Курсовая: Решение уравнений в целых числах - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Решение уравнений в целых числах

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 6908 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

2 СОДЕРЖАНИЕ : 1. Уравнения с одним неизвестным 2. Уравнения первой степени с двумя неизвестными 3. Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными 4. Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М 5. Программа № 1 (уравнения с одним неизвестным ) ВВЕДЕНИЕ Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах. Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет соб ой одну из труднейших проблем теории чисел . Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными . Отметим , что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса , так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб . Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах , но даже и более простая з а дача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений. В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты , полученные в теории ; решения уравнений в целых числах . Теоремы , формулируемые в нем , снабжены доказате льствами в тех случаях , когда эти доказательства достаточно просты. 1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным (1) Пусть коэффициенты уравнения и - целые числа . Ясно , что решение этого уравнения будет целым числом только в том случае , когда нацело делится на . Таким образом , уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах ; так , например , из двух уравнений и первое имеет целое решение , а второе в целых числах неразрешим о. С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений , степень которых выше первой : квадратное уравнение имеет целые решения , ; уравнение в целых числах неразрешимо , так как его корни ,иррациональны. Вопрос о нахождении целых корней уравнения n -ой степени с целыми коэффициентами (2) решается легко . Действительно , пусть - целый корень этого уравнения . Тогда , . Из последнего равенства видно , что делится без остатка ; следовательно , каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения . Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество . Так , например , из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения , только -1 является корнем . Следовательно это уравнение , имеет единственный целый корень . Тем же методом легко показать , что уравнение в целых числах неразрешимо. Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными. 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными , (3) где и - целые числа , отличные от нуля , а - произвольное целое . Будем считать , что коэффициенты и не имеют общих делителей , кроме единицы . Действительно , если общий наибольший делитель этих коэффициентов отличен от единицы , то справедливы равенства , ; уравнение (3) принимает вид и может иметь целые решения только в том случае , когд а делится на . Таким образом , в случае - все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на , и , сокращая (3) на , придем к уравнению , коэффициенты которого и взаимно просты. Рассмотрим сначала случай , когда . Уравнение (3) перепишется так : . (3 ' ) Решая это уравнение относительно , получим . Ясно , что будет принимать целые значения в том и только в том случае , когда делится на без остатка . Но всякое целое , кратное , можно записать в виде , где принимает произвольные целые значения . Подставим это значение в предыдущее уравнение , тогда , и мы получаем формулы , содержащие все целые решения уравнения (3 ' ): , . Перейдем теперь к случаю . Покажем , прежде всего , что для нахождения всех целых решений уравнения (3) достаточно найти какое-нибудь одно его решение , т . е . найти такие целые числа , , для которых , Т е о р е м а I . Пусть а и b взаимно просты и - какое-нибудь решение уравнения , (3) Тогда формулы , (4) при дают все решения уравнения (3). Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть - произвольное решение уравнения (3). Тогда из равенств и получаем ; . Так как - целое число и числа и взаимно просты , то должно нацело делиться на , т . е . имеет вид , где - целое . Но тогда , и получаем , . Таким образом доказано , что всякое решение имеет вид (4). Остается еще проверить , что всякая пара чисел , получаемая по формулам (4) при целом , будет решением уравнения (3). Чт обы провести та кую проверку , подставим величины , в левую ч асть уравнения (3): , но так как - решение , то и , следовательно , , т.е . - решение уравнения (3), чем теорема полностью доказана. Итак , если известно одно решение уравнения , то все остальные решения найдутся из арифметических прогрессий , общие члены которых имеют вид : , . 3аметим , что в случае , когда , найденные раньше формулы решений , могут быть получены из только что выведенных формул , , если выбрать , что можно сделать , так как значения , являются , очевидно , решением уравнения , Как же найти какое-нибудь одно решение уравнения (3) в общем случае , когда . Начнем с примера. Пусть дано уравнение Преобразуем отношение коэффициентов при неи звестных. Прежде всего , выделим целую часть неправильной дроби ; Правильную дробь заменим равной ей дробью . Тогда получим . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью . Теперь исходная дробь примет вид : Повторяя те же рассуждения для дроби получим . Выделяя целую часть неправильной дроби , придем к окончательному результату : Мы получили выражение , которое на зывается конечной цепной или непрерывной дробью . Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую , превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби : , . Приведем получ енное выражение к общему знаменателю и отбросим его , тогда . Из сопоставления полученного равенства с уравнением следует , что , будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях , . Полученный результат наводит на мысль о том , что и в о бщем случае для нахождения решения уравнения надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь , отбросить ее последнее звено и проделать в ыкладки , подобные тем , которые были проведены выше. Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей. Рассмотрим несократимую дробь . Обозначим через частное и через остаток от делени я а на b . Тогда получим : , . Пусть , далее , - частное и - остаток от деления на Тогда , ; точно так же Велич ины , ,… называются неполными частными. Приведенный выше про цесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида . Остатки от деления , ,…удовлетворяют неравенствам , (5) т . е . образуют ряд убывающих неотрицательных чисел. Так как количество неотрицательных целых чи сел , не превосходящих b , не может быть бесконечным , то на некотором шаге процесс образования неполных частных оборвется из-за обращения в ноль очередного остатка r . Пусть - последний отличный от нуля остаток в ряде (5); тогда и алгоритм Евклида для чисел a и b примет вид (6) Перепишем полученные равенства в виде Заменяя значение в первой строке этих равенств соответству ющим значением из второй строки значение - выражением из третьей , строки и т . д ., получим разложение в цепную дробь : Выражения , получающиеся из цепной дроби при отбрасывании всех ее звеньев , начиная с некоторого звена , назовем подходящими дробями . Первая : подходящая дробь получится при отбрасывании всех звеньев , начиная с : . Вторая подходящая дробь получается о тбрасыванием всех звеньев , начиная с : . Точно так же и т . д. В силу способа образования подходящих дробей возникают очевидные неравенства : ; . Запишем k -ю подходящую дробь в виде , и найдем закон образования числителей и знаменателей подходящих дробей , Преобразуем первые подходящие дроби , , : ; , ; ; ; ; ; ; Отсюда получаем : ; . Применяя индукцию , докажем , что соотношения того же вида , (7). выполняются для всех . Действительно , пусть равенства ( 7) выполняются для некоторого . Из определения подходящих дробей непосредственно следует , что при замене в выражении величины на перейдет в . Согласно индукционному предположению . Заменяя здесь на , получим : . Отсюда , так как , следует , что , . Таким образом , из выполнения равенств (7) для некоторого следует выполнение их для Но для равенства (7) - выполняется и , следовательно , их справедливость установлена для всех . Покажем теперь , что разность соседних подходящих дробей удовлетворяет соотношению . (8) Действитель но, . Пользуясь формулами (7), преобразуем числитель полученной дроби : . Выражение , стоящее в скобках , получается из исходного заменой на . Повторяя такие же преобразования для получающихся выражений , получим , очевидно , цепь равенств : Отсюда следует , что Если разложение в цепную дробь имеет звеньев , то п-я подходящая дробь совпадает с . Применяя равенство (8), при получим (9) Вернемся теперь к решению уравнения , (10) Перепишем соотношение (9) в виде . Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его , получим Умножим это соотношение на . Тогда Отсюда следует , что пара чисел , , , (11) является решением уравнения (10) и согласно теореме все решения этого уравнения имеют вид , Полученный результат полностью решает вопрос о нахождении всех целочисленных решений уравнения первой степени с двумя неизвестными . Перейдем теперь к рассмотрению некоторых уравнений второй степени. 3. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ НЕИ ЗВЕСТНЫМИ П р и м е р I . Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными : (12) Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников , т . е . прямоугольны х треугольников , у которых и катеты , и гипотенуза выражаются целыми числами. Обозначим через общий наибольший делитель чисел и : . Тогда , , и уравнение (12) примет вид . Отсюда следует , что делится на и , значит , кратно : . Теперь уравнение (12) можно записать в виде ; сокращая на , получим . Мы пришли к уравнению того же вида , что и исход ное , причем теперь величины и не имеют общих делителей , кроме 1. Таким образом , при решении уравнения (12) можно ограничиться случаем , когда и взаимно просты . Итак , пусть . Тогда хотя бы одна из величин и (например , ) будет нечетной . Перенося в правую часть уравнения (12), получим ; . (13) Обозначим через общий наибольший делитель выражений и . Тогда , , (14) где и взаимно просты. Подставляя в (13) значения и , получим . Так как числа и не имеют общих делителей , то полученное равенство возможно только в том случае , когда и будут полными квадратами : , . Но тогда и (15) Найдем теперь и из раве нств (14). Сложение этих равенств дает : ; . (16) Вычитая второе из равенств (14) из первого , получим ; (17) В силу нечетности из (15) получаем , что , и также нечетны . Более того , , так как иначе из равенств и следовало бы , что величины и имеют общий делитель , что противоречит предположению об их взаимной простоте . Числа и связаны с взаимно простыми числами и равенствами , и в силу этого сами взаимно просты ; , так как , что ясно из равенств (14). Подставляя в равенства (15) - (17) , получим формулы : , , , (18) дающие при нечетных взаимно простых и все свободные от общих делителей тройки целых положительных чисел , , , удовлетворяющие уравнению (12). Простой подстановкой , и в уравнение (12) легко проверить , что при любых и числа (18) удовлетворяют этому уравнению. Для начальных значений и формулы (18) приводят к следующим часто встречающимся равенствам : Как уже было сказано , формулы (18) дают только те решения уравнения , в которых числа , и не имеют общих делителей . Все остальные целые положительные решения-этого уравнения получаются умножением решений , содержащихся в формулах (18), на произвольный общий множитель . Тем же путем , каким мы получили все решения уравнения (12), могут быть получены и все решения других уравнений того же типа. П р и м е р II . Найдем все решения уравнения (19) в целых положительных попарно взаимно простых числах , , . Заметим , что если , , есть решение уравнения (19) и , , не имеют общего делителя , отличного от 1, то они и попарно взаимно просты . Действительно , если и кратны простому числу , то из равенства следует , так как его левая часть - целое число , что кратно . То же самое будет , если и или и делятся на . Заметим , что должно быть числом нечетным для т ого , чтобы общий наибольший делитель , , был равен 1. Действительно , если четно , то левая часть уравнения (19) будет че тным числом и , значит , z также будет четным . Но и будут тог да кратны 4. Отсюда следует , что должно делиться на 4, другими словами , что тоже должно быть четным числом . Значит , если четно , то все числа , , должны быть четными . Итак , в реше нии без общего отличного от 1 делителя должно быть нечетным . Отсюда уже следует , что и должно быть тоже нечетным . Перенося в правую часть , мы получаем : . Но и имеют общим наибольшим делителем 2. Действительно , пусть их общий наибольший делитель будет . Тогда , , где и - целые числа . Складывая и вычитая эти равенства , мы будем иметь : , . Но и нечетны и взаимно просты . Поэтому общий наибольший делитель и будет 2. Отсюда следует , что . Итак , или , или нечетно . Поэтому или числа и взаимно просты , или взаимно просты числа и . В первом случае из равенства следует , что , , а во втором случае из равенства следует , , где и целые , - нечетное число и , . Решая эти две системы уравнений относительно и и находя , мы получаем или , , или , , , где нечетно . Об ъединяя эти две формы представления решения , , мы получаем общую формулу , , , где нечетно . Но для того чтобы и были целыми числами , необходимо , чтобы было четным . Полагая и , мы получим окончательно общие формулы , дающие все решения уравнения (19) в целых положительных без о бщего делителя , большего 1, числах , , : , , , (19 ' ) где и положительны , взаимно просты и нечетно . При этих условиях величины и выбираются произвольно , но так , чтобы было положительно . Формулы (19') действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах , , , так как , с одной стороны , мы доказали , что , , в этом случае должны представляться по формулам (19'), а с другой стороны , если мы зададим числа и , удовлетворяющие нашим условиям , то , , б удут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (19). 4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В этом пункте мы докажем , что при любом целом положительном и иррациональном уравнение (20) всегда имеет нетривиальное решение , другими словами существует пара целых чисел и ; , которая ему удовлетворяет . Прежде всего , укажем прием , позволяющий разложить в цепную дробь произвольное положительное число . Пусть - любое положительное число . Тогда всегда существует целое число , которое будет меньше или равно и больше . Такое целое число носит название целой части и обозначается . Разность между и его целой частью называется дробной частью числа и обозначается . Из определений целой части и дробной части чис ла непосредственно следует соотношение между ними , именно : и ли . (21) Так как дробная часть числ а есть разность между положительным числом и наибольшим целым числом , его не превосходящим , то дробная часть числа всегда меньше единицы и неотрицательна . Например , целая часть есть 5, а дробная его часть есть , целая часть есть 1, а дробная часть равна ; целая часть равна 3, а дробная часть равна , и т . д. Введенное нами определение целой части и дробной части положительного числа может быть использовано для разложения этого числа в цепную дробь . Положим : , . Тогда . Так как всегда меньше единицы , то всегда больше единицы . Если бы было само целым числом , то его дробная часть равнялась бы нулю , было бы равно бесконечности и мы имели бы равенство . Отвлекаясь от этого частного случая , который исключается тем , что мы разлагаем в непрерывную дробь иррациональное число , мы можем утверждать , что - положительное число , большее единицы . С этим числом мы поступаем так же , как и с , и пишем равенство , , Продолжая этот процесс , мы получаем ряд равенств : (24) Этот процесс последовательного образования целых чисел , , , , , в случае , когда , - рациональное число , - другими словами , когда , где и - целые положительные числа , - как нетрудно заметить , ничем не отличается по своим результатам от получения неполных частных с помощью алгоритма Евклида (см . формулу (6)). Он должен поэтому оборваться при рациональном . При иррациональном этот процесс должен быть бесконечным . Действительно , если бы при каком-нибудь было целым числом , то - отсюда следовало бы , что было бы рациональным , чт о в свою очередь влекло бы за собой рациональность и т . д . и , наконец , рациональность . Из формул (23), делая последовательные замены , исключая , , , мы получим цепную дробь (24) которую , так как можно взять сколь угодно большим , можно записывать и в форме бесконечной цепной дроби Т е о р е м а III . При любом целом положительном и иррациональном уравнение (20) имеет нетривиальное решение , , . Рассмотрим уравнение общего вида, (25) где - цел ое , - целое число , - иррациональное число . При это уравнение всегда имеет бесчисленное множество решений в целых числах и . При произвольных и такое уравнение может вообще не иметь решений. П р и м е р . Покажем , что уравнение (26) вообще не разрешимо в целых числах и . Заметим , прежде всего , что квадрат нечетного числа при Делений на 8 всегда дает в остатке 1. Действительно , так как всякое нечетное число а может быть записано в форме , где - целое число , то , (27) где - целое число в силу того , что или , или должно быть четным числом . Далее , если - решение уравнения (27),. то и не могут быть числами одинаковой четности . Если бы и были одновременно четными или нечетными , то было бы четным числом и не могло быть равно 1. Если же нечетно , а четно , то при делении на давало бы в остатке 1, делилось бы на 4 и при делении на 4 давало бы в остатке 1. Это невозможно , так как при делении на 4 правая часть тривиально дает в остатке или . Наконец , если четно , а нечетно , то делится на 4, на основании (26) может быть записано в форме и , значит , при делении на 4 дает в остатке 1. Поэтому при делении на 4 должно опять давать в остатке 1, что , как мы уже видели , невозможно . Поэтому не существует целых чисел и , которые могли бы удовлетворять уравнению (26). Не останавливаясь на вопросе , при каких условиях , наложенных на и , уравнение (25) будет иметь решение , - вопросе трудном и разрешимом с помощью общей теории квадратических иррациональностей в алгебраической теории чисел , - мы остановимся на случае , когда уравнение (25) имеет нетривиальные решения . По-прежнему нетривиальным решением мы будем называть решение , если . Итак , пусть уравнение (25) имеет нетривиальное решение ; другими словами , пусть (28) Рассмотрим при том же уравнение (29) Это уравнение имеет бесчисленное множество решений в целых числах при и иррациональном , и любое такое его решение будет : , , Так как решение уравнения (29) . Равенство (28) в свою очередь может быть переписано в форме . Перемножая почленно эти два последних равенства , мы получаем ( 30 ) Но и совершенно так же . Воспользовавшись этими двумя равенствами , мы можем переписать равенство (30) в форме или в форме . Этим мы доказали , что если - решение уравнения (25), то этому уравнению будет удовлетворять и пара чис ел : , , (31) где - любое решение уравнения (29). Таким образом , мы доказали , что если уравнение (25) имеет хотя бы одно решение , то оно имеет их бесчисленное множество. Нельзя , конечно , утверждать , что формулами (31) даютс я все решения уравнения (25). В теории алгебраических чисел доказывается , что все решения уравнения (25) в целых числах можно получить , взяв некоторое конечное и определенное зависящее от и число решений этого уравнения и размножив их с помощью формул (31). Уравнение (25) при А отрицательном или равном квадрату це лого числа может иметь не более конечного числа решений . Решение самых общих уравнений второй степени с двумя неизвестными в целых числах , уравнений вида (32) где числа А , В , С , D , Е и F - целые , сводится с помощью замен переменных к решению уравнений вида (25) с положительным или отрицательным А . Поэтому характер поведения решений , если они существуют , такой же , как и у уравнения типа (25). Подводя итог всему изложенному , мы можем теперь сказать , что уравнение второй степени с двумя неизвестными типа (32) может не иметь решений в целых числах , может иметь их только в конечно м числе и , наконец , может иметь бесконечное множество таких решений , причем эти решения берутся тогда из конечного числа обобщенных геометрических прогрессий , даваемых формулами (31). ПРОГРАММА № 1 (УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ ) n – степень многочлена ; a – коэффициент при x ; c – свободный член уравнения ; d – делитель свободного члена ; w – вспомогательная переменная для возведения d в степень аргумента ; x – сумма возведенных d в степень аргумента умноженных на a program matan _1; uses crt; var i,n,c,j,k,x,w,q,p:integer; a,d:array[1..100] of integer; BEGIN writeln ('введите степень многочлена '); readln (n); for i:=1 to n+1 do begin if i=n+1 then begin writeln (' введите свободный коэффициент '); read (c);end; if i<>n+1 then begin Writeln (' введите коэффициент при x^',n-i+1); readln (a[i]); end;end; w:=1; for j:=1 to c do begin if c/j= (c div j) then begin d[j]:=-j; k:=n; for i:=1 to n do begin for q:=1 to k do w:=w*d[j]; x:=x+w*a[i]; k:=k-1;w:=1;end; if x+c=0 then begin p:=p+1; writeln ('целый корень уравнения =', d [ j ]); end ; end; x:=0;e nd; for j:=1 to c do begin if c/j= (c div j) then begin d[j]:=j; k:=n; for i:=1 to n do begin for q:=1 to k do w:=w*d[j]; x:=x+w*a[i]; k:=k-1;w:=1;end; if x+c=0 then begin p:=p+1; writeln ('целый корень уравнения =', d [ j ]); end ; end; x:=0;end; if p=0 then writeln ('данное уравнение в целых числах неразрешимо '); readln;readln; END. ПРОГРАММА № 2 (Уравнения первой степени с двумя неизвестными ) program matan_2 ; var p,q,t,n,i,k ,x,y,w,r,s,d:integer; a,b,c:array[1..1000]of integer; BEGIN writeln(' вв . при х '); readln(p); writeln(' вв . при y'); readln(q); writeln(' вв . c'); readln(t); if p<0 then x:=-p else x:=p; if q<0 then y:=-q else y:=q; n:=0;n:=0;k:=1; for i:=1 to 10 do begin if k<>0 then begin n:=n+1; for i:=n to n do begin a[i]:=x; b[i]:=y; c[i]:=x div y; x:=x-c[i]*y; k:=k+1;n:=0;r:=r+1; if (x1) then begin w:=y; y:=x; x:=w;end else k:=0; end; end;end; x:=p;y:=q; for i:=1 to r do begin a[i]:=x; b[i]:=y; c[i]:=x div y; x:=x-c[i]*y;a[i]:=1;b[i]:=1; if (x1) then begin w:=y; y:=x; x:=w;end; end; for i:=r downto 1 do begin b[r]:=0; b[i]:=c[i]*b[i]+a[i]; if i>1 then b[i-1]:=b[i]; if i>2 th en a[i-2]:=b[i-1]; end; if (p*b[1]+q*a[1]+t)=0 then begin writeln('корни уравнения x=',b[1],'y=',a[1]); writeln ('все его решения будут содержаться в прогрессиях '); writeln('x=',b[1],'+',q,'*','t'); writeln('y=',a[1],'+',p,'*','t');end; readln; END. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Сравнивая поведение и характер решений уравнений второй степени с двумя неизвестными в целых числах с поведением решений уравнений первой степени , мы можем установить одно весьма существенное обстоятельство . Именно , если решения уравн ения первой степени , когда они существуют , образуют арифметические прогрессии , то решения уравнения второй степени , когда их имеется бесконечно много , берутся из конечного числа обобщенных геометрических прогрессий . Другими словами , в случае второй степен и пары целых чисел , которые могут быть решениями уравнения , встречаются значительно реже , чем пары целых чисел , которые могут быть решениями уравнения первой степени . Это обстоятельство не случайно . Оказывается , что уравнения с двумя неизвестными степени в ы ше второй , вообще говоря , могут иметь только конечное число решений . Исключения из этого правила крайне редки. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ : 1. Гельфонд А.О . Решение уравнений в целых числах . -4-е изд . – М .: Наука , 1983. – 64 с . – (Популярные лекции по ма тематике ).
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
– Нам нужны твои навыки убийцы. Вот деньги, цель хитра и опасна.
– Убери свои 12 рублей, я уже сказал, что не буду выгонять осу из комнаты.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Решение уравнений в целых числах", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru