Реферат: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 3513 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет ) Кафедр а Факультет VIII Прикладной Курс II Математики Группа 891 Дисциплина : Информатика – 2 Курсовая работа Тема : “Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне” Руководитель : Пол яков В.О. Исполнитель : Солнцев П.В. Санкт-Петербург 2001 Введение В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа : - построение математической модели исследуемого объекта - выбор способа и алгоритма решения получе нной модели - численная реализация алгоритма Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений , приобрести практические навыки самостоятельных исследован ий , существенно опирающихся на использование методов прикладной математики. Содержание 1. Постановка задачи 1.1 Физическая модель 1.2 Математическая модель 2. Обработка результатов эксперимента 2.1 Задача ре грессии . Метод наименьших квадратов. 2.2 Гипотеза об адекватности модели задачи регрессии 3. Нахождение коэффициента теплоотдачи a 3.1 Вычисление интеграла методом трапеций 3.2 Вычисление интеграла методом парабол (Симпсона ) 4. Вычисление времени Т 0 уста новления режима 4.1 Решение уравнения комбинированным методом 4.2 Решение уравнения методом итерраций 5. Решение краевой задачи (метод малого параметра ) 6. Заключение Литература 1. Постановка задачи 1.1 Физическая модель В ряде практических з адач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня , помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа . Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение темпе р атуры в различных точках стержня ), либо путём анализа соответствующей математической модели. В настоящей работе используются оба подхода. Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой q , на концах стержня поддерживается постоянная температура q 0 . 1.2 Математическая модель Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня . Будем рассматривать задачу (ра спределения температуры по стержню ) мосле момента установления режима Т 0 . Первая математическая модель использует эксперим ентальные данные , при этом измеряют температуру U i стержня в нескольких точках стержня с координатами x i . Результаты измерения U i рассматривают как функцию регрессии и получают статистики . Учитывая чётность U ( x ) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена ). (1.1) Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров , т.е . коэффициентов a 0 , a 1 и a 2 , например , методом наименьших квадратов. Вторая математическая модель , также использующая экспериментальные данные , состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться , если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала , т.е . м ожно считать , что U ( x i )= U i Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики . Можно доказать , что искомая функция U ( x ) имеет вид : (1.2) где l - коэффициент теплопроводности , a - коэффициент теплоотдачи , D – диаметр стержня , q - температура потока , в который помещён стержень. Ищем U ( x ) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями : (1.3) на отрезке [- L |/2; L /2], где L – длина стержня , q 0 - постоянная температура , поддерживаемая на концах стерж ня . Коэффициент теплопроводности l зависит от температуры : (1.4) где l 0 - начальное значение коэффициента теплопроводности , s l - вспомогательный коэ ффициент. Коэффициент теплоотдачи a вычисляют по формуле : (1.5) т.е . как среднее значение функции за некоторый отрезок времени от 0 до Т , здесь a 0 - значение a при t стремящемся к бесконечности , b – изв естный коэффициент. Время Т 0 , по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле : (1.6) где а – коэффициент температуропроводности , x - наименьший положительный корень уравнения : (1.7) Задание курсовой работы Вари ант № 136 Исходные данные : 1. L = 0.0386 м 2. D = 0,00386 м 3. q = 740 о С 4. q 0 = 74 о С 5. l 0 = 141,85 (Вт /м *К ) 6. s l = 2,703*10 -4 7. B = 6,789*10 -7 8. a 0 = 3,383*102 (Вт /м 2 *К ) 9. T = 218 о С 10. А = 3,043*10-5 (м 2 /с ) 11 X , м U, o C 0 353 0,00386 343 0,00772 313 0,01158 261 0,01544 184 0,01930 74 2 . Обработка результатов эксперимента. 2.1 Задача регрессии . Метод наименьших квадратов. Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК , при этом наименьшими будут оценки , обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспери ментальных значений температуры ; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам , т.е . минимум величины S : (2.1) В нашем случае необходимым т дос таточным условием минимума S будут : Где k = 0 , 1, 2. (2,2) Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем : (2.3) Сумма Система (2.3) примет вид : (2.4) В результате вычислений получаем S k и V j . Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4 ) через “ p ” : Методо м Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p -1 . В результате получаем : Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов а к , находим минимальное значение суммы S : S min =0.7597 При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки. Предполагается , что экспериментальные значения x i измерены с пренебрежимо малыми ошибками , а случайные ошибки измерения величины U i независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией s 2 , которая неизвестна . Для имеющихся измерений тем пературы U i неизвестная дисперсия оценивается по формуле : Где r – число степеней свободы системы , равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов , т.е . r = 3 . Оценка корреляционной матрицы имеет вид : Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам : Где S k – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы ; D - главный определитель нормальной системы. В нашем случае : S 0 =3.5438 10 -22 S 1 =-8. 9667 10 -14 S 2 =6.3247 10 -7 Откуда : Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону , т.к . линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui . Известно , что эти оценки несмещённые и эффективные . Тогда случайные величины : Имеют распределения Стьюдента , а r = 3 . Выбираем доверительную вероятность b =0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение g b равное 2,35, удовлетворяющее равенству : Доверительные интервалы для коэффициентов : (2.4*) В нашем случае примут вид : 2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии. Имеется выборка объёма n экспериментальных значений ( x i ;U i ). Предполагаем , что ошибки измерения x i пренебрежимо малы , а случайные ошибки измерения температур U i подчи нены нормальному закону с постоянной дисперсией s 2 . Мы выбрали функцию регрессии в виде : Выясним , нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка , т.е . функцией вида : (2.5) C помощью МНК можно на йти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев : Где r 1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2). Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид : (2.7) Решая эту систему методом Гаусса , получим : (2.8) Чем лу чше функция регрессии описывает эксперимент , тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui , т.к . при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности . Поэтому для того , чтобы сделать выб ор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии , т.е . проверить гипотезу : Н 0 – альтернативная гипотеза Т.е . проверить , значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени много члена. В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину , равную : (2.9) имеющую распределение Фишера с ( r ; r 1 ) степенями свободы. Выбираем уровень распределения Фишера , находим критическое значение F * a , удовлетворяющее равенству : p(F>F * a ) = a В нашем случае F=349 . 02 , а F * a =10,13. Если бы выполнилось практически невозможное соотношение F>F a , имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н 0 пришлось бы отклонить . Но в нашем случае можно ограничиться многочленом , коэффициенты в котором не одинаковы . 3. Нахождение коэффициента теплопроводности a . Коэффициент a вычислим по формуле (1.5), обозначим : (3.1) Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I, исходя из требования , чтобы относительная погрешность вычисления a не превосходила 0,1%, т.е .: (3.2) Т.к . из (3.1) очевидно , что a>a 0 , то условие (3.2) заведомо будет выполнено , если : (3.3) Т.е . в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления интег рала I возьмём d= 0,001Т (3.4) Т =218 о С , следовательно , d= 0,218 о С. 3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции Использование теоретической оценки погрешности Для обозначения требуемой точности количества частей n, на которые нужно разбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле : , где M 2 = [f” (t)], t e [0;T], f(t)=e -bt3 Учитывая формулу (3.4) получаем : (3.5) Дифференцируя f(t), получим : А необходимое условие экстремума : f” (t)-f ’ ’ ’ (t)=0 , откуда получаем : Далее вычисляем значения f ’ ’ (t) при t=t 1 , t=t 2 , t=0 и t=T , получаем : f ’ ’ (t1)=1.5886 10 -4 f ’ ’ (t2)=-1.6627 10 -4 f ’ ’ (0)=0 f ’ ’ (T)=7.47 82 10 -6 Итак : M 2 = 1,5886 10 -4 , откуда n=25.66 ; принимаем N=26 . Далее вычислим интеграл I : Погрешность вычисления a : 3.2 Вычисление интеграла I методом парабол При расчётах будем использовать теоретическую оценку погрешности с помощью правила Рунге . Для обеспечения заданной точности количество частей n , на которое следует разделить интервал интегрирования можно определить по формуле : , откуда : Нахождение М 4 можно провести аналогично нахождению М 2 в предыдущем пункте , но выражение для f IV (t) имеет довольно громоздкий вид . Поэтому правило Рунге – наиболее простой спо соб. Обозначим через I n и I 2n значение интеграла I , полученное при разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов . Если выполнено равенство : |I 2n -I n | = 15 d (*1) , то |I-I 2n |= d Будем , начиная с n=2 , удваивать n до тех пор , пока не начнёт выполняться неравенство (*1), тогда : (3.6) Согласно формуле парабол (3.7): Результаты вычислений сведём в таблицу : n I n I 2n 4 102.11 8 101.61 0.5017 По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со значением , полученным по методу трапеций n=8 n=4 t i (8) y 8 t i (4) y 4 0 1 0 1 27.25 0.9864 54.5 0.8959 54.5 0.8959 81.75 0.6901 109 0.4151 109 0.4151 136.25 0.1796 163.5 0.0514 163.5 0.0514 190.75 0.0089874 218 0.00088179 218 0.00088179 4. Вычисление времени Т 0 установления режима 4.1 Решение уравнения комбинированным методом Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7). Проведём сначала отделение корней . Имеем y = ctg(x) и y = Ax . Приведём уравнение к виду : A x sin (x)-cos(x) = 0 . Проведём процесс отделения корня. F(x) -1 -0.6285 0.4843 x 0.01 0.05 0.1 т.е . x с [0.01;0.05] Убедимся , что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции. f(a) f(b)<0 – условие существования корн я выполняется f ’ (x) на [a;b] – знакопостоянна : f ’ (x)>0 – условие единственности также выполняется . Проведём уточнение с погрешностью не превышающей e=10 -4 Строим касательные с того конца , где f(x) f” (x)>0 f” (x)=(2A+1)cos(x) – A x sin(x). f” (x)>0 на (a;b), следовательно касательные строим справа , а хорды слева . Приближение корня по методу касательных : по методу хорд : Вычисление ведём до того момента , пока не выполнится условие : Результаты вычислений заносим в таблицу : n a n b n f(a n ) f(b n ) 0 0.05 0.1 -0.6285 0.4843 1 0.07824 0.08366 -0.0908 0.0394 2 0.08202 0.08207 -9.1515 10 -4 3.7121 10 -4 3 0.08206 0.08206 -8.4666 10 -8 3.4321 10 -8 Т 0 = 72,7176 секунд. 4.2 Решение уравнения комбинированным методом Приведём f(x) = 0 к виду x = j (x) . Для этого умножим обе части на произвольное число m , неравное нулю , и добавим к обеим частям х : X = x - m f(x) j( x ) = x - m A x sin(x) + m cos ( x) В качестве m возьмём : где М = max [f ’ (x)] на [a;b] , а m = min [f ’ (x)] на [a ’ b] В силу монотонности f ’ (x) на [a;b] имеем m = f ’ (а ), М = f ’ (b) . Тогда m = 0,045. Приближение к корню ищем по следующей схеме : Вычисление ведём до тех пор , пока не выполнится условие : ( q = max | j ’ (x)| на [a ’ b] ) j ’ (x) на [a ’ b] моното нно убывает , поэтому максимум его модуля достигается на одном из концов. j ’ (0,05) = 0,3322 j ’ (0,1) = -0,3322, следовательно , q = 0.3322 < 1 . В этом случае выполняется условие сходимости и получается последовательность : i x i j ( x i ) D x i 0 0.075 0.082392 0.00739 1 0.082392 0.082025 0.000367 2 0.082025 0.08206 3.54 10 -5 3 0.08206 0.082057 3.33 10 -6 4 0.082057 0.082057 3.15 10 -7 Итак , с погрешностью , меньшей 10 -4 , имеем : Т 0 = 72,7176 с . , x = 0.03142 5. Решение краевой задачи Используем метод малого параметра . Краевую задачу запишем в виде : (5.1) Введя новую переменную y = (U - q 0 )/(q - q 0 ) , запишем (5.1) в виде : (5.2) e = s l (q - q 0 ) = 0.18 , L/2 =0.0193 . В качестве малого параметра возьмём e . Тогда , подставив y(x) в уравнение (5.2) и перегруппировав члены при одинаковых степенях e , получим : (5.3) Ограничимся двумя первыми членами ряда : Из (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнения для y 0 : где y 0 с тильдой – частное решение данного неоднородного уравнения ; y (1) и y (2) – линейно независимые решения однородного уравнения. Корни уравнения : y 0 общ = 1 + c 1 ch(px)+c 2 sh(px) , где p = 0.01953 Константы найдём из граничных условий : откуда с 1 = 0, с 2 = -0,57; т.е . имеем функцию : y 0 = 1 - 0.57 sh(px) Общее решение : Частное решение : Дифференцируя и подставляя в уравнение , получим : А 1 = 0; А 2 = -0,1083; В 1 = 0; В 2 = 17,1569; Тогда общее решение для y 1 имеет вид : с 3 = 0; с 4 = 0,0462 Перейдя к старой переменной U , получим : q 0 = 0; q 1 = -374.11; q 2 = -12.9863; q 3 = 2057 Итоговое уравнение : Пользуясь этой формулой , составим таблицу значений функции U(x) : x U(x) U 0 352.9075 353 0.0019 350.4901 0.0039 343.1972 343 0.0058 330.9053 0.0077 313.4042 313 0.0097 290.391 0.0116 261.4598 261 0.0135 226.0893 0.0154 1836255 184 0.0174 133.2579 0.0193 74 74 Используя данную т аблицу , строим график функции U(x) . [ см . приложение 1 ] 6. Заключение Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительной системы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне ), полученные по решению практического задания и обработкой эксперимента (функции регрессии ), которые практически (в пределах погрешности ) совпадают с экспериментальными значениями. Литература 1. Методические указания “Методы приближённых выч ислений . Решение нелинейных уравнений” (ЛТИ им . Ленсовета , Л . 1983) 2.Методические указания “Приближённые методы ислисления определённых интегралов” (ЛТИ им . Ленсовета , Л . 1986) 3. Методические указания “Изучение распределения температуры в тонком ц илиндрическом стержне” (ЛТИ им . Ленсовета , Л . 1988) Приложение 1
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
При пожаре покиньте горящее здание до того, как напишете об этом в твиттере.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru