Курсовая: Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов

Банк рефератов / Педагогика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 3015 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Содержание Введение Глава 1. Теоретические основы математического моделирования 1.1. Понятие модел и . Моделирование. Классификация моделей и виды моделирования 1.2. Математическая модель. Математическое моделирование 1.3. Математическое моделирование в школе 1.4. Функции и цели обучения математическому моделированию в школе 1.5. Роль изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов Выводы по главе 1 Глава 2. Обучение школьников элементам математического моделирования 2.1. Обзор школьных учебников по математике для 5-6 классов с точки зрения наличия элементов математического моделирования 2.2. Методика обучения математическому моделированию по учебникам Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. «Математика-5», «Математика-6» 2.3. Анализ учебников Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» с точки зрения наличия задач для формирования умений, характерных для математического моделирования 2.4. Опытное преподавание Выводы по главе 2 Заключение Библиографический список Приложения Введение Проблема модернизации образования в настоящее время широко обсуждается в теории и практике, особенно с позиции активизации творческой познавательной деятельности учащихся. А ктивизация познав ательной деятельности учащихся – один из дидактических принципов , роль которого существенно возросла в условиях развивающего обучения. Проблема активизации включает в себя средства для осуществления такой деятельности. Моделирование - важный метод научного познания и сильное средство активизации учащихся в обучении. Отмечается, что одной из составляющих математического образования является новое представление о предмете математики. В основе содержания школьных учебников должно быть предусмотрено создание и разработка схем, моделей и их вариантов, создание моделей по известным схемам, приложение уже разработанных схем непосредственно в обучении. Для того чтобы лучше увидеть общие черты усваиваемого действия, надо отвлечься от ненужных в данном случае свойств предметов, а это и значит, что нужно перейти к действию с моделями, свободными от всех других свойств, кроме нужных в данном случае. К основным целям обучения математике относится формирование умений строить математические модели простейших реальных явлений, исследовать явления по заданным моделям, конструировать приложения моделей; приобщение учащихся к опыту творческой деятельности и формирование у них умения применять его. Но очевидно, что такие умения должны начинать формироваться не в 8 – 11 классах, а значительно раньше, уже в 5 – 6 классах, для чего могут быть использованы сюжетные задачи , описывающ ие реальную или приближенную к реальной ситуацию на неформально-математическом языке. В основе решения сюжетных задач лежит математическое моделирование , поэтому необходимо организовать обучение элементам моделирования уже на ранних этапах обучения, а именно в 5 – 6 классах , когда имеется возможность дополнительно предлагать учащимся такие задачи, целенаправленно способствующие развитию определ е нных сторон мышления. С учетом вышеизложенного для исследования была выбрана тема « Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5 - 6 классов (на примере уч ебников Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон) ». Объект исследования – процесс обучения математике в 5 – 6 классах. Предмет исследования – обучение учащихся 5 – 6 классов элементам математического моделирования . Цель работы – рассмотреть основные вопросы и проблемы обучения элементам математического моделирования в 5 – 6 классах и разработать методику изучения элементов математического моделирования на основе учебников «Математика» для 5 – 6 классов авторов Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон . Гипотеза : изучение математического моделирования на ранних этапах обучения, а именно в 5 – 6 классах средней школы делает процесс обучения математике более эффективным и осмысленным, а также способствует формированию у школьников диалектико-материалистического мировоззре ния , умения проводить рациональные рассуждения. Предмет, цель и гипотеза исследования определяют следующие задачи : 1) д ать понятие математической модели, раскрыть суть метода математического моделирования; 2) о пределить основные ф ункции и цели обучения математическому моделированию в школе ; 3) о босновать р оль изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов; 4) о писать методику обучения школьников элементам математического моделирования по учебник ам Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика » для 5-6 класс ов ; 5) п роанализировать учебник и [6], [7] , [1 1 – 1 7 ] , [2 1 ], [2 2 ] c точки зрения наличия элементов математического моделирования ; 6) экспериментально проверить основные положения исследования. Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения поставленных выше задач были использованы следующие методы : 1) изучение литературы по математике и методике преподавания математики по исследуемой теме ; 2) изучение психологической, педагогической , философской литературы по теме исследования ; 3) наблюдение за работой учащихся ; 4) опытное преподавание. Глава 1. Теоретические основы математического моделирования 1 .1. Понятие модел и . Моделирование. Классификация моделей и виды моделирования Моделирование в настоящее время получило необычайно широкое применение во многих областях знаний: от философских и других гуманитарных разделов знаний до ядерной физики и других разделов физики, от проблем радиотехники и электротехники до проблем механики и гидромеханики, физиологии и биологии и т. д. м оделирование - главный способ познания окр у жающего мира. В опросы моделирования рассматривались в работах философов (В. А. Штофа, И. Б. Новикова, Н. А. Уемова и др угих ), специалистов по педагогике и психологии (Л. М. Фрид мана, В . В. Давыдова, Б. А . Глинского, С. И. Архангельского и др угих ). Термин «м одель » широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Моделируемый объект н а зывается оригиналом, моделирующий - моделью. Понятие «модель» возникло в процессе опытного изучения м и ра, а само слово « модель » произошло от латинских слов «modus», «modulus», озн а чающих меру, образ, способ. П очти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью [ 3 3 ] . Существуют различные точки зрения на определение понятия «модель». Так, например, В. А. Штоф п о д моделью понимает так ую мысленно представляем ую или мат е риально реализованную систему , которая отображает и воспроизводит объект так, что ее изучение дает новую информацию об этом объе к те [ 1 3 ]. А. И. Уемов определяет м одель как систем у , исследование которой служит средс т вом для получения информации о другой системе [ 29 ] . Чарльз Лейв и Джеймс Марч дают такое определение модели: « Модель – это упрощенная картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами реального мира. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет » [ 2 0 ] . В. А. Поляков считает, что «модель – это идеальное формализованное представление системы и динамики е е поэтапного формирования. Модель должна интегрировано имитировать реальные задачи и ситуации, быть компактной, адекватно передавать смены состояний и должна совпадать с рассматриваемой задачей или ситуацией». Большинство психологов под «моделью» понимают систему объектов или знаков, воспроизводящую некоторые существенные свойства системы-оригинала. Наличие отношения частичного подобия («гомоморфизм») позволяет использовать модель в качестве заместителя или представителя изучаемой системы. Иногда под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал , сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты . Вот некоторые примеры моделей: 1) Архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть, как оно будет выглядеть. Это модель. 2) На стене висит картина, изобража ющая бушующее море. Это модель [ 9 ] . «Моделирование – э т о есть процесс использования моделей (оригинала) для изучения тех или иных свойств оригинала (преобразования оригинала) или замещения оригинала моделями в процессе какой-либо деятельности» (например, для преобразования арифметического выражения можно его компоненты временно обозначить буквами) [ 3 3 ] . «Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система: 1) находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом; 2) способная замещать его в определенных отношениях; 3) дающая при е е исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте» (три перечисленных признака по сути являются определяющими признаками модели) [ 2 5 ]. На основании перечисленного можем выделить следующие цели моделирования [ 3 ]: 1) понимание устройства конкретной системы, е е структуры, свойств, законов развития и взаимодействия с окружающим миром; 2) управление системой, определение наилучших способов управления при заданных целях и критериях; 3) прогнозирование прямых и косвенных последствий реализации заданных способов и форм воздействия на систему. Все три цели подразумевают в той или иной степени наличия механизма обратной связи, то есть необходима возможность не только переноса элементов, свойств и отношений моделируемой системы на моделирующую, но и наоборот. Моделирование тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез . Научной основой моделирования служит теория аналогии, в которой основным понятием является - понятие аналогии - сходство объектов по их качественным и количественным признакам. Все эти виды объединяются понятием обобщенной аналогии - абс т ракцией. Аналогия выражает особого рода соответствие между сопоставля е мыми объектами, между моделью и оригиналом [ 5 ]. Вообще, аналогия это среднее, опосредующее звено между мод е лью и объектом. Функция такого звена заключается: а) в сопоставлении различных объектов, обнаружении и анализе объе к тивного сходства определенных свойств, отношений, присущих этим объе к там; б) в операциях рассуждения и выводах по аналогии, т о е сть в умозаключ е ниях по аналогии. Хотя в литературе отмечается неразрывная связь модели с аналог и ей, но « а налогия не есть модель». Неопределенности порождаются н е четким различием: а) аналогии как понятия выражающего фактическое отношение схо д ства между разными вещами, процессами, ситуациями, проблемами; б) аналогии как особой логики умозаключения; в) аналогии как эвристического метода познания; г) аналогии как способа восприятия и осмысления информации; д) аналогии как средства переноса апробированных методов и идей из одной отрасли знания в другую, как средства построения и развития н а учной теории. Вывод по аналогии включает интерпретацию информации, пол у ченной исследованием модели. Особенность способа получения выводов по аналогии в лог и ческой литературе получила название традукция - перенос отношений (свойств, функций и т. д.) от одних предметов на другие. Традукти в ный способ рассуждений используется при сопоставлении различных предметов по количеству, качеству, пространственному положению, временной хара к теристике, поведению, функциональным параметрам структуры и т. д. Моделирование является многофункциональным , то есть оно используется самым различным образом для различных целей на различных уровнях (этапах) исследования или преобразования. В связи с этим м ноговековая практика использования моделей породила обилие форм и типов моделей. Модели классифицир у ют исходя из наиболее существенных признаков объектов. В литературе, посвященной философским аспектам моделирования , представлены различные классификационные признаки, по которым выделены различные типы моделей. Рассмотрим некоторы е из них. В. А. Штоф предлагает следующую классификацию моделей [ 3 3 ] : 1 ) по с пособу их построения (форма модели); 2 ) по качественн ой специфик е (содержание модели) . По способу построения различают материальные и идеальные модели . М атериальны е модел и, н есмотря на то, что эти модели созданы человеком, существуют объектив но. Их назначение специфическое – в оспроизведение структуры, характера, протекания, сущности изучаемого процесса – отразить пространственные свойства – отразить динамику изучаемых процессов, зависимости и связи. Материальные модели неразрывно связаны с воображаемыми (прежде чем что-либо построить , необходимо иметь теоретическое представ ление, обоснование) . Э ти модели остаются мысленными даже в том случае, если они воплощены в какой-либо материальной форме. Большинство этих моделей не претендует на материальное воплощение. В свою очередь материальные модели п о форме делятся на : · образные ( построенные из чувственно наглядных элементов ); · знаковые (в этих моделях элементы отношения и свойства моделируемых явлений выражены при помощи определенных знаков ); · смешанные ( сочетающие свойства и образных, и знаковых моделей ) . Достоинства данной классификации в том, что она дает хорошую основу для анализа двух основных функций модели: - практической (в качестве орудия и средства научного эксперимента) ; - теоретической (в качестве специфического образа действительности, в котором содержатся элементы логического и чувственного, абстрактного и конкретного, общего и единичного). Другая классификация есть у Б. А . Глинского в его книге « Модели рование как метод научного исследования» . Наряду с обычным делением моделей по способу их реализации, он раз деля е т модели и по характеру воспроизведения сторон оригинала на : · субстанциональные ; · структурные ; · функциональные ; · смешанные . Рассмотрим ещ е одну классификацию, предлагае мую Л. М. Фридман ом [ 3 1 ] . С точки зрения степени наглядности он все модели раз бивает на два класса: · материальные (вещественные, реальные) ; · идеальные. К материальным моделям относят такие, которые по строены из каких-либо вещественных предметов, из ме талла, дерева, стекла и других материалов. К ним так же относят и живые существа, используемые для изуче ния некоторых явлений или процессов. Все эти модели могут быть непосредственно чувственно познаны, ибо они существуют реально, объективно. Они представляют собой вещественный продукт человеческой деятельности. Материальные модели, в свою очередь, можно разде лить на статические (неподвижные) и динамические (действующие) . К первому виду автор классификации относ ит модели, геометрически по добные оригиналам. Эти модели передают лишь пространственные (геометрические) особенности оригиналов в определенном масштабе (например, макеты домов, за стройки городов или сел, разного рода муляжи, модели геометрических фигур и тел, изготовленные из дерева, проволоки, стекла, пространственные модели молекул и кристаллов в химии, модели самолетов, кораблей и дру гих машин и т. д.). К динамическим (действующим) моделям относят та кие, которые воспроизводят какие-то процессы, явления, Они могут быть физически подобны оригиналам и вос производить моделируемые явления в каком-то масшта бе. Например, для расчета проектируемой гидроэлектро станции строят действующую модель реки и будущей плотины; модель будущего корабля позволяет в обыч ной ванне изучить некоторые аспекты поведения проек тируемого корабля в море или на реке и т. д. Следующим видом действующих моделей являются всякого рода аналоговые и имитирующие , которые вос производят то или иное явление с помощью другого, в каком-то смысле более удобного. Таковы, например, электрические модели разного рода механических, теп ловых, биологических и прочих явлений. Другим приме ром может быть модель почки, которую широко исполь зуют в медицинской практике. Эта модель — искусст венная почка — функционирует одинаково с естествен ной (живой) почкой, выводя из организма шлаки и дру гие продукты обмена, но, конечно, устроена она совер шенно иначе, чем живая почка. Идеальные модели делят обычно на три вида: · об разные ( иконические ); · знаковые (знаково-симво ли че ск и е) ; · мысленные (умственные). К образным, или иконическим (картинным), моде лям относят разного рода рисунки, чертежи, схемы, пе редающие в образной форме структуру или другие осо бенности моделируемых предметов или явлений. К это му же виду идеальных моделей следует отнести геогра фические карты, планы, структурные формулы в химии, модель атома в физике и т. д. Знаково-символические модели представляют собой запись структуры или некоторых особенностей модели руемых объектов с помощью знаков-символов какого-то искусственного языка. Примерами таких моделей явля ются математические уравнения, химические формулы. Наконец, мысленные (умственные, воображаемые) модели — представления о каком-либо явлении, процессе или предмете, выражающие теоретическую схе му моделируемого объекта. Мысленной моделью является любое научное представление о каком-либо явлении в форм е его описания на естественном языке. Как видим , понятие модели в науке и технике имеет множество различных значений, среди уч е ных нет единой точки зрения на классификацию моделей, в связи с этим невозможно однозначно классифицировать и виды моделирования. Классификацию можно проводить по различным основаниям: 1) по характеру моделей (т о е сть по средствам моделирования); 2) по характеру моделируемых объектов; 3) по сферам приложения моделирования (моделирование в технике, в физических науках, в химии, моделирование процессов живого, моделирование психики и т. п.) 4) по уровням («глубине») моделирования, начиная, например, с выделения в физике моделирования на микроуровне. Наиболее известной является классификация по характеру моделей. Согласно ей различают следующие виды моделирования [ 2 7 ]: 1. Предметное моделирование, при котором модель воспроизводит геометрические, физические, динамические или функциональные характеристики объекта. Например, модель моста, плотины, модель крыла самолета и т.д. 2. Аналоговое моделирование, при котором модель и оригинал описываются единым математическим соотношением. Примером могут служить электрические модели, используемые для изучения механических, гидродинамических и акустических явлений. 3. Знаковое моделирование, при котором моделями служат знаковые образования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, графы, слова и предложения в некотором алфавите (естественного или искусственного языка) 4. Со знаковым тесно связано мысленное моделирование, при котором модели приобретают мысленно наглядный характер. Примером может в данном случае служить модель атома, предложенная в свое время Бором. 5. Наконец, особым видом моделирования является включение в эксперимент не самого объекта, а его модели, в силу чего последний приобретает характер модельного эксперимента. Этот вид моделирования свидетельствует о том, что нет жесткой грани между методами эмпирического и теоретического познания. 1. 2 . Математическая модель. Математическое моделирование Математическое моделирование — частный случай модели ров а ния . Является в ажнейшим видом знакового моделирования и осуществляе тся средствами языка математики . Знаковые образования и их элементы всегда рассматриваются вместе с определенными преобразованиями, операциями над ними, которые выполняет человек или машина (преобразования математических , логических, химических формул и т . п. ). Понятия «математическая модель» и «моделирование» широко используются в науке и на производстве. Роль знаковых моделей особенно возросла с расширением масштабов применения ЭВМ при построении знаковых моделей. Современная форма «материальной реализации» знакового (прежде всего, математического) моделирования - это моделирование на цифровых электронных вычислительных машинах, универсальных и специализированных. Математическое моделирование предполагает использование в качестве специфи ческого средства исследования оригинала его математическую модель, изучение которой дает новую информацию об объекте познания, его закономерностях (Н.П. Бусленко, Б. А. Глинский, Б.В. Гн е денко, Л.Д. Кудрявцев, И.Б. Новик, Г.И. Рузавин, К.А. Ры б ников, В.А. Штофф). Предметом исследования при математич е ском моделировании является система «оригинал – математич е ская модель», где системообразующей связью высту пает изомо р физм структур оригинала и модели. Структура служит инвариантным аспектом системы, раскрывающим механизм ее фун к ционирования (Н.Ф. Овчинников) [ 3 0 ] . Известно, что для математического исследования процессов и явлений, реально происходящих в действительности, надо суметь описать их на языке математики, т о есть построить математическую модель процесса, явления. Математические модели и являются объектами непосредственного математического исследования. Математической моделью называют описание какого-либо реального процесса или некоторой исследуемой ситуации на языке математических понятий, формул и отношений . Математическая модель – это упрощенный вариант действительности, используемый для изучения ее ключевых свойств. Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, не тождественна объекту, а является его приближ е нным отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математической моделью, с формальной точки зрения, можно назвать любую совокупность элементов и связывающих их операций. С содержательной точки зрения интересны модели, являющиеся изоморфным отображением реальных или реализуемых объектов, процессов и явлений. С математическими моделями тесно связан математический метод познания отображаемых моделью объектов – метод математического моделирования. Соотношение между элементами a , b и c , выражаемое формулой , - это математическая модель. Она изоморфно отображает операцию объединения двух « куч камней » с их числами a и b в общую « кучу камней » , которых окажется . В этом смысле операция сложения изоморфна этому слиянию. Этот пример поясняет общий математический метод познания. Он состоит в построении для объекта, процесса или явления изоморфной математической модели, изучении этой математической модели и переносе в силу изоморфизма результатов, полученных для модели, на исходный объект [ 1 0 ] . Другими словами, м етод математического моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследуемые задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект. Математическое моделирование – приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Это мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления [ 2 3 ] . Математическое моделирование расширяет творческие возможности специалиста в решении целого ряда профессиональных задач, существенно изменяет его профессиональную подвижность. Со временному специалисту следует «хорошо знать» математику, т о есть не просто уметь использовать ее для различных расчетно- вычислительных операций, а понимать математические методы исследования и их возможности. Только понимание сущности ма тематического мод е лирования позволяет адекватно использовать этот метод в пр о фессиональной деятельности . 1.3. Математическое моделирование в школе Развитие у учащихся правильных представлений о природе математики и отражении математической наукой явлений и процессов реального мира является программным требованием к обучению математике. Доминирующим средством реализации этой программной цели является метод математического моделирования. Этот метод имеет своей основой моделирование (математическое и предметное). Применительно к обучению математике воспользуемся определением моделирования, которое предлагает И. Г. Обойщикова, и будем понимать под моделированием обобщенное интеллектуальное умение учащихся, состоящее в замене математических объектов, их отношений, способов деятельности моделями в виде изображени й отрезками, числовыми лучами, схемами, значками [ 2 6 ] . Для моделирования привлекаются различные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их системы, неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений), ряды, геометрические фигуры, разнообразные гра фосхемы, диаграммы Венна, графы . Математическое моделирование находит применение при решении многих сюжетных задач. Уже уравнение, составленное по условию задачи, является ее алгебраической моделью. М оделиро ванию, особенно алгебраическому и ана литическому, следует уделить в школе должное внимание , так как математиче ские модели используются для решения (или хотя бы облегчения решения) сюжетных задач . Кроме того, п ри построении модели используется такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые являются операциями мышления, и способствует его развитию. С оставление математической модели задачи, перевод задачи на язык математики исподволь готовит учащихся к моделированию реальных процессов и явлений в их будущей деятельности. При решении сюжетных задач особенно часто ис пользуются их алгебраические и аналитические модели. Такой моделью может быть функция, описывающая явление или процесс, уравнение , система уравнений, неравенство, систе ма неравенств, система уравнений и неравенств и др. При составлении модели задача, таким образом, переводится на язык алгеб ры или математического анализа. Рассмотрим несколько примеров математических моделей. Задача 1 . Турист проехал 2200 км, причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, а на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист отдельно на каждом виде транспорта? Решение . Примем расстояние, которое проехал турист на автомобиле за x км . Известно, что на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, т о е сть 2 x км. На поезде проехал в 4 раза больше, чем на теплоходе, т о есть . Весь путь – это сумма расстояний, которые проехал турист на каждом из видов транспорта и он равен 2200 км. Получим следующее уравнение: - это и есть математическая модель данной задачи. Задача 2. На школьной математической олимпиаде было предложено решить 6 задач. За каждую решенную задачу засчитывалось 10 очков, а за нерешенную снималось 3 очка. В следующий тур выходили ученики, набравшие не менее 30 очков. Сколько задач нужно было решить, чтобы попасть в следующий тур олимпиады? ( С м. № 151 , [1 8 ]). Решение . Пусть ученик должен решить х задач. Тогда за решенные задачи он получит 10 х очков, а за 6- х нерешенных задач у него снимут 3(6- х ) очков. Ученик может получить 10 х -3(6- х ) очков (все переменные выражены через выбранное х и значения других величин, заданных в задаче). По условию задачи и . Моделью задачи служит система неравенств . Далее в качестве примера рассмотрим задачу математического анализа на нахождение экстремум а . Надо заметить, что аналитической моделью задачи на наибольшее (наименьшее) значение является функция одного переменного с областью ее задания. Обычно областью задания является замкнутый промежуток. Задача 3. Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей ? ( С м. № 313, [ 2 ] ) . Решение . Требуется найти размеры прямоугольника с наибольшей площадью. Обозначим за a – длину прямоугольника, тогда ширина равна . . Полученная функция является моделью данной задачи. Отметим, что в общем случае процесс моделирования состоит из следующих эт а пов: 1 этап. Постановка задачи и определение свойств оригинала, подлежащих и с следованию. 2 этап. Констатация затруднительности или невозможности исследования оригинала. 3 этап. Выбор модели, достаточно хорошо фиксирующей существенные сво й ства оригинала и легко поддающейся исследованию. 4 этап. Исследование модели в соответствии с поставленной задачей. 5 этап. Перенос результатов исследования модели на оригинал. 6 этап. Проверка этих результатов. На сегодняшний день наиболее распростран е нной является тр е хэтапная схема процесса мате матического моделирования: 1) перевод предложенной задачи с естественного языка на язык математических терминов, т о есть построени е математической модели задачи ( формали зация ); 2) решени е задачи в рамках математической теории (решение внутри модели); 3) перевод полученного результата (математического решения) на язык, на котором была сформули рована исходная задача ( интерпрета ция полученного решения ). Наиболее ответственным и сложным является первый этап – само построение математической модели. Оно осуществляется логическим пут е м на основе глубокого анализа изучаемого явления (процесса) и требует умения описать явление (процесс) на языке математики. В свою очередь, в процессе построения модели можно выделить несколько шагов. Первый шаг – индуктивный: это отбор наблюдений, относящихся к тому процессу, который предстоит моделировать. Этот этап состоит в формулировке проблемы, т о е сть в принятии решения относительно того, что следует принимать во внимание, а чем можно пренебречь. Второй шаг заключается в переходе от определения проблемы к собственно построению неформальной модели. Неформальная модель – это такое описание процесса, которое способно объяснить отобранные нами наблюдения, но при этом определено недостаточно строго, и нельзя с точностью проверить степень логической взаимосвязанности в нем свойств. На этой стадии рассматриваются целый ряд наборов неформальных допущений, способных объяснить одни и те же данные; тем самым рассматриваются несколько потенциальных моделей и решается, какая из этих моделей лучше всего отображает изучаемый процесс. Иначе говоря, ищутся различные способы установления логического соответствия между моделью и реальным миром. Третий шаг – это перевод неформальной модели в математическую модель. Такой перевод включает в себя рассмотрение словесного описания неформальной модели и поиск подходящей математической структуры, способной отобразить изучаемые процессы. Это самый сложный этап во всем процессе моделирования. Стадия перевода может таить в себе две опасности. Во-первых, неформальные модели имеют тенденцию быть неоднозначными, и обычно существует несколько способов перевода неформальной модели в математическую (при этом альтернативные математические модели могут иметь совершенно различный смысл). На самом деле это одна из главных причин, изначально толкающих к применению математических моделей: язык математики лишен двусмысленностей и более точен, чем естественный язык, он позволяет исследовать скрытый смысл тончайших различий в формулировках, который плохо доступен исследованию посредством естественного языка. Следующий этап – этап решения задачи в рамках математической теории – можно ещ е назвать э тапом математической обработки формальной модели. Он является решающим в математическом моделировании. Именно здесь применяется весь арсенал математических методов – логических, алгебраических, геометрических и т. д. – для формального вывода нетривиальных следствий из исходных допущений модели. На стадии математической обработки обычно – вне зависимости от сути задачи – имеют дело с чистыми абстракциями и используют одинаковые математические средства. Этот этап представляет собой дедуктивное ядро моделирования. На последнем этапе моделирования полученные выводы проходят через еще один процесс перевода – на сей раз с языка математики обратно на естественный язык. Рассмотрим на примере реализацию всех этапов процесса математического моделирования. Задача 1. Два автомобиля выехали одновременно из пункта А в пункт В , р асстоян ие между которыми 540 км. П ерв ый автомобиль ехал со скоростью, на 10 км / ч большей, чем второй, и прибыл в пункт В на 45 мин раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля (см. № 218, [ 1 ] ) . I этап . Формализация . Построим математическую модель за дачи. Обозначим за x км / ч – скорость второго автомобиля , тогда скорость первого автомобиля равна ( x +10 ) км / ч . ч – время , потраченное на весь путь вторым автомобилем . ч – время , потраченное на весь путь первым автомобилем. Известно, что второй автомобиль потратил на путь на 45 мин больше, чем первый. . . Полученное уравнение является математической моделью данной задачи . II этап. Внутримодельное решение . Перенес е м все слагаемые в одну часть . Прив е д е м слагаемые к общему знаменателю . Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получим следующую систему: . Получили, что и . III этап. Интерпретация . Перевед е м результат с математического языка на язык исходной задачи . Так скорость автомобиля не может быть отрицательным числом, то условию задачи соответствует только один корень , т.е. скорость второго автомобиля равна 80 км/ч, а скорость первого 90 км/ч. Задача 2 . Группа студе нтов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 долларов . В последний момент двое отказались участвовать в покупке , поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на 1 доллар больше . Сколько стоил магнитофон ? Решение . I этап . Формализация . Построим матем атическую модель задачи . Пусть х - число студентов в группе , у долларов – величина первоначально предлагаемого взноса . Тогда стоимость магнитофона . После того , как двое отказались участвовать в покупке , студентов стало , а взнос составил доллар . Следовательно стоимость магнитофона равна . У словие задачи можно представить в виде системы Математическая модель построена . II этап. Внутримодельное решение . Рассмотрим систему, состоящую из уравнения и неравенства В уравнении раскроем скобки и привед е м подобные . Получим следующую систему Из уравнения выразим y , . Следовательно , . Так как х - натуральное число , то сейчас систему неравенств можно решать в натуральных числах. Из неравенства имеем х . Из неравенства имеем х . Таким образом, нужно найти натуральные решения неравенств . Ясно, что х = 20. Тогда у = 9 и = 180. III этап. Интерпретация . Перевед е м результат с математического языка на язык исходной задачи . Магнитофон стоил 180 долларов . Задача 3. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Укажите такие размеры окна, чтобы при данном периметре l оно пропу с кало больше св ета (см. № 156, [ 1 8 ] ) . Решение. I этап. Формализация. Построим математическую модель данной задачи. Требуется найти размеры окна с наибольшей площадью. Обозначим размеры: r – радиус полукруга, h – высота прямоугольника, тогда основание пр я моугольника 2 r . Чтобы определить, какое из переменных выбрать аргументом исследуемой функции, надо посмотреть, какое из них проще выражается через другое: l =2 r +2 h + r , h = , r = . Удобней выбрать r , так как для выражения площади понадобится r 2 , а h входит в это выражение линейно. S(r) = . Эта функция и есть модель данной задачи. II этап. Внутримодельное решение. Ясно, что 0< r < . Найд е м производную функции S ( r ): . Воспользуемся необходимым условием экстремума: l - r ( +4)=0. Отсюда r = . Из соображений здравого смысла окно не может иметь наименьшую площадь, поэтому найденное значение r – точка максимума. При этом r = h = . III этап. Интерпретация . Перевед е м результат с математического языка на язык исходной задачи . Ч тобы при данном периметре l окно пропу с кало больше света, необходимо установить следующие размеры окна: r = h = Учителю следует добиться от учащихся четкого понимания значения и содержания каждого из выше описанных этапов процесса математического моделирования. Это нужно для того, чтобы школьники усвоили, что они решают не просто математическую задачу, а конкретную жизненную ситуацию математическими методами. Тогда учащиеся смогут увидеть в математике практическое значение, и не будут воспринимать е е как абстрактную науку. Метод математического моделирования является мощным инструментом для исследования различных процессов и систем. Приложения этого метода к решению конкретных задач изложены в ряде известных монографий и учебных пособий. Вместе с тем, многие из них предполагают достаточно высокий уровень математической подготовки учеников, что зачастую вызывает определенные трудности при изучении материала. Понятие математической модели и некоторые общие положения, связанные с ним, должны в той или иной форме иллюстрироваться на протяжении всего курса математики, а разделы школьной программы, посвященные задачам на работу, движение, проценты, прогрессии и, наконец, задачам на применение производных и интегралов, могут рассматриваться как введение в метод математического моделирования [ 2 4 ] . 1.4. Функции и цели обучения математическому моделированию в школе Терешин Н. А. [ 2 8 ] выделяет следующие дидактические функции ма тематического моделирования: 1. Познавательная функция. Методической целью этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объек та. Это формирование происходит постоянно при переходе от просто го к сложному. Здесь мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта. Р еализация познавательной функции не предопределяет процесса научного познания, ценность этой функции состоит в ознакомлении учащихся с наиболее кратчайшим и доступным способом осмысле ния изучаемого материала. 2. Функция управления деятельностью учащихся. Математичес кое моделирование предметно и потому облегчает ориентировоч ные, контрольные и коммуникационные действия. Ориентировочным действием может служить, например, построение чертежа, соответ ствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него до полнительных элементов. Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимися чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике или на выяснение тех свойств, кото рые должны сохранить объект при тех или иных преобразова ниях. Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответству ет исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти дей ствия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явле ния или факта. 3. Интерпретационная функция. Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью различных моделей. Например, окружность можно задать с помощью пары объектов (центр и ра диус), уравнением относительно осей координат, а также с помощью рисунка или чертежа. В одних случаях можно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других – геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией; чем значимей объект, тем желательней дать больше его интерпрета ций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон. Можно также говорить об эстетических функциях моделирова ния, а также о таких, как функция обеспечения целенаправленно го внимания учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала и т . д. Кроме этих функций можно выделить еще одну – не менее важную – эвристическую . Математическая модель, выступая как выражение количеством качества объекта, позволяет экспериментировать с его количественной стороной, дает возможность определить границы устойчивости, нормальный и оптимальный режимы функционирования, еще глубже проникнуть в качественный аспект объекта — показать его внутренние закономерности. В этом и раскрывается эвристическая функция математич е ского моделирования и его возможности для решения проблем разных наук: биологии, химии, физики, медицины и других [ 3 0 ]. Применение нескольких функций математической модели спо собствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается с модели на полу ченную с ее помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их деятельности. 1.5. Роль изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов В литературных источниках отмечается использование моделирования в обучении математике как средства познания и осмысления нового знания, выделяются его виды, отмечаются условия, необходимые для его форми рования (Л. М. Фридман, В. В. Давыдов, С. И. Архангельский, О. Б. Епишева, В. И. Крупич, Л. С. Катаева, Г. А. Балл и др.). Вместе с тем остается недостаточной разработанность вопросов обучения приему моделирования, наиболее эффективной реализации всех его потенциальных возможностей. Некоторые авторы считают, что в условиях развивающего обучения формирование у учащихся приемов интеллектуальной деятельности является одной из центральных задач (А . К. Артемов, В. В. Давыдов, И. С. Якиманская и др угие), е е существенным приемом является моделирование. Модели упрощают восприятие учащимися какой-либо ситуации и обес печивают целостность восприятия, развивают компоненты абстрактного мышления (анализ, сравнение, обобщение, абстрагирование и др.), совершенствуют логическое мышление и помогают глубже усвоить учебный материал, так как позволяют изучать свойства объекта в «чистом» виде [ 2 6 ]. Необходимость овладения математическим моделированием как особым действием диктуется психолого-педагогическими соображениями. Изучение процесса обучения привело к разработке психологической теории учения. Теория поэтапного формирования умственных действий, разработанная советским психологом П. Я. Гальпериным и его сотрудниками , исходит из положения, что процесс обучения – это процесс овладения системой умственных действий. При этом о владение умственным действием происходит в процессе интериоризации (перехода вовнутрь) соответствующего внешнего практического действия. Когда ученика знакомят с каким-либо действием, ко торым ему нужно овладеть, то согласно данной теории знакомство надо начинать с выполнения этого действия соответствующими материальными предметами. Для того чтобы лучше увидеть общие черты усваиваемого действия, надо отвлечься от ненужных в данном случае свойств пред метов. Это з начит, что нужно перейти от действия с материальными предметами к действию с их замести телями — моделями, свободными от всех других свойств, кроме нужных в данном случае, т о е сть перейти на этап материализованного действия. Это может быть какая-то графическая схема, образная или знаковая модель, на которой или с помощью которой ученик выполняет ус ваиваемое действие [ 3 1 ] . Математическое м оделирование служит особым видом образно-знаковой идеализации и построения научной предметности. Моделирование позволяет видеть предмет как объект исследования, определять действия с ним задолго до того, как будет получен конечный результат. А это означает, что с самого первого момента конструирования создается образ, который позволит ориентироваться в предмете и анализировать его, служит средством продвижения в содержании. С огласно теории поэтапного формирования умственных действий построен ие и работа с моделями составляю т обязательный и очень важный этап овладения умственными действиями [ 3 1 ] . Развитие у учащихся правильных представлений о характере отражения математикой явлений и процессов реального мира, роли математического моделирования в научном познании и в практике имеет большое значение для формирования диалектико-материа листического мировоззрения учащихся , их математического, психологического и общего развития. Можно сделать вывод, что одной из важных задач курса обучения детей математике является овладение детьми моделированием . Овладение школьниками общеучебным (универсальным) умением моделировать предполагает поэтапное овладение ими конкретными предметными умениями: представлять задачу в виде таблицы, схемы, числового выражения, формулы (уравнения), чертежа и уметь осуществлять переход от одной модели к другой. Учебный предмет, развертывающийся как система понятий, требует логики движения в его познании от всеобщих свойств к конкретным, выделение и исследование оснований, определяющих данную систему, что невозможно без языка моделирования. Моделирование в обучении должно быть усвоено учащимися и как способ познания, которым они должны овладеть, и как важнейшее учебное действие, являющееся составным элементом учебной деятельности. С этой целью обучение элементам математического моделирования начинается ещ е в средней школе . И зучение моделирования в этот период, большей своей частью, связано с решением сюжетных задач. Моделирование - это метод и средство познания, а сюжетные задачи – это один из « полигонов » , где отраба тывается моделирование . У мение решать задачи выступает как один из критериев сформированности умения моделирова ть , а также служит мотивационной составляющей процесса обучения [ 8 ] . Сюжетные задачи есть первый класс задач, на которых раскрывается идея моделирования реальных процессов . Но следует отметить, что п редставление школьников о моделировании и моделях весьма неясное и ограниченное . Учащиеся не знают, что имеют дело с моделями, изучают модели, так как и в программах, и в учебниках понятия модели и модели рования почти отсутствуют. Потом уча щиеся с удивлением узнают, что они все время изучают модели, что привычные им понятия уравнения, чис ла, фигуры, равномерного движения, массы и другие являются научными моделями, что, решая задачи, они моделируют [ 3 1 ]. П оэтому необходимо явно включить моделирование в содержание учебных предметов, знакомить учащихся с современной трактовкой понятий моделирования и модели, использовать моделирование как метод научного познания и решения задач. Наиболее благоприятным для начала изучения математического моделирования является 5 – 6 класс, так как именно в этот период у школьников происходят определ е нные психические изменения. В зависимости от того, как школьники будут относиться к учебной деятельности, как они научатся самостоятельно овладевать знаниями, такими и будут их дальнейшие успехи в обучении. Вопросы, изучаемые в курсе математики 5 – 6 классов, составляют фундамент, на котором строится дальнейшее обучение как математике, так и другим предметам. От уровня знаний и умений, сформированных в 5 – 6 классах, зависит успешное овладение всем курс ом математики. В процессе изучения математического моделирования в это время учащиеся знакомятся с теоретическими фактами, ид е т формирование основных математических понятий, показ применения математических фактов на практике. Поэтому на этом этапе у школьников складывается определ е нное отношение к решению задач, а значит и к математике в целом. Обучение с применением моделирования повышает активность мыслительной деятельности учащихся, помогает понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь решения, установить нужный способ проверки, определить условия, при которых зад ача имеет или не имеет решение [ 3 2 ]. Моделирование можно рассматривать как особую деятельность по построению (выбор у или конструиро ванию) моделей, и как вся кая деятельность она имеет внешнее практическое со держание и внутреннюю психическую сущность. Следо вательно, моделирование как психическая деятельность может включаться в качестве компонента в такие пси хические процессы, как восприятие, представление, па мять, воображение и, конечно, мышление. В свою оче редь, все эти психические процессы включаются в дея тельность моделирования как сложную деятельность [ 31 ]. Модели и связанные с ними представления являются продуктами сложной познавательной деятельности, включающей прежде всего мыслительную переработку исходного чувственного материала, его «очищение» от случайных моментов. Модели выступают как продукты и как средство осуществления этой деятельности. Таким образом, в ключение моделирования в учебный процесс рационализирует его и одновременно активизирует познавательную деятельность учащихся. Следо вательно, решается не только конкретная учебная задача, но и осущест вляется развитие учащихся. Широ кое использование моделирования – одно из методических средств развивающего обучения математике. Моделирование отражает преимущественно теоретический стиль мышления, который в боль шей мере содействует развитию учащихся, приобщает их к научному стилю мышления . И. Г. Обойщикова предлагает осуществлять о бучение учащихся приему моделирования поэтапно: в начальных классах – неявно, лишь упоминая, что, заменяя данные задачи значками (или графической схемой), мы используем модели, на этом этапе следует обучать учащихся действиям, входящим в «ядро» моделиро вания ( умение сопоставлять объекты, умение противопоставлять объекты, умение сравнивать объекты путем сопоставления или противопоставления, умение абстрагироваться, умение обобщать объекты ) ; в 5 классе – явно и осознанно, раскрывая его сущность, изучая операции, входящие в «оболочку» моделирования ( умение строить модель, умение проводить преобразования модели и умение ее конкретизировать ) ; в 6 классе - самостоятельно используя прием в несложных случаях . Проблема моделирования в начальной школе рассматривается А. К. Арте мовым, Л. П. Стойловой, М А. Бородулько, Е. В. Конновой, М. Н. Сизовой, Т. Н. Харлановой и др угими , но в 5 – 6 классах лишь некоторые авторы используют моделирование при решении сюжетных задач. Специальная методика формирования приема моделирования для названной ступени обучения пока еше слабо разработана. Однако вопросы моделирования приобретают все большее значение в обучении [ 2 6 ] . В учебниках новых поколений понятие математической модели и математического моделирования появляется уже на самых ранних этапах обучения. Так, например, в учебнике для 5 класса Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон уже во 2 параграфе первой части предлагается для изучения тема «Математические модели» [1 1 ] . В силу различных причин реально в школе эти учебники используются редко, поэтому идеи математического моделирования большинству учащихся незнакомы. Р оль изучения элементов математического моделирования в 5 – 6 классах – пропедевтическая. В этот период происходит первичное знакомство учащихся с понятиями «модель» и «моделирование» , а также с отдельными действиями , характерными для метода математического моделирования . Вопросы, изучаемые в курсе математики 5 – 6 классов, составляют фундамент, на котором строится дальнейшее обучение как математике, так и другим предметам. В связи с выше изложенным р ассмотрим особенности изучения темы «Математическ ие модели» по учебникам «Математика» для 5 – 6 классов авторов Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон и дадим краткий обзор учебников [ 6], [7], [11 – 1 7 ] , [2 1 ], [2 2 ] с точки зрения наличия элементов математического моделирования. Выводы по главе 1 1. В ходе изучения психолого-педагогической, философской, методической литературы были рассмотрены различные определения понятия «модель» и «моделирование» и их классификаци и. И з всех определений этих понятий можно выделить основные черты модели: · модель замещает объект-оригинал; · сохраняет некоторые важные свойства объекта-оригинала; · результаты исследования модели переносятся на оригинал. В свою очередь под моделированием понимается процесс построения, и зучения и применения моделей . Из всего многообразия моделей большинство специалистов выделяют два класса моделей: 1) материальные (реально существующие, по строен н ы е из каких-либо вещественных предметов: из ме талла, дерева, стекла и других материалов ) ; 2) идеальные (воображаемые, основанные на мысленном представлении). 2. Математическое моделирование, как частный случай моделирования, предполагает использование в качестве средства исследования оригинала его математическую модель , с помощью которой появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом . 3. Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-п ервых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения , теми методами познания, которыми они должны овладеть, и, во-вторых, моделирование является учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение. Метод моделирования используется в любой науке, обладает огромной эвристической силой: позволяет свести изучение сложного к простому, невидимого — к видимому, т о е сть сделать любой сложный объект доступным для тщательного всестороннего изучения. 4 . Представления школьников о математическом моделировании весьма ограничены, хотя математическое моделирование играет важную роль в развитии диалектико-материалистического мировоззрения и является м ощным методом научного познания. В ключение в школьный курс математики уже на ранних этапах обучения понятий «модель» и «моделирование» , формирование простейших умений математического моделирования играет важную роль в развитии личности в целом . Обучение моделированию учащихся приводит к повышению эффективности обучения и общеразвивающему эффекту. Глава 2. Обучение школьников элементам математического моделирования 2.1. Обзор школьных учебников по математике для 5-6 классов с точки зрения наличия элементов математического моделирования В учебник е по математике для 5 класса Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. [11] уже во втором параграфе предлагается для изучения тема «Математические модели» , поэтому далее весь материал опирается на понятия «математическая модел ь» и « моделировани е » . Авторы не дают определение модели, а на примере двух задач показывают, что в двух непохожих ситуациях используется одна и та же математическая модель , сразу указывая на ценность математического моделирования, что одна и та же модель может описывать различные явления. Для того чтобы построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условия задач на математический язык. Самая распростран е нная формулировка заданий, характерная для метода моделирования, звучит следующим образом: · переведи условие задачи на математический язык; · построй математическую модель задачи и реши е е . Далее говорится, что после перевода задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям. В 6 классе [1 2] выделяются этапы процесса математического моделирования, в соответствии с этими этапами выделяются этапы решения задач с помощью уравнений. Большое внимание уделяется этапу формализации , который вызывает у школьников наибольшие трудности при решении задач. Для сравнения возьм е м учебники по математике для 5 – 6 классов Н. Я. Виленкина и других [6 – 7] , Г.В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина [21 – 22] , И. И. Зубаревой и А. Г. Мордковича [16 – 17] и определим, какую роль авторы этих учебников отводят моделированию. В учебниках [6], [7] понятия «модель» и «моделирование» не вводятся ни в 5, ни в 6 классах, соответственно нет задач с формулировкой, характерной для метода моделирования. В учебнике [ 2 2 ] небольшое внимание уделяется математическому языку, но не встречаются сюжетные задачи, требующие перевода условия задачи с русского на математический язык. В учебнике [ 1 6 ] изучаются темы «Математический язык», «Математическая модель». Как и в учебнике [1 1 ] понятие модели вводится с помощью рассмотрения двух задач, в которых требуется найти значение одного и того же выражения. Выражение, полученное в процессе решения, - это математическая модель реальной жизненной ситуации , о которой говорится в задаче. Авторы пишут: « Выполняя задания по переводу «обычной» речи на математический язык, мы каждый раз составляли математическую модель данной ситуации. Однако важно не только уметь составлять математические модели, но и выполнять обратную работу – понимать, какую ситуацию (или обстоятельства) описывает данная модель » . Так неявно выделяют ся э тапы моделирования: формализация и интерпретация . Но следует отметить, что задачи, в которых требуется построить математическую модель, встречаются в учебниках [ 1 6 ] , [ 1 7 ] очень редко. 2. 2 . Методика обучения математическому моделированию по учебникам Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. «Математика-5», «Математика-6» Учебники Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5» , «Математика-6» [1 1 – 1 5 ] входят в часть единог о непрерывного курса математики и являются продолжением учебника математики для начальной ш колы авторов Н. Я. Виленкина и Л. Г. Петерсон . Этот курс разрабатывается в настоящее время с позиции развивающего обучения, гуманизации и гуманитаризации математическог о образования. Обучение школьников вед е тся на высоком уровне трудности. Но материал учебник ов предусматривает возможность работы по н им д етей разного уровня подготовки. Учебники ориентированы на развитие логического мышления, творческих способностей ребенка и интереса к математике . Учебник для 5 класса состоит из двух частей, для 6 класса – из тр е х. Каждая часть включает в себя две главы. Эт и учебник и позволя ю т учащимся самостоятельно добы ва ть знания, а главное уч а т учиться. С первых уроков ученикам предлагаются задания для формирования умени й сравнивать , обобщать, классифицировать, рассуждать. Большая часть заданий требует о т учащихся творческого подхода. Новый материал вводится не через передачу готового знания, а через самостоятельное «открытие» его учениками. Часто задания для закрепления даны в игровой форме (кодирование и расшифровка, отгадывание загадок и т. п .) Учащиеся с огромным удовольствием выполняют эти задания. В учебнике в системе даны задания на развитие логики, мышления, развитие всех видов памяти, творческих способностей. «В совершенно различных, на первый взгляд, задачах можно обнаружить, что их решение практически одинаково. Например, если на столе лежат 2 яблока, 2 апельсина и груша, то как найти общее число фруктов? Конечно, 2 + 2 + 1 = 5. Но ведь точно также мы можем определить и число уроков во вторник, зная, что по расписанию будет два урока русского языка, две математики и физкультура. В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель , складывая не яблоки с апельсинами и не физкультуру с математикой, а натуральные числа. Для того чтобы построить математическую модель, надо , прежде всего , научиться переводить условие задачи с привычного родного языка на специальный, математический язык, чем мы и займемся в этом пункте,» – так авторы учебника проводят мотивацию изучения математического моделирования еще в самом начале курса математики пятого класса (п . 1, §2, глава 1 , [ 1 1 ] ). Рассмотренный пример, настолько прост и нагляден, что понятен даже пятиклассникам, и становится ясно, что с помощью модели решать задачу будет проще, но еще не понятно , что именно представляет собой математическая модель. Далее говорится, что после перевода задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям. В этом же пункте авторы составляют модели пя ти разнообразных задач, которые располагаются среди предложенных для решения, в том числе задач, основной сутью которых является отработка навыка перевода задачи на математический язык. Такими задачами являются задачи со следующими формулировками: · Составь выражения для ответа на вопросы задач ( № 72 ) . · Придумай задачи, в которых математической моделью являются следующие выражения ( № 73 ) . · Среди данных задач найди такие задачи, математические модели которых совпадают ( № 74 ) . · Построй математическую модель ( № 82, № 111 ) . · Составь схему к задаче ( № 76 ) . · Переведи условие задачи с русского языка на математический ( № 83, № 87, № 98, №102, № 116 ) . · Составь таблицу по условию задачи ( № 124 ) . · Запиши математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин буквы x и y ( № 137 ) . Весь этот пункт направлен на овладени е школьниками первым этапом решения задач с помощью математического моделирования. Заметим, что задачи с такими формулировками встречаются не только в этом пункте, но и по всему тексту учебника , например: 5 класс, часть 1 , [ 1 1] : № № 244, 338, 410, 436, 502, 507, 531, 680, 704, 767, 788, 789, 796, 797, 828 и другие; 5 класс, часть 2 , [ 1 2] : № № 39, 49, 107, 125, 167, 271, 272, 283, 333, 352, 411, 478, 530, 546, 712, 740, 769, 833, 870, 882, 904, 941, 1012, 1101, 1162 и другие; 6 класс, часть 1 , [ 1 3] : № № 115, 116, 117, 130, 133, 137, 175, 215 и другие; 6 класс, часть 2 , [ 1 4] : № № 20, 25, 220, 221, 314, 423, 424, 4 95 - 498, 505 - 507 и другие; 6 класс, часть 3 , [ 1 5] : № № 6, 10, 21, 24, 131, 626, 627, 633, 683, 700, 706, 729 и другие, что дает возможность сформировать у учащихся не только умения, но и навыки построения математически х модел ей сюжетных задач. Но кроме умени я строить математические модели необходимо уметь их разрешать и переводить результат на понятный человеку язык. Эти два этапа процесса моделирования авторы объединяют в один, который называют «Работа с математической моделью» (п . 2, §2, глава 1 , [1 1 ] ). Из рассмотренных в этом пункте примеров видно, что после перевода текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям. Для получения результата в некоторых задачах достаточно использовать алгоритмы действий с числами (например, № 82 , [1 1 ] ), в других – решение уравнений (например, № 144 , [ 1 1 ] ). Отсюда следует, что чем больше математических понятий и свойств знают учащиеся, тем больше они имеют возможность для отыскания короткого и простого решения. При решении математических задач часто бывает так, что исследование полученной математической модели не сводится к известным случаям, т о есть у учащихся нет достаточных знаний для исследования той или иной модели. Авторы учебника предлагают два специфических способа исследования математических моделей: 1) метод проб и ошибок ; 2) метод перебора. Рассмотрим на примерах, в чем состоит суть этих методов. Метод п роб и ошибок позволяет найти ответ даже в том случае, когда математическая модель представляет собой новый, ещ е не изученный объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения, и н и одного не пропущено. Задача. Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а площадь равна 90 см 2 . Найти стороны прямоугольника (см. № 168 (2) , [1 1 ]) . Решение. Математическая модель представляет собой следующее уравнение: . Нужно найти и . Никакие известные пятиклассникам правила преобразования не помогают найти ответ. Авторы предлагают подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок. Нам надо найти такое число х , чтобы значение выражения х ( x – 9) было равно 90. Попробуем подставить в это выражение, например х = 1 3 : 13 (13 - 9)=52 Мы видим, что полученное значение выражения слишком мало. Возьмем теперь х = 14: 14 (14 - 9)=70 И снова выбранное значение мало, хотя и ближе к искомому. Далее возьм е м х = 15. Получим: 15 (15 - 9)=90 Эта попытка оказалась удачной, при х = 15 имеем 15 (15 - 9)=90. Казалось бы, что задача уже решена, но это не так: ведь может оказаться, что есть другие x , при которых это выражение тоже равно 90. Допустим, что х > 15 , тогда х – 9 > 6 , следовательно произведение будет больше 90. Пусть х < 15 , тогда х – 9 < 6 , получим, что 15 (15 - 9) < 90. Нам требуется найти стороны прямоугольника. Получаем, х = 15 и . Ответ: 15 см и 6 см. Данный метод служит мощным средством при решении еще неизвестных уравнений, неравенств и систем уравнений. Однако он очень трудоемкий и нужно добиваться от учащихся поиска более рационального метода решения, если это является возможным в данной ситуации. При решении задач методом проб и ошибок учитель должен объяснить школьнику, что простой подбор одного неизвестного числа не дает уверенности в том, что найдены все искомые значения. Поэтому для обоснования полноты решения требуются дополнительные иногда очень непростые р ассуждения, а , значит, метод проб и ошибок имеет недостаток, который, в свою очередь не имеет другой метод – метод перебора. Метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебор ом автор поясняет, что следует рассматривать «все мысленные возможности: если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и дает решение задачи» [1 1 ] . Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Но следует обратить внимание учащихся на анализ условия, тем самым сократить систему перебора. Рассмотрим задачу. Задача . Задумано двузначное число, которое на 66 больше произведения своих цифр. Какое число задумано? ( C м. № 181 (1) , [ 1 1 ] ) . Решение. После составления модели получаем следующую задачу: Для цифр х и y двузначного числа выполняется равенство 10 x + y = xy + 66 . Найти это число. Полный перебор можно провести, рассматривая последовательно все значения х от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение y от 0 до 9. Однако этот перебор можно сократить, если заметить, что правая часть равенства больше 66. Значит, и левая его часть, то есть задуманное число больше 66. Поэтому неизвестное число х не меньше 6, и можно рассматривать только четыре значения х – от 6 до 9. При х = 6 наше равенство имеет вид 60 + y = 6 y + 66 , а этого быть не может , так как левая часть получилась меньше правой при любых значениях y от 0 до 9 . При х = 7 имеем 70 + y = 7 y + 66 . Если мы от каждой части этого равенства отнимем одно и то же число y , то получим 70 = 6 y + 66 , откуда 6 y = 4 , что для натурального числа не возможно. При х = 8 имеем равенство 80 + y = 8 y + 66 . Снова, вычитая из каждой части y , получим, 80 = 7 y +66, 7 y = 14, y = 2. Таким образом, для чисел х = 8 и y = 2 равенство выполняется, и число 82 удовлетворяет условию задачи: 82 = 8 · 2 + 66. Следует обратить внимание учащихся, что нельзя считать задачу полностью решенной, поскольку перебор ещ е не закончен, и среди не рассмотренных случаев могут найтись решения. Выполняя аналогичные преобразования, имеем при х = 9: 90 + y = 9 y + 66, 90 = 8 y +66, 8 y = 24, y = 3 . Показывая учащимся, что получилось ещ е одно решение, число 93, которое удовлетворяет 93 = 9 · 3 + 66, мы подчеркиваем важность полного переб ор а. Авторы также советуют проводить перебор с помощью таблицы: X Уравнение Упрощенное уравнение Y 6 60 + y = 6 y + 66 невозможно 7 70 + y = 7 y + 66 6 y = 4 невозможно 8 80 + y = 8 y + 66 7 y = 14 y = 2 9 90 + y = 9 y + 66 8 y = 24 y = 3 После того, как произведен полный перебор, в ажно научить школьников формулировать ответ в соответствии вопросу исходной задачи. В данном случае ответ будет таков: задумано либо число 82, либо 93. К методу проб и ошибок и к методу перебора авторы ещ е раз возвращаются уже в 6 классе (§ 3, глава 3, [15 ] ) . В 6 классе продолжается обучение методу математического моделирования. При изучении темы «Решение уравнений» рассматриваются различные по сюжету задачи, которые решаются с помощью уравнений. Но прежде чем приступить к решению задач, а вторы учебника пытаются дать ответ на вопрос: «Для чего решают задачи ?» и приходят к выводу, что, решая задачи, мы учимся строить математические модели реальных ситуаций . Далее выделяются три этап а математического моделирования : 1) построение модели; 2) работа с моделью; 3) практический вывод. Распростран е нным видом математических моделей являются уравнения. В соответствии с этапами моделирования решение задач с помощью уравнений состоит также из тр е х этапов: 1) составление уравнения ; 2) решение уравнения ; 3) ответ на вопрос задачи . Учащиеся обучаются выбирать переменные, составлять уравнения, решать их и анализировать результат. Система задач , привед е нная в учебник ах [11 – 1 5 ] позволяет достаточно полно раскрыть методы исследования математических моделей , большое внимание уделяется решению задач с помощью уравнений , так как уравнения – это основной вид моделей, изучаемых в 5 – 6 классах . На основе этих упражнений учащиеся должны научиться понимать ценность решения сюжетных задач, видеть их практическую значимость, а также понимать значени е математической модели, уметь строить ее, искать наиболее рациональны й способ е е исследования и правильно делать вывод о проделанной работе, в том числе правильно формулировать ответ на задачу. 2 . 3 . Анализ учебников Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» с точки зрения наличия задач для формирования умений , характерных для математического моделирования Известно, что процесс мате матического моделирования осуществляется в три этапа : 1 ) формали заци я ; 2) решение внутри модели; 3) интерпрета ци я . Следует отметить, что в школе больше внимания уделяется работе над вторым этапом моделирования, в то время как форма лизация и интерпретация остаются недостаточно раскрытыми. Н еобходим о организовать обучени е уча щихся элементам моделирования, относящимся ко всем трем эта пам. В ажным средством обучения элементам моде лирования, относящимся к этапам формализации и интерпретации, являются сюжетные задачи , но этап формализации при решении школьных сюжетных задач оказывается представлен слишком узко . У чащимся, как правило, сразу предъяв ляется словесная модель задачи, поэтому представления о характе ре отражения математикой явлений, описываемых в за дачах, часто оказываются весьма примитивными , то есть нет условий для содержательного раскрытия деятельности, проходящей на этом этапе математического моделирования. Поэтому надо искать пути содержательного раскрытия и конкретизации этапов форма лизации и интерпретации математического моделирования . У же в 5 – 6 классах целесообразно использовать задачи, которые позволяют учить школьников действиям, характерным для этапов формализации и интерпретации. Моделирование включает в себя большое число составных элементов, поэтому б ольшую роль в успешности работы по математическому моделированию играет выявление элементов математического моделирования. В. А. Стукалов [ 2 8 ] выявляет следующие элементы: 1) замен а исходных терминов выбранными математическими эквивалентами; 2) оценк а полноты исходной информации и введению при необходимости недостающих числовых данных; 3) выбор точности числовых значений, соответствующей смыслу задачи; 4) оценк а возможности получения числовых данных для решения задачи на практике. На основе перечисленных элементов математического моделирования , характерных для этапов формализации и интерпретации, можно выделить умения, которыми должны овладеть учащиеся для успешного освоения методом математического моделирования: 1) умение заменять исходные термины математическими эквивалентами; 2) умение оценивать полноту исходной информации; 3) умение выбирать точность числовых значений; 4) умение оценивать возможность получения числовых данных для решения задачи. П роанализируем учебник и [1 1 – 1 5 ] Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон с точки зрения наличия задач, применяемых для формирования у учащихся 5 – 6 классов выделенных умений. Выполнение действия замены исходных терминов выбранными математическими эквивалентами основывается прежде всего на жизненном опыте учащихся, т о е сть знании терминов, встречающихся в быту или при изучении других предметов, которые могут быть заменены математическими понятиями и отношениями. Из этого следует, что в системе задач школьных учебников должно быть больше задач, содержащих термины из различных научных областей, но не требующих длительного и громоздкого объяснения их сущности. Кроме этого, задачи расширяют словарный запас учащихся, знакомят с новыми интересными фактами из разных наук, вооружают учащихся навыками самостоятельной работы, способствуют сознательному применению имеющихся знаний к жизни, знакомят их с новыми приемами решения, развивают математическое мышление и практическую смекалку . Обучение замене исходных терминов может происходить при формировании понятий. В анализируем ых учебник ах [ 1 1 – 1 5 ] такими математическими эквивалентами являются понятия «прямоугольник», в частно сти , «квадрат», «прямоугольный параллелепипед» (в частном случае «куб»), «окружность», «сфера». В заданиях, предложенных авторами учебника, всегда наряду с исходным термином указывается его математический эквивалент , что по нашему мнению является целесообразн ым . В тексте учебника встречаются следующие задачи . Понятие « прямоугольник » · Площадь баскетбольной площадки прямоугольной формы а м 2 , а длина 20 м. Какова ее ширина? ( C м. № 16 (1), [1 1 ] ). · На рисунке показан план земельного участка и указаны его размеры. Найди площадь этого участка, и выразили ее в арах. Какова длина прямоугольника, имеющего такую же площадь и ширину 45 м? ( C м. № 57, [1 1 ] ). · Переведи условие задачи на математический язык: Под строительную площадку отвели прямоугольный участок, длина которого на 25 м больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину – на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м 2 . Какова площадь образовавшейся строительной площадки? ( C м. № 271 (2), [1 2 ] ). · Построй математическую модель задачи и найди ответ методом перебора: Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м 2 . Найди длины сторон газона, если известно, что они выражаются натуральными числами ( см. № 333(3), [1 1 ] ). Понятие « п араллелепипед » Прямоугольный параллелепипед является математическим эквивалентом «аквариума», «печи», «ящика», «бассейна». Например. · Из фанеры требуется сделать открытый ящик, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 40 см, 20 см и 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика? Какова будет его вместимость? ( C м. № 272, [11 ] ). · Из жести сделали бак без крышки. Он имеет форму куба с длиной ребра 8 дм. Бак надо покрасить снаружи и изнутри. Какую площадь надо покрасить? Какова вместимость бака? ( C м. № 712, [ 11 ] ). · Чтобы сделать бассейн, в земле выкопали котлован в форме прямоугольного параллелепипеда длиной 25 м, шириной 6 м и глубиной 3 м. Сколько кубических метров земли пришлось вынуть? ( C м. № 280 (1), [ 1 1 ] ). · Имеется два аквариума с измерениями 45 32 50 см и 50 32 45 см. а) На изготовление какого из двух аквариумов потребовалось больше стекла? б) Аквариумы заполнили водой так, что уровень воды в первом аквариуме ниже верхнего края на 10 см, а во втором – на 5 см. В каком аквариуме больше воды? ( C м. № 547, [15 ] ). Понятия « окружность » и « круг » При изучении окружности, круга и их свойств в учебнике используются задачи, в которых используются такие термины как «окружность колеса», «обороты колеса», «арена цирка», «циферблат часов», «беговая дорожка», «экватор Земли». · Великий древнегреческий математик Архимед ( III в. до н.э.) установил, что длина окружности примерно в 3 раза больше е е диаметра. Пользуясь этим результатом, реши задачу: Какова длина беговой дорожки ипподрома, имеющей форму круга радиусом км? ( C м. № 307(1), [1 2 ] ). · Длина экватора Земли равна примерно 40000 км, а ее диаметр составляет длины экватора. Чему равен диаметр Земли? ( C м. № 488, [1 2 ] ). · Сколько оборотов сделает колесо на участке пути в 1,2 км, если диаметр колеса равен 0,8 м? Число округли до целых ( см. № 549 (2), [15 ] ). · Чему равна площадь циферблата часов , если длина минутной стрелки равна 4,5 см. Число округли до целых ( см. № 566 (а), [1 5 ] ). · Арена цирка имеет длину 40,8 м. Найди диаметр и площадь арены. Число округли до целых ( см. № 737, [1 5 ] ). Также к этой группе относятся задачи : 5 класс, часть 1 , [1 1 ] : №№ 102 (3), 142 (5), 280 (1), 716, 753, 791, 800 ; 5 класс, часть 2 , [ 1 2 ] : №№ 269 (5), 271 (1), 307, 352 (3), 379 (1), 380 (2); 6 класс, часть 1 , [ 1 3 ] : №№ 56 (а) ; 6 класс, часть 3 , [ 1 5 ] : №№ 341, 342, 547, 549 ( 2, 4), 562, 566 . Также при обучении действию замены исходных терминов выбранными математическими эквивалентами применяются задачи, в которых требуется замена одной единицы измерения другой более мелкой и наоборот. Таких задач в учебниках очень много, но в основном в них требуется переводить километры в метры, метры в сантиметры, минуты в часы ( №№ (5 класс, часть 1 , [1 1 ] ) 146 (1,2,4), 162 (2), 340 (1), 392, 406, 408, 504, 561, 581, 679, 752. 764, 786, 797, 798 ; №№ 44, 56, 127 (3), 221, 228, 616 (2), 769 (2), 901, 992, 1065, 1067 (5 класс, часть 2 , [ 12 ] ); №№ 189 (2), 190 (2), 191 (2), 198, 199, 201, 209, 210, 212, 223, 233, 247, 305, 306, 334 (6 класс, часть 1 , [ 1 3 ] ) ; №№ 44, 49, 125,203, 204, 292, 293 (1), 322, 372, 373, 551 (6 класс, часть 2 , [ 1 4 ] ) ; №№ 116, 130 (а), 132,133, 154, 195, 223, 228, 304, 433-436, 444, 465, 466, 467, 499, 563, 633, 667, 678-680, 683, 700, 706, 717, 720, 727, 728, 738, 764, 767 (б) (6 класс, часть 3 , [ 15 ] ) ) , что не вызывает больших сложностей у школьников. Например. · Чтобы связать шарф длиной 1,4 м, нужно 350 г шерсти. Сколько шерсти потребуется, чтобы связать шарф такой же ширины длиной 180 см? ( C м. № 225 (1), [1 4 ] ). · Подводная лодка, идя со скоростью 15,6 км / ч, пришла к месту назначения за 3 ч 45 мин. С какой скоростью она должна была идти, чтобы про йти весь путь на 45 мин быстрее ( см. № 227 (1), [1 4 ] ). Часто на практике используются такие единицы времени, как неделя, декада, квартал, век. В учебника х недостаточно задач, в которых название единиц измерения включено в сюжет задачи и требуется замен ить одн у единиц у измерения другой в соответствии с условием. В таких задачах математическим эквивалентом будет являться число более мелких единиц измерения. · Средняя температура воздуха за неделю равна 18,6 , а за шесть дней без воскресенья – 18,4 . Какой была температура воздуха в воскресенье? ( C м. № 285 (2), [1 3 ] ). Мы считаем, что необходимо рассматривать больше задач, в которых требуется перевод единиц измерения , не водящих в известные системы мер, чем их приведено в учебниках [ 1 1 – 15 ] . При обучении действию оценки полноты исходной информации и введения при необходимости недостающих числовых данных необходимо учитывать компоненты, которые могут быть в условии этих задач: сюжет (объекты), величины, их характеризующие, значения этих величин. При этом можно выделить следующие типы задач, представленные в таблице [ 19 ] . сюжет величины значения а) + + - б) + - + в) - + + г) - - + д) - + - е) + - - Знак «+» обозначает наличие соответствующего компонента в условии, знак «-» - отсутствие. Знак «-» в графе «сюжет» характеризует задачи, в которых требуется подобрать объекты по заданным величинам и (или) значениям. Знак «-» в графе «величины» предполагает выделение системы необходимых исходных величин в условиях лишних или недостающих данных. Комбинации «+», «+», «+» и «-», «-», «-» не рассматриваются как не представляющие интереса. Кроме того, задачи внутри одного типа могут отличаться и формой задания: таблица, диаграмма, черт е ж, краткая запись и т. д. Привед е м примеры задач, встречающихся в анализируемых учебниках, соответствующие выделенным типам. Первый тип соответствует комбинации «+», «+» «-» и характеризуется наличием сюжета, величин и отсутствием значений величин . Сюда относятся такие задачи как: · По шоссе автомобиль двигался 2 часа со скоростью 90 км/ч, а по проселочной дороге – 5 часов со скоростью v км/ч. Сколько всего километров проехал автомобиль по шоссе и по проселочной дороге? ( C м. № 14 (1), [1 1 ] ). · Зарплату рабочего, равную n руб., повысили сначала на 10%, а потом ещ е на 40% от новой суммы. Какой стала зарплата после второго повышения? ( C м. № 58 (г), [1 5 ] ). · Цену на компьютер снизили сначала на 20%, а потом ещ е на 50% от новой цены. После этого компьютер стал стоить k руб. Какой была его первоначальная цена? ( C м. № 58 (д), [1 5 ] ). К типу I относятся также следующие задачи : 5 класс, часть 1 , [1 1 ] : №№ 10, 14 (1), 16 (2-8), 28 (б), 40 (1-4), 72 (1-5), 82 (1), 83 (2), 142, 158 (1), 207, 210 (3), 250 (2), 317 (1), 317 (5), 398, 431, 433, 465, 466, 505, 506, 509, 531, 680 ; 5 класс, часть 2 , [ 1 2] : №№ 478, 487, 495, 870, 884, 929, 1000, 1001, 1097, 1122, 1137, 1162 ; 6 класс, часть 1 , [ 1 3] : №№ 66 (1, 2), 107, 200, 222, 228, 443; 6 класс, часть 2 , [ 1 4] : №№ 47 (1,3,4), 53 (1,3), 83, 130 (1,3), 136, 286, 287, 329, 337, 374, 453; 6 класс, часть 3 , [ 1 5 ] : №№ 10, 16, 24, 148, 268, 319, 367 (б, в, г, д, е), 729. Ко второму тип у относятся з адачи, в которых есть сюжет, числовые данные, но нет величин, которы е они характеризуют . Например. · В пяти ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Если из каждого ящика вынуть 60 яблок, то во всех ящиках останется столько яблок, сколько их раньше было в двух ящиках. Сколько яблок было в каждом ящике? ( C м. № 167, [1 1 ] ). · Составь выражение для задачи и найди его значение: В классе 25 учеников. Из них после уроков домой ушли 7 человек, а остальные разбились на 3 команды для игры. Сколько человек в каждой команде? ( C м. № 38 (4), [1 1 ] ). · Переведи условие задачи с русского языка на математический язык: На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе учитель ответил: «Пятерок на 3 больше, чем двоек, троек на одну меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше, чем двоек». Сколько человек получили пятерки и сколько четверки, если в классе 32 человека? ( C м. № 39 (2), [1 2 ] ). К типу II относятся также следующие задачи : 5 класс, часть 1 , [1 1 ] : №№ 111 (4), 159 (1 ,2 ), 181 (1 ,4 ), 182 (2), 196, 213 (1), 275 (2) , 278 (1 ,2 ), 281, 299, 301, 337 (1 ,2 ), 348, 349, 358, 413, 425, 438, 525 (1 ,2 ), 559, 563, 569 (1), 595 (1 ,2 ), 607, 635, 636, 644, 671 (1 ,2 ), 687, 707, 709, 715, 719, 745, 771, 804 ; 5 класс, часть 2 , [ 1 2] : №№ 28 (1 ,2 ), 40 (1 , 2), 51, 78 (2), 94 (1,2), 95 (2), 133, 152 (1,2), 154 (1, 2,3), 171 (1, 2), 176, 184, 194 (1), 204, 206, 240, 249, 250, 253, 287, 304 (1 ,2), 329 (1), 330, 333 (4), 350, 367, 369, 385 (1), 387 (1,2,4, 5), 427 (2), 490, 496, 497, 498, 504, 517, 558 (1 ,2), 559, 561 (1,2), 562 (1,2), 563 (2), 567 (1, 2), 585, 587 (1, 4), 595 (1,2), 599 (1,2), 674, 680, 712 (1,2), 778, 779, 834, 1049 (1, 3) ; 6 класс , часть 1 , [ 1 3] : №№ 17, 24, 57, 116, 130 (1,3,4), 133, 137, 165, 203, 212, 265, 301, 338, 410, 414, 450, 482, 483; 6 класс, часть 2 , [ 1 4] : №№ 20, 25, 108, 109, 110, 111, 112, 121, 173 (2,3,4), 176 (3), 184, 190, 191, 199, 200, 207, 209 (2,3), 213, 225, 226,229, 230, 240, 241, 249, 250, 252, 256,268, 281, 295, 326, 528 (1,2), 535, 552, 582; . 6 класс, часть 3, [ 1 5] : №№ 6 (1), 21, 50 (а), 64, 65, 93, 94, 95, 108, 109, 110, 118, 119, 120, 122, 123, 124, 125 (а), 126, 127 (а), 150, 151, 152, 158, 292, 307, 368, 393, 464, 466, 467, 468, 472, 473, 497, 523, 627, 633, 699, 705, 767. Ясно, что в учебнике очень много сюжетных задач, содержащих числовые данные, что обосновано целями образования. Третий тип соответствует комбинации «-», «+» «+». К этому типу относятся задания, в которых нужно составить задачу по схеме или краткой записи. В учебниках Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон такие задачи представлены в следующем виде: Составь по схемам задачи и найди неизвестные величины ( d t – расстояние между объектами через t ч после выхода) ( № 197, [1 3 ] ) : 40 км / ч 80 км / ч 76 t встр . = 2,5 ч ? км s = ? d 1,5 = ? 110 км / ч 70 км / ч 76 t = 2 ч 150 км t встр . = ? d 2 = ? ? км / ч 9 км / ч 76 t = 1,4 ч = ? ? км d 1,4 = ? d 3,2 = ? В основном нужно составить задачи на движение в различных направлениях согласно указанным в схемах данным. К этому же типу относятся задачи №№ 215 [ 1 3 ] ; 387 [ 1 4 ] ; 131, 524, 627 [ 1 5 ] . Четв е ртый тип характеризуется отсутствием сюжета и величин и наличием значений , т о е сть это такие задания, в которых нужно составить задачу по числовому выражению, уравнению и т.д. В учебнике к этому типу относятся задачи вида: · Придумай 3 задачи, решением которых является выражение ( № 115, [1 3 ] ) : ( a – a : 4) : 2 . · Придумай ситуацию, математической моделью которой может служить данное выражение, и найди ответ ( № 424 , [1 4 ] ) : а) (-9) + (+4); б) (+6) + (+3); в) (-5) + (-2); г) (-1) + (+7). Аналогичные действия нужно выполнить в № 427 [14 ] . · Составь по данной математической модели задачу и реши е е ( № 496, [1 4 ] ): 1) 0,48 : (1,6 – 2 x ) + 5,2 = 6 2) 2 ( x -1,8) = 2 /3 x . Пятому типу соответствует комбинация «-», «+», «-», где нужно составить задачу с указанными величинами, например, расстояние, скорость, время; стоимость, цена, количество и др. · Придумай задачу, приводящую к выражению 3 х + 5 у , о величинах: 1) путь, скорость, время ( S = vt ); 2) стоимость, цена, количество товара ( C = an ); 3) работа, производительность, время ( A = vt ); 4) площадь прямоугольника, его длина и ширина ( S = ab ) ( см. № 15, [1 1 ] ). · Как найти: а) процент от числа; б) число по его проценту; в) процентное отношение двух чисел? Придумай и реши задачи на эти правила. Затем эти же задачи реши методом пропорций. Какой способ ты считаешь более удобным? Почему? ( C м. № 766, [1 5 ] ). В учебнике [ 14 ] отдельно выделяются задания, в которых нужно составить задачу о «доходах» и «расходах» по заданному выражению. Например, · Придумай по выражению задачу о «доходах» и «расходах» и найди ответ ( № 220, [1 4 ] ) : 1) (+3) + (-7); 2) (-5) + (-8); 3) (-1) + (-4). Аналогичные этому №№ 221, 314 [ 14 ] . Авторы анализируемого учебника включили немного задач такого типа. Это можно объяснить тем, что школьники 5-6 класса ещ е не имеют достаточной подготовки и жизненного опыта решать задачи без числовых значений и сюжета, то есть самостоятельно придумывать задачи. К шестому типу задач относятся задачи, которые характеризуются только наличием сюжета . Это задачи вида: · Запиши выражение для ответа на вопрос задачи: В 5 «А» классе а учеников, а в 5 «Б» классе – на 3 ученика меньше. Сколько всего учеников в этих двух классах? ( C м. № 11 (1), [1 1 ] ). · Составь выражение: Барону Мюнхаузену а лет, а его лошадь на 25 лет моложе. Во сколько раз барон старше своей лошади? ( C м. № 28 (1), [1 1 ] ). · В одном классе a человек, а в другом – на 20% больше. Сколько человек в двух классах? ( C м. № 58 (а) , [1 5 ] ). К этому же типу относятся задачи: 5 класс, часть 1 , [1 1 ] : №№ 11 ( 2 ), 11 (3), 11 (4), 11 (5), 11 (6), 40 (5), 40 (6), 242, 250, 16 (7), 43, 295 (1), 295 (3), 295 (4), 217 (4) , 317 (6), 596 (в), 596 (г), 596 (д), 596 (е), 751 (2) ; 5 класс, часть 2 , [ 1 2 ] : №№ 42 (2) , 42 (3) , 102 (1), 102 (2), 102 (3), 102 (4), 194 (1), 260; 6 класс, часть 1 , [ 1 3 ] : №№ 69, 288, 415; 6 класс, часть 2 , [ 1 4 ] : №№ 47 (2,5,6), 53 (2), 130 (2,4); 6 класс, часть 3 , [ 1 5 ] : №№ 367 (а), 778. Говоря об обучении действию выбору точности числовых значений, соответствующих смыслу задачи, не имеется в виду формирование понятий и умений, связанных с приближ е нными вычислениями. Речь ид е т о привлечении внимания учащихся к тому, что любая математическая модель имеет погрешность. Н апример, считать массу краски для пола с точностью до грамма неразумно, поэтому необходимо уметь округлять числовые данные в соответствии со смыслом задачи. Формирование данного действия должно начинаться уже в процессе знакомства учащихся с единицами измерения, что происходит ещ е в начальной школе. Целесообразно при изучении всех единиц рассматривать, какие объекты на практике измеряются данной единицей. При обучении округления результата в соответствии со смыслом задачи могут использоваться задания, требующие округления, но без указания точности округления. Для того чтобы показать учащимся необходимость округления, можно использовать задачу: «Сколько нужно заплатить за половину буханки хлеба, если целая буханка стоит 6р. 75 к.?» Привед е м примеры задач, которые могут быть использованы для формирования рассматриваемого действия. · Длина комнаты 7 м, ширина 4 м, а высота 3 м. Сколько квадратных метров обоев требуется для оклейки комнаты, если площадь окон и дверей составляет 9 м 2 ? Сколько рулонов обоев для этого надо купить, если в каждом рулоне 10 м 2 обоев? ( C м. № 280 (2), [1 1 ] ). · Расстояние от Москвы до Бреста равно примерно 1100 км. Изобразите шоссе от Москвы до Бреста на тетрадном листе в виде отрезка, подобрав удобный масштаб ( см. № 30, [14 ] ). · В автохозяйстве для каждой модели автомобилей установлена норма износа. По «Волгам» она составляет 11,1% в год. Каков срок службы этого автомобиля? ( C м. № 434, [1 4 ] ). При решении задач на практике приходится округлять не только результат, но и исходные числовые данные. Это может происходить, например, при использовании табличных данных, где указана точность более высокая, нежели требуется по смыслу задачи. Средством обучения выбору точности исходных данных могут служить задачи: а) требующие практических измерений; б) связанные с чтением и построением графиков; в) связанные с избыточной точностью числовых данных. Задачи, требующие практических измерений · Измерь длину и ширину тетради и вырази результат в дециметрах. Вычисли площадь тетрадного листа и вырази ее в квадратных дециметрах ( см. № 741, [1 2 ] ). Задачи, связанные с чтением и построением графиков · На тренировке в 50– метровом бассейне два пловца стартовали одновременно на дистанцию 200 м. Один плыл кролем, другой – брасом. На рисунке приведены графики их движения: 1) Сколько времени затратили пловцы на каждые 50 м и на всю дистанцию? 2) Сколько раз и на каком расстоянии от стартовой стенки бассейна встречались пловцы? 3) С какой скоростью плыл каждый из спортсменов? 4) На сколько секунд раньше финишировал первый пловец? 5) На сколько метров обогнал первый пловец второго к моменту финиша? ( C м. № 468, [1 2 ] ). В основном в учебнике обучение выбору точности числовых значений реализуется при построении различных графиков зависимостей. К этому типу задач относятся также : 5 класс, часть 1 , [1 1 ] : №№ 330, 345 ; 5 класс, часть 2 , [ 1 2 ] : №№ 111, 112, 129, 179, 548, 592, 638, 649, 890 ; 6 класс, часть 1 , [ 1 3 ] : №№ 55, 77-80, 92, 155, 162, 280, 317, 468, 473; 6 класс, часть 2 , [ 1 4 ] : №№ 33, 37, 38, 50, 51,81, 84, 113, 140, 141-144, 154, 155, 173, 175, 176, 178, 189, 190, 265, 288, 374; 6 класс, часть 3 , [ 1 5 ] : №№ 146, 155, 158, 198. Задачи, которые должны использоваться при обучении действию оценки возможности получения результата , представлены в учебнике в небольшом количестве. К ним относятся такие задачи, как: · В классе 20 учеников. Из них английский язык изучают 15 человек, немецкий – 10, и ещ е 1 человек изучает французский язык. Возможно ли это? ( C м. № 336, [13 ] ). · На туристической карте масштаб оказался оторванным. Можно ли его восстановить, если известно, что расстояние от сельской почты до окраины села (по прямой дороге) равно 3,2 км, а на карте это расстояние изображено отрезком длиной 4 см? ( C м. № 49, [1 4 ] ). · В городской думе 80 депутатов, среди которых 4 независимых депутата, а остальные представляют интересы тр е х партий. Число депутатов от первой партии на 20% больше, чем от второй, а число депутатов от второй партии составляет 62,5% числа депутатов третьей. Может ли какая-либо партия заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее 2 / 3) всех депутатов? ( C м. № 368 (б), [1 5 ] ). В процессе решения предложенных и аналогичных задач учащиеся должны усвоить, что выбор точности зависит от цели, с которой решается задача, и от качеств самого измеряемого объекта. При ответах школьники опираются на свои представления о реальных объектах и процессах, описанных в задаче. Анализ учебников [ 1 1 ] , [ 1 2 ] , [ 1 3 ] , [ 1 4 ] , [ 1 5 ] показал, что в них содержится достаточное количество задач для формирования простейших умений , входящих в метод математического моделирования. Кроме того, вводится понятие «математическая модель» и описываются этапы математического моделирования. Школьники учатся оперировать с моделями. Вс е это созда е т предпосылки для более осознанного дальнейшего обучения математике. 2 . 4 . Опытное преподавание Опытное преподавание осуществлялось в школе № 21 г. Кирова. Первоначально была изучена соответствующ ая теме исследования математическ ая и методическ ая литератур а . После че го были разработаны и прове дены два занятия математического кружк а по темам: 1) Математические модели . 2) Решение задач с применением метода математического моделирования . Проведена контрольная работа по теме «Решение задач» . Подробное описание кружков и контрольной работы содержится соответственно в приложениях 1, 2, 3 . Нами были поставлены следующие цели: 1) п ознакомить учащихся с понятием математической модели; 2) рассмотреть основные типы задач, в которых требуется перевод условия задач и на математический язык; 3) выделить основные этапы моделирования ; 4) в соответствии с этапами моделирования выделить этапы решения задач с помощью уравнений; 5) сравнить результаты контрольной работы в разных классах. З анятия проводились в 6– х классах, обучающихся по учебнику [7] Н. Я. Виленкина , после изучения темы «Решение уравнений» . Занятия математического к ружк а проводились в 6 б классе , а контрольная работа – в 6 б и в 6 в класс ах . После проведения контрольной работы б ыли получены следующие результаты: 1) количество человек, решивших каждую задачу в 6 б больше, чем в 6 в класс е (см. диаграмму); Количество человек, решивших каждую задачу 2) при решении первой задачи трудности возникли вследствие того, что в качестве переменной x многие выбрали количество автомобилей, которые отремонтировал первый механик (количество детей в младшей группе – во втором варианте) , хотя целесообразно за x взять количество автомобилей, отремонтированных вторым механик ом (количество детей в средней группе) . Появление дробей усложнило модель задачи, и ученики не смогли решить е е. Приче м в 6 б правильный выбор переменной сделали на 5 человек больше, чем в 6 в , этому способствовало составление таблицы к задаче. 3) при решении второй задачи в первом варианте были допущены ошибки при составлении математической модели, так как несколько человек получили не , а ; 4) в четв е ртой задаче большие сложности вызвали проценты, поэтому из каждого класса эту задачу смогли решить лишь 16 и 10 человек соответственно. Ребята не смогли перевести на математический язык выражения «на 60% (40%) меньше», «на 60% (40%) больше » , а также у некоторых возникла сложность с выбором переменной , так в качестве переменной была выбрана искомая величина , что нецелесообразно ; 5) при составлении пропорции в пятой задаче сложностей не возникло, но многие просто не успели решить е е . С ложности при решении задач возникают в результате того, что не всегда выбор переменных являет ся рациональным. Уже на ранних этапах обучения нужно приучать к выбору таких пе ременных модели , которые оказываются наиболее удобными для решения задачи. Удачный выбор переменных помо гает легче составить математическую модель задачи, и получить наиболее простую для реализации модель. Также сложность вызывает перевод условия и ли части условия задачи на математический язык , результатом чего является неправильно построенная модель задачи. Можно сделать вывод, что обучени е действиям характерным для этапов моделирования , облегчает п остроени е математической модели задачи , способствует построению более удобной и простой модели, и, как след ствие, упрощается процесс решения задачи. Выводы по главе 2 1. Анализ школьных учебников по математике для 5 – 6 классов показал, что большое внимание методу моделирования уделяется в основном в учебниках Г. В. Дорофеева, Л. В. Петерсон , в остальных учебниках или эта тема не изучается вообще, или рассматривается обзорно. 2. Учебники [1 1 - 1 5] содержат большое количество задач , характерных для метода моделирования, а именно: задачи, непосредственно реализующие этапы процесса математического моделирования; задачи , в которых требуется выполнить действия, характерные для этапов моделирования. 3. В ходе опытного преподавания выяснилось, что методика изучения математического моделирования по учебникам Г. В. Дорофеева, Л. В. Петерсон эффективна и может быть использована на уроках математик и и в таких классах, где обучение вед е тся по другим учебникам. Заключение В ходе теоретического и экспериментального исследования получены следующие результаты : 1) рассмотрены основные вопросы и выявлены проблемы обучения элементам математического моделирования; 2) рассмотрены понятия « математическая модель» и «математическое моделирование», выделены основные идеи и этапы метода математического моделирования; 3) выдел ены дидактические функции преподавания ма тематического моделирования в школе; 4) обосновано значение изучения элементов математического моделирования на ранних этапах обучения, а именно в 5 – 6 классах; 5) выделены основные умения , характерные для этапов формализации и интерпретации, и описана методика обучения элементам математического моделирования в 5 -6 классах ( по учебникам «Математика» для 5- 6 классов Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон ) ; 6) проанализирован ы учебник и по математике для 5 – 6 классов с точки зрения наличия элементов математического моделирования и сделаны соответствующие выводы ; 7) в процессе опытного преподавания, согласно рассмотренным методикам, были разработаны и пр о вед е ны два занятия математического кружка и контрольная работа. Результаты проведенного исследования позволяют сделать следующие выводы: 1) при решении задач посредством моделирования школьники учатся абстрагированию, анализу, синтезу, сравнению, аналогии, обобщению, переводу жизненных проблемных ситуаций в абстрактные модели и наоборот. Использование моделирования как способа обучения поисковой деятельности, обобщенным подходам, приемам в решении задач способствует усилению творческой направленности процесса обучения, развитию умственных способностей учащихся , то есть моделирование является средством совершенствования процесса обучения математике, которое позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся и развивать их мышление ; 2) включение моделирования в содержание уроков математики необходимо для ознакомления учащихся с современной научной трактовкой понятий мо дели и моделирования, овладения моделированием как методом научного познания и решения сюжетных задач ; 3) следует включить изучение элементов математического моделирования в содержание уроков не только в 7 – 9 классах, а на ранних этапах обучения, т о е сть уже в 5 – 6 классах или ещ е раньше (в начальной школе) . Это обосновано тем, что у учащихся создаются предпосылки для более осознанного изучения математики, формирования диалектико-материалистического стиля мышления и повышения интереса к самой науке математике. Можно сделать общий вывод, что все задачи исследования решены, цель достигнута, г ипотеза подтверждена и теоретическим анализом, и эксперимент ально . Библиографический список 1. Алгебра: Учебник для 9 кл. сред. шк. [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1990. -272 с. 2. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 кл. сред. шк. [Текст] / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.: Под. Ред. А. Н. Колмогорова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1991. – 320 с. 3. Алтухов, В.Л. О перестройке мышления: философско-методологические аспекты [Текст] / В. Л. Алтухов, В.Ф. Шапошников. – М.: Просвещение , 1988. 4. Артоболевский, А. Н. Арифметические задачи с производственно-бытовым содержанием [Текст] / А. Н. Артоболевский. – М.: Государственное учебно-педагогическое изд-во Министерства Просвещения РСФСР, 1961. 5. Веников, В.А. Теория подобия и моделирования [Текст] / В. А. Веников. – М.: Высшая шк о ла, 1986. – 480 с. 6. Виленкин Н. Я. Математика, 5 класс. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений [Текст] / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбург. / Изд. 6-е. - М.: Сайтком, 2000. - 358 с. 7. Виленкин Н. Я. Математика, 6 класс. Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений [Текст] / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбург. / 12-е изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2003. - 304 с. 8. Возняк, Г. М. Прикладные задачи в мотивации обучения [Текст]/ Г. М. Возняк // Математика в школе, 1990, №2 9. Горстко, А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием [Текст] / А. Б. Горстко. – М.: Знание, 1991. – 160 с. 10. Грес, П. В. Математика для гуманитариев [Текст] / П. В. Грес. – М.: Логос, 2005. 11. Дорофеев, Г. В. Математика, 5 класс. Часть 1: учебник для 5 кл. [Текст] / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. – М.: Баллас, С-инфо, 1996. – 176 с. 12. Дорофеев, Г. В. Математика, 5 класс. Часть 2: учебник для 5 кл. [Текст] / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. – М.: Баллас, С-инфо, 199 7 . – 240 с. 13. Дорофеев, Г. В. Математика, 6 класс. Часть 1: учебник для 6 кл. [Текст] / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. – М.: Баласс, С-инфо, 1998. – 112 с. 14. Дорофеев, Г. В. Математика, 6 класс. Часть 2: учебник для 5 кл. [Текст] / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. – М.: Баллас, С-инфо, 199 9 . – 1 28 с. 15. Дорофеев, Г. В. Математика, 6 класс. Часть 3: учебник для 6 кл. [Текст] / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. – М.: Баласс, С-инфо, 2002. – 176 с. 16. Зубарева, И. И. Математика. 5 кл.: Учебник для общеобразоват. Учреждений [Текст] / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2003. – 293 с. 17. Зубарева, И. И. Математика. 6 кл.: Учебник для общеобразоват. Учреждений [Текст] / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 200 4 . – 2 81 с. 18. Канин, Е. С. Учебные математические задачи [Текст] / Е.С. Канин. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. – 154 c . 19. Крутихина, М. В. Обучение некоторым элементам математического моделирования как средство подготовки к профильному образованию [Текст] / М. В. Крутихина // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Периодический межвузовский сборник научно-методических работ: выпуск 6 – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. – с. 246-254. 20. Мангейм, Дж. Б. Политология. Методы исследования [Текст]: Перевод с англ. / Дж. Б. Мангейм, Р. К. Рич. – М.: Весь Мир, 1997. – 544 с. 21. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999. – 368 с. 22. Математика: 6 класс: Учебник для общеобразоват. учеб. заведений [Текст] / Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 2-е изд. – М.: Дрофа, 1995. – 416 с. 23. Математическая энциклопедия. Гл. ред. М. Виноградов. Том 3. Коо - Од. М.: Советская энциклопедия, 1982, 1184 стр., ил. 24. Мышкис, А. Д. О прикладной направленности школьного курса элементов математического анализа [Текст] / А. Д. Мышкис // Математика в школе, 1990, - № 6, с. 7-11. 25. Новик, И. Б. О философских вопросах кибернетического моделирования [Текст] / И. Б. Новик – М., Знание, 1964. 26. Обойщикова, И. Г. Обучение моделированию учащихся 5 – 6 классов при изучении математики [Текст]: Автореферат диссертации на соискание уч е ной степени кандидата педагогических наук / И. Г. Обойщикова. - Саранск, 2002. 27. Сичивица, О. М. Методы и формы научного познания [Текст] / О. М. Сичивица. – М., Высшая школа, 1993. 28. Терешин, Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики [Текст] / Н. А. Терешин. – М.: Просвещение, 1990. 29. Уемов, А. И. Логические основы метода моделирования [Текст] / А. И. Уемов. – М.: Просвещение, 1996. 30. Формирование системного мышления в обучении: учеб. пособие для вузов [Текст] / под ред. З. А. Решетовой – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 344с. 31. Фридман, Л. М. Наглядность и моделирование в обучении [Текст] / Л. М. Фридман. – М.: Знание, 1984. – 80 с. 32. Целищева, И. Моделирование в текстовых задачах [Текст] / И. Целищева, С. Зайцева // Приложение к газете «1 сентября». Математика, 2002, №33 – 34 33. Штофф, В. А. Моделирование и философия [Текст] / В. А. Штофф. – М.: Наука, 1966. Приложение 1 Разработка занятия математического кружка по теме «Математические модели» Ход занятия : Учитель предлагает ребятам решить 2 задачи по вариантам. Задача 1. На выставке кошек представлены кошки сибирской, ангорской, персидской и сиамской пород. Сибирских кошек на 3 больше, чем сиамских, персидских на одну меньше, чем ангорских, ангорских в 4 раза больше, чем сиамских. Сколько кошек каждой породы на выставке, если всего их 32. Задача 2. На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе учитель ответил: «Пят е рок на 3 больше, чем двоек, троек на одну меньше, чем четв е рок, а четв е рок в 4 раза больше, чем двоек». Сколько человек получили пят е рки и сколько четв е рки, если в классе 32 человека? ( см. № 39 , [ 1 2] ) Затем учитель просит по одному человеку от каждого варианта записать на доске уравнение, получившееся в результате решения задачи. Оказалось, что уравнения совпадают. Учитель говорит: «Мы видим, что в совершенно различных, на первый взгляд, задачах можно обнаружить, что их решение практически одинаково. В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель . Полученное вами уравнение – это и есть математическая модель задачи. Ребята, а знакомы ли вы вообще с понятием «модель»? Можете ли вы привести примеры известных вам моделей (называют модели)». Можно в качестве примера привести такие модели: глобус – модель земного шара, перед тем, как построить дом, архитектор созда е т его уменьшенную копию – модель и т.п. Было сказано, что полученное уравнение – это математическая модель задачи, тогда в ч е м состоит отличие математической модели от других моделей. Математическая модель описывается средствами математики, то есть с помощью математических знаков и символов и представляет собой математическое выражение или равенство, например: ; ; . Для того чтобы построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условия задач с привычного родного языка на специальный, математический язык. Рассмотрим несколько задач с примерами такого перевода. Задача 1. Сер е жа, Костя и Денис принесли на выставку 120 почтовых марок. Сер е жа прин е с 25 марок, а Костя – в 2 раза больше марок, чем Сер е жа. Сколько марок прин е с на выставку Денис. 120 С. К. Д. 25 ? Марки Дениса составляют часть всех марок, которые принесли мальчики. Поэтому для ответа на вопрос задачи надо из всех марок вычесть марки Сер е жи и Кости. Из условия известно, что все трое ребят принесли 120 марок. Сер е жа принес 25 марок, а Костя - марок. Значит, Денис прин е с марок. Выражение является математической моделью данной задачи. Задача 2. В соревнованиях по плаванию приняло участие 60 человек, прич е м мальчиков было в 3 раза больше, чем девочек. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях. Всех участников соревнований можно разбить на 2 группы – мальчики и девочки. Однако для этой задачи мы не можем составить числовое выражение, так как не известно ни число мальчиков, ни число девочек 60 60 девочки мальчики девочки мальчики ? ? x 3 x Обозначим число девочек через x . Тогда число мальчиков равно 3 x , а всего участников соревнований . Но по условию задачи всего участников 60, и значит, равенство является математической моделью данной задачи. Мы перевели условия задачи на математический язык, но не решили их, то есть не ответили на поставленный вопросы. Как же найти неизвестные числа? После перевода получились новые тексты задач. Решение первой задачи свелось к нахождению значения выражения , что не вызывает никаких трудностей. Таким образом, ответ к первой задаче следующий: «Денис прин е с на выставку 45 марок». Во второй задаче необходимо найти неизвестные числа x и 3 x , если выполняется равенство . Равенство, содержащее переменную, называется уравнением. С уравнениями вы уже знакомы и умеете их решать. , тогда . , . Значит, в соревнованиях участвовало 15 девочек. А число мальчиков, участвовавших в соревнованиях, равно или 45. Из рассмотренных примеров видно, что после перевода текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям. Далее ученикам предлагается выполнить следующие задания. Задание 1. Переведите условие задачи с русского языка на математический двумя различными способами: Тетради в клетку дороже тетрадей в линейку на 400 руб. За 8 тетрадей в клетку надо заплатить на 1600 руб. больше, чем за 10 тетрадей в линейку. Какова цена этих тетрадей? ( С м. № 116 (3) , [ 1 1] ) Задание 2. Построй математическую модель задачи и реши е е . Из двух городов, расстояние между которыми 294 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Через 1 ч 40 мин расстояние между ними стало равно 24 км. Скорость первого мотоциклиста составляет 80% скорости второго. С какой скоростью они ехали? ( С м. № 201 (1) , [ 1 3] ) Задание 3. Предприятию было выделено для сотрудников 120 садовых участков. Из них 25% участков ещ е не освоено, а на освоенных участках построены деревянные и кирпичные дома. Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет 20% от числа деревянных домов? ( С м. № 414 , [ 1 3] ) В школе в качестве моделей изучаются не только числовые или буквенные выражения и уравнения. В старших классах вы познакомитесь с другими видами уравнений, неравенствами, системами уравнений или неравенств, а также с функциями. Приложение 2 Разработка занятия математического кружка по теме «Решение задач с применением метода математического моделирования» Ход занятия : Распростран е нным видом математических моделей являются уравнения. На этом занятии мы будем учиться решать задачи с помощью уравнений. Но прежде чем ответить на вопрос, как решать задачи, попытаемся разобраться, для чего их решать. Задачи в истории возникли как инструмент тренировки ума. Ситуации, описанные в задачах, иногда кажутся надуманными. Но для составителя это не важно, так как он не повторяет реальную ситуацию, а конструирует е е , сохраняя связи между величинами в реальных процессах. Таким образом, решая задачи, мы учимся строить математические модели реальных ситуаций. Математическое моделирование включает в себя три этапа: 1) построение модели (перевод условия задачи на математический язык); 2) работу с моделью; 3) практический вывод. В соответствии с этим и решение задач с помощью уравнений состоит из тр е х этапов: 1) составление уравнения; 2) решение уравнения; 3) ответ на вопрос задачи. Составление уравнение начинается с выбора неизвестной величины, которую обозначают буквой x (или любой другой буквой). Для этого прежде всего надо определить, о каких величинах ид е т речь в задаче, какая между ними взаимосвязь, какие из величин известны, а какие нет. Обычно за x принимают искомую величину, однако это совсем не обязательно. Лучше обозначать величины так, чтобы получилось более простое и удобное для решения уравнение. Есть ещ е один важный момент, на который нужно обращать внимание при составлении уравнения – это соответствие единиц измерения величин. Если, например, скорость движения выражена в километрах в час, а время в минутах, то необходимо или время выразить в часах, или скорость – в километрах в минуту. Решая задачу с помощью уравнения, надо помнить о том, что не всегда корни уравнения представляют собой искомые величины. Поэтому перед тем, как записать ответ, надо сопоставить введ е нные обозначения с вопросом задачи. Кроме того, ответ должен соответствовать реальности. Например, если получилось, что в классе 25,8 учащихся, то либо задача составлена не корректно, либо в решении допущена ошибка. Итак, при решении задач с помощью уравнений можно руководствоваться следующим алгоритмом: 1) Внимательно прочитать задачу. 2) Определить, какие величины известны, а какие – нет. 3) Проверить соответствие единиц измерения величин. 4) Одну из неизвестных величин обозначить буквой x (или любой другой буквой). 5) Выразить через x значения других неизвестных величин, используя при необходимости таблицы и схемы. 6) Составить уравнение. 7) Соотнести корень уравнения с вопросом задачи. 8) Проверить соответствие полученного ответа реальному процессу. Привед е м пример решения задачи с помощью уравнений. Задача. В первой бочке было в 2 раза меньше огурцов, чем во втором. После того как из первой бочки взяли 500 г огурцов, а из второй – 6 кг, во второй бочке осталось на 60% огурцов больше, чем в первой. Сколько огурцов было во второй бочке первоначально? 1 этап. Прежде всего, заметим, что масса огурцов выражена в разных единицах. Перевед е м граммы в килограммы: 500 г = 0,5 кг. В задаче требуется найти исходную массу огурцов во второй бочке. Но за x удобнее принять исходную массу огурцов в первой бочке, так как она меньше и у нас не появится дробей. Для того чтобы составить уравнение, заполним таблицу. Масса огурцов в 1 бочке Масса огурцов во 2 бочке Было x кг 2 x кг Стало ( x – 0,5) кг (2 x – 6) кг Заметим, что, составляя таблицу, делая к задаче рисунок или черт е ж, мы также составляем математическую модель данной задачи, которая называется графической, что во многих случаях позволяет нам облегчить решение задачи. Решение: 1) 100% + 60% = 160% - составляет масса огурцов, оставшихся во второй бочке от массы огурцов, оставшихся в первой бочке. 2) Пусть в первой бочке было x кг огурцов, тогда во второй бочке было 2 x кг огурцов. В первой бочке осталось ( x – 0,5) кг, а во второй – (2 x – 6) кг огурцов. Масса огурцов, оставшихся в первой бочке, составляет 160% от массы огурцов, оставшихся во второй бочке, значит: 2 этап. 3) (кг) 3 этап. Ответ: во второй бочке было 26 кг огурцов. Далее ученикам предлагается решить следующие задачи и сделать к ним рисунок: Задача 1. Из коробки взяли сначала 4 конфеты, а потом ещ е четверть оставшихся конфет. После этого в коробке осталось всех конфет. Сколько конфет осталось в коробке? ( С м. № 118 , [ 1 5] ) Задача 2. Грузовик проехал в первый день треть всего пути, а во второй день – 90% пути, пройденного в первый день, а за третий день – остальные 440 км. Сколько километров проехал грузовик за второй день? ( С м. № 117 ( а ) , [ 1 5] ) Задача 3. На двух элеваторах зерна было поровну. Когда из первого элеватора вывезли 140 т зерна, а из второго в 2,5 раза больше, во втором элеваторе зерна осталось в 2,4 раза меньше, чем в первом. Сколько тонн зерна было на э леваторах первоначально? ( С м. № 150, [ 1 5] ) Задача 4. Мастер может выполнить весь заказ за 8 ч, а его ученик - за 10 ч. В час ученик делает на 15 деталей меньше мастера. Найди производительность мастера и производительность ученик а ( с м. № 116 (а) , [ 1 5] ) Приложение 3 Контрольная работа по теме «Решение задач» Вариант 1. Задача 1. На станции технического обслуживания три механика отремонтировали за месяц 78 автомобилей. Первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше автомобилей, чем второй, а третий – на 6 автомобилей больше, чем первый. Сколько автомобилей отремонтировал каждый механик? ( С м. № 137 (1), [ 1 3] ) Задача 2. Таня задумала число, умножила его на 15 и результат вычла из 80. Получила 10. Какое число задумала Таня? ( С м. № 1212 (б) , [ 22 ] ) Задача 3. Собственная скорость теплохода равна 32,5 км/ч, а его скорость по течению реки – 35 км/ч. Какое расстояние проплыв е т теплоход, если будет двигаться 2,6 ч по течению реки и 0,8 ч против течения? ( С м. № 225 (1) , [ 1 3] ) Задача 4. Тр е м братьям вместе 45 лет. Возраст младшего на 60% меньше возраста среднего брата, а возраст старшего брата – на 60% больше возраста среднего. Сколько лет младшему брату? ( С м. № 126 (а) , [ 1 5] ) Задача 5. Реши, составив пропорцию. На конвейерной линии расфасовывается 5,4 кг сухого картофеля за 2,5 мин. Сколько килограммов сухого картофеля будет расфасовано на этой линии за один час? ( С м. № 293 (1) , [ 1 4] ) Вариант 2. Задача 1. В детском хоре «Весна» занимаются148 детей. В младшей группе хора в 2 раза больше детей, чем в средней, и на 32 человека больше, чем в старшей. Сколько детей занимается в каждой группе хора? ( С м. № 130 (1) , [ 1 3] ) Задача 2. Саша задумал число, прибавил к нему 25 и результат умножил на 10. Получил 200. Какое число задумал Саша? ( С м. № 1212 (в), [ 22 ] ) Задача 3. Собственная скорость катера равна 14,7 км/ч, а скорость против течения реки – 10,2 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер, плывя 2 ч по течению реки и 4,5 ч против течения? ( С м. № 225 (2) , [ 1 3] ) Задача 4. В библиотеке 270 книг. Книг на английском языке на 40% больше, чем на французском, а книг на немецком – на 40% меньше, чем на французском. Сколько в библиотеке книг на английском языке? Задача 5. Реши, составив пропорцию. Оператор набрал на компьютере рукопись за 6,3 ч, работая с производительностью 16 стр./ч. За сколько времени набрал бы эту рукопись другой оператор, производительность которого 21 стр./ч? ( С м. № 293 (2) , [ 14 ] ) .
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Ну, как твой новый парень?
- Что-то вошло не так...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по педагогике "Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru