Реферат: Соотношение интуитивного и логического в математике - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Соотношение интуитивного и логического в математике

Банк рефератов / Философия

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 477 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Вопрос о взаимос вязи математики и философии вперв ые б ыл задан довольно давно . Аристотель , Бэкон , Леонардо да Винчи - многие великие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся результатов . Это не удивительно : ведь о снову взаимодействия философии с какой-либо из наук составляет пот ребность использования аппарата философии для проведения исследований в данной области ; математика же, несомненно , более всего среди точных н аук поддается философскому анализу (в силу своей абстрактности ). Наряду с этим прогрессирующая математизация нау ки оказывает активное воздействие на философское мышление. Если пытаться некоторым образом класси фицировать различные науки , то неизбежно приходишь к выводу , что и математика , и философия занимают некоторое особое место в этой классифи кации . Необход имо замечаешь , что между ними много общего . Рассмотрим эт от вопрос поподробнее. Во времена античности и средневековья вообще нельзя было отделить математику и философию . Примером тому являются Аристотель и Декарт, которым математики обязаны новыми взгля дами на логику и на геометрию . В то же время эти ученые создали собственны е философские учения , тесно связанные , лучше даже сказать , неотделимые от их исследований в области математики . И обратно , их математические результаты базируются на их философских в зглядах и в то же время следуют из них . Такое положение продолжалось вплоть до XVII веков . Даже фундаментальный труд Исаака Ньютона , полож ивший начало всему дифференциально-интегральному исчислению и мех анике , был озаглавлен "Математические начала натурал ьной фи лософии ". Надо сказать , что и в дальнейшем все настоящие великие математи ки являлись и мыслителями-философами . К их числу можно отнести , кроме вышеперечисленных, Лобачевского , Римана , Брауэра , Гильберта , Пу анкаре , Геделя. Затем философия выделяется в отдельную область человеческого знания , пр ичем очень специфическую область . Если различные естественные науки имеют дело с материальными объектами , изучая их с некоторой , вполн е определенной точки зрения (биология - с живыми организмами , физика - с про странством , временем, телами и т . д .), общественные и социа льные науки имеют дело с такими понятиями , как государство , революция и эволюция и т . д ., гуманитарные науки - со словом , текстом , музыкой , псих ология имеет дело с мозгом и поведением человека и т. д ., то философия делает предметом своего анализа обобщения частных наук . Если учесть , что каждая частная наука как раз и характеризуетс я тем , что обобщает и классифицирует знания , то философия имеет дело с б олее высоким , вторичным уровнем обобщения. То же самое можно сказать и п ро математику . Ни один математический объект не встречается в реальной жизни . При этом если для некоторых объектов , как то точка , пряма я , натуральное число , мы можем увидеть и осознать их грубую модель в природе , то для подавляющего большинства математических понятий таких моделей нет и быть не может. Они возникли как чисто умозрительные п остроения и обобщения уже построенных объектов . Парадокс состоит в том , что при всем своем отрыве от действительности они помогают познавать п рирод у . Надо заметить , что это происходит не напрямую , а с помощью привлечения еще какой-либо науки из области естествознания , а последнее время и общественные науки стали серьезно использовать математические методы в своих исследованиях . Таким образом , матема тика тоже имеет дело со вторичным уровнем обобщения. Особняком ко всем наукам стоит логика . Все науки , в том числе философия и математика ) подчиняются формально-логическим законам (иначе они тер яют право называться наукой ), в то же время логика - наука об н аиболее общих законах мышления , поэтому ее можно рассматривать как часть философии или близкую к ней науку . Не случайно Гедель рассматривал философию пр ежде всего с точки зрения "науки логики ".\footnote Философия . Под ред . В.Н Лаври ненко . М .,1996. С .25 В то же время лог ика рассматривается как часть математики , так как логические законы могут быть отображены в формализованные языки (логические исчисления ) и исследованы с помощью математических методов. Именно в математике обращается наибольшее внимание на логическую строгость доказательств , и именно в св язи с проблемой обоснования математики были разработаны неклассические логики . Их создание и развитие, в свою очередь , сильно повлияло на развитие математики , в частности, общей алгебры , топологии , тео рии множеств , теории рекурсивных функций и многих других областей математики . Ни с одной другой наукой логика не находится в таком тесном взаимопроникно вении , как с математикой и философией . Знаменательно , что законы ло гики заложил Аристотель - филосо ф и математик. Кроме того , и математика , и философия характеризуются одной важной особенностью , которой в такой мере н е обладает ни одна другая наука . Эта особенность напрямую вытекает из того , что обе науки имеют дело со вторичным уровнем абстракции. Ни математик , ни философ не имеют возможности воспользоваться напрямую таким действенным методом познания , как практический эксперимент и ли опыт . Ни математику , ни философу не нужно дорогостоящее оборудование или статистические данные . Они довольствую тся умозрительными экспериме нтами и данными других наук. Для работы им необходимо иметь толь ко ручку и лист бумаги (или другое средство для записи мыслей и резуль татов ). Таким образом , если чувственное познание отходит на второй план , воз растает роль ло гического познания. Как ни парадоксально , при этом в творческом процессе возрастает роль интуиции , озарения , которую зачастую про тивопоставляют логике и не всегда признают в качестве спосо ба достижения новых результатов , представляя движение мысли как ряд непрерывных строго обоснованных логических звеньев цепи си ллогизмов . Именно роли и месту интуиции и логики в математике и математическом творчестве посвящен данный реферат . \ newpage \ begin center \ bf История вопроса \ footnote Основные факты , исп ользуемые в этой части, взяты из книг [3] и [4] \ end center Сейчас в математике , как ни в од ной другой науке , особое внимание обращается на строгость и логическую последовательность доказательств. При этом те рассуждения , которые при менялись еще срав нительно недавно и рассматривались как строгие , на нынешнем этапе уже не являются доказательствами и требуют дополнительного обоснования . Например, допускали , что непрерывная функция не может изменить знак , не проходя через нуль . Теперь это доказывают. Первым особое внимание логической строй ности рассуждений уделил Аристотель . Именно его понятие силлогизм а и группа выделенных им законов (тождества , противоречия и исклю ченного третьего ), по которым должно строится любое до казательство , надолго опред елили развитие логики . Группа работ Аристотеля была объединена под названием "Органон ", то есть инструмент для пол учения истинного знания . В Новое время вопросами теории познания (в т о время еще не отделившейся от логики ) занимались Фрэнсис Бэкон и Рен е Декарт . В частности , был поставлен вопрос о формировании исходных понятий (определений и аксиом ). У Бэкона основным инструментом познания служила индукция , а у Декарта --- дедукция . Декарт , как истинный геометр , призывал допускать в качестве истинных только очевидные утверждения. Таким образом , аксиомы постигаются интуи тивно , а все остальные знания выводятся из них с помощью дедукции без пропуска логических звеньев . В "Рассуждении о методе " Декарт предлагает следующие правила познания : 1) допускат ь в качестве истины тол ько такие утверждения , которые ясно и отчетливо представлены уму и не мог ут вызывать никаких сомнений ; 2) расчленять сложные за дачи на более простые и доступные для решения ; 3) последовательно переходить от известного и доказанно го к неизвестному и нед оказанному ; 4) не допускать пропуска звеньев в цепи логических доказательств. Родоначальником современной математической логики явился Готфрид Лейбниц, развивший аристотелевскую силлогистику и учение Декарта о врожденных идеях. Именно он выдвинул идею создания алфавита мыслей , или универсального языка . Если создать систе му знаков для высказываний, подобную системе цифр в арифметике , и создать некую формальную комбинаторику , которая может определять истинность или ложность нек оторой мысли или утверждения , то можно полу чить общий метод и с помощью формально логических законов получать в се возможные истины или определять случаи , когда высказывание неизбежно ока жется ложным. Противоположных взглядов на математику придерживал ся философ Иммануил Кант . Если , по Лейбницу , все математические науки можно воплотить в некотором универсальном логическом исчислении , то Кант утверждал , что вс е математические положения могут доказываться только путем обращения к наглядному представлен ию , которое дается только априорными формами чувств енности. Но в прошлом веке положение начало резко меняться. Начало этому положила геометрия Лобачев ского , в которой только один постулат (аксиома ) отличался от традиционной евклидовой геометрии . Эта геометрия уже не соответствовала привычным представлениям людей , но в то же время была логически безупречна и непротиворечива. Дальнейшие работа немецкого математика Римана , создавшего систему различных геометрий , наиболее известна и з которых сферическа я геометрия Римана , итальянского математика Бельтрами показали , что геометрии можно строить на различных системах аксиом и получать при этом непротиворечивые теории . Матема тика перешла на новый уровень абстракции. Что же послужило толчком для подобног о события ? Основу классической геометрии составляли пять постулатов Евкл ида , из которых первые четыре казались очевидными , и только пятый бы л достаточно сложным и казался более похожим на теорему . На протяжени и почти двух тысячелетий многие математики пыта лись вывести его из других аксиом , но это не удавалось. Тем не менее , на геометрию смотрели как на идеал научного знания , и вопрос о единственности геометрии был не просто математическим вопросом , а имел мировоззренческий , философ ский характер . У Канта, на пример , идея единственности геометрии была органичной частью его философской системы . Иначе говоря , в то время математики рассуждали так : геометрия Евклида является великолепн о выстроенным зданием, правда , в нем есть некоторая неясность , связанная с 5 пост улатом, однако , в конце концов , все выясниться и неясность будет устранена. Однако в начале XIX века вдруг наступил кризис в отношении пятого постулата , и сразу трое человек (Н . Лобачевский , Ф . Гаусс и Я . Больяи ) решают этот кризис методом построения ново й геометрии . Почему же именно в этот момент произошел перелом ? Вряд ли можно предполагать , что одновременно появились три гения , которых не было на протяжении многих веков. Дело в том , что проблема пятого пос тулата предстала перед математиками в новом све те , уже не как до садная неясность , а как проблема, порождающая ряд фундаментальных вопросов : как вообще должна быть построена математика ? Может ли она быт ь построена на действительно прочных основаниях ? Является ли она до стоверным знанием ? Является ли она логически точным знанием ? Эти вопросы возникли не в связи с постановкой проблемы пятого постулата , а были определены общим состоянием математики в тот исторический момент. Вплоть до XVII века математика находилась как бы в зачаточном состоянии . Наиболее разработана была геометрия , известны начала алгебры и тригонометрии . Но с XVII века математика начала бурно развиваться , и к началу XIX века она представляла собой довольно сложную и развитую систему знаний . Для нужд механики было создано и развивалось диф ференциальное и интегральное исчисл ение ; значительное развитие получила алгебра , появилось понятие функци и ; появилась теория вероятностей и теория рядов . Математическо е знание выросло не только количественно , но и качественно . С этим развитием появилось мн ожество новых понятий , которые математики не м огли истолковать . Например, алгебра несла с собой понятие числа . Положительные , отрицательные и мнимые величины были в равной степени ее объектами , но что это такое, никто толком не знал до XIX века . Не было от вета даже на более общий вопрос --- что такое число ? Что такое бесконечно малая величина, которая уже широко использовалась в ди фференциальном и интегральном исчислениях ? Как можно обосновать дифферен цирование , интегрирование, суммирование рядов , то есть о пераци и , требующие предельного перехода ? Что представляет собой вероятность ? В итоге именно в XIX веке сложилась к ризисная ситуация в математике. Но трудности истолкований новых понятий еще можно было понять : то, что неясно сегодня , станет ясно завтра , к огда соответствующая область получит должное развитие , когда там бу дет сосредоточено достаточное количество интеллектуальных усилий . Иначе дело обстояло с проблемой пятого постулата --- она стояла уже около двух тысячелетий , и многие люди ей занимались , но решения не было . Может быть , что эта проблема устанавливала некий эталон для истолкован ия тогдашнего состояния математики и уяснения того , что есть математика вообще . Возможно, математика не является точным знанием . В свете этих вопросов проблема пятого постулата перестала быть частн ой задачей , а стала фундаментальной проблемой и была решена путем построения новых геометрий . Параллельно на основе нового взгляда на метематику развивались и другие области. Алгебра логики возникла в работах а нгличанина Джо на Буля , который предложил рассматривать логику как алге бру , где переменные принимают только два значения - 0 и 1, и применять к высказываниям методы алгебры. Буль полагал , что есть некие общие принципы мышления , что дает основания для аналогий между л огикой и алгеброй . Эта идея блестяще подтвердилась, кроме того , булевозначные алгебры , как оказалось , являются моделями классической теории множеств. На этом подходе ныне базируется вся электронно-вычислительная техника. Дальнейшее развитие этот подход по лучил в работах математика Готлоба Фреге , который осуществил дедуктивно-аксиоматич еское построение логики высказываний и логики предикатов . Он построил систему формализованной арифметики , тем самым пытаясь обосновать идею сводимост и значительной част и математики к чистой логике . Это направление получило название логицизм , который был развит в работе "Принципы математики " англичанами Бертраном Расселом и Альфредом Уайтхедом . В этом же напра влении работали гениальные математики Пеано (им создана зна менитая сист ема аксиом Пеано для определения базового понятия математики - натурального числа и принципа математической индукции ) и Гильберт , стр ого аксиоматически изложивший евклидову геометрию в своем труде "О снования геометрии "(1889). Надо сказать , что она была достаточно далека от той геометрии , которую до сих пор преподают в школах. Однако с углублением формализации матем атики начали натыкаться на различные парадоксы , связанные с определениями абс трактных понятий , из которых наиболее известен парадокс Рассела в теории множеств . Возникла ситуация , похожая на ситуацию с евклид овой геометрией . Опять еще более остро стали философские вопросы обоснов ания математики и возможности ее построения на чисто логико-аксиоматич еской основе. В 1931 году австрийский математик Курт Гедель доказ ал неполноту достаточно богатых формальных систем , что и означало , чт о лейбницева программа полной формализации мышления невозможна . Иначе говоря , существуют предложения , которые формулируются в тер минах данной т еории , но недоказуемы и неопровержимы в рамках этой теории . Эти исследования наряду с исследованиями поляка Тарского и голландца Чёрча определили современное состояние математической логики . На сегодняшний день ситуация с классической логикой повтори л а ситуацию с евклидовой геометрией . Созданы и развиваются интуиц ионистская и конструктивная логики , основанные на отбрасывании или замене классических аристотелевских законов логики . Ведутся исследования в области многозначных , релевантных и модальных логик. Итак , можно сказать , что в ходе р азвития математики все большее внимание уделялось строгости логики . Надо сказат ь , что это не является какой-то особенностью именно математики . Для при мера можно взять юриспруденцию и сравнить законы , которы е использовал ись в средние века , в Новое время и сегодняшний свод законов . Можно увидеть , что при сохранении основных идей (записанных еще в Библии --- не убий , не укради и т.д .) увеличивается детальность и логическая последовательность законов . Те м более это видно в естественных наук ах . Был момент , когда казалось , что все в математике можно свести к формальным правилам вычислений . Иначе говоря , можно было бы сконструировать некую машину , которая могла бы генерировать все теоремы и их доказ а тельства , а нужда в математике-человеке с его интуицией бы отпала . Только в 30-х годах XX века вновь появилось понимание , что машина не может заменить человека в этой области знаний (и , по-видимому , н и в какой другой ). \ begin center \ bf О природе математического умозаключения \ end center Сама возможность математического познания при рассмотрении ее с точки зрения логицизма кажется неразрешимым п ротиворечием . Если все предложения в математике выведены одно из другого по правилам формальной ло гики , то верно ли , что вся математика сводитс я к бесконечному повторению и тавтологии ? Ведь силлогизм Аристотеля не может научить ничему новому , и если все теоремы вытекают из закона тождества , то все должно к сводится к нему и к нескольким аксиомам , лежащим в основе математики . Правда , надо предположить или проверить , что эта система аксиом не сводится к закону противоречия. Получается , что ни одна теорема не могла бы дать никаких новых знаний, если бы в ее доказательство не входила бы новая ак сиома . Ведь сам силлогизм ничего не добавляет к тем данным , которые даются в посылке. Иначе говоря , вся математика сводилась бы к нескольким аксиомам и скрытому способу говорить , что А ест ь А . Кроме того , если математика имеет дедуктивный характер , то как объяснить тот факт , что 90 процентов математических статей связаны с обобщением уже известных результатов . Чтобы объяснить смысл этих противоречий , надо признать, что математическое умозаключение само п о себе имеет род творческой силы , и этим отл ичается от си ллогизма. Рассмотрим один из важнейших , если н е самый важный , тип математических умозаключений , причем сделаем это на простейшем примере , на примере арифметике . Выражение "дважды два равно четырем " используется , когда говорят о чем-то оче нь простом , элементарном . Это вроде бы ясно , и доказывать тут нечего . Первым пытался доказать это Лейбниц . Для этого необходимо ввести некие понятия (по сути - аксиомы ), а именно понятие числа 1 и операции прибавления к неко торому числу х числа 1. Далее определяем числа 2, 3 и 4 следующими равенст вами 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1. Теперь определим операцию прибавления 2 следующим образом х +2=(х +1)+1. Заметим , что пока ничего содержательного не появилось , но при этом в определении новой операции неявно исполь зуется аксиома ассоциативности сложения . Иначе говоря , либо вводится эта аксиома , и тогда новая операция определяется однозначно, либо сначала определяется новая операци я прибавления 2, и из нее получается ассоциативность сложения как свойство (а не как аксиома ). Далее имеем цепочку равенств 2+2=(2+1)+1=3+1=4. Откуд а и получим , что 2+2=4. Таким образом , на основе формально введенных понятий мы доказали формальное (!) равенство . Вроде бы эти рассуждения может проделать и машина , с этим никто не спорит. Но если спросить любого математика об этом доказательстве , то он скажет, что это рассуждение доказательством не является , это просто проверка. Грань между доказательством и проверкой очень тонкая , и если все математики ее чувствуют интуитивно , то да леко не все смогут ее точно определить . На самом деле проверка - это некое бесплодное рассуждение, где фактически мы просто проверили закон тождества , перевели предпосылки на другой язык . Истинное доказательство должно быть плодотворным , и вывод должен заключать в себе некое новое знание , чем посылка , которое берется не из новых введенных аксиом , а из самой творческой силы умозаключения. Рассмотрим другое рассуждение , которое , по-видимому , лежит в самой основе математики . Пусть у нас есть некотор ое высказывание , зависящее от n, например , что существует n-угольник , у которого 3 острых угла . Ряд силлогизмов будет выглядеть следующим о бразом Это верно для n=3. Если это верно для n=3, то это верн о для n=4. Следовательно , это верно для n=4. Есл и это верно для n=4, то это верно для n=5. Следовательно , это верно для n=5. и т.д. Таким образом , мы получаем бесконечный ряд силлогизмов . Если мы хотим проверить наше утверждение для 10-угольни ка , то нам необходимо пройти все предыдущие этапы , и о босновать 7 с иллогизмов . Для 100-угольника потребуется немного больше времени --- 97 си ллогизмов . Тем не менее это время конечное . А вот если потребует ся узнать , верна ли теорема для многоугольника с миллиардом углов , то жизни одного человека уже не хва тит. Однако , как бы далеко мы не шли , мы никогда не дойдем до применимой к о всем числам теоремы , которая и есть предмет науки математика . Чтобы ее достигнуть , необходимо пройти бесконечный ряд силлогизмов , то есть надо перескочить бездну , сделать шаг , на который не способна формальная логика, и , следовательно , на этот шаг неспосо бна машина. Орудием , которое позволяет переходить от конечного к бесконечному , является математическая индукция , которая избавляет нас от р яда долгих и однообразных проверо к, позволяя получить общую теорему . Надо сказать , что метод математической индукции для натуральных , а в послед нее время и для трансфинитных чисел, включен в систему аксиом Пеано . Если задуматься , то это очень странный факт - ведь МЕТОД мышления включе н в систему аксиом , он не может быть выведен из других аксиом - понятий пр и помощи логических законов . Причем еще в начале нашего века множество математиков пыталось создать систему аксиом без индукции (кстати , это же пытался сделать и сам Пеано , и вели кий Гильберт ), но так или иначе , индукция возникала в скрытой , неявной форме. Вторая странность заключается вот в чем . Если аксиома - это то , что нам очевидно , то надо сказать , что метод математической индукции имеет дело с бесконечностью , перед к ото рой бессилен любой человеческий опыт . Это правило не доступно для аналитического или опытного доказательства или проверки . Но тем не менее , этот метод достаточно очевиден для мало-мальски образованного и подготовленного ума. Доказательством тому являет ся тот факт , что в последние годы он входит в школьную программу для 10-11 классов , а наиболее подготовленные ученики осваивают его в 7-8 классе , причем инту итивно они начинают его применять примерно с 6 класса , и поэт ому его логическую формулировку во спринимают достаточно легко . Здесь , по-видимому , сказывается только утверждение могущества человеческого разума , который способен постичь общность бесконечного повторения одного и того же акта , даже в различных его вариациях . В силу этого могущест ва ра зум обладает непосредственной интуицией бесконечного и интуицией обоб щения. Еще один аспект проблемы индукции в математике связан с процессом конструирования . Имея простые понятия , м атематики строят более сложные совокупности или конструкции . Затем пу тем анализа этих сочетаний они возвращаются к первоначальным объектам , раскрывая соотношение этих элементов и выводя отсюда отношение самих совокупностей . В этом процессе конструирования , которому всегда совершенно справедливо придавалось большое знач ение , некоторые хотели видеть необходимое и достаточное условие прогресса математики и вообще точных наук . Необходимость очевидна . А вот достаточность ? Ведь для того , чтобы п роцесс конструирования был полезен, необходимо , чтобы конструкция несла в себе что-то новое по сравнению с составляющими ее элементами . Например , д ля чего изучать многоугольники , с которыми несомненно , дело иметь гораздо труднее , вместо того , чтобы ограничиться изучением только треугольников ? Ведь любой многоугольник может быть составлен из треугольни ков. Делается это для того , чтобы получат ь и доказывать общие свойства многоугольников с любым числом сторон (например , оценка периметра через сумму диагоналей ), которые можно применя ть затем в любом частном случае. Если же расс матривать многоугольник только как фигуру , состоящую из элементарных треугольников , то увидеть э ти свойства удается только ценой значительных умственных усилий или инту иции , или не удается вообще. Отсюда получается , что конструирование с тановится плодот ворным тогда, когда его можно сравнивать с аналог ичными конструкциями того же родового понятия и когда есть возмо жность доказывать некоторые родовые свойства , не прибегая к проверке эти х свойств для каждой конструкции. Для этого опять необходимо подня ться от частного к общему , а это делае тся с помощью математической индукции. \ begin center \ bf Два типа математического мышления \ end center Если ознакомится с работами различных математиков , то легко заметить , что существуют два сильно отличающих ся типа математического мышления . Один из них можно условно называют геометрическ им или европейским тип , а другой - алгебраическим или азиатским (ны не его также называют аналитическим стилем мышления ). Конечно , подобные названия сильно условны , и появи лись , по-видимому , в связи с тем , что геометрия как школа и наука развилась в Европе (Пифагор , Евклид , Декарт , Лобачевский ), а начало алгебре , уравнениям и т.д . был о положено в трудах арабов Аль-Хорезми , Омара Хайяма и других . С амо слово алгебра происхо дит от арабского слова аль-джебр. Аналитики придерживаются в своих работа х логической стройности , двигаясь вперед шаг за шагом . Обычно они не пропускают без доказательства ни одной мелочи , аккуратно обосновывая каждый шаг . При этом общая идея доказа тельства может потонуть за нагромождением разного рода деталей. Чертежи или иного рода наглядные пр едставления используются в работах аналитиков чрезвычайно редко. Совершенно иная ситуация у математиков с геометрическим стилем мышления . Их работ ы изо билуют рисунками , если это вообще возможно . Если нет , то по крайней мере они на словах пытаются объяснить то , что представляется их внутреннему взору . При этом общие идеи доказательств обычно выписываются до строгой формулировки теорем , а иногда и вмес то нее . Они не затрудняют себя доказательством мелких деталей. Надо сказать , что условное деление н а геометров и аналитиков вовсе не означает , что они занимаются именно той областью математики , которая вынесена в название соответствующего ти па мышления . Это просто условное название того типа мышления , который присущ данным людям. Причем , видимо , эта склонность дается от рождения , а не формируется в результате воспитания или обучения , хотя в ходе этих процессов можно развить или подкорректировать эти склонности . Чтобы проиллюстрировать все вышесказанное примерами , обратимся к свидетельству французского математика Анри Пуанкаре , записанной в его книге "Ценность науки ". Я позволю себе процитировать довольно бол ьшой кусок , потому что он дает яркие п римеры двух типов математ иков , с которыми Пуанкаре был знаком лично. "Так , Мере хочет доказать , что двучле нное уравнение всегда имеет корень, или , говоря просто , что всегда можно разделить угол на части . Если есть истина , которую мы могли бы узнать не посредственной интуицией , то она здесь . Кто станет сомневаться , что уг ол всегда можно разделить на какое угодно количество равных частей , и ч тобы доказать это , ему нужно несколько страниц . Напротив , посмотрите на Клейна : он изучает один из самых абстра ктных вопросов теории функций ; требуется узнать , всегда ли существует на данной поверхности Римана функция , допускающая данные сингулярности . Что делает знаменитый нем ецкий геометр ? Он заменяет поверхность Римана металлической поверхност ью , электропрово дность которой меняется по известным законам , и сое диняет две точки ее с двумя полюсами элемента . Ток , говорит он , непременно пройдет , и распределение этого тока по поверхности определит функцию , особым и свойствами которой будут именно те , которые пред усмотрены условием . Без сомнения , Клейн знает , что он дал здесь лишь наглядный очерк ; и все-так и он не задумался опубликовать его ; вероятно , он надеялся найти здесь ес ли не строгое доказательство , то по крайней мере как бы нравственную ув еренность . Логи к с ужасом отбросил бы подобную концепцию или --- вернее --- ему и не нужно было бы ее отбрасывать , потому что она никогда не могла бы возникнуть в его уме ." Аналогичная , даже еще более характерная ситуация сложилась в общей теории функций , особенно ф ункций комплексно го переменного . Основа этого направления заложена в работах двух немецких математиков , Вейерштрасса и Римана . Они жили примерно в од но время , и получили примерно одинаковое образования . Математическая одар енность каждого из них не вызы вает никаких сомнений . Работали они примерно в одной области , но насколько разительно их подходы отличаю тся друг от друга ! Если Вейерштрасс сводил все функции к ан алитическим рядам и рассматривал далее операции и свойства числовых и функциональных рядов , то есть как будто сводил всю теорию функций к алгебре или даже арифметике , то Риман прибегал к помощи геометрии и особенно топологии . Особенно интересно затронуть этот вопрос в с вете того , что сама я лично была свидетелем очень яркого примера подобно й классификации умов , и именно в этой области . Во время моего о бучения в университете теорию функций комплексного переменного нам одновременно читали два преподавателя : Леонид Эммануилович Медников и Александ р Борисович Воронецкий. Естественно , они ра зделили темы , и каждый читал эту теорию с той точки зрения , которая ему ближе . Если Ворон ецкий имеет ярко выраженные черты аналитического склада мышления , то Медни ков , наоборот , ярко выраженный геометр и , естественно , читал топологиче скую часть , связанн ую с римановыми многообразиями . Воронецкий же читал часть , связанную с оценками , неравенствами , разложениями в ряды и т.д . В чем же еще было отличие ? Всем моим одногруппникам нравил ись лекции Воронецкого , потому что он не пропускал ни одной де тали , все у него было логически прави льно построено , при этом записано на бума ге , весь текст он полностью переносил на доску . Отдельно были выделены опр еделения , затем теоремы, доказательства и примеры . Лекции же Медникова , по общему мнению, слушать было еще мо жно , а вот запоминать или записывать - нет . Он не записывал на доске практически ни о дной формулы , а рисовал множество картинок , поясняя общую идею доказательс тва и не вдаваясь в детали . При этом в принципе было невозможно пон ять , где доказательство тео ремы , а где пример . На мой взгляд , он как бы моделировал творческую работу математика, процесс его размышлений над теоремами . Причем надо заметить и неоднозначную оценку студентами методов того и другого . Если мои одногруппники считали , что лекции Медн икова не понятны и поэтому скучны, то для меня , наоборот , лекции Воронец кого казались загруженными ненужными деталями и поэтому скучными и сложн ыми для понимания , а идеи доказательства , выраженные в картинках , я помню до сих пор , и до сих пор именно кр асота интуитивных и дей делает для меня эти рассуждения простыми . Иначе говоря , эти два отли чия присущи не только великим умам , но и встречаются повсюду . Если аналитики не способны представлять в пространстве (а у мы , будучи студентами , подозревали, что Медников может представить чет ырехмерное пространство ), то геометры не способны к длительным в ычислениям и скоро в них путаются (именно сейчас , в ходе работы над диссертацией , у меня возникают серьезные проблемы со строгой записью доказательств . Надо л и говорить, что я считаю свой стиль мышления более геометрическим , чем аналитическим ). Оба рода умов одинаково необходимы для развития науки , оба делают те открытия и шаги , на которые неспособны другие. \ begin center \ bf Роль интуиции в математике \ end center Но , раз уж мы говорим , что матема тические рассуждения ученых античности и нового времени грешат отсутствием логич еской строгости , там не доказаны казавшиеся очевидными факты , то означает ли это , что все эти ученые были по своему складу ум а геометрами ? Конечно , это не так. Иначе пришлось бы заключить , что в древности природа создавала только геометров , зато в 19 веке и на руб еже 20 вдруг перевыполнила план по аналитикам . Например , если взять Евклида , про которого неизвестно ничего , кро ме одного сочинения , в котором и излагается система его аксиом , то можно с уверенностью закл ючить , что этот человек --- аналитик . Только логик мог в античны е времена вообще принять необходимость выделения в геометрии неи збыточной системы непротиворечив ых аксиом . С большой вероятностью можно утверждать , что сами аксиомы , принимаемые интуитивно , бы ли высказаны другими учеными, тем более другими людьми доказаны т еоремы геометрии . Но тем не менее эту геометрию мы называем евклидовой , потому что именно Е вклид взял на себя труд обобщить и систематизировать разрозненные знания. На сегодняшний день изменились не у мы , а идеи . Сейчас от математиков, руководствуются они интуицией или логик ой , требуется некий необходимый уровень строгости , и эта необходимос ть признана всеми . Какова же причина этого негласного соглашения ? Она лежит на поверхности . Мало того , что интуиция , при всей ее творческой сил е , не может дать нам строгости . Это еще полбеды . К сожалению , она не может дать достоверности знания, получен ного с ее помощью. Например , все мы имеем интуитивное п онятие о непрерывной функции как о функции , г рафик которой представляется непрерывной линией . В то же время строгое определение непрерывности , на каком языке (топологическом , языке после довательн остей, $\ve-\ dl$-окрестностей ) его не формулируй , не может не содержать менее 5 предикатов , а нормальный , не занимавшийс я математикой человек может понять сходу фразу , содержащую не бо лее двух вложенных предикатов . Зачем тогда вообще нужно это строгое логическое определение ? Но с помощью т ого интуитивного представления , которое мы и меем , представляя непрерывную кривую , мы получаем такое "доказательств о ": любая непрерывная функция имеет производную , так как любая кри вая имеет касательную . В то же врем я известно , что далеко не всегда непре рывность функции обеспечивает ее гладкость. Интуиция нас "обманывает " ровно в сил у того , что в математике мы имеем дело не с реальными объектами , а с идеальными . Мы не можем представить себе кривую , не имеющую толщины . В лучшем случае мы представляем не канат , а очень тонкую линию , но т ем не менее предельного перехода чувственная интуиция совершить не может . Это необходимо остается на долю логиков. Таким образом , необходима логическая стр огость , а она нево зможна в рассуждениях , если е е нет в определениях . Таким образом, усилия логиков были направлены на с ами начальные определения . Так, интуитивное понятие непрерывности сложилось в сложную систему неравенств. Понятие вещественного числа строго было опреде лено только в 19 веке Дедекиндом , причем пришлось столкнуться с такими сложностями , что подобное определение изучают только ПРИ ПОЛУЧЕНИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ , и то только технические специальности . Очевидное интуит ивное понятие натурального числа тоже формализовано только в 19 веке , и тоже с большими трудностями. Естественно возникает вопрос : а закончил ась ли эта эволюция строгости ? Ведь не из лени и не из-за о тсутствия внимательности предыдущие поколения математиков не добивались требуемой нын ешни м временем строгости. Кстати , физики до сих пор оперируют в своих рассуждениях уровнем строгости такого сорта , что вызывают ужас у математиков . Результаты экспериментов экстраполируются некоторой фо рмулой , и если результаты последующих экспериментов хорошо ложат ся в эту формулу , то она признается верной . Кроме того , их не интересуют такие тонкие случаи, как поведение решений на границах и других множествах меры нуль , так как вероятность попадания туда равна нулю . В то же время математик не сочтет задачу решенной , пока не исследует поведение решения во всех точках , и , как правило , его интересую т именно тонкие случаи. Древние считали свой уровень строгости достаточным . Не потребуют ли наши потомки еще большего господ ства логики ? Конечно , одной л огикой обойтись нельзя , так как она сводит все к чистой тавтологии . Необходима интуиция . А что же вообще может пониматься под словом интуиция ? Рассмотрим следующие утверждения : 1) Две величины , равные третьей , равны между собой ; 2) Пусть теорема рав на для n=1, и верно , что если она верна для n, то верна и для n+1. Тогда теорема верна для всех целых чисел ; 3) Если точка С лежит на прямой ме жду А и В , а точка D лежит между А и С , то точка D лежит между А и В ; 4) Через две точки можно провести тол ь ко одну прямую. Все четыре высказывания являются аксиомам и и должны быть приписаны интуиции . Тем не менее первое есть выражение формального логического закона (если заранее определено понятие равенства ), второе есть выражение метода , называемого математич еской индукцией , третье есть апелляция к геометрической или пространст венной интуиции и к интуитивно понимаемому отношению "между ", а четвертое утверждение есть фактически скрытое определение прямой . Ина че говоря , интуиция не есть обязательно свидетельств о чувств челов ека . Есть несколько видов интуиции --- обращение к чувствам или воо бражению , интуиция обобщения, и , наконец , интуиция чистого числа , поро дившая арифметику и в дальнейшем всю математику . Первые две не могут дать достоверности , но третья являе тся основой математики , иначе говоря , сомневаться в ней означает сомневаться в арифметике . Сейчас в математике окончательно изгнана из доказательств интуиция первого рода , строго формализована интуиция второго рода . Остальное составляю т силлогизмы и интуиц ия чистого числа . На современном уровне р азвития философии можно сказать, что в математике достигнута абсолютная строгость. \begin center \ bf Интуиция ученого \ end center Если мы говорим , что логика дает т олько чистую тавтологию , то в чем же заключ ается процесс творчества ученого ? Этот вопрос особенно интересен для математического творчества , потому что в этом акте человеческий ум заимствует из внешнего мира меньше все го , и орудием , и объектом воздействия является он сам . Поэтому , и зучая процесс мат ематического творчества , можно надеяться проникнуть в саму сущность человеческого ума. На самом деле удивителен тот факт , что некоторые люди совершенно не понимают математических рассуждений . При э том они могут быть талантливы, умны , но не понимать матема тику . На самом деле , ведь если математика есть цепь силлогизмов , построенных по общим нормальным законам логики, которые понятны каждому нормальному челов еку , и основанных на некоторых принципах , называемых аксиомами , которые об щи для всех и никто не собир ается их отрицать , то почему большое количество людей не понимает эти построения ? Понятно , что не каждый способен на творчество , понятно также , что не каждый может запомнить однажды услышанное доказательство. Но каким образом такое количество люде й не мог ут понять доказательство в тот момент , когда его излагают ? Э то подтверждает даже тот факт , что математика , преподаваемая в школе и не имеющая самого элементарного уровня строгости , считается одним из н аиболее трудных предметов и усваивается далеко не всеми . Кроме того , как могут возникать ошибки в математических доказательствах ? Ведь это п росто цепь предложений, построенных по очень простым правилам . Но , тем не менее , ошибки допускали даже великие умы , причем быв ало , что ошибки в их доказательствах были найдены через ст олетия после опубликования работ (яркий пример тому - метод множителей Лагранжа ). Ответ на этот вопрос можно дать сл едующий . Если доказательство являет собой длинную цепь силлогизмов , заключение каждого из которых является посылкой следующ его , то вряд ли хоть кто-то совершит ошибку или не поймет такое доказательство . Но настоящее математ ическое доказательство не есть прямая цепочка . Иногда некоторый вывод , полученный в заключении некоторого элементарного силлогизма , используе тся в качестве посылки спустя длительное время , при этом пара ллельно развертывается несколько логических цепей . Когда мы возвращаемся к нашему предложению , мы можем забыть или исказить его смысл . Кроме того , одно и то же рассуждение, применяемое несколько раз , кажется н астолько очевидным , что через некоторое время можно начать применять его без достаточного обоснования , и при этом допустить ошибку . Таким образ ом получается , что способности к математике определяются хорошей памятью и аккуратностью . Но тогда все математики были бы людьми собранными , ни в коем случае не рассеянными, имеющими большие способности к вычисления м , например . Но это не так , и много есть примеров гениальных математико в , которые были страшно рассеянными или не могли без ошибок провести п ростейшие опе рации . Почему же плохая память не мешала им при проведении математических рассуждений ? На самом деле математическое доказательст во не есть нагромождение неких аксиом и силлогизмов , пусть даже и связанных друг с другом (кстати , те люди , которые не понимаю т доказател ьств , отзываются о них как о куче или нагромождении непонятных фактов ). Все выводы в доказательстве расположены в известном порядке , причем порядок здесь более важен , чем сами элементы . Именно об это и гов орят те математики , которые сначала об озревают общий ход решения , не задерживаясь на деталях , затем формулируют теорему и строго ее доказы вают , отдавая дань необходимости соблюдения всех логических законов . Если же человек обладает интуицией такого порядка расположения фактов и с иллогизмов , то , по всей видимости , это и называется математическим дарованием . Память здесь играет не такую важную роль , так ка к в случае интуиции такого рода все силлогизмы без больших усилий зани мают отведенные им места . И в силу этого отпадает необходимость зубрить доказательство , так как достаточно понять его один раз , и п ри желании или необходимости его можно воспроизводить самостоятельно . Понятно , что все люди не могут обладать одновременно и хорошей памятью , и математической интуицией , и достаточным вниманием для концентрирован ия именно на этой области. Таким образом , математическое дарование не может быть всеобщим. Математическое творчество состоит не толь ко в конструировании некоторых объектов , оно со стоит также в том , чтобы выбрать из множества возможных объек тов и комбинаций полезные и плодотворные. Очевидно , что машину , генерирующие некоторы е истины по строгим логическим законам , можно сравнить с той знаменит ой обезьяной с пишущей машинкой, которая бьет по клавишам в случайном порядке . Конечно , она может случ айно напечатать роман Толстого "Война и мир " или какое-то другое литературное произведение , но произойдет это с нуле вой вероятностью . Чтобы появилось подобное литературное произведение , мало п роверять все комбинации , как ученый из "Путешествия Гулливера ", а необходим еще акт творчества . Именно так обстоит дело и с математическим творчеством. Но творить , изобретать не значит уметь выбирать из большого множества вариантов . На самом деле практически в се бесплодные варианты даже не представляются уму изобретат еля , а перед ним возникают только полезные комбинации или комбинации , которые впослед ствии будут отброшены с помощью логического анализа , но они не лишены черт полезных . Именно это и можно назвать математической интуицией. Феномен интуиции чрезвычайно шир ок и не всегда то , что считают интуитивным , действительно заслуживает такого названия . Нередко можно встретить умозаключения , посылки которых н е формулируются в явном виде, и результаты кажутся неожиданными , но они вовсе не интуитивны , как можно предположи ть . Для того , чтобы таких случаев было как можно меньше , в математике добиваются возможно большей , на современном этапе абсолютной строгости . При этом посылки силлогизмов должны быть выписаны явным образом . Слово интуиция применяется также к сенсорно-чувс твенной интуиции , но матема тическая интуиция по своей сути есть интуиция интеллектуальная. И еще одна чрезвычайно важная черта свойственна интуиции --- ее непосредственность . Непосредственным знанием (в отличие от опосредованного ) принято называть такое , которое не опирается на логическое доказательство . Интуиция является непосредственным знанием только в том отношении , что в момен т выдвижения нового положения оно не следует с логической необходимостью из существующего чувственного опыта и теоретических по строений.\ footnote Копнин П.В . "Гносеологические и теоретические основы науки ". С .190 Иначе говоря , интуиция --- это способность постижения истины путем прямо го ее усмотрения без обоснования с помощью доказательства.\ footnote "Ф илософский энциклопедиче ский словарь ", М .,1989. С .221 П риведем примеры . Свои ощущения и размышления излагает Анри П уанкаре в книге "Наука и метод ". "В течении двух недель я старался доказать , что невозможна никакая функция , которая была бы подобна тем , которым я впоследствии да л название фуксовых функций ; в то время я был еще весьма далек от того, что мне было нужно . Каждый день я усаживался за свой рабочий стол, проводил за ним один-два часа , перебира л большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату . Однаж ды вечер ом я выпил , вопреки своему обыкновению , чашку черного кофе ; я не смог заснуть ; идеи возникали во множестве ; мне казалось , ч то я чувствую , как они сталкиваются между собой , пока , наконец , две из них , как бы сцепившись друг с другом , не образовали устойчиво г о соединения . Наутро я установил существование класса функций Фукса , а именно тех , которые получаются из гипергеометрического ряда ; мне оставалось лишь сформулировать результаты , что отняло у меня лишь несколько часов ." Далее он подробно описывает свои да льнейшие размышления над развитием теории фуксовых функций , и каждый новы й шаг характеризуется тем толчком , или озарением , а затем кропотл ивой работой по записи и логическому оформлению результатов. Бертран Рассел отмечал , что иногда его попытки протолкну ть силой воли ход творческой работы оказывались бесплод ными , и он убеждался в необходимости терпеливо ожидать подсознательн ого вызревания идей , что было результатом напряженных размышлений . " Когда я работаю над книгой, --- писал он , --- я вижу ее во сне по чти каждую ночь . Не знаю, возникают ли при этом новые идеи и ли оживляются старые , зачастую я вижу целые страницы и могу во сне проче сть их ."\footnote Цит . по "Интуиция и научное творчество ". Аналитический сборни к ИНИОН . М .,1981. С .17 Примеров тому можно привести много , и , конечно же , не только из области математики . Здесь вспоминается и Эйнштейн , и химик Кекуле , которому приснилась формула бензола , и Менделеев , которому приснилась его таблица. Но все изложенное выше демонстрирует п о крайней мере еще две черты, свойственные интуиции : внезапность и неосо знанность . Решение проблемы в этих примерах приходило всегда неожиданно , случайно , и казалось бы , в неподходящих для творчества условиях , так или иначе непохожих на условия целенаправленного научного поиск а. Интуитивное видение совершается не только случайно , но и без явной осознанности путей и средств , приводящих к данному результату . Причем иногда неосознанным остается и результат , а самой интуиции при таком исходе ее действия уготована лишь учас ть возмо жности , не становящейся действительностью . Человек может вообще не сохранить никаких воспоминаний о моменте озарения . Одно замечательное наблюдение было сделано американским математиком Леонардом Юджином Диксоном . Его мать и ее сестра , которые в школе были соперницами по геометрии , провели долгий и бесплодный вечер над решением какой-то задачи . Ночью матери приснилась эта задача , и она стала решать ее вслух громким и ясным голосом . Ее сестра , услышав это , встала и записала . На следующее утро в ее руках было правильное решение , неизвестное матери Диксона\ footnote Налчаджян А.А . "Некоторые психологические и философские проблемы интуитивного познания (интуиция в процессе научного творчества )". М .,1972. . Аналогичный пример , правда , не прин адлежащий области мат ематики , можно привести и с Владимиром Маяковским . По его словам , у него никак не складывались нужные стро чки , отражающие его чувства и обстановку в Петрограде времен гражданско й войны . Он промучился весь вечер и лег спать . Во сне ему п риснились наконец ну жные строчки , он вскочил и записал их на спичечном коробке , валявшемся на столе . С утра он очень долго не мог вспомнить , от куда они взялись. Таким образом , интуитивной способности чел овека свойственны следующие особенности : 1) неожиданность решения задач и ; 2) неосознанность путей и средств ее р ешения ; 3) непосредственность постижения истины на сущностном уровне объекта. С чем же связана такая быстрота и эффективность интуиции ? Рассмотрим вопрос с психофизиологической точки зрени я . Опыты показали , что три компонента речи --- понятийный , вербализационный и моторный --- локализуются относительно самостоятельно . Оцен ивая эти данные в плане интуиции , А.А.Налчаджян пишет :" Если принять эту схему , то можно заключить , что вполне возможно мышление бессловесное, с отсутствием или слабым моторным сопровождением . А это не что иное , как подсознательное или же осознанное , но образное мышление . Отсюда можно также заключить , что творческое мышление , процесс подсознательной инкубации , по всей вероятности , связано с отно сительно самостоятельной активностью идеационной части локализованных следов памяти . Каким образом конкретно осуществляется образование следов памяти и как достигается физиологически эта относительная самостоятельность регистрации различных компонентов , им ев ших языковое выражение и воспринятых слухом содержаний , нам пока что неизвестно . Вполне возможно , что это осуществляется вовлечени ем одних и тех же нервных клеток в различные многоклеточные узоры ." \footnote Налчаджян А.А . "Некоторые психологические и фи лософские проблемы интуитивного познания (интуиция в процессе научного творчества )". М .,1972. C.149 . Он приводит убедительные доводы в подтверждение того положения , что после прекращения сознатель ного анализа научной проблемы процесс ее решения продолжает ся в подсознательной сфере , что соответствующие электро-физиологические процессы также не прекращаются, а преобразуются , продолжают протекать , но лишь с измененными характеристиками. Поражает внезапность этого озарения , что , по всей видимости, свидетельст вует о длительной бессознат ельной работе . Это проявляется не только в таких ярких случаях , которые приведены выше , но и в житейской, повседневной жизни . Часто , когда раздумывае шь над какой-то задачей и кажется , что ты в тупике и мысль пошла по кругу , то во лей-неволей идеш ь отдыхать или отвлекаешься от задачи ка ким-то другим способом . Через некоторое время садишься за стол , прох одит еще час или около того , и вдруг в голове возникает решение . Можн о подумать , что сознательная работа стала эффективнее от того , что кле тки мозга получили отдых , к ним вернулась сила и свежесть . Но скорее всего от дых был занят подсознательной работой, и именно ее результаты сказались на том , что возникло решение . Иначе говоря , поскольку интуитивная работа мышле ния происходит в подсо знательной сфере , продолжается даже при "отключенности " субъекта от проблемы , то можно сделать вывод , что подобное временное отключение может оказаться полезным. Ж . Адамар , например , советовал после пер вой серьезной работы над проблемой откладывать ее реше ние на некоторо е время и заниматься другими проблемами . Ученый , по его словам , может параллельно работать над несколькими проблемами , время от времени переходя от одной к другой для активизации подсознательных механизмов мышлен ия . Хорошим дополнением к это й рекомендации может быть совет известного венгерского ученого и популяризатора математики , человека , организова вшего систему математических олимпиад для школьников Д . Пойа из его книги " Как решать задачу ": лучше не откладывать в сторону нерешенную за дачу без чувства хотя бы небольшого успеха ; хоть какая-нибудь маленькая деталь должна быть улажена ; нужно уяснить себе какую-нибудь сторону вопроса к моменту , когда мы прекращаем работать над решением. Кроме того , бессознательная работа возможн а или по крайне й мере плодотворна лишь в том случае , если ей предшест вует и за нею следует период сознательной работы . Никогда эти внезапные внушения не происходят иначе, как после некоторого времени волевых у силий , казалось бы , совершенно бесплодных . Но эти усилия стиму лиру ют , запускают машину бессознательного поиска и дают ей направление . Необходи мость второго периода сознательной работы тем более очевидна . Надо пустить в действие результаты вдохновения , привести их в логически стройный порядок, провести доказательства и прежде всег о проверить интуитивные догадки . К сожалению , они не всегда бывают правил ьными и достоверными . Случается , что интуиция обманывает человека. Можно сделать вывод , что к общим ус ловиям формирования интуиции относятся следующие\ footnote Алексеев П.В., Панин А.В . Философия : Учебник для ВУЗ ов --- М .:ТЕИС , 1996. C.242 : 1) основательная профессиональная подготовка человека , хорошее владение материалом , глубокое знание проблемы или задачи ; 2) поисковая ситуация , состояние проблемности ; 3) наличие у субъекта поисковой домин анты на основе непрерывных попыток решить проблему , длительные напряженные ус илия при решению проблемы ; 4) наличие "подсказки ". Под "подсказкой " понимается некий факт внешнего мира , напрямую не связанный с решаемой проблемой , н о наталкиваю щий субъекта на некие ассоциации, которые могут , в свою очередь , определи ть некий бессознательный выбор того или иного решения . Это может быть л юбой предмет . Классический пример "подсказки " --- яблоко , упавшее на голову Ньютону . На мой взгляд, хотя доказать свое утверждение я не могу, наличие подобной "подсказки " вовсе необязат ельно , и оно лишь иногда подталкивает подсознание не к правильному решению , которое уже выбрано на основе каких-либо принципов , о которых пойдет речь в следующей части , а подталкивает только выход этого решения из области подсознательного в область сознательного. Другое дело , если подсказка является с ущественной и исходит из той же области знаний , что и решаемая проблем а . На таких подсказках построен процесс обучения матем атике у тала нтливых педагогов . Ни один из них не рассказывает детям доказательства тех или иных фактов . Они основывают все на некоторых ключевых задачах , которые дети сами решают с помощью умело выстроенных подсказок , которые не ведут к решению задачи на п рямую , а подсказывают некие ассоциации с идеями решения и освобождают ум от шаблонов . К сожалению , в процессе позна ния никто заранее не может составить подобную систему подсказок , так как ее можно составить , только глубоко чувствуя ход и идеи доказательств а . Если в процессе обучения у учеников возникает как бы наведенная , запланированн ая преподавателем интуиция , то в процессе математического творчества она я вляется самопроизвольной. \ begin center \ bf Красота доказательства как критерий его правильности \ end center В процессе бессознательной деятельности з агадочно ускоряется сам ход мышления, наблюдается возможность переработки на бе ссознательном уровне $10^9$ бит информации в секунду , а на сознательном --- только 100 бит.\ footnote Алексеев П.В., Пан ин А.В . Философия : Учебник для ВУЗов --- М .:ТЕИС , 1996. C.242 . Все это является важной предпосылкой д ля развертывания быстрых мыслительных процессов , для оперирования о громной по своему объему информацией в подсознательной сфере . Подсо знание способно пров одить за короткое время огромную работу , которая не под силу сознанию за тот же короткий срок. Иначе говоря , подсознательное "я " играет в математическом творчестве роль первостепенной важности . Но это п одсознательное "я " считают совершенно автоматическим. Между тем мы видели , что математическая работа не есть простая механическая ра бота , в самом математическом умозаключении заложен акт творчества , мате матическую работу нельзя доверить машине . Ведь дело не в том , чтобы перебирать все комбинации, количество которых превышает все мысл имые пределы , а в том , чтобы сделать выбор между этими комбинациями , причем еще до их рассмотрения, дабы освободить себя от труда создават ь все бессмысленный сочетания . Но правила , руководящие таким априорным выбор ом , очень тонког о , почти неуловимого свойства . Они явственно чувств уются , но плохо поддаются формулировке словами . Поэтому невозможно п редставить себе некий механизм , который мог бы отсеивать вар ианты или целые направления априорно , до их построения и проверки. В таком с лучае представляется прав доподобной следующая гипотеза : "я " подсознательное нисколько не ниже , чем "я " сознательное , оно не имеет механического характера , а способно к распознаванию , обладает той самой математической интуицией , о которой говори лось выше . П ричем надо заметить , что зачастую оно справляется лучше , чем "я " сознательное , ему удается то , что в сознательном состоян ии оказывается недоступным . Верно ли , что подсознательное "я " является чем- то высшим , чем "я " сознательное ? По всей видимости , это все -таки не так . Так как подсознание действует эффективнее в плане объема информации , то оно может построить гораздо больше комбинаций , чем человек это дел ает в сознательном состоянии.Тем не менее , это число ограничено . Заметим также , что при проявлении интуи ции внутреннему взору человека предстает одна , и только одна комбинация, которая зачастую оказывается правильной . П олучается , что подсознание проводит выбор два раза --- когда априорн о выбирает те комбинации , которые будут построены , и когда из построенны х комбинаций выбирается та одна, которой и удается переступить порог со знания . Если бы первый выбор был случаен , то с очень маленькой вероятно стью среди произвольных комбинаций возникала бы правильная , гармоничная . Тем более не случаен второй выбор, так как он выбирает уже среди подходящих комбинаций наилучшую , а не произвольную . Но на основе каких принц ипов происходит этот выбор ? По всей видимости , первый выбор обусло влен как раз той предварительной сознательной работы , и именно в этом заключается ее роль . Математик начинает перебирать не произвольные возможные вари анты и пути решения , а совершает перебор именно в том направлении , где он ждет найти правильное решение. Выбор этого направления обусловлен опытом предыдущих решений . Если в этом направлении не находится необход имое решение , то мысль расширяет область поиска , уходит в сторону , но тем не менее имеется некоторый стержень , который позволяет априори отбрас ывать бесплодные комбинации. Таким образом , начальный период сознательн ой работы создает то нап равление , в котором начинает раб оту подсознание . В силу своей большей производительности оно имеет возможность охватить те области , которые сознание не успевает охватить в силу нехватки времени , усталости или других факторов. Но по какому принципу осущес твля ется выбор одной-единственной комбинации среди многих построенных ? Каков критерий прорыва этой версии в сознание или эта версия выбирается слу чайным образом ? Очевидно , нет , так как если бы дело обстояло именно так , то , учитывая примерный объем провере нных комбинаций (а его легко вычислить на основе цифр , характеризующих производительность подсо знания ), и считая , что версии выбираются с одинаковой вероятност ью , мы получим , что интуиция должна обманывать нас с вероятностью , близкой к единице . Тем не мене е , вс е совсем не так , и чем талантливее уч еный , тем больше можно доверять его интуиции , тем реже она обманывает. Второй этап выбора , по всей видимости , подчиняется общему закону человеческого восприятия . Среди всех раздр ажителей наших чувств наше внимание остановится только на самых интенсивных воздействиях , причем чем сильнее раздражитель , тем большую часть внимания он забирает . Недаром при сильном горе человек забывает обо всем , даже о еде . Здесь действует аналогичный механизм , только сигнал воспри нимают не органы слуха , зрения, обоняния и т.д ., а нечто другое , что можно назвать математической интуицией . Именно это может объяснить и тот факт , что ученые часто бывают рассеянными , но в то же врем я в своей области проявляют незаурядную память . Дело в том, что для на их интуицию интеллектуальный раздражитель действует с такой огромной силой , что забирает большую часть внимания, а внешние раздражители оказываются второс тепенными , более слабыми. Каждый математик не раз сталкивался с ситуацией , когда доказате льство некого факта вызывает чувство глубокого эстетического наслаждения , сродни наслаждению от искусства . При этом дру гой человек , понимая и видя то же самое доказательство , не может понять , как оно может вообще вызывать какие-то эмоции . Иначе говоря , он н е может отличить то , что математики называют красивым доказательством , от того , что математики называют техническим доказательством , или доказательств ом "в лоб ", "муторным " или "тупым " доказательством , доказательством , "где надо только работать руками ". Кроме этих , существует еще множество эпитетов . То есть математик способен получать чувство эстет ического наслаждения от самих рассуждений . Понятно , что эта способность , как и способность , например, к музыке и к наслаждению музыкой , н е может относится ко вс ем . Но если музыке радуются те , кто имеет слух (имеются в виду , конечно, музыкальные способности , а не просто о тсутствие глухоты ), то в математике дело обстоит точно так же , и математикой имеют счастье наслаждаться те , кто в какой-нибудь мер е наделен матем атической интуицией. Что же именно кажется прекрасным и изящным в математических предметах и доказательствах ? Это те конструкции , элемен ты которых расположены настолько гармонично , что ум без труда может охватить всю картину и не упустить деталей , причем эта гармония сложена из далеких , казалось бы, друг от друга элементов . Иначе говоря , изящным рассуждением в математике будет считаться то , которое позволяет за сложностью задачи увидеть гармонию различных ее частей . Эта картина не только удовлетворяет эсте тические потребности , но и позволяет легко ее запомнить , так как она как бы сама руководит умом . И в то же время, давая чувство правильно расположенного це лого , она дает предчувствие математического закона . А единственными за служивающими внимания математич ескими фактами служат как раз те , которые могут привести к открытию нового закона . Иногда новый з акон получался вследствие того, что был замечен некоторый КРАСИВЫЙ фак т , а затем математики пытались выяснить , что же скрывается за этим фактом или наблюдением , и примеров тому в математике множество . Таким обр азом , наиболее полезными оказываются как раз те комбинации , кот орые кажутся изящными с математической точки зрения. Теперь представим себе , что подсознание перебирает множество комбинаций , и чем комбинац ия изящней и чем бо лее развито математическое чувство эстетики, тем большее влияние окажет комбинация на внимание человека . Некоторые из вариантов оказываются столь гармоничны ми и прекрасными , что очень сильно воздействовуют на эту специальную восприимчиво сть математика , и это позволит им перешагнуть порог созн ания. Это подтверждается так же и тем фактом , что те интуитивные гипотез ы , которые не выдерживают логической проверки , тем не менее в полной мере обладают гармонией . В этом случае часто говорят :"Жаль , ч то это неверно ." Эта фраза означает не то , что математику жалко потраченно го на проверку неправильной гипотезы времени , а именно то , что если бы это интуитивное утверждение было бы верным , то оно удовлетворяло бы эстетическому чувству этого человека . О тсюда можно получить , что это тонкое чувство математической эстетики и является содержанием математич еской интуиции , и человек, лишенный этого чувства , не имеет возмо жности стать творцом в области математики. \ begin center \ bf Роль логики при проверке интуитивных гипотез \ end center После периода бессознательной работы мозг а обязательно должен следовать период сознательного труда . Чем же это вызвано ? Исследователи отмечают, что интуитивная способность образовалась , по-видимому , в результате длительно го развития живых организмов вследствие необходимости принимать решения при неполной информации о собы тиях , и способность интуитивно познавать можно расценивать как вероятнос тный ответ на вероятностные условия среды . \footnote Алексеев П.В ., Панин А.В . Фи лософия : Учебник для ВУЗов. С . 246 Так как ученому для совершения открытия даны не все посылки и средства , то он осуществляет именно ве роятностный выбор на основе интуиции . Получается , что интуиция носит вероятностный характер , и для человека это означает , что на осно ве интуиции есть возможность получить как истинное знание , так и ошибочное. "Интуиции бывает достаточно для усмотрен ия истины , но ее недостаточно, чтобы убедить в этой истине других и самого себя . Для этого необходимо доказательство ."\ footnote Философский энциклопеди ческий словарь. М .,1989. С .222 А само доказательство должно быть проведено на строгом логическом уровне , и без этого доказат ельства никто не сможет оценить правильность интуитивной гипотезы . Надо за метить , что вдохновение и интуицию сопровождает чувство абсолютной достоверности , и тем труднее заставить себя провести строгое доказател ьство . Это кажется скучным и ненужным , и только воспоминание об обм анах интуиции заставляют проделывать эту работу . Хотя , возможно , я говорю с точки зрения геометрического мышления , потому что на этом этапе наступает та часть , в которой именно аналитики-логики чувствуют себя как рыба в воде и могут довольно продолжительное время тратить на обоснование всех мелочей. Другое замечание . Никогда не б ывает так , чтобы бессознательная работа доставила вполне готовым результат скольк о-нибудь продолжительного вычисления , состоящего только в многократн ом применении простых правил. Казалось бы , если наше подсознание раб отает механически , то уж к такой работе , которую выполнит любая машина , оно должно быть способно . Но сколько ни думай с веч ера о каком-либо интеграле , к утру не получишь его первообразную . Или еще бо лее механическая работа состоит в проверке того , что производная данной первообразной является и нтегральной функцией . Здесь та же ситуация , сколько ни размышляй об этом , достоверного ответа с помощью интуиции не получишь , а если первообразная хоть сколько-нибудь сложна , то не получишь в ообще никакого ответа . Все придется проверять либо вручную , либо с пом ощью специальных программ. Иначе говоря , от интуитивных внушений приходится ждать не ответа , а только исходной точки для подобных вычислений , а сами вычисления приходится проводить во время второго периода соз нательной деятельности . Именно в этот пер иод проверятся интуитивные идеи и делаются из них выводы . Этот процесс происходит на основе современной логики , поэтому он достаточно сложен и требует дисциплины , повышенного внимания , участия воли , а следовательно , может происходить только пр и участии соз нания . Если перерыв в работе требовался для того , чтобы освободить внимание и позволить подсознанию отвлечь на себя ресурсы мо зга , создать некоторую свободу для составления различных комбинаций , то тепер ь вся работа должна направлена на обоснование одной-е динственной комби нации , и все сосредоточено именно на одной точке , а это уже может произо йти только при включенном сознании. В этом периоде математического творчества опять должна превалировать работа аналитическо-логического мышления , и это даже более важ но , чем в первом периоде , где абсолютная строгость не обязательна , и , даже более того , не может быть достигнута. \ begin center \ bf Заключение \ end center Говоря о двух различных типах математи ческого мышления , можно заметить, что первый геометрически й тип можн о назвать также интуитивным типом. Эти математики обладают чувственной интуи цией , которая позволяет им наглядно представлять те объекты , которые получены путем комбинирования других абстрактных объектов . Эта чувственн ая интуиция в сочетании с мат ематической интуицией , дает возможно сть "видеть " математическое пространство , оттого этот тип изначально более тяготел к геометрии. Кроме того , этот тип мышления более полезен при выдвижении гипотез, каких-то общих положений , потому что пр и таком способе м ышления легче подняться над частностями и обозреть о бщее . Иначе говоря, геометрическому типу мышления более свойс твенна индукция . К сожалению, "большое видится на расстоянии ", но пр и этом ускользают детали . Иначе говоря , математики этого типа получают наиб ольшее эстетическоле наслаждение от наглядного доказательства , допускающего какие-то другие интерпретации в других , неожиданных област ях , то есть от гармонии "содержания ". Их более интересует сама идея , чем ее реализация. Второму аналитическому типу более сво йственна интуиция числа , формы, что при работе выражается в чувстве удовлетворенности от стройности и системности изложения решения . Этому типу мышления более свойственна дедукция . Иначе говоря , чувство эстетического наслаждения они получают от заверш енности и полной доказанности утверждений , от гармонии "связи ", то есть следования все м логическим законам и неизбыточности содержания . При этом все не упускаются из виду все мелкие детали , но общая идея может быть упущена , если при ее доказательстве логик задержится на пе рвом или втором шаге , и в дальнейшем сочтет невыполнимой всю идею . На самом деле , этот тип мышления более полезен при проверке и строгом оформлении гипотез и идей , выдвинутых заранее . Он делает то , в чем затрудняется человек геометрическо го стиля мышления . Он способен длительно концентрировать внимание на кропотливой работе , в то время как человек , руководимый интуицией , предпочитает работать на подсоз нательном уровне , и в силу этого не любит концентрировать внимание на монотонных деталях. Надо заметить , что оба стиля одинаково необходимы в математике и присутствовали , по всей видимости , всегда . Победа какого-то стиля оказывалась временной и даже вредной . Математика может развиваться только при условии единства интуитивного и логического, и в каждом математике присутствуют в той или иной мере оба направления . Но именно преобладание одного из направлений эстети чекого чувства делает мышление ученого принадлежащим к какому-то типу . При этом невозможно представить математика , имеющего чисто ге ометрическ ий или аналитический стиль мышления . Ведь даже интуиция может быт ь основана только на логике , и без первого этапа сознательной ЛОГИЧЕСКОЙ деятельности не состоится акт интиуции , в то же время чистый логи к не смог бы ничего творить в силу отсутст вия в его выкладках творчес кой силы , без которой они сводятся к тавтологии . Единство логического и интуити вного --- единственный путь развития математики и любой другой нау ки. \ newpage \ begin center \ bf Список литературы \ end center 1. Алексеев П. В ., Панин А.В . Филосо фия : Учебник для ВУЗов --- М .:ТЕИС, 1996. 2. Налчаджян А.А . Некоторые психологические и философские проблемы интуитивного познания (интуиция в процес се научного творчества ).--- М . : Мысль , 1972 (глава 2: Проблема интуитивного "оз арения " в научном творчестве , с .60--86) 3. Философия / Под ред . проф . В.Н . Лаврине нко .--- М . : "Юристъ ", 1996. 4. Философский словарь / Под ред . И.Т . Фр олова . --- 6-е изд ., перераб . и доп .--- М . : Политиздат , 1991. 5. Философский энциклопедический слов арь / Гл . ред . Л.Ф . Ильичев и др. --- М . : Советская энциклопедия , 1983. 6. Анри Пуанкаре . О науке : Пер с фр анц .--- М . : Наука . Главная редакция физико-математической литературы , 1983. 7. Д . Пойа . Как решать задачу .--- М . : Уч педгиз , 1961. 8. Копнин П.В . Гипотеза и ее роль в познании . --- М . : Знание , 1958. 9. Интуиция и научное творчество . Аналитич еский сборник ИНИОН.--- М ., 1981. 10. Философия и методология науки : Учеб . пособие / Под ред . В.И. Купцова .--- М .: Аспект Пресс , 1996. \ end document
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Хорошо скоординированная сороконожка может одновременно дать 39 пенделей.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по философии "Соотношение интуитивного и логического в математике", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru