Курсовая: Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 3256 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

27 Министерство образования Украины Донецкий государственный техничес кий университет Кафедра химической технологии топлива Курсовая работа на тему : Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка по дисциплине : Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ Выполнил : студен т гр . ХТ -96 Кузнецов М.В. Проверил : доц . Чеховской Б.Я. г . Донецк 1998 год РЕФЕРАТ Дифференциальные Уравнения , Метод Рунге-Кутта , РК -4, Концентрация , Метод Эйлера , Задача Коши , Ряд Тейлора , Пас каль , Реакция , Интервал , Коэффициенты Дифференциального Уравнения. Листов : 28 Таблиц : 2 Графиков : 4 Решить систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4 порядка , расчитать записимость концентрации веществ в зависимости от времени , п роанализировать полученную зависимость , удостовериться в действенности метода. Содержание : Введение 1. Постановка задачи………………………………… 6 2. Суть метода………………………………………… 8 3. Выбор метода реализации программы…………… 14 4. Блок – схема………………………… …………… ...15 5. Программа………………………………………… ..17 6. Идентификация переменных……………………… 19 7. Результаты………………………………………… ..20 8. Обсуждение результатов………………………… ...21 9. Инструкция к программе………………………… ...23 10. Заключение………………………………………… .27 Литература Введение Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники . Переходные процессы в радиотехнике , кинетика химических реакций , динамика биологичес ких популяций , движение космических объектов , модели экономического развития исследуются с помощью ОДУ. В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция y(x) и ее первые n производных по аргументу x ( x, y, y 1 , ... y (n) )=0. 1.1 Из теории ОДУ известно , что уравнение (1.1) эквивалентно системе n уравнений первого порядка k (x, y 1, y 1 ’ ,y 2 ,y 2 ’ , ... ,y n ,y n ’ )=0. 1.2 где k=1, ... , n. Уравнение (1.1) и эквивалентная ему система (1.2) имеют бесконечное множество решений . Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий , которым должны удовлетворять искомые решения . В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач , для которых доказано существование и единственность решений. Первый тип – это задачи Коши , или задачи с начальными условиями . Для таких задач кроме исходного уравнения (1.1) в некоторой точке xo должны быть заданы начальные условия , т.е . значения функции y(x) и ее производных y(x 0 )=y 0 ’ , y ’ (x 0 )=y 10 , ... , y (n-1) (x 0 )=y n-1 , 0 . Для системы ОДУ типа (1.2) начальные условия задаются в виде y 1 (x 0 )=y 10 , y 2 (x 0 )=y 20 , ... , y n (x 0 )=y n0 . 1.3 Ко второму типу задач относятся так на зываемые граничные , или краевые задачи , в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями . Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы . Если решение задачи определяется в интерв а ле x є x 0 ,x k , то такие условия могут быть заданы как на границах , так и внутри интервала . Минимальный порядок ОДУ , для которых может быть сформулирована граничная задача , равен двум. Третий тип задач для ОДУ – это задачи на собственные значения . Такие задачи отличаются тем , что кроме искомых функций y(x) и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров 1 2 х m которые называются собственными значениями Для единственн ости решения на интервале [x0 xk] необходимо задать m+n граничных условий В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот коэффициентов диссипац ии структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах задачи нахождения фазовых коэффициентов коэффициентов затухания распределения напряженностей полей волновых процессов и т д К численному решению ОДУ приходится обращаться когда не удается построить аналитическое ре шение задачи через известные функции Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений Большинство методов решения ОДУ основано на з адаче Коши алгоритмы и программы для которой рассматриваются в дальнейшем 1. Постановка задачи Многие процессы химической технологии описываются СДУ - начиная от кинетических исследований и за канчивая химическими технологическими процессами В основу математических способов описания процессов положены СДУ и СЛАУ Эти уравнения описывают материальные и тепловые балансы объектов химической технологии а так же структуры потоков технических веществ в этих аппаратах Для получения распределения технологических параметров во времени и в пространстве (в пр еделах объекта ) необходимо произвести СДУ методом которых дал бы высокую точность решения при минималььных затратах времени на решение потому что ЭВМ должна работать в режиме реального времени и успевать за ходом технологического процесса Если время на решение задачи большое то управляющее воздействие выработанное на ЭВМ может при вести к отрицательным воздействиям Методов решения существует очень много В данной работе будет рассмотрен метод решения СДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка. Для удобства работы на ЭВМ , необходимо данную кинетическую схему преобразовать в удобный для работы на компьютере вид . Для этого необходимо кинетическую схему процесса представить в виде уравнений . При рассмотрении кинетической схемы процесса необходимо учитывать коэффициенты скоростей реакций. Но , так как процесс протекает при изотермических условиях , коэффициенты скоростей реакций можно считать за константы скоростей химической реакции . Из приведенной ниже схемы мы можем составить ряд дифференциальных уравнений , учитывающих изотермичность про ц есса . Так как коэффициенты K 1, K 2, K 3, K 4 являются константами , то можно уравнение записать в следущем ви де. Для преобразования данных дифференциальных уравнений для использования их в расчетах тепловых и кинети ческих схем методами Рунге-Кутты необходимо подставлять вместо производных значений концентраций , значения концентраций данных в начале процесса . Это обусловлено тем , что метод Рунге-Кутты четвертого порядка , который будет использован для расчета кинетиче с кой схемы процесса . Так как этот метод требует сведений только об одной точке и значений функции. 2. Суть метода Разбор и рассмотрение методов применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений мы начнем с их широкой категории известной под общим названием методов Рунге-Кутта Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами : 1 Эти методы яв ляются одноступенчатыми : чтобы найти у m+1 нужна информация о предыдущей точке xm ym 2 Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до чле нов порядка h p где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода 3 Они не требуют вычисления производных от f ( x y) а требуют вычисления самой функции Рассмотрим сначала геометрическое построение и выведем некоторые формулы на основе геометрических аналогий После этого мы подтвердим полученные результаты аналитически Предположим нам известна точка xm ym на искомой кривой Тогда мы можем провести прямую линию с тангенсом угла наклона у m =f(x m y m ) которая пройдет через точку x m y m Это построение показано на рис 1 где кривая представляет собой точное но конечно неизвестное решение уравнения а прямая линия L1 пост роена так как это только что описано Тогда сле дующей точкой решения можно считать ту где прямая L 1 пересечет ординату проведенную через точку x=x m+1 =x m +h Уравнение прямой L 1 выглядит так : y=y m +y m (x-x m ) так как y =f(x m y m ) и кроме того x m+1 =x m +h тогда уравнение примет вид y m+1 =y m +h*f(x m y m ) 1 1 Ошибка при x=x m+1 показана в виде отрезка е Очевидно найденное таким образом приближенное значение согласу ется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h так что ошибка ограничения равна e t =К h 2 Заметим что хотя точка на графике 1 была показана на кривой в д ействительности y m является приближенным значением и не лежит точно на кривой Формула 1 1 описывает метод Эйлера один из самых старых и широко известных методов числ енного интегрирования дифференциальных уравнений Отметим что метод Эйлера является одним из методов Рунге-Кутта первого порядка Рассмотрим исправленный метод Эйлера и модификационный метод Эйлера В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс угла наклона касательной для двух точек : x m y m и x m +h y m +hy m Последняя точка есть та самая которая в методе Эйлера обозначалась x m+1 y m+1 Геометрический процесс нахождения точки x m+1 y m+1 можно проследить по рис 2 С помощью метода Эйлера находится точка x m +h y m +hy m лежащая на прямой L 1 В этой точке снова вычисляется тангенс дает прямую Наконец через точку x m y m мы проводим прямую L параллельную Точка в которой прямая L пересечется с ординатой восстановленной из x=x m+1 =x m +h и будет искомой точкой x m+1 y m+1 Тангенс угла наклона прямой и прямой L равен Ф (x m y m h)= [f(x m y m )+f(x m +h y m +y m h)] 1 2 где y m =f(x m y m ) 1 3 Уравнение линии L при этом записывается в виде y=y m +(x-x m )Ф (x m y m h) так что y m+1 =y m +hФ (x m y m h) 1 4 Соотношения 1 2 1 3 1 4 описываю т исправленный метод Эйлера Чтобы выяснить насколь ко хорошо этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора вспомним что разложение в ряд функции f(x y) можно записать следующим образом : f(x y)=f(x m y m )+(x-x m ) f/ x+(y-y m ) f/ x+ 1 5 где частные производные вычисляются при x=x m и y=y m Подставляя в формулу 1 5 x=x m +h и y=y m +hy m и используя выражение 1 3 для y m получаем f(x m +h y m +hy m )=f+hf x +hff y +O(h 2 ) где снова функция f и ее производ ные вычисляются в точке x m y m Подставляя результат в 1 2 и производя необходимые преобразования получаем Ф (x m y m h)=f+h/2(f x +ff y )+O(h 2 ) Подставим полученное выражение в 1 4 и сравним с рядом Тейлора y m+1 =y m +hf+h 2 /2(f x +ff y )+O(h 3 ) Как видим исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h 2 являясь таким образом методом Рунге-Кутт ы второго порядка Рассмотрим модификационный метод Эйлера Рассмотрим рис 3 где первоначальное построение сделано так же как и на рис 2 Но на этот раз мы берем точку лежащую на пересечении этой прямой и ординатой x=x+h/2 На рисунке эта точка образована через Р а ее ордината равна y=y m +(h/2)y m Вычислим тангенс угла наклона касательной в этой точке Ф (x m y m h)=f+(x m +h/2 y m +h/2*y m ) 1 6 где y m =f(x m y m ) 1 7 Прямая с таким наклоном проходящая через Р обозначена через * Вслед за тем мы проводим через точку xm ym прямую параллельную * и обозначаем ее через L 0 Пересечение этой прямой с ординатой x=x m +h и даст искомую точку x m+1 y m+1 Уравнение прямой можно записать в виде y=y m +(x-x m )Ф (x m y m h) где Ф задается формулой 1 6 Поэтому y m+1 =y m +hФ (x m y m h) 1 8 Соотношения 1 6 1 7 1 8 описывают так называемый моди фикационный метод Эйлера и является еще одним методом Рунге-Кутта второго порядка Обобщим оба метода Заметим что оба метода описываются формулами вида y m +1 =y m +h Ф (x m y m h) 1 9 и в обоих случаях Ф имеет вид Ф (x m y m h)=a 1 f(x m y m )+a 2 f(x m +b 1 h y m +b 2 hy m ) 1 10 где y m =f( x m y m ) 1 11 В частности для исправленного метода Эйлера a 1 =a 2 =1/2; b 1 =b 2 =1 В то время как для модификационного метода Эйлера a 1 =0 a 2 =1 b 1 =b 2 =1/2 Формулы 1 9 1 10 1 1 1 описывают некоторый метод типа Рунге-Кутты Посмотрим какого порядка метод можно рассчитывать получить в лучшем случае и каковы допустимые значения параметров a 1 a 2 b 1 и b 2 Чтобы получить соответствие ряду Тейлора вплоть до членов степени h в общем случае достаточно одного параметра Чтобы получить согласование вплоть до членов степени h 2 потребуется еще два параметра так как необходимо учитывать члены h 2 f x и h 2 ff y Так как у нас имеется всего четыре параметра три из которых потребуются для создания согласования с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h 2 то самое лучшее на что здесь можно рассчитывать - это метод второго п орядка В разложении f(x y) в ряд 1 5 в окрестности точки x m y m положим x=x m +b 1 h y=y m +b 2 hf Тогда f(x m +b 1 h y m +b 2 hf)=f+b 1 hf x +b 2 hff y +O(h 2 ) где функция и производные в правой части равенства вычислены в точке x m y m Тогда 1 9 можно переписать в виде y m+1 =y m +h[a 1 f+a 2 f+h(a 2 b 1 f x +a 2 b 2 ff y )]+O(h 3 ) Сравни в эту формулу с разложением в ряд Тейлора можно переписать в виде y m+1 =y m +h[a 1 f+a 2 f+h(a 2 b 1 f x +a 2 b 2 ff y )]+O(h 3 ) Если потребовать совпадения членов hf то a 1 +a 2 =1 Сравнивая члены содержащие h 2 f x получаем a 2 b 1 =1/2 Сравнивая члены содержащие h 2 ff y получаем a 2 b 2 =1/2 Так как мы пришли к трем уравнениям для определения четырех неизвестных то одно из этих неизвестных можно задать произвольно исключая может быть нуль в завис имости от того какой параметр взять в качестве произвольного Положим например a 2 = 0 тогда a 1 =1- b 1 =b 2 =1/2 и соотношения 1 9 1 10 1 11 сведутся к y m+1 =y m +h[(1- )f(x m y m )+ f(x m +h/2 y m +h/2 f(x m y m ))]+O(h 3 ) 1 12 Это наиболее общая форма записи метода Рунге-Кутта второго порядка При =1/2 мы получаем исправленный метод Эйлера при =1 получаем модификационный метод Эйлера Для всех отличных от нуля ошибка ограничения равна e t =kh 3 1 13 Методы Рунге-Кутта третье го и четвертого порядков можно вывести совершенно аналогично тому как это делалось при выводе методов первого и второго порядков Мы не будем воспроизводить выкладки а ограничимся тем что приведем формулы описывающие метод четвертого порядка один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений Этот классический метод Рунге-Кутта описывается системой следующих пяти соотношений y m+1 =y m +h/6(R 1 +2R 2 +2R 3 +R 4 ) 1 14 где R 1 =f(x m y m ) 1 15 R 2 =f(x m +h/2 y m +hR 1 /2) 1 16 R 3 =f(x m +h/2 y m +hR 2 /2) 1 17 R 4 =f(x m +h/2 y m +hR 3 /2). 1 18 Ошибка ограничения для этого метода равна e t =kh 5 так что формулы 1 14-1 18 описывают метод четвертого порядка Заметим что при использовании этого метода функцию необходимо вычислять четыре раза 3. Выбор метода реализации программ ы Исходя из вышеизложенного , для решения систем дифференциальных уравнений мы выбираем наиболее точный метод решения – метод Рунге-Кутта 4 порядка , один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений - этот метод является одноступенчатым и одношаговым - требует информацию только об одной точке - имеет небольшую погрешность - значение функции рассчитывается при каждом шаге 4. Б лок-схема программмы Основная программа Процедура INIT Вход f1,C[1],C[2],C[3] f1,k1,k2,k3,k4 f1,Xn,Xk,dp,n,eps,p выход 5. Программа PROGRAM s mith_04;USES crt; VAR i,n:integer; sum,k1,k2,k3,k4,p,dp,eps,Xn,Xk,X,dX:real; rSR,C,dC,r1,r2,r3,r4,cPR:array[1..3] of real; f1,f2:text; PROCEDURE Difur; BEGIN dC[1]:=C[3]*k2+C[2]*k4-C[1]*k1-C[1]*k3; dcA dC[2]:=C[1]*k3-C[2]*k4; dcB dC[3]:=C[1]*k1-C[3]*k2; dcC END; PROCEDURE RK_4; BEGIN Difur; FOR i:=1 TO n DO BEGIN r1[i]:=dC[i]; C[i]:=cPR[i]+r1[i]*(dX/2); EN D; Difur; FOR i:=1 TO n DO BEGIN r2[i]:=dC[i]; C[i]:=cPr[i]+r2[i]*(dX/2); END; Difur; FOR i:=1 TO n DO BEGIN r3[i]:=dC[i]; C[i]:=cPR[I]+r3[i]*dX; END; Difur; FOR i:=1 TO n DO r4[i]:=dC[i]; FOR i:=1 TO n DO rSR[i]:=((r1[i]+r2[i])*(r2[i]+r3[i])*(r3[i]+r4[i]))/6; END; PROCEDURE STROKA; BEGIN WRITE(f2,'|',x:4:1,'|',c[1]:7:3,'|',c[2]:7:3,'|',c[3]:7:3,'|'); WRITE(f2,sum:3:0,'|',dc[1]:7:3,'|',dc[2]:7:3,'|',dc[3]:7:3,'|'); WRITELN(f2); END; PROCEDURE RUN; BEGIN WRITE('Step 3: Calculating data and writting results to file : out.rez'); X:=Xn; dX:=0.05; REPEAT IF (ABS(x-p)Xk); WRITELN(' - done.'); END; PROCEDURE INIT; BEGIN ClrScr; WRITELN('Smith-04: v1.0 (c) 1998 by Mike Smith smith01@home.bar.ru '); WRITELN; WRITELN; WRITE('Step 1: Read data from file : in.dat'); ASSIGN(f1,'in.dat'); RESET(f1); READLN(f1,C[1],C[2],C[3]); READLN(f1,k1,k2,k3, k4); READLN(f1,Xn,Xk,dp,n,eps,p); WRITELN(' - done.'); ASSIGN(f2,'out.rez'); REWRITE(f2); WRITE('Step 2: Write header to file : out.rez'); WRITELN(f2,' ========================================================== ' ); WRITELN(f2,' | t,c| Ca,% | Cb,%| Cc,% | SUM | dCa | dCb | dCc |'); WRITELN(f2,' ========================================================== '); WRITELN(' - done.'); END; PROCEDURE DONE; BEGIN WRITELN('Step 4: Close all files and exiting...'); CLOSE(f1); WRITELN(f2,'============================================================'); CLOSE(f2); WRITELN; END; BEGIN INIT; RUN; DONE; END. 6. И дентификация переменных Таблица 1 7. Результаты расчета Таблица 2 8. Обсуждение результатов расчета. В результате расчета кинетической схемы процесса на языке Паскаль методом Рунге-Кутты , были получены результаты зависимости изменения концентрации реагир ующих веществ во времени . Исходя из полученных результатов , можно сделать вывод , что расчет произведен верно, так как , исходя из полученных значений скоростей реакций можно сделать вывод , что соблюдается баланс скоростей химической реакции . Рассмотрим процесс подробнее . Вещество А на протяжении всего процесса расходуется на образование веществ В и С . Концентрации вещества А в начальный момент времени расходуется быстрее , чем концентрации его же в конце процесса . Это обусловлено тем , что скорость химической реакции зависит от концентрации реагирующего вещества . Производная имеет знак «минус» . Это г оворит о том , что вещество расходуется . Следовательно , чем выше концентрация вещества , вступающего в процесс , тем выше скорость его реагирования с другими веществами . Вещества В и С образуются пропорционально , так как , исходя из кинетической схемы процес с а и значений констант скоростей химической реакции , видно , что образование этих веществ и расходование этих веществ , одинаково . Производная имеет знак «плюс» . Это говорит о том , что вещество образуется. График . 4 Это видно также и по результатам расчета, на протяжении всего времени исследования процесса концентрации и скорости веществ В и С одинаковы . В этом можно убедиться по виду графической зависимости концентрации веществ В и С от времени. Можно сказать , что процесс протекает в сторону увеличения ко нцентрации веществ В и С и уменьшения концентрации вещества А . Процесс будет протекать до момента установления равновесия , но в данном случае равновесие не установлено , так как вещества продолжают расходоваться и образовываться . На протяжении всего процесс а ни одно из образующихся веществ не поменяло знак производной . Это говорит о том , что процесс протекает в одну сторону. 9. Инструкция к программм е Итак , программа состоит из 3 основных процедур : 1) Init - процедура инициалиации , включающую в себя в вод данных ; 2) Run - процедура вычисления и обработки результатов , включает в себя вызов двух вспомогательных процедур Difur , RK-4 , Stroka , первая из которых отвечает за вычисление , а последняя - за вывод результатов в файл в табличном виде ; 3) Done - процедура подготовки к выходу из программы ; и трех вспомогательных : a) Difur - процедура вычисления производных (изменение концентрации веществ за единикцу времени ) b) RK-4 - используя значения производных , вычисленных процедурой Difur, вычисля ет последущие концентрации веществ методом Рунге-Кутта c) Stroka - процедура вывода результата в файл в табличном виде Рассмотрим все эти процедуры поподробнее : Процедура INIT: В данной процедуре задействованы операторы ввода /вывода Wite/Read , оператор модуля Crt - CrlScr - очистка экрана , файлового ввода /вывода - Reset/Rewrite – открытие файла для чтения и создание нов ого файла , соответственно . Данная процедура выполняет функцию инициализации программных данных , считывание данных из файла in.dat , создание , открытие на запись файла out.rez и запись в него шапки таблицы результатов. Процедура RUN: В данной процедуре задействованы операторы цикла Repeat/Until , и For/Do c операторами условного перехода IF/Then . В зависимости от условий вызываются процедуры Difur и Strok. В теле цикла постоянно вызывается процедура RK-4 вызывающая 4 раза функцию Difur . Процедура DONE: В данной процедуре задействова ны оператор работы с файлами Close, который закрывает файлы с исходными данными и файл с полученными в резуультате вычислений результатами. Процедура DIFUR: Данная процедура вычисляет производную изменения концентрации везества за единицу времени. Процедура STROKA: Данная процедура с помощью оператора вывода WRITE записывает результаты в файл , соответствующий файловой переменной F2, назначенной ко ммандой ASSIGN в процедуре INIT Процедура RK-4: Данная процедура , используя вызовы процедур Difur , а также циклы операторы цикла FOR , вычисляет последуущие концентрации веществ по предидущим точкам. Программа представляет собой 2 файла – файл с исходным текстом на языке Паскаль smith.pas и исполняемый модуль smith.exe скомпилированный компилятором TNT Pascal 3.25 фи рмы Layer`s Ins. Исполняемый модуль программы предназначен для запуска в операционных системах : MS Dos, Windows95, Windows NT, OS/2, а также в X-windows под Linux ( при наличии эмулятора ) Для нормальной работы программе необходимо 640 к b «нижней» памят и и 20 kb дискового пространства . Согласитесь – требования минимальные , учитывая то , что сама программа абсолютно не требовательна к процессору . В процессе работы программа считывает данные из файла in.dat и записывает результаты работы в файл out.rez в табличном виде . Исходный файл программма открывает стандартными средствами ОС , не проверяя его наличие перед работой , поэтому , если данный файл не будет доступен в каталоге , в котором расположена программа , компилятор выдаст сообщение об ошибке . Если Вы п о сле запуска программы увидели что-то типа « Runtime error 202 at 0000:0A86» - это всего лишь значит , что программа не смогла найти файл с исходными данными в текущем каталоге . Если Вы забыли поместить его туда , скопируйте этот файл в каталог с программой и запустите исполняемый модуль еще раз . Если данный файл у Вас отсутствует , Вам прийдется сделать его самому . Для этого в любом текстовом редакторе наберите 3 выделенных строчки и сохраните созданный файл с именем in.dat 100 0 0 0.2 0.1 0.2 0.1 0 10 0.5 3 0.05 0 Создав файл и скопировав его к исполняемому модулю программы , запустите исполняемый модуль еще раз . В процессе работы программа будет выдавать сообщения об успешном окончании каждого блока . Если все прошло нормально , то на экране своего компьюте ра Вы увидите следуще сообщения : Step 1: Read data from file : in.dat - done . Step 2: Write header to file : out.rez - done . Step 3: Calculating data and writting results to file : ou t.rez - done . Step 4: Close all files and exiting... Первый шаг (step1) сообщает , что данные из файла in.dat были успешно прочитаны Второй – о том что программа успешно создала выходной файл out.rez и записала в него шапку таблицы с данными В тр етьем сообщении сказано , что данные успешно посчитаны и записаны в выходной файл out.rez Четвертое сообщение сообщает об окончании вычислений и завершении программы. После того , как программа отработает , Вы сможете познакомится с результатами , которые были вычислены и помещены в файл результатов out.rez. Просмотрев его любой программой просмотра текстовых файлов или вывев его на печать , вы получите таблицу c результатами . 10. З аключение. В результате выполнения расчета получена зависимость изменения концентрации вещества во времени . Из расчета следует , что на протяжении всего процесса вещество А расходовалось на образование В и С . Процесс не достиг конечного состояния (не достиг равновесия ) Максимум концентрации вещества наблюдался при следующих знач е ниях времени : при начальном значении времени max соответствовал веществу А ; при значении времени , равном 10 часам , max соответствовал веществам B и С , однако , это не является максимумом концентрации веществ в процессе вообще , так как вещества B и С продолжают образовываться ; В ходе выполнения работы был произведен расчет системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты четвертого порядка , произведен расчет кинетической схемы процесса при изотермических условиях при данных значениях концен траций и констант скоростей . Расчет произведен с малой величиной погрешности. Литература. 1. Мудров А.Е.Численные методы для ПЭВМ на языках Паскаль, Фортран и Бейсик . МП “Раско” , Томск , 1991 г.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Галкин, ты почему опоздал на съемки телепередачи?!
- Старушку через дорогу переводил!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru