Реферат: Простые волны Римана - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Простые волны Римана

Банк рефератов / Физика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 4922 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы







Мурманский государственный технический университет





кафедра судовых энергетических установок






Реферат по гидрогазодинамике

на тему:

















Подготовил: Толстобров Д. В.

Студент группы ЭП – 321

Проверил: Хокканен В. Н.









Мурманск 2005


Содержание




ВВЕДЕНИЕ стр. 3

  1. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ стр. 5

  2. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ стр. 6

  3. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ РИМАНА стр. 6

  4. СКОРОСТЬ ФРОНТА УДАРНОЙ ВОЛНЫ стр. 9

  5. МЕСТОПОЛОЖЕНИЕ ФРОНТА стр. 11

  6. РАССТОЯНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ РАЗРЫВА стр. 13

  7. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПРОСТЫХ ВОЛН стр. 14

  8. АМПЛИТУДА МАССОВОЙ СКОРОСТИ НА РАЗРЫВЕ В ПИЛООБРАЗНОЙ ВОЛНЕ. стр. 15

  9. СПЕКТР ВОЛНЫ ПИЛООБРАЗНОЙФОРМЫ стр. 16

  10. СПЕКТР ИСКАЖЁННОЙ СИНУСОИДЫ. ФОРМУЛА БЕССЕЛЯ-ФУБИНИ стр. 17

Литература стр. 19



ВВЕДЕНИЕ.


Акустические волны – суть упруго-инерционные волны. Это значит, что скорость их распространения определяется упругостью и плотностью вещества.

Приведём для примера способ вывода формулы для скорости звука из книги С.Э.Хайкина «Физические основы механики». Если есть небольшой скачок давления, распространяющийся со скоростью звука С0, то за время dt он проходит расстояние dx = C0 dt. В веществе перед скачком давление p0, плотность 0. За скачком – p и .


0, p0  C0 , p Рис. 1.

p = p – p0  



dx

Кроме этого вещество за скачком в лабораторной системе координат движется со скоростью , называемой массовой скоростью. В объёме V = S dx до прохождения скачка давления масса была m0 = S (C0 dt) 0, а после стала m = S (C0 dt) . Если скачок давления p = p – p0 положительный, то  > 0. Это равноценно введению в выделенный объём дополнительного вещества с массой (m – m0) со скоростью С0. (Можно вообразить для наглядности, что мы вдвигаем в этот объём со скоростью С0 какие-либо твёрдые предметы – спицы, например). Делает это сила F = (p – p0) S. По второму закону Ньютона F dt = d(mv). Или для нашего случая p S dt = ( – 0) S (C0 dt) C0. Отсюда C02 = p/ или для очень малых приращений С02 = dp/d .

Для идеального газа можно сейчас же эту производную вычислить. Возьмём адиабатическое уравнение состояния – так называемую адиабату Пуассона: p V = const. Так как  ~ 1/V, то p/ = p0/0 ; или окончательно: p/p0 = (/0) и

C2 = (p0/0)   – 1 = ( p0/0) (/0) – 1.
Если изменения плотности небольшие, то   0, (/0)  1  1. Тогда C02 =  p0/0. Кстати, из формулы виден простой способ определения показателя степени адиабаты Пуассона любого газа. Для этого нужно измерить C0, p0 и 0.

А теперь честно рассмотрим распространение разрывного скачка давления произвольной амплитуды. Потом мы подробнее рассмотрим эти волны, а пока покажем, что, пользуясь лишь законами сохранения, без труда можно получить важные формулы.

Полетим в такой системе отсчёта, где фронт скачка давления покоится (рис. 2.).



 D  (D – ) Рис. 2.

p0, 0 p, 



dx

Вещество втекает во фронт со скоростью D, а вытекает со скоростью (D – ). Здесь  – массовая скорость в лабораторной системе отсчёта. Объёмчик перед фронтом S dx = S D dt после прохождения через фронт уменьшился (сжался) до величины
S (D – ) dt. Из закона сохранения массы 0 D dt =  (D – ) dt или

0 D =  (D – ) – закон сохранения массы на фронте. (1)
Отсюда   =  – 0 D, то есть  = D / или

/ = /D.
Если скачок небольшой, то изменения плотности порядка числа Маха M = /C0.

Теперь вернёмся в лабораторную систему отсчёта, где вещество перед фронтом покоится. Под действием силы F = (p – p0) S некая порция вещества перед фронтом, имеющая массу m = 0 S, dx после прохождения фронта будет иметь ту же массу, другой объём и приобретёт скорость . Тогда по второму закону Ньютона F dt = d(m),
(p – p0) S dt = (0 S dx) ; dx = D dt. Отсюда

p = 0 D . (2)

Это – второй закон Ньютона на разрыве. Так как второй закон можно получить из третьего и закона сохранения импульса, то эту формулу иногда называют законом сохранения импульса на разрыве.

Исключим  из (1) и (2):


(3)


При p  0, D2  C02, где С02 = (p/)

P.S. Если из (1) и (2) исключить D, то можно получить ещё одну полезную формулу:

D = ( )/ = p/(0 ). Отсюда

2 = p(( – 0)/( 0)) = p (1/ – 1/0) = p (V0 – V). (4)

Здесь удельный объём V = 1/.





1 УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ.


Первое – это уравнение Навье – Стокса, приводимое здесь без вывода. Вывод можно посмотреть у Ландау и Лившица.

 (/t) +  ()  = – grad p +   + (/3 + )grad div  + f . (5)

Здесь  – вектор массовой скорости,  = grad div  – rot rot ,  и  – сдвиговая и объёмная вязкости, f – внешняя объёмная сила.

Порядок /t ~  0 (конечно, для синусоидальной волны  = 0 sin[ (t – x/C0)]).

Порядок (/x) ~ 0 (0 (/C0)) =  0 M, то есть отношение второго члена к первому порядка числа Маха.

Первый член порядка 0, второй – порядка  02.

Это уравнение – фактически второй закон Ньютона для жидкостей и газов. Первый член этого уравнения соответствует произведению массы на ускорение. Если разделить все члены на , то первый член – линейный.

Второй член уравнения – нелинейный. Это – конвективное ускорение. Этот член показывает, как меняется ускорение при смещении гидродинамической частицы в соседнюю точку пространства.

В правой части уравнения стоят силы. Первая сила обусловлена изменением давления по координате. Второй и третий члены являются вязкими силами. В последний член входят все остальные силы, которые могут действовать на жидкость или газ. Это могут быть гравитационные или электромагнитные силы.

Второе уравнение – это уравнение неразрывности:

div ( ) = – (/t). (6)

Уравнение показывает, что плотность увеличивается вследствие притока вещества внутрь гидродинамической частицы.


2. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ.


Уравнением состояния называется уравнение вида p = p(, T), связывающее изменение плотности с изменением давления и температуры. С адиабатой Пуассона мы уже знакомы:

p = p0 (/0). (7)

Если  = 1, то получается закон Бойля – Мариотта, то есть изотермическое уравнение состояния:

p = p0 (/0). (8)

Для многих конденсированных (жидких или твёрдых) сред эмпирически установлено уравнение в форме Тэта (P.G.Tait), внешне похожее на уравнение адиабаты Пуассона:

p/p* + 1 = (/0). (9)

Здесь p* – не давление, а некий эмпирический параметр. Хотя он и имеет размерность давления, но его принципиально нельзя измерить манометром. Можно именовать его квазидавлением. Если знать способ определения показателя степени , то из уже известной формулы C02 =  p*/0 можно вычислить величину p*. В книге Зельдовича и Райзера уравнение Тэта записано по-американски, в виде p = A[(V/V0)n – 1]. Для воды А = p*  3000 атм, n =   7.



3. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ РИМАНА.



Будем рассматривать для простоты только плоские продольные волны. Можно представить, что их генерирует гигантский (даже безграничный) лист фанеры, который кто-либо двигает поступательно.

На звуковых частотах поглощение на длине волны и в воде и в воздухе чрезвычайно малы. На этом основании упростим уравнения (5) и (6) и запишем их в бездиссипативном приближении для плоской одномерной волны:


(10)



(11)


Кстати, (10) – это уравнение Л.Эйлера (Euler), петербургского академика. Уравнения – нелинейные. Одно из решений было найдено Б.Риманом (Riemann), гёттингенским профессором, для случая, когда можно считать связи между p,  и  простыми, то есть

p = p() и  = (). (12)

А какие ещё могут быть зависимости? А может быть ещё зависимость от скорости деформации, – если среда, например, релаксирует или если присутствует диссипация. В этом случае


Волны в средах с простыми связями типа (12) называются «простые волны». Подставим (12) в (10) и (11):


, (13)




 (14)


Из уравнения (13) получается:


(15)


Мы будем следить за распространением какой-либо определённой точки профиля волны, то есть точки с некоторой скоростью 1 и плотностью 1. Этот факт можно записать в виде (x,t) = const = 1. Тогда (x/t)|1 = U|1 – скорость распространения некоторой точки профиля акустической волны. Больше не будем писать 1, так как это произвольная точка, а будем писать просто .

По правилу дифференцирования неявных функций из Бронштейна и Семендяева:





Подставим сюда /t из (15). Тогда


. (16)


Аналогично, используя уравнение неразрывности (14), получим:



. (17)



Так как волны простые, то есть существует однозначная связь  = () и только от , то скорости (16) и (17) равны. U|() = U|() =U.





;





Здесь


Это – линейно-акустическая скорость звука в веществе с плотностью  = (), то есть именно скорость звука в веществе с плотностью , но не скорость распространения точки профиля!

Отсюда (18)



(19)



Здесь, конечно, использовано C2 =p/.

Вспомним, что для скачка давления p у нас получалось соотношение  = (p/0 D). И, наконец, можно поверить, а можно проверить, что если в (19) подставить уравнение состояния (p0 + p)/p0 = (/0) и отбросить (при условии малости p/p0) малые члены с (p)2, то получится линейно-акустическая формула  = р/(0 C0).

Какова скорость распространения некоторой фиксированной точки профиля волны?


Воспользуемся (18) и C2 = p/.



(20)



Из формулы (17) получается, конечно, то же самое:




Для того, чтобы выразить U через  хорошо бы получить зависимость С = C(). Это можно сделать, подставив в (19) зависимость С = С(). Из (7)


(21)



Теперь из(19)






Окончательно:


(22)


Это – точная формула. В том смысле, что нет ограничений на амплитуду волны. Но, конечно, волны должны быть плоскими, простыми, а среда – бездиссипативной.


Отсюда:


U = C0 (1 +  M) (23)

Здесь ( + 1)/2  .

Формула (23) – очень важная и полезная. Из этой формулы ясно, почему  (а, иногда, и ) называют нелинейным акустическим параметром.


4. СКОРОСТЬ ФРОНТА УДАРНОЙ ВОЛНЫ.


Оказалось, что скорости распространения разных точек профиля акустической волны различны. Чем больше значение массовой скорости  в некоторой точке профиля волны, тем больше скорость распространения этой точки профиля. При  = 0 скорость распространения совпадает с линейно-акустической скоростью звука С0.

Задумаемся, к чему может привести такая зависимость U(). Будем наблюдать за распространением полупериода синусоиды (рис. 3, 1). Через некоторое время это волна




Рис. 3.





окажется в другом месте (рис. 3, 2). Точки профиля А и В будут распространяться со скоростью С0 и пройдут некоторый путь х0. Точка Б будет бежать быстрее и пройдёт б?льший путь х1. Все другие точки будут распространяться со скоростями б?льшими, чем С0 – согласно формуле (23). Профиль волны при этом исказится (рис. 3, 2). При дальнейшем распространении профиль исказится настолько, что возникнет многозначность (рис. 3, 3). Одному значению координаты будет соответствовать два значения массовой скорости. И, конечно, два значения плотности и давления. В природе так не бывает. На самом деле на месте многозначности профиля возникает резкий скачок давления, плотности, массовой скорости. В зависимости от амплитуды он может быть и достаточно плавным и резким, разрывным. В этом случае этот разрыв называется фронтом ударной волны.

Как можно себе представить разрыв плотности видно из рис. 4. На нём показаны молекулы, например, твёрдого тела. В той области, куда пришла ударная волна (УВ), плотность большая, вещество сжато. Но молекулы левее фронта ещё «не знают», что пришла ударная волна и получается, что ширина фронта УВ порядка межмолекулярного расстояния.



p, ,  p0, 0,  = 0 Рис. 4.



Если УВ распространяется в газе, то ширина фронта может быть порядка длины свободного пробега. Конечно, для этого волна должна иметь достаточно большую амплитуду.

Найдём теперь зависимость скорости распространения разрыва, то есть фронта УВ от массовой скорости D = D(). Из (1)





Теперь сюда нужно подставить зависимость  = ().

Из (21) можно получить зависимость  = (С) :