Курсовая: Функциональные уравнения - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Функциональные уравнения

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 5124 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

2 Содержание Введение 2 §1. Уравнения Коши 5 п. 1.1. Функциональное уравнение линейной однородной функции 5 п. 1.1.1 Класс непрерывных функций 6 п. 1.1.2 Класс монотонных функций. 7 п. 1.1.3 Класс ограниченных функций. 8 п.1.1.4. Класс дифференцируемых функций. 10 п.1.2. Функциональное уравнение показательной функции 11 п.1.3. Функциональное уравнение логарифмической функции 12 п.1.4. Функциональное уравнение степенной функции 13 п.1.5. Одно обобщение уравнения Коши. 14 § 2. Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции 17 § 4. Решение функциональных уравнений с применением теории групп 24 § 5. Применение теории матриц к решению функциональных уравнений 28 § 6. Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений 34 п 6.1. Предельный переход 34 п . 6.2. Дифференцирование 39 Заключение 42 Список литературы 43 Введение Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например, f(x)+xf(x+1) = 1 Некоторые фу нкциональны е уравнения знакомы нам еще из школьного курса это f(x) = f(-x), f(-x) = - f(x), f(x+T) = f(x), которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность. Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения ( 1 ) То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения этого уравнения, предполагая только непрерывность f ( x ). Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения , (2) которое он решил методом, аналогичным методу Коши . Э то уравн ение можно привести к уравнению . Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792— 1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f (х) ; (х, f (х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f (х) имеет ординату х. Следовательно, (3) Функциональному уравнению ( 3 ) удовлетворяют, в частности, функции: , Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши f(x+y) = f(x)+f(y), (4) f(x+y) = f(x) · f(y), (5) f(xy) = f(x)+f(y) , (6) f(xy) = f(x) · f(y ) , (7) Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид , , , В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение ( 4 ) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей. Функциональное уравнение ( 4 ) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение - значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши ( 4 ) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f ( x ) = ax . Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f ( x ) = ax . Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая ( 4 )), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f ( x ) = ax для x Q . Казалось бы, что тогда f ( x ) = ax для всех действительных x . Если f ( x ) - непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить - то нет. Первый пример отличного от f ( x ) = ax разрывного решения функционального уравнения ( 4 ) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел. Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f ( x +1) = f ( x ) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f (1+ x ) = f (1- x ) - класс функций, симметричных относительно прямой x = 1 , и т. д. Вообще, для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно мало общих методов решения. Далее будут рассмотрены некоторые приёмы , позволяющие решать функциональные уравнения . § 1. Уравнения Коши п. 1.1. Функциональное у равнени е линейной однородной функции Одним из наиболее исследованных в математике является функциональное уравнение Коши f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , D ( f ) = R (4) Нетрудно заметить, что линейные однородные функции вида f(x) = ax (a = const) удовлетворяют этому уравнению: f ( x + y ) = a ( x + y ) = ax + ay = f ( x ) + f ( y ) Вопрос состоит в том, будут ли эти функции единственными. Прежде всего, выведем несколько общих фактов, не накладывая никаких ограничений на функцию f (т. е. без всяких предположений о непрерывности, ограниченности и т. п.). Положим в уравнении y = x , получим: f(2x) = 2f(x). Далее, последовательно полагая y = 2x, y = 3x, y = 4x и т. д., имеем: f(3x) = f(x+2x) = f(x)+f(2x) = f(x)+2f(x) = 3f(x); f(4x) = f(x)+f(3x) = 4f(x); f(5x) = f(x)+f(4x) = 5f(x), и вообще, для любого натурального n f(nx) = n·f(x) ( 1.1 ) (это легко проверяется по индукции). Заменив здесь x на , мы получим , а затем, если подставить mx (m - натуральное) вместо x и использовать предыдущее равенство, придём к соотношению , ( 1.2 ) Положи м теперь в основном уравнении ( 4 ) x = y = 0 ; получим f(0) = 2f(0), так что f(0) = 0. (1 .3 ) Если же взять y = -x , то: 0 = f(x - x) = f(x) + f(-x) f(-x) = -f(x), так что функция f(x) явл яется нечётной. А тогда из ( 1.1 ) легко вывести: ( 1.4 ) Полученные соотношения ( 1.2 ) – ( 1.4 ) могут быть объединены в равенстве f(rx) = r · f(x), справедливом для любого вещественного значения x, каково бы ни было рациональное число r. Если взять здесь x = 1 , то получим f(r) = r· f(1) ( 1.5 ) или, если обозначить f(1) через a, f(r) = ar. Таким образом, мы, собственно говоря, установили уже вид функции f, но пока лишь для рациональных значений аргумента. При этом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет основному уравнению Коши ( 4 ). Далее в решении мы будем уже опираться на конкретный класс функций, в котором ищется решение. Рассмотрим некоторые наиболее общие классы функций. п. 1.1.1 Класс непрерывных функций Для рациональных x мы установили, что f(x) = ax. Осталось показать, что это соотношение справедливо и для иррациональных x. Пусть x будет любое иррациональное число. Тогда существует последовательность рациональных чисел , сходящаяся к этому числу x (это известный факт; можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). По доказанному f(r n ) = ar n (n = 1,2,3, . . .). Перейдём здесь к пределу при Справа мы получим ax , слева же, именно ввиду предположенной непрерывности функции f , получится так что, окончательно, f(x) = ax. Таким образом, действительно, все непрерывные аддитивные функции являются линейными однородными. Последняя формула даёт самое общее реше ние функционального уравнения ( 4 ). п. 1.1.2 Класс монотонных функций . Здесь мы будем предполагать, что функция f не убывает на всей действительной оси (случай невозрастания функции рассматривается аналогично). Значит для любых x 1 < x 2 . Для рациональных x доказано f(x) = x · f(1). Возьмём произвольное иррациональное x. Известно, что любое иррациональное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами, поэтому для любого натурально q существует целое p такое, что ( 1.6 ) и при достаточно больших q число x расположено между двумя очень близкими рациональными числами, р азность между которыми равна . Используя монотонность функции f, находим откуда (воспользовавшись соотношением для рациональных значений функции f ) , a = f (1). ( 1.7 ) Так как из ( 1.3 ) f(0) = 0 , то , ведь функция f не убывает, значит, . Если a = 0 , то из неравенств имеем . Если a = 0 , то из ( 1.7 ) . ( 1.8 ) Сравнивая эти неравенства с ( 1.6 ), получим Покажем это. Предположим, что это неверно, например, для выбранного иррационального x. Подберём q настолько большим, чтобы дробь попала между и x что противоречиво с ( 1.8 ). Полученное противоречие показывает, что для любого заданного иррационального x , поэтому f(x) = ax для всех x . п. 1.1.3 Класс ограниченных функций . Пусть теперь функция f(x) ограничена с одной стороны (т. е. ограничена либ о сверху, либо снизу) на каком- либо интервале (a, b) . Нам нужно доказать, что линейными однородными функциями исчерпываются все решения ( 4 ) в данном классе. Мы исследуем решение уравнения ( 4 ), предполагая f ограниченной сверху (случай, когда f ограничена снизу, сводится к рассматриваемому случаю заменой f на -f ). Будем считать, что функция f ограничена с верху константой M, т. е. для всех . Рассмотрим вспомогательную функцию g(x) = f(x) - x · f(1). По доказанному выше g(x) = 0 при любом рациональном x . Кроме того, функция g(x) также является аддитивной. Действительно, g(x + y) = f(x + y) - (x + y) · f(1) = f(x) + f(y) - xf(1) - yf(1) = g(x) + g(y). Подставим y = r ( r - рациональное) в равенство g(x+y) = g(x)+g(y), получим, учитывая g(r) = 0 , g(x+r) = g(x)+g(r) = g(x). Значит, любое рациональное число r является периодом функции g(x). Покажем теперь, что g(x) ограничена на интервале (a, b). Имеем где , поскольку при . Отсюда тогда следует, что g(x) ограничена сверху на всей вещественной оси. В самом деле, для любого действительного x существует рациональное число r такое, что r (a-x, b-x) , т. е. a < x+r < b . Поэтому g(x) = g(x+r) < M1, так как x + r (a, b) , а на интервале (a, b) функция g ограничена числом M 1 . Сейчас уже можно утверждать, что g(x) = 0 для любого действительного x. Допустим это не так, т. е. для некоторого x 0 g(x 0 ) = A, A 0. Поскольку для функции g(x) , как для любой аддитивн ой функции, верно соотношение ( 1.1 ), то g(nx 0 ) = ng(x 0 ) = nA для любого целого n. Очевидно, что можно подобрать такое n (может быть, достаточно большое по абсолютной величине), что nA > M 1 , т.е. g(nx 0 ) > M 1 . Но функция g ограничена сверху константой M 1 . Получ аем противоречие. Значит , g(x) 0 , откуда f(x) = x · f(1), что и требовалось. п.1.1.4. Класс дифференцируемых функций. Легко проверить, что если функция f (х) дифференцируема в точке х 0 , то она непрерывна в этой точке, Как показывает пример функции f(x)= | x | , обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Поэтому класс дифференцируемых функций уже класса непрерывных функций. Следовательно, решением уравнения Коши в классе дифференцируемых функций является линейная однородная функция. Тем не менее, метод решения уравнения Коши в предположении дифференцируемости f ( x ) представляет интерес ввиду его пр остоты. При фиксированном у R f (х + у) и f (х) + f (у) являются функциями переменной х R . Ввиду их равенства, равны и их производные (по переменной x !). Продиффер енцировав обе части равенства ( 4 ), получим (1.9) ( , как производная постоянной). Равенство ( 1.9 ) выполняется для любых х R, у R , так как у можно было выбрать произвольно, Положив в(1.9) х = 0, придем к тождеству для всех у R . Итак, — постоянная функция. Поэто му ее первообразная f (х) = сх + b (1.10) где b — некоторое действительное число. Проверка показы вает, что (1.10 ) удов летворяет ( 4) только при b = 0 , с R . Существуют и другие классы функций, в которых аддитивная функция неминуемо будет являться линейной однородной, однако найден пример аддитивной функции и в классе разрывных функций. Этот пример построил Гамель. Построенная функция обладает следующим свойством: на любом (произвольно выбранном) интервале (a, b), пусть даже сколь угодно малом, функция f(x) не ограничена, т. е. среди значений, которые данная функция принимает на этом интервале, имеется и такое, которое больше любого наперёд заданного положительного числа. Для построения такой функции Гамель ввёл множество G действительных чисел, называемое теперь базисом Гамеля, которое обладает свойством, что любое действительное число x представимо и при том единственным способом в виде , Произвольно задав значения f(x) в точках множества G, можно однозначно продолжить её на всю числовую прямую при помощи равенства вытекающего из свойства аддитивной функции. Такими функциями исчерпывают ся все решения ( 4 ). п.1.2. Функциональное уравнение показательной функции Покажем, что все непрерывные на всей действительной прямой функции, удовлетворяющие функциональному уравнению f ( x + y ) = f ( x ) · f ( y ), ( 5 ) задаются формулой f ( x ) = a x ( a > 0) (если не считать функции, тождественно равной 0). Итак, пусть f ( x ) - непрерывная и определённая при всех действительных x функция, удовлетворяющая ( 5). Исключим тривиальное решение f ( x ) 0. Тогда для некоторого значения x = x 0 эта функция отлична от нуля. Положим в ( 5 ) y = x 0 - x : f ( x ) · f ( x 0 - x ) = f ( x 0 ) 0; отсюда ясно, что f ( x ) не равна нулю ни при каком x . Заменяя x и y в ( 5 ) на x /2, получим так что f ( x ) строго больше 0 для всех x . Тогда равенство ( 5 ) можно прологарифмировать, например, по основанию e : ln f(x+y) = ln f(x) + ln f(y). Положив в этом соотношении ц ( x = ln f ( x ) ), придём к функциональному уравнению Коши ( 4 ): ц ( x + y ) = ц ( x ) + ц ( y ). Учитывая, что ц - непрерывная функция (как суперпозиция непрерывных функций), имеем по доказанному: ц (x) = ln f(x) = cx ( c = const ), откуда находим, что f ( x ) = e ix = a x (если положить a = e c ). Таким образом, единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей уравнению Коши ( 5 ), является показательная функция (или тождественно нулевая функция). В качестве класса функций, в котором искалось решение (2), мы рассмотрели лишь класс непрерывных функций. Как и в предыдущем пункте , можно было бы разобрать решения для монотонных и ограниченных функций, но этого мы делать не будем, потому что ( 5 ), как было подмечено, сводится к ( 4 ), а для него всё ясно. п.1.3. Функциональное уравнение логарифмической функции Все непрерывные решения функционального уравнения f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ), (6 ) справедливого для всех положительных значений x и y , имеют вид f(x) = log a x (a > 0, a 1). Докажем это. Для этого введём новую переменную о , изменяющуюся в промежутке (- ; + ), и положим x = e о (ведь x > я 0), ц ( о ) = f ( e о ), откуда о = ln x , f(x) = ц ( ln x ). Тогда функция ц удовлетворяет функциональному уравнению ( 4 ): а потому и f ( x ) = c ln x . Если исключить случай c = 0 (тогда f ( x ) 0 ) , то полученный результат может быть написан в виде f(x) = log a x , a = e 1/c . п.1.4. Функциональное уравнение степенной функции Функциональному уравнению f(xy) = f(x)· f(y) ( x > 0, y > 0 ) (7 ) удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида f ( x ) = x a . Прибегая к той же подстановке, что и в п. 1 .3, мы приведём уравнение ( 7 ) к уравнению ( 4 ): , откуда ц ( о ) = c о ( c > 0 ), и, значит, f ( x ) = c lnx = x a ( a = lnc ). Метод последовательного анализа можно применить к решению других уравнений. Пример 1 . Функция f определена и непрерывна на множестве R , f (1) = 1 и для любых действительных x и y Чему равно f(x) ? Решение. Из данного равенства при x = y = 0 получаем, что f (0) = 0 , а при y = 0 имеем f ( x ) = f ( | x | ), так что функция f чётная и достаточно рассматривать только положительные значения аргумента. По индукции легко получить равенство ; в самом деле, по предположению индукции Положив в доказанном равенстве , будем иметь , т.е. . Если теперь – положительное рациональное число, то , если же x - иррациональное число, то x является пределом последовательности рациональных чисел, , и в силу непрерывности f будем иметь п.1.5. Одно обобщение уравнения Коши. Пусть n — фиксированное натуральное число. Рассмотрим функциональное уравнение (1.11) где D ( f ) = R . При n = 1 оно обращается в уравнение Коши. Как было показано, в классе непрерывных функций единственным решением уравнения Коши является линейная однородная функция. Из результатов Гамеля следует, что и разрывные функции могут удовлетворять уравнению Коши. Покажем, что решение уравнения (1.11) при n > 1 является непрерывной функцией. Полагая х = у = 0 , получим f (0) = 0 . Поэтому при х = 0 из (1.11) имеем f (у n ) = ( f (y)) n для всех у R. Каждое неотрицательное число z может быть записано в виде z = у n . Отсюда В частности, при х = -z т. е. f ( - z ) = - f ( z ) , z R . Если , то Отсюда следует что f (х + w) = f(х) + f (w) для всех х R, w R, т. е. f (х) — аддитивная функция. Для аддитивной функции при рациональных t имеет место соотношение f (tw) = tf (w) . Легко видеть, что (1.12) Воспользовавшись формулой Ньютона , и аддитивностью f(x) , преоб разуем отдельно левую и правую части ( 1. 12) при рациональных t : ; Правые части последних двух равенств представляют собой многочлены от t . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t , получим , . В частности, для k = 2 имеем . (1.13) Если ( f (1)) n -2 > 0 , то f (x) — неубывающая функция. Действительно, всякое у > 0 представимо в виде у = х 2 , поэтому из ( 1.13) имеем f(у) = f ( x 2 )
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Маша поняла, что не особо привлекательна, когда парень заставил ее кукарекать, выиграв в карты "на желание".
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Функциональные уравнения", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru