Реферат: Применение тройных и кратных интегралов - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Применение тройных и кратных интегралов

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 8947 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Министерство общего и профессионального о б разования Р.Ф. Иркутский государственный технический ун и верситет. Кафедра высшей математики. Реферат . Применение тройных или кратных интегралов. Выполнила : студентка группы ТЭ -97-1 Мелкоступова С.С. Проверил преподаватель к афедры высшей математики Седых Е.И. Иркутск 1998. Содержание . I . Масса неоднородного тела . Тройной интеграл. II . Вычисление тройных интегралов. 1. Декартовы координаты. А ) Пример. 2. Цилиндрические координаты. 3. Сферич еские координаты. А ) Пример. 4. Применение тройных интегралов. I . Масса неоднородного тела . Тройной интеграл. Рассмотрим тело , занимающее пространственную область (рис . 1), и предположим , что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией коорд и нат точек тела : Единица измерения плотности - кг /м 3 . Рис . 1. Разобьем тело произволь ным образом на n частей ; объемы этих частей обозначим Выберем затем в каждой части по про извольной точке Пол а гая , что в , каждой час тичной области плотность по стоянна и равна ее з начению в точке , мы получим при ближенное выражение для массы всего тела в виде суммы (*) Предел этой суммы при ус ловии , что и каждое частичное тело стягивается в точку (т . е . что его диаметр ) стремится к ну лю ), и даст массу М тела Сумма (*) называется n -й интегральной суммой , а ее предел - тройным интегралом от функции по пространственной области . К вычислению тройного интеграла , помимо определения массы тела , приводят и другие задачи . Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл где - произвольная непрерывная в области функция. Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствую щей терминологией для двойных интегралов . Точно так же формули руется и теорема существования тройного интеграла . Свойства двойных интегралов , полностью переносятся на тройные интегралы . Заметим только , что если подын тегральная функция тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области : Потому свойства V и V I надо теперь сформулировать следующим образом. V 1 . Если функция во всех точках области интегри рования удовлетворяет неравенствам то где V - объем области . VI 1 . Тр ойной интеграл равен произведению значения подын тегральной функции в н е которой точке области интегрирования на объем области интегрирования , т . е. II . Вы числение тройных интегралов. Вычисление тройного интеграла может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании . Мы ограничимся описание м соответствующих правил. 1. Декартовы координаты . Пусть дан тройной интеграл от функции причем область отнесена к системе декартовых координат Oxyz , Разобьем область интегрирования и плоскостями , параллельными ко ординатным плоскостям . Тогда ч а стичными областями будут параллелепипеды с гранями , параллельными плоскостям Оху , Ох z , Оу z . Элемент объема .будет равен , произведению дифференциалов переменных и н тегрирования В соответствии с этим будем писать Установим теперь правило для вычисления такого интеграла. Будем счи тать , что область интегрирования имеет вид , изобра женный на рис . 1). Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей , перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области вдоль некоторой линии L , которая делит повер х ность , ограничивающую область , на две части : верхнюю и нижнюю . Уравнением нижней поверхнос ти пусть будет , уравнением верхней . Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D , которая является ортогональной проек цией пространственной области на плоскость Оху, при этом линия L проектируется в границу области . Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси О z . Для этого функция интегрируется по заключен ному в отрезку прямой , параллельной оси О z и проходящей через некоторую точку Р (х , у ) области D (на рис . 1 отрезок ). При данных х и у переменная интегрирования z будет изменяться от - аппликаты точки “ входа ” ( ) прямой в область , до - аппликаты точки “ выхода ” ( ) прямой из области . Результат интегрирования представляет собой величину , зави сящую от точки Р (х , у ) ; обозначим ее через F ( х , у ): При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоян ные. Мы получим значение искомого тройного интеграла , если возьмем интеграл от функции F (х , у ) при условии , что точка Р ( х , у ) изменяется по области D , т . е . если возьмем двойной интеграл Таким образом , тройной интеграл I может быть представлен в виде Приводя , далее , двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y , а затем по x , получим (*) где и - ординаты точек “входа” в область D и “выхо да” из нее прямой (в плоскости Оху ), а a и b - абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на к о торый про ектируется область D . Мы видим , что вычис ление тройного интеграла по области производит ся , посре д ством трех пос ледовательных интегриро вании. Формула (*) сохраняет ся и для областей , имею щих цилиндрическую фор му , т . е . огр а ниченных цилиндриче ской поверхно стью с образующими , параллельными оси О z , а сни зу и сверху поверхностями , уравнения которых соответственно и (рис . 2). Рис .2 Если областью интегрирования с лужит внутренность парал лелепипеда с гранями , п а раллельными координатным плоскостям (рис . 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах : В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке , пределы инт е грирования будут при этом сохраняться. Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е ., скажем , интегрировать сначала по направлению оси Oy , а затем по области плоскос ти Oxz ) , то это приведёт к и з менению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегр и рования по каждой переменной. Рис .3 Рис .4 А ) Пример . Вычислим тройной интеграл где - область , ограниченная координатными плоскостями и плоскостью (пирамида , изображённая на рис .4). Интегрирование по z совершается от z =0 до Поэ тому , обозначая проекцию области на плоскость Oxy через D , получим Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику , уравнения сторон которого 2. Цилиндрические координаты. Отнесём область к системе цилиндрических координат , в которой полож е ние точки M в пространстве определяется полярными координатами ее проекции Р на плос кость Oxy и ее аппликатой ( z ). Выбирая взаимное распо ложение осей координат , как указано на рис . 5, уста новим связь , между декарто выми и цилиндрическими ко ординатами точки М, именно : (*) Рис .5 Разобьем область на частичные области тремя системами координатных повер х ностей : которыми будут соответственно круговые ц и ли ндрические поверхности , осью кото рых является ось О z , полуплоскости , проходящие через ось О z , и плоскости , параллельные плоскости Оху. Частичными областями с лужат прямые цилиндры MN (рис . 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания , умноженной на высоту , то для элемента объема получаем выражение Преобра зование тройного интеграла к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобра зованию двойного интеграла к полярным . Для этого нужно в в ы ражении подынтегральной функции переменные x , y , z з а менить по формулам (*) и взять элемент объёма равным Получим Если , в частности , то интеграл выражает объём V области Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к инт е грированиям по r , по и по z на основании тех же принципов , что и в случае декартовых координат . В част ности , если областью интегрирования служит внутренность ци линдра то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при п е ремене порядка интегрирования : 3. Сферические координаты. Отнесём теперь область интегрирования к системе сферических координат . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки ), углом между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом между проекцией радиуса вектора то чки на плоскость Oxy и осью Ox (рис . 6). При этом может изменятся то 0 до а - от 0 до . Рис .6 Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается . Из рис .6 имеем Отсюда (**) Разобьем область на частичные области , тремя системами координатных п о верхностей : которыми будут соответственно сферы с центром в на чале координат , полуплоскости , проходящие , ч е рез ось О z , и конусы с вершиной в начале координат и с осями , совпада ющими с одной из полуосей О z . Частичными областями служат “шестигранники” (рис . 7). От бросив бе с конечно малые высших порядков , будем рассматривать шестигранник MN как прямоу гольный параллелепипед с изме рениями , равным и : по направ лению полярного радиуса , по направлению мериди ана , по направлению параллели . Для элемента объема мы получим тогда выражение Заменив в тройном интеграле по формулам (**) и взяв элемент объема равным полученному выражению , будем иметь Особенно удобно приме нение сферических координат в случае , когда область инт е грирование - шар с центром в начале коор динат или шаровое кольцо. Например , в п о следнем случае , если радиус внутреннего шара , а внешнего , пределы интегриро вани я следует расставить так : Если - шар , то нужно положить A ) Пример. Вычислим объем шара радиуса R . В этом случае подынтегральную фу нкцию надо взять равной 1, и мы получим Применение тройных интегралов. Для вычисления коорди нат центра тяжести тела нужны статические моменты относ и тельно координатных плоскостей Оху , Ох z , Оу z ; обозначим их соответ ственно Повторяя рассуждения получим следующие формулы для координат центра тяжести неоднородного тела , плотно сть которого задается функцией занимающего область : Если тело однородно , т . е . , то формулы упрощаются : где V - объём тела. Пример . Найдем центр тяжести однородного полушара : Две координаты центра тяжести равны нулю , ибо полушар симметричен отн о сительно оси О z (тело вращения с осью О z) . Интеграл удобно вычислить , перейдя к сферическим координатам : Так как объём полушара равен то Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно ко ординатных осей . Так как квадраты расстояний от точки P ( x , y , z ) до осей Ox , Oy , Oz соответственно равны то полагая для простоты получим следующие формулы : Аналогично плоскому случаю интегралы называются центробежными моментами инерции. Для полярного момента инерции формула имеет вид Если тело неоднородное , то в каждой формуле под зна ком интеграла будет находиться дополнительный множитель - плотность тела в точке P . Пример . Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R . В этом случае очень удобно перейти к сфери ческим координатам . Будем иметь где М— масса шара. Так как для сферы моменты инерции относительно осей коор динат , очевидно , равны между собой , то , учитывая , что получим Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кин е тической энергии тела при его вращении около соответствующей оси . Пусть тело вр а щается около оси О z с постоянной угловой скоростью . Найдем кинетическую энер гию тела . Как известно , кинетическая энергия точки измеря ется величиной , где т - масс а точки , а - величина ее скорости . Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек , а кинетическая энергия тела - как сумма кинетических энергий всех частей , на которые оно разбито . Это обстоятельство позволяет применить для вычисления .кинетической энергии интеграл. Возьмем какую-нибудь окрестность точки Р (х , у , z ) тела . Величина линейной скорости точки Р при вращении около оси О z равна и значит , кинетическая энергия части тела выразится так : где - плотность тела в точке Р. Для кинетиче ской энергии всего тела получаем т.е. Кинетическая энергия тела , вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью , равна половине квадрата угловой скорости , умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения. Список использованной литературы. 1. А.Ф . Бермант ,И.Г . Араманович. Краткий курс математического анализа для втузов : Учебное пособие для втузов : - М .: Наука , Главная редакция физико-математической литературы , 1971 г .,736с.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Когда у жены на лице полтонны косметики - это ничего, а когда у мужа на лице немного помады - это конец света...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Применение тройных и кратных интегралов", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru