопряжённой с парой точек P и Q этой же прямой , если P и Q суть диагональные точки некоторого четырёхвершинника , а точки S и T есть точки пересечения этой прямой с двумя противоположными сторонами четерёхвершинника , проходящими через третью диагон альную точку. Введённое определение позволяет построить четвёртую гармоническую точку к трём произвольно заданным точкам прямой u . Выберем вне прямой u некоторую т . B и на прямой PB некоторую т . A, отличную от P и от B. Тогда пересечение прямых AQ и BS оп ределяет точку C. Пересечение прямых BQ и AC определяет точку D. Пересечение прямой AD с прямой u определяет четвертую гармоническую т . T. Т . О . положение т . T по трём заданным определяется однозначно. Аналогично теореме Дезарга для двух трёхвершинников , с уществует подобная теорема для двух четырёхвершинников. Теорема : Пусть ABCD и A / B / C / D / - два четырёхвершинника с двумя общими диагональными точками P и Q (пересечениями противоположных сторон AB и CD, A / B / и C / D / и AC и BD, A / C / и B / D / ). Тогда , если сторо ны BC и B / C / этих четырёхвершинников пересекаются в точке S прямой PQ, то их стороны AD и A / D / пересекаются в точке T этой же прямой. Если пара точек P и Q гармонически сопрежена с парой точек S и T, то и обратно пара точек S T гармонически сопряжена с P, Q. Т . е . эти пары взаимно гармонические . Как и свойство взаимной раздельности пар , свойство гармонической сопряжённости инвариантно относительно проектир ования (это инвариант проективной геометрии ) (рис .14). Т . e. если P, Q и S, T гармонически сопряжённые пары , то после проектирования из некоторого центра O на прямую и получим тоже гармонически сопряжённые пары P / , Q / и S / , T / . Важной также является теорема о том , что “Взаимно гармонические пары разделяют друг друга”. Теперь мы переходим к установлению принципа определения точек проективного пространства с помощью координат. Построим сначала целочисленную систему координат на проективной прямой . Если эту прямую разрезать по её бесконечно удалённой точке , то множество конечных точек прямой можно упорядочить двумя различными способами (как бы по возрастанию и убыванию координат ). Каждый из этих способов называется линейным порядком. Возьмём на введённой проективной прямой a три точки из которых две помечены числами 0 и 1, а третья значком бесконечности . Точку бесконечности считаем бесконечно удалённой точкой пр ямой , точки 0 и 1- конечными , а прямую a - разрезанной в т . бесконечность. Введём на прямой a линейный порядок так , чтобы т O предшествовала точке 1 Далее числом 2 пометим точку , которой вместе с точкой O составляет пару , гармонически сопряженную с парой (1, бесконечность ). По известной теореме такую точку можно всегда построить и к тому же пара (O, 2) разделяет пару (1, бесконечность ). Поэтому в линейном порядке т . 1 лежит между т . O и т . 2, или иначе , т . 2 следует за т . O и т . 1. Построить т . 2 можно так : проведём через т . бесконечность прямой a две прямые , пометим их числом 1 и буквой U. Выберем на прямой u любую точку A. Проведём прямые AO и A1. Они в пересечении с прямой 1 дадут точки (1, 0) и (1, 1). Далее проведём через т . O и (1, 1) прямую до пересечения с прямой u получим т . B. Соединим B и 1 и найдём точку пересечения прямой B1 и 1. Это точка (1,2). Проектируя эту точку на прямую a из центра A п олучим т . 2. Она и будет той четвёртой точкой в гармонически сопряжённых парах O, 2 и 1, бесконечность . Это можно показать , рассмотрев четырёхвершинник A, B, (1, 1), (1, 2). Далее процесс построения аналогичный . Проектируя точку 2 на прямую 1 из т . B полу чим точку (1, 3). Проектируя последнюю на прямую a из точки A получим т .4 и т . д. Аналогично можно получить точки , помеченные отрицательными числами . Так мы выстроили шкалу для определения целочисленных координат точек на прямой . Далее мы начинаем дробить отрезки и находить сначала координаты типа Z= (X+ Y)/2. Оказывается , что точки Z, бесконечность составляют гармоническую пару с X, Y. Сама точка Z называется проективным центром отрезка (X, Y). Дробя далее отрезки можно присвоить каждой следующей дробной т очке определённое число. Таким образом , разрезанной проективной прямой получает соответствующее число , которое называют проективной координатой. На проективной плоскости каждая точка получает две проективные координаты , в проективном пространстве - три. До сих пор мы устраивали координатную систему на разрезанной проективной прямой , при этом одна точка , обозначаемая бесконечность , никакой координаты не получала. Чтобы все точки получили значения , приходится употреблять “Однородные координаты”. Рассмотрим вн ачале систему однородных координат на проективной прямой а . Отметим , что любая точка М этой прямой имеет некоторую координату х , введенную так , как показано в предыдущей лекции при задании системы координат точками 0,1, яяя При этом вполне определенную коорд инату получает любая точка прямой , кроме точки яя Введем для точки М два числа х 1 и х 2 , не равные одновременно нулю и такие , что их отношение (х 1 /х 2 ) равно х . Эти числа (х 1 ,х 2 ) будем называть однородными координатами точки М . С точкой яя сопоставим однород ные координаты х 1 , х 2 при условии х 2 =0. Свойства системы однородных координат : 1) Каждая точка проективной прямой имеет однородные координаты. 2) Если х 1 , х 2 -однородные координаты т . М , то я х 1 , яя х 2 , где яя любое число , отличное от нуля , есть тоже одноро дные координаты т . М. 3) Разным точкам проективной прямой всегда соответствуют разные отношения их однородных координат. Важнейшим свойством является второе : именно -каждая точка проективной прямой имеет бесконечно много пар однородных координат , которые сами по себе не определяются соответствующей им точкой , точка определяет лишь их отношение . Поэтому , подходящим подбором множителя s можно одну из координат взять равной единице (как правило -х 2 ). Выпишем теперь однородные координаты базовых точек проекти вной прямой - точек 0, яяя 1, обозначаемых А 1 , А 2 , А 3 . А 1 (0,1), А 2 (1,0), А 3 (1,1). Однородные координаты па проективной плоскости На проективной плоскости все точки , кроме лежащих на прямой яя (бесконечно удаленной прямой ), имеют однородные проективные координаты . Базовыми точками для арифметизации проективной плоскости (т.е . введения проективных неоднородных координат ) являются : начало системы координат О ; я Х (бесконечно удаленная на оси х ), яя y (бесконечно удаленная на оси y), (1,1) - единичная . Очеви дно , бесконечно удаленная прямая проходит через точки я х и я y . Определим однородные проективные координаты сперва для точек проективной плоскости , не лежащих на прямой я . Однородными координатами такой точки М назовем три числа х 1 , х 2 , х 3 , не равных од новременно нулю и таких , что х 1 /х 2 =х ; х 2 /х 3 =y, где х и y - проективные неоднородные (обычные ) координаты . Однородными координатами точки М яя я лежащей на прямой яя , назовем три числа х 1 , х 2 , х 3 при условиях : 1) х 3 =0; 2) Из двух чисел х 1 , х 2 хотя бы одно отлично от нуля ; 3) Отношение х 1 /х 2 равно В / (-А ), где А и В - коэффициенты любой прямой Ах +Ву +С =0, проходящей через точку М я . Если в уравнение прямой Ах +Ву +С =0 подставить однородные координаты некоторой точки М , лежащей на прямой (х =х 1 /х 3 , у =х 2 / х 3 ), то получим : Ах 1 +Вх 2 +Сх 3 =0, или иногда его записывают как : u 1 x 1 +u 2 x 2 +u 3 x 3 = 0 - уравнение прямой в однородном виде (нет свободного члена ) Свойства однородных координат на плоскости : 1) Каждая точка проективной плоскости имеет однородные координа ты 2) Если х 1 , х 2 , х 3 - однородные координаты точки М , то s х 1 , s х 2 , s х 3 (где s - любое отличное от нуля число ) тоже являются однородными координатами точки М. 3) Разным точкам соответствуют разные отношения х 1 / х 3 , х 2 / х 3 их однородных координа т. Подходящим выбором s одну из координат можно сделать равной 1.Например , точка О - начало координат , получает однородные координаты (0,0,1), точка Ґ х - (1, 0, 0), точка Ґ у - (0,1,0), точка единиц по осям х и у - (1,1,1). Обозначим эти точки так : А 1 (1,0,0 ), А 2 (0,1,0), А 3 (0,0,1), Е (1,1,1) , их называют вершинами координатного триедра . Прямая А 1 А 2 - это бесконечно удаленная прямая - она имеет в однородных координатах уравнение х 3 =0. Оси координат имеют свои обычные уравнения : х 1 =0, х 2 =0. Однородные коо рдинаты в трехмерном пространстве. Вводятся аналогично первым двум случаям . Сначала определим их для всех точек , не принадлежащих плоскости Ґ (бесконечно удаленной плоскости ). Однородными координатами таких точек называются любые четыре числа х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , не равные одновременно нулю , и такие , что х 1 /х 4 =х , х 2 /х 4 =у , х 3 /х 4 =z, где х , у , z - М . Если же точка М принадлежит плоскости Ґ , то ее однородные координаты определяются условиями : неоднородные (обычные ) координаты точки : 1) х 4 =0; 2) из трех ч исел х 1 , х 2, х 3 хотя бы одно отлично от нуля ; 3) отношение х 1 /х 2 /х 3 равно отношению m/n/p, где m,n,p - параметры уравнения любой прямой , проходящей через точку М Ґ (х -х 0 ) / m=(y -y 0) ) / n=(z -z 0 ) / p. Аналогично уравнению прямой в однородном вид е (u 1 x 1 +u 2 x 2 +u 3 x 3 +u 4 x 4 =0) можно записать уравнение плоскости в таком же виде : Ax+By+Cz+D=0 ,Ax 1 +Bx 2 +Cx 3 +Dx 4 =0 или u 1 x 1 +u 2 x 2 +u 3 x 3 +u 4 x 4 =0 Вершины координатного тетраэдра (пять точек ): Ґ x , Ґ y , Ґ z , 0, E A 1 (1,0,0,0) , A 2 (0,1,0,0) , A 3 (0,0,1,0) , A 4 (0,0,0,1) , E (1,1,1,1) .. Аналитическое представление проективных преобразований (отображений ) 1. Сначала рассмотрим проективные отображения плоскости на плоскость . Что такое проективное преобразование (отображение )? Очевидно , это такое отображение , при котором сохраняются проективные свойства объекта , например такое , как разделенность двух пар точек и гармонически сопряженные пары точек . Пусть М / =f(M) - проективное отображение (М - прообраз в исходной плоскости a, М / - образ в преобразованной плос кости a / ). Можно доказать , что и обратное отображение М =f -1 (M / ) тоже является проективным , т.е . это взаимно однозначное отображение (биективное ).Т.к . все проективные свойства опираются на свойства разделенности и гармонического сопряжения двух пар четыре х соответствующих элементов (точек , прямых в пучке в одной плоскости ), то существует теорема , по которой проективное отображение одной плоскости в другую однозначно определяется заданием четырех пар соответствующих по отображению точек , при условии , что н икакие три из них не лежат на одной прямой . Показывается , что простейшим таким отображением является линейное отображение вида М (х 1 ,х 2 ,х 3 ) ® М / (s / x 1 / , s / x 2 / , s / x 1 / ) s / x 1 / =c 11 x 1 +c 12 x 2 +c 13 x 3 Числа с i k определяют матрицу такого пр еобразования, (1) s / x 2 / =c 21 x 1 +c 22 x 2 +c 23 x 3 причем для взаимной однозначности отображения s / x 3 / =c 31 x 1 +c 32 x 2 +c 33 x 3 необходимо , чтобы определитель матрицы № 0. По указанному выше замечанию преобразование (1) однозначно определено , если заданы четыре пары соответствующих точек М 1 , М 2 , М 3 , М 4 ® М / 1 , M / 2 , M / 3 , M / 4 . Более того , всякое линейное отображение вида (1) , определитель которого отличен от нуля , есть проективное отображение . Проективные преобр азования составляют группу : это значит , что существует тождественное проективное преобразование (единичное ) , обратное к заданному , а также произведение двух проективных преобразований есть снова проективное преобразование . Пусть заданы в плоскости a четы р е точки М k (k=1,2,3,4) с проективными координатами х 1 k , х 2 k , х 3 k , никакие три из которых не лежат на одной прямой , и четыре точки М / k (k=1,2,3,4) в плоскости a / с проективными координатами x / 1 k , x / 2 k , x / 3 k , также никакие три из которых не лежа т на одной прямой . Надо показать , что из линейных преобразований : 1) s / k x / 1 k =c 11 x 1 k +c 12 x 2 k +c 13 x 3 k s / k x / 2 k =c 21 x 1 k +c 22 x 2 k +c 23 x 3 k c №0 s / k x / 3 k =c 31 x 1 k +c 32 x 2 k +c 33 x 3 k можно однозначно найти 9 параметров с i k и 3 параметра s / k (k=1,2,3) , а s / 4 всегда можно выбрать равным единице. 2) В трехмерном пространстве : Каково бы ни было проективное отображение М / =f (M) точек пространства I на пространство I / , проективные однородные координаты x / 1 , x / 2 , x / 3 , x / 4 точки М / выражаются через проективные однородные координаты х 1 , х 2 , х 3 , х 4 точки М с помощью линейных соотношений : s / k x / 1 k =c 11 x 1 k +c 12 x 2 k +c 13 x 3 k +c 14 x 4 k s / k x / 2 k =c 21 x 1 k +c 22 x 2 k +c 23 x 3 k +c 24 x 4 k (2) s / k x / 3 k =c 31 x 1 k +c 32 x 2 k +c 33 x 3 k +c 34 x 4 k s / k x / 4 k =c 41 x 1 k +c 42 x 2 k +c 43 x 3 k +c 44 x 4 k с постоянными коэффициентами с i k и при этом определитель матрицы такого преобразования D= с =(с i k ) №0. 3) Аналогичные оп ределения существуют при проективном отображении прямой a на прямую a / . Если М / - точка на прямой а / с однородными координатами х / 1 , x / 2 ,и точка М - на прямой а с однородными координатами x 1 , x 2 ,то проективное преобразование М / = f (M) однозначно определяется из соотношений : s / x / 1 = c 11 x 1 +c 12 x 2 s / x / 2 = c 21 x 1 +c 22 x 2 и Часто бывает удобным использовать проективные преобразования в неоднородных координатах. Для прямой : Если х 1 , х 2 - однородные координаты точки М на прямой ,то х =х 1 / x 2 - число , являющееся неоднородной координатой точки М на этой прямой . Пусть задано проективное преобразование прямой а на прямую а / . Значит , существуют соотношения : sx / 1 = c 11 x 1 +c 12 sx / 2 =c 21 x 1 +c 22 x 2 Разделим почленно первое равенство на второе : sx / 1 /sx / 2 =(c 11 x 1 +c 12 x 2 ) / (c 21 x 1 +c 22 x 2 ) , учитывая , что x / =x / 1 / x / 2 , и x=x 1 / x 2 . Преобразуем x / =(c 11 x+c 12 )/ (c 21 x+c 22 ) , введя новые обозначения : a=c 11 , b=c 12 , g=c 21 , d=c 22 x / =(ax+b) / (gx+d) - т.е . в неоднородных координатах проективное преобразование выражается дробно - линейной функцией . ad -bg №0 Для плоскости : Однородные координаты точки М - х 1 , х 2 , х 3 , неоднородные : x=x 1 / x 3 ,y=x 2 / x 3 . Формулы проективного преобразования в неоднородных координатах : x / =(a 1 x+b 1 y+c 1 ) / (a x+by+ g) , a 1 b 1 c 1 y / =(a 2 x+b 2 y+c 2 ) / (ax+ by+ g) где В трехмерном пространстве : Однородные координаты ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ) . Неоднородные координаты Рассмотрим подробнее проективные преобразования одномерных многообразий , здесь можно ограничится случаем преобразования прямой на прямую . Как установили ранее , в неоднородных проективных координат на прямой это преобразование имеет вид дробно-линейной фу нкции (1) х / = яяя х + яяяяяяя х + я , причем , чтобы существовало обратное проективное преобразование , необходимо , чтобы величина яяяяяяяяяя 0. Запишем преобразование (1) в виде функции х / = f(x). Пусть данное отображение применяется последовательно два раза : х / = f(x), x // = f(x / )= f(f(x)). Тогда , если для любого элемента х одномерного многообразия (на прямой ) выполняется соотношение x // = f(x / )= х (то есть дважды преобразованный возвращается в себя ) , то такое проективное отображение называется инволюционны м или инволюцией . Инволюция характеризуется еще и тем , что x= f(x / ), т . е . обратное отображение х / = х совпадает с исходным х = х / . Найдем условие на коэффициенты в (1), при которых проективное отображение является инволюцией . Для этого из (1) выразим х ч ерез х / : ( яя x / - яя )x= - яяя x / + яяяяя x= - яяя x / + яяяяяя x / - яя (2). Из сравнения (1) и (2) видно , что отображения одинаковы тогда , когда либо : а ) яя =- яяяяяяяяяяяяя любые б ) яя = яяяяяя = яяя = 0 - но это тождественное отображение , которое исключим из рассмотрен ия . Таким образом , из случая а ) вытекает форма инволюционого проективного отображения х / = яя х + яяяяяя х- яяя , где - я я яяяяяяяяяяя обозначим яя = - я я яяяя Неподвижной точкой любого отображения называется точка , остающаяся неизменной после отображения . Для инволю ции это означает , что х =х / = яя х + яяяяяя х- яяя. Решим последнее уравнение относительно х (3) яя х 2 -2 яяя х- яя = 0 - квадратное относительно х. Это означает , что при инволюционном отображении число неподвижных точек не может быть больше 2.Дискреминант урав нения (3) есть я я яяяя =- яя Если - яяяяя (дискриминант отрицательный ), то уравнение (3) не имеет действительных корней , то есть нет ни одной неподвижной точки . Такая инволюция называется эллиптической (ее условие -- я я яяяяяяяя Если - яяяяяяя то есть яяяяяя- я я я яяяяяяяя то уравнение (3) имеет два действительных корня или две неподвижные точки - называется такая инволюция гиперболической . Если яяяяяя то есть я- я я яяяяяяяяя параболическая инволюция , но в этом случае такое отображение не входят в группу проективных пре образований , так как оно не взаимно однозначно. Существует теорема , что для однозначного определения инволюции надо задать две пары соответствующих точек на прямой , в отличии от общих формул проективного отображения прямой на прямую , где надо задать три пары точек. Следующий инвариант проективной геометрии - сложное отношение четырех точек на прямой . Оно определяется так :Пусть М 1 ,М 2 ,M 3 ,M 4 -четыре точки некоторой проективной прямой . Введем систему проективных неоднородных координат , и обозначим через t 1, ,t 2 ,t 3 ,t 4 , координаты заданных точек . Можно показать , что величина (t 3 -t 1 )/(t 2 -t 3 ) : (t 4 -t 1 )/(t 2- -t 4 не зависит от выбора координатной системы , а определяется только положением точек на прямой . Эта величина обозначается (М 1 М 2 M 3 M 4 )= (t 3 -t 1 )/(t 2 -t 3 ) : (t 4 -t 1 )/(t 2- -t 4 ) и называется сложным отношением четырех точек (СОЧТ ). Непосредственным вычислением можно показать , что выполняются два свойства СОЧТ. 1) (М 1 М 2 M 3 M 4 )=(M 3 M 4 M 1 M 2 ) 2) (М 1 М 2 M 3 M 4 )= 1/ (М 1 М 2 M 3 M 4 ) то есть СОЧТ не меняется при перестановке п ервой и второй пар точек , изменяется на обратную величину при перестановке точек внутри какой-нибудь пары. Важная теорема проективной геометрии гласит . При любом проективном отображении прямой а на прямую а / сложное отношение произвольной группы точек М 1 М 2 М 3 М 4 прямой а равно сложному отношению соответствующих им точек М 1 / M 2 / M 3 / M 4 / прямой а / . Частным ее случаем является утверждение : В плоскости яя заданы две прямые а и а / ,задана произвольная точка S ,принадлежащая плоскости я я ,но не лежаща я на прямых а и а / . Тогда , сложное отношение любой четверки точек М 1 М 2 М 3 М 4 прямой а равно сложному отношению их проекций М 1 / М 2 / М 3 / М 4 / из центра S на прямую а / . Аналогичное утверждение можно сформулировать для плоского пучка из четырех лучей m 1 m 2 m 3 m 4 Любая прямая , пересекающая эти четыре луча в четырех точках , имеет для этих четырех точек одно и тоже сложное отношение. (М 1 М 2 М 3 М 4 )= инвариант проективной геометрии или , что тоже самое (m 1 m 2 m 3 m 4 ) - инвариант проективной геометрии Основной вывод : Сложное отношение четырех элементов одномерного многообразия - есть инвариант проективных отображений . Можно показать , что если пара точек А ,В гармонически разделяет пару точек С ,D, то сочетание (А В С D)=-1.Оно вытекает из свойства гармонического сопр я жения , когда каждая точка первой пары делит отрезок , образуемый второй парой точек внутренним и внешним образом в одинаковом отношении АС /AD=BC/BD или через нео днородные координаты t i точек (1,2,3,4) соответствует ( A , B , C , D ) (t 3 - t 1 )/(t 1 - t 4 ) = (t 2 - t 3 )/(t 2 - t 4 ) или (t 3 - t 1 )/(t 2 - t 3 ) = - (t 4 - t 1 )/(t 2 - t 4 ) или ((t 3 - t 1 )/(t 2 - t 3 ))/((t 4 - t 1 )/(t 2 - t 4 ))=-1 Матрицы проективных преобразований. Представим перспективную проекцию объекта как проективное преобразование с центром проекции на оси z (на расстоянии z q от начала координат ). Пусть плоскостью проекци и является координатная плоскость XOY P(x,y,z)-точка объекта , P / (X,Y)-её проекция из центра Q. Известно , что координаты точки-проекции P / есть X=x/(1-z/z q ) , Y=y/(1-z/z q ) (*) Однородные координаты точки P (x,y,z,1) - P / (x / ,y / ,z / ,w / ) ,w яяя Пре образование (*) может быть выражено через матрицу проективных преобразований в однородных координатах : Неоднородные координаты точки P / получаем отсюда : X=x/(1-z/z q ) , Y=y/(1-z/z q ) ,Z=0 Найдём проекцию бесконечно удаленной точки на оси Z - однородные координаты (0,0,1,0). Вместо М Пр возьмем матрицу полного проективного преобразования (без проецирования на плоскость XOY). Неоднородные координаты проекции этой точки (0 ,0 , -z q ) Если взять семейство параллельных оси z прямых , то после такого про ективного преобразования каждая из них пройдет через указанную точку (0,0,-z q ) на оси z .Поэтому эту точку называют точкой схода. Аналогично , матрицы описывают проективные преобразова ния с точками схода на оси OX и OY. Это все преобразованные с одной точкой схода . Матрица преобразование с двумя точками схода Групповые свойства проективн ых преобразований Группа - есть совокупность объектов произвольной природы , которые называются элементами группы а обозначается символами a, b, c, ..., удовлетворяющая требованиям следующих аксиом : 1. С каждой парой элементов совокупности , взятых в опреде лённом порядке , сопоставлен по определённому закону некоторый третий элемент этой же совокупности. Символически это записывают так c=ab , элемент c называется произведением (композицией ) элементов a и b. Иначе : композиция двух любых элементов группы даёт эл емент , принадлежащий этой же группе. 2. Закон ассоциативности : Каковы бы ни были три элемента группы a, b, c, всегда имеет место соотношение (ab)c=a(bc) 3. Существует такой элемент , что для любого элемента a группы выполняе тся ae=a. Элемент e называется единичным элементом. 4. Каким бы ни был элемент группы a, всегда существует такой элемент x, что ax=e. Элемент x называется обратным элементу a и обозначается a -1 , т . е . X= a -1 . Отсюда следуют такие правила : a) если ax=e, то и xa=e б ) если e-единичный элемент группы , то ae= a и ea= a т . е . не различается “левая” и “правая” единицы в ) из соотношения ax= e обратный элемент x определяется однозначно Если все эти положения применить к проективным преобразованиям , а именно к предс тавляющим их матрицам проективных преобразований в однородных координатах , то можно сказать , что совокупность проективных преобразований составляет группу : 1) произведение двух проективных матриц есть вновь матрица проективного преобразования ; 2) (c 1 c 2 )c 3 = c 1 (c 2 c 3 ) 3) единичный элемент 4) условием существования обратного элемента является условие существования обратной матрицы , для последнего необходимо , чтобы [c]#0 это условие являетс я требованием проективного преобразования. Группу проективных преобразований называют проективной группой. Прежде чем рассмотреть матрицы проективных преобразований , соответствующих конкретным их типам , вспомним иерархию геометрических преобразований. Для однозначного определения матрицы преобразования 1 го уровня необходимо (n+2) точки . Для однозначного определения матрицы преобразования 2 го уровня необходимо (n+1) точка . Для однозначного определения матрицы пр еобразования 3 го уровня необходимо n точек. Матрицы конкретных проективных преобразований. Каждое преобразование более низкого уровня является одновременно и преобразованием более высокого 1) На плоскости . Пер енос на вектор n (a,b) P / =M(n )P P, P / - однородные координаты Поворот на угол яя против часовой стрелки вокруг начала координат. Маштабирование относительно начала координат. неоднородное 2) В пространстве Вращение относительно оси Z(угол яя ) относительно оси X(угол я ) относительно оси y(угол яя ) Сложные преобразования строятся как цепочки преобразований. Перспективные преобразования. 1) C одной точкой схода (соответственно на различных осях ). А ) На оси Z куда преобразуется точка , параллельная z, лежащая на бесконечности т.А z (0,0,1,0) В неодн ородных координатах. т.е . точка схода лежит на оси z на расстоянии (-z q ) б ) на оси x Прямые параллельные оси ox идущей из бесконечности т.А (1, 0, 0, 0) преображаются в т .(-x q , 0, 0) в ) На оси у т.А (0,1,0,0) преображается в точку (0,-y q ,0) г ) С двумя точками схода , с тремя.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
подарил жене ВЕСЫ... а она мне на день рождения ЛИНЕЙКУ. Не понял я че-то...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Проективная геометрия", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru