Резистивные электрические цепи и методы их расчета

Содержание Введение Методы расчета простых резистивных цепей Расчет резистивных электрических цепей методом токов ветвей Метод узловых напряжений (МУН ) Заключение Литература ВВедение Резистивными называются электрические цепи, в схему замещения которых входят только элементы активного сопротивления и источники. Чаще всего это цепи, составленные из резисторов. Основной особенностью резистивных цепей является отсутствие накопителей энергии – индуктивн о стей и емкостей. Поэтому в специальной литературе такие цепи часто наз ы вают цепями " без памяти " . Анализ резистивных цепей представляет собою простую задачу, так как колебания в резистивных цепях описываются линейными алгебраич е скими уравнениями. Полученные при рассмотрении резистивных цепей м е тоды анализа колебаний и основные теоремы теории цепей в дальнейших темах будут распространены на цепи общего вида. В этом прежде всего це н ность результатов анализа колебаний в резистивных цепях. Методы расчета простых резистивных цепей Простыми резистивными цепями называются такие цепи, элементы которых соединены или только последовательно, или только параллельно, или только последовательно и параллельно. Параллельное (последовательное) соединение нескольких однотипных элементов может быть заменено одним элементом. Поэтому простую цепь с одним источником путем объединения элементов, включенных только п а раллельно или только последовательно, можно свести к цепи, содержащей лишь один элемент. Резистивные цепи, которые указанны м путем не могут быть сведены к одному элементу активного сопротивления, называются сложными . Расчет простых резистивных цепей с одним источником производится с использованием закона Ома. При наличии нескольких источников испол ь зуется метод наложения. Рассмотрим методы расчета простых цепей на примерах, употребляя для краткости термины " резистор " вместо термина " элемент активного с о противления " . Параллельные цепи Пусть электрическая цепь содержит два резистора и источник тока (рис. 1.1). Рис. 1.1. Определим напряжение в цепи и токи в ветвях, если значения сопр о тивлений резисторов и задающий ток источника известны. Учитывая зада н ное направление тока и выбранное направления токов и , составляем уравнение по первому закону Кирхгофа: откуда Для резисторов выбрана согласная система отсчетов и поэтому : . Тогда Следовательно, эквивалентное сопротивление двух параллельно с о единяемых резисторов определяется из соотношения : , и равно отношению произведения соединяемых сопротивлений к их сумме : . Напряжение цепи находится как произведение тока источника на э к вивалентное сопротивление: Токи в ветвях вычисляются по закону Ома: . При дальнейшем использовании эти выражения условимся называть правилом деления тока между двумя ветвями , или просто правилом дел е ния тока : ток в данной ветви пропорционален отношению сопротивления соседней ветви к сумме сопротивлений обеих ветвей . Если использовать проводимости ветвей и , то правило деления тока можно записать так: . Ток в данной ветви пропорционален отношению проводимости этой ветви к сумме проводимостей ветвей . Последние соотношения можно об ъ единить в одно : , где – эквивалентная проводимость цепи. Для n параллельно соединенных резистор ов: . Последовательные цепи Пусть несколько резисторов сое динены последовательно (рис. 1.2 ). Рис. 1. 2 . Определим ток в цепи и напряжения на резисторах, если значения с о противлений и Э.Д.С. источника известны. По второму закону Кирхгофа получим : или Учитывая, что , выражение принимает вид: . Отсюда получается известная формула : где – эквивалентное сопротивление цепи. Напряжение на любом резисторе . Последовательная резистивная цепь может использоваться как дел и тель напряжения, причем правило деления напряжения таково: напряжение на данном резисторе пропорционально отношению его сопротивления к э к вивалентному сопротивлению цепи. Параллельно-последовательные цепи При расчете параллельно-последовательной цепи с одним источником необходимо путем объединения сопротивлений свести цепь или к параллельн о му или к последовательному соединению, сопротивления для которых уже и з вестны. Рис. 1. 3 . Например, в схеме рис. 1. 3 заменяем последовательное соединение р е зисторов и одним элементом с сопротивлением . Затем объединяем параллельное соединение элементов и . Наконец, заменяем последовательное соединение элементов и одним элементом с сопротивлением . Тогда токи в резисторах и вычисляем по правилу деления тока : ; . Токи и находим по правилу деления тока : ; Напряжения на резисторах по известным токам в них вычисляются по закону Ома. Расчет резистивных электрических цепей методом токов ветвей Расчет сложных резистивных цепей, т. е. цепей, не сводящихся к п о следовательному или параллельному соединению элементов, основывается на использовании законов Кирхгофа. Если цепь имеет элементов, то для нее по 1-му и 2-му законам Кирхгофа можно составить линейно незав и симых уравнений. Используя закон Ома, эти уравнения можно записать о т носительно искомых токов ветвей или относительно искомых напряжений на зажимах элементов. В методе токов ветвей (элементов) неизвестными, подлежащими определению, являются токи в элементах цепи. Существо м е тода рассмотрим на примере цепи, называемой удлинителем (схема рис. 1. 4 ). Рис. 1. 4 . Зададим (произвольно) направления отсчета токов в каждом элементе. Направления отсчета напряжений на зажимах каждого элемента выберем так, чтобы для всех элементов получить согласную систему отсчетов. Для с хемы, приведенной на рисунке 1.4 , по первому закону Кирхгофа, можно составить соответственно для узлов 1, 2 и 3 следующие три независ и мые уравнения: По второму закону Кирхгофа можно составить три независимых ура в нения, так как : Выберем контуры так, как показано на рисунке 1. 4 . По второму закону Кирхгофа : Учитывая, что напряжение на любом резисторе и перенеся известную величину в правую часть, получим: . В результате получено шесть линейно независимых уравнений относ и тельно такого же количества неизвестных токов. Таким образом, система ра з решима , и можно найти все токи и по ним вычислить напряжения на резист о рах. Если в цепи имеется источник тока, то в системе уравнений неизвес т ным будет напряжение на зажимах этого источника, а не ток через источник, поскольку он известен и равен задающему току источника. Общее число н е известных при этом сохраняется тем же. Число уравнений, которое необходимо составлять для расчета цепи рассматриваемым методом, равно числу элементов цепи. Поэтому метод т о ков ветвей используется редко. Можно существенно уменьшить число нео б ходимых уравнений, если применить другие методы анализа цепи. Метод узловых напряжений (МУН) В методе узловых напряжений неизвестными, подлежащими определ е нию, являются так называемые узловые напряжения, т. е. напряжения, кот о рые представляют собой разности потенциалов данного узла и узла, прин я того за базисный. Обоснование метода произведем на примере цепи, содержащей только рези сторы и источники тока (рис. 1.5 ). Рис. 1. 5 . В качестве базисного в ыберем узел 0. Такой выбор обусловлен тем, что к узлу 0 подключено наибольшее количество элементов. Введем узловые напряжения Количество узловых напряжений на единицу меньше числа узлов цепи. Чтобы выяснить правила составления уравнений для узловых напр я жений, введем в рассмотрение согласную систему отсчета направлений т о ков и напряжений. По первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3: Токи резистивных ветвей, подключенных к базисному узлу, выразим через узловые напряжения и проводимости ветвей: ; ; Токи остальных ветвей (элементов) выразим через межузловые напр я жения и проводимости элементов. ; ; Каждое из межузловых напряжений можно определить через соотве т ствующие узловые напряжения, так как ; и т. д. Эти же соотношения получаются и на основании второго закона Кирхгофа. Так, из следует . Тогда : ; Подставим теперь значения токов в исходную систему уравнений 1, 2, 3. После приведения подобных членов и переноса известных величин в пр а вую часть получим систему уравнений для искомых узловых напряжений или систему узловых уравнений цепи: Эта система из трех уравнений разрешима относительно трех искомых узловых напряжений. Когда узловые напряжения будут найдены, по ним в ы числяются токи в ветвях и межузловые напряжения с помощью соотнош е ний, приведенных выше. Таким образом, в методе узловых напряжений задача расчета цепи р е шается путем составления уравнений, тогда как в методе токов ветвей число уравнений равно числу элементов цепи. Произведем анализ уравнений 1-3 и выясним правила, по которым у з ловые уравнения можно записывать сразу, без промежуточных выкладок. Назовем сумму проводимостей ветвей, подключенных к узлу, со б ственной проводимостью узла. Например, для первого узла собственная пр о водимость Проводимость ветви, включенной между двумя узлами, назовем пр о водимостью связи или взаимной проводимостью узлов. Например, для узлов 1 и 2 взаимная проводимость . Любое из уравнений 1-3 отвечает следующим правилам. 1. В левую часть уравнения k -го узла со знаком " плюс " входит прои з ведение k -го узлового напряжения на собственную проводимость k -го узла; все остальные слагаемые имеют знак " минус " и являются произведениями напряжения соответствующего узла на взаимную проводимость между да н ными и k -м узлом. 2. В правую часть уравнения k -го узла входит алгебраическая сумма задающих токов источников, подключенных к этому узлу, причем со знаком " плюс " берутся токи, ориентированные к узлу. Составленная по этим правилам система узловых уравнений называе т ся " канонической " , если неизвестные расположены в порядке нарастания и н дексов, а уравнения в соответствии с номерами узлов. Для цепи, имеющей узлов, система имеет уравнений: Часть взаимных проводимостей цепи может быть равна нулю, если узлы не связаны между собой прямой ветвью, а имеют связь лишь через другие ветви. Обратим внимание, что для резистивной цепи взаимные проводимости и равны и поэтому определитель системы уравнений симметричен относительно главной диагонали. Метод узловых напряжений можно применять и для цепей, имеющих источники напряжения. В простейшем случае цепи с одним источником напряжения в качестве базисного узла принимается тот узел, к которому о д ним из своих зажимов подключен источник. Тогда узловое напряжение узла, к которому подключен второй зажим источника, оказывается известным: оно будет равно напряжению источника или отличаться от него знаком. Следов а тельно, при наличии источника напряжения число неизвестных и число н е обходимых уравнений сокращается. Пример. Составить систему узловых напряжений для цепи, схема к о торой изображена на рис. 1. 6 . Рис. 1. 6 . В качестве базисного выбираем узел 0 , к которому подключен исто ч ник напряжения (можно базисным считать узел 3). Вводим узловые напр я жения , как показано на схеме. По правилам, сформулированным выше составляем уравнения для первого и второго узла. Уравнение для тр е тьего узла составлять не требуется, так как его узловое напряжение известно: . Система имеет вид: Подставляя известное значение для и перенеся известные величины в правую часть, окончательно получим: При наличии в электрической цепи нескольких источников напряж е ния необходимо выбрать базисный узел так, чтобы все источники напряж е ния одним зажимом были подключены к нему. При этом число узловых уравнений сокращается на число источников напряжения, т. е. : Если такой базисный узел отсутствует, то задача разрешима при опр е деленных преобразованиях. При наличии в электрической цепи ветви с и с точником напряжения и последовательно включенной проводимостью, наиболее удобно произвести замену эквивалентным источником тока. При этом проводимость рассматривается как внутреннее сопротивление источн и ка напряжения. Сема рис. 1. 6 имеет семь элементов. По методу токов ветвей здесь п о требовалось бы составить шесть уравнений для шести неизвестных токов (ток источника задан). По методу узловых напряжений необходимо сост а вить только два уравнения. В общем случае выигрыш, полученный в методе узловых напряжений, тем больше, чем больше независимых контуров имеет цепь, поскольку число необходимых уравнений уменьшается на величину, равную количеству нез а висимых контуров. При использовании метода узловых напряжений целесообразно перед составлением уравнений объединить в один элемент резисторы, соедине н ные между собой простым узлом (т. е. последовательно), если такие узлы имеются в схеме. Тогда в схеме остается меньше узлов и потребуется сост а вить меньшее число уравнений. Заключение Напряжения и токи в параллельно-последовательных резистивных ц е пях с одним источником можно найти путем эквивалентных преобразований схемы заданной цепи. Для этого резисторы, соединены только параллельно и только последовательно, объединяются и заменяются их эквивалентами. П о добные преобразования проводятся до тех пор, пока схема цепи, преобраз у ется в схему параллельной или последовательной резистивной цепи. После этого вновь, шаг за шагом, восстанавливается схема цепи, и последовательно находятся напряжения и токи в ветвях цепи. Для нахождения токов и напряжений ветвей составляются уравнений по первому закону Кирхгофа и уравнений по вт о рому закону Кирхгофа. В результате получаем систему линейно-независимых уравнений, число кот о рых равно числу токов ветвей. Совместное решение этой системы позволяет найти все токи. Метод узловых напряжений является наиболее общим и широко пр и меняется для расчета электрических цепей, в частности, в различных пр о граммах автоматизированного проектирования электронных схем. Методические указания и задания курсантам для самостоятельной работы, список рекомендуемой литературы : подготовиться к следующей лекции по указанию преподавателя, Белецкий А. Ф. ТЛЭЦ, с. 49 - 58 , 63 - 67 , Качанов Н . С . и др. ЛРТУ , с. 2 8- 3 2 , 35-39. Литература Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. и з дат., 1974 В. П. Попов Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000