* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Вопрос о взаимос вязи математики и философии вперв ые б ыл задан
довольно давно . Аристотель , Бэкон , Леонардо да Винчи - многие
великие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся
результатов . Это не удивительно : ведь о снову взаимодействия философии
с какой-либо из наук составляет пот ребность использования аппарата
философии для проведения исследований в данной области ; математика же,
несомненно , более всего среди точных н аук поддается философскому анализу
(в силу своей абстрактности ). Наряду с этим прогрессирующая математизация
нау ки оказывает активное воздействие на философское мышление.
Если пытаться некоторым образом класси фицировать различные науки , то
неизбежно приходишь к выводу , что и математика , и философия занимают
некоторое особое место в этой классифи кации . Необход имо замечаешь , что
между ними много общего . Рассмотрим эт от вопрос поподробнее.
Во времена античности и средневековья вообще нельзя было отделить
математику и философию . Примером тому являются Аристотель и Декарт,
которым математики обязаны новыми взгля дами на логику и на геометрию . В то
же время эти ученые создали собственны е философские учения , тесно
связанные , лучше даже сказать , неотделимые от их исследований в области
математики . И обратно , их математические результаты базируются на их
философских в зглядах и в то же время следуют из них . Такое положение
продолжалось вплоть до XVII веков . Даже
фундаментальный труд Исаака Ньютона , полож ивший начало всему
дифференциально-интегральному исчислению и мех анике , был озаглавлен
"Математические начала натурал ьной фи лософии ". Надо сказать , что и в
дальнейшем все настоящие великие математи ки являлись и
мыслителями-философами . К их числу можно отнести , кроме вышеперечисленных,
Лобачевского , Римана , Брауэра , Гильберта , Пу анкаре , Геделя.
Затем философия выделяется в
отдельную область человеческого знания , пр ичем очень специфическую
область . Если различные естественные науки имеют дело с материальными
объектами , изучая их с некоторой , вполн е определенной точки зрения
(биология - с живыми организмами , физика - с про странством , временем,
телами и т . д .), общественные и социа льные науки имеют дело с такими
понятиями , как государство , революция и эволюция и т . д ., гуманитарные
науки - со словом , текстом , музыкой , псих ология имеет
дело с мозгом и поведением человека и т. д ., то философия делает предметом
своего анализа обобщения частных наук . Если учесть , что каждая
частная наука как раз и характеризуетс я тем , что обобщает и классифицирует
знания , то философия имеет дело с б олее высоким , вторичным уровнем
обобщения.
То же самое можно сказать и п ро математику . Ни один
математический объект не встречается в реальной жизни . При этом если для
некоторых объектов , как то точка , пряма я , натуральное число , мы можем
увидеть и осознать их грубую модель в природе , то для подавляющего
большинства математических понятий таких моделей нет и быть не может.
Они возникли как чисто умозрительные п остроения и обобщения уже
построенных объектов . Парадокс состоит в том , что при всем своем отрыве от
действительности они помогают познавать п рирод у . Надо заметить , что это
происходит не напрямую , а с помощью привлечения еще какой-либо науки из
области естествознания , а последнее время и общественные науки стали
серьезно использовать математические методы в своих исследованиях . Таким
образом , матема тика тоже имеет дело со вторичным уровнем обобщения.
Особняком ко всем наукам стоит логика . Все науки , в том числе философия и
математика ) подчиняются
формально-логическим законам (иначе они тер яют право называться наукой ), в
то же время логика - наука об н аиболее общих законах мышления , поэтому ее
можно рассматривать как часть философии или близкую к ней науку . Не
случайно Гедель рассматривал философию пр ежде всего с точки зрения "науки
логики ".\footnote Философия . Под ред . В.Н Лаври ненко . М .,1996. С .25 В то же время лог ика рассматривается как часть математики , так как
логические законы могут быть отображены в формализованные языки
(логические исчисления ) и исследованы с помощью математических методов.
Именно в математике обращается наибольшее внимание на логическую
строгость доказательств , и именно в св язи с проблемой обоснования
математики были разработаны неклассические логики . Их создание и развитие,
в свою очередь , сильно повлияло на развитие математики , в частности,
общей алгебры , топологии , тео рии множеств , теории рекурсивных функций и
многих других областей математики . Ни с одной другой наукой логика не
находится в таком тесном взаимопроникно вении , как с математикой и
философией . Знаменательно , что законы ло гики заложил Аристотель -
филосо ф и математик.
Кроме того , и математика , и философия характеризуются одной важной
особенностью , которой в такой мере н е обладает ни одна другая
наука . Эта особенность напрямую вытекает из того , что обе науки имеют
дело со вторичным уровнем абстракции. Ни математик , ни философ не имеют
возможности воспользоваться напрямую таким действенным методом
познания , как практический эксперимент и ли опыт . Ни математику , ни философу
не нужно дорогостоящее оборудование или статистические данные . Они
довольствую тся умозрительными экспериме нтами и данными других наук.
Для работы им необходимо иметь толь ко ручку и лист бумаги (или другое
средство для записи мыслей и резуль татов ). Таким образом , если чувственное
познание отходит на второй план , воз растает роль ло гического познания.
Как ни парадоксально , при этом в творческом процессе возрастает роль
интуиции , озарения , которую зачастую про тивопоставляют логике и
не всегда признают в качестве спосо ба достижения новых
результатов , представляя движение мысли как ряд непрерывных строго
обоснованных логических звеньев цепи си ллогизмов . Именно роли и месту
интуиции и логики в математике и математическом творчестве посвящен данный
реферат .
\ newpage
\ begin center
\ bf
История вопроса \ footnote Основные факты , исп ользуемые в этой части,
взяты из книг [3] и [4]
\ end center
Сейчас в математике , как ни в од ной другой науке , особое внимание
обращается на строгость и логическую последовательность доказательств.
При этом те рассуждения , которые при менялись еще срав нительно недавно и
рассматривались как строгие , на нынешнем этапе уже не являются
доказательствами и требуют дополнительного обоснования . Например,
допускали , что непрерывная функция не может изменить знак , не проходя
через нуль . Теперь это доказывают.
Первым особое внимание логической строй ности рассуждений уделил
Аристотель . Именно его понятие силлогизм а и группа выделенных им
законов (тождества , противоречия и исклю ченного третьего ),
по которым должно строится любое до казательство , надолго опред елили
развитие логики . Группа работ Аристотеля была объединена под названием
"Органон ", то есть инструмент для пол учения истинного знания . В Новое
время вопросами теории познания (в т о время еще не отделившейся от логики )
занимались Фрэнсис Бэкон и Рен е Декарт . В частности , был поставлен вопрос о
формировании исходных понятий (определений и аксиом ). У Бэкона основным
инструментом познания служила индукция , а у Декарта --- дедукция . Декарт , как
истинный геометр , призывал допускать в качестве истинных только очевидные
утверждения.
Таким образом , аксиомы постигаются интуи тивно , а все остальные знания
выводятся из них с помощью дедукции без пропуска логических звеньев . В
"Рассуждении о методе " Декарт предлагает следующие правила познания :
1) допускат ь в качестве истины тол ько такие утверждения , которые ясно и
отчетливо представлены уму и не мог ут вызывать
никаких сомнений ; 2) расчленять сложные за дачи на более простые и
доступные для решения ; 3) последовательно переходить от известного и
доказанно го к неизвестному и нед оказанному ; 4) не допускать пропуска
звеньев в цепи логических доказательств.
Родоначальником современной математической логики явился Готфрид Лейбниц,
развивший аристотелевскую силлогистику и учение Декарта о врожденных
идеях. Именно он выдвинул идею создания алфавита мыслей , или
универсального языка . Если создать систе му знаков для высказываний,
подобную системе цифр в арифметике , и создать некую формальную
комбинаторику , которая может определять истинность или ложность нек оторой
мысли или утверждения , то можно полу чить общий метод и с помощью
формально логических законов получать в се возможные истины или определять
случаи , когда высказывание неизбежно ока жется ложным.
Противоположных взглядов на математику
придерживал ся философ Иммануил Кант . Если , по Лейбницу , все
математические науки можно воплотить в некотором универсальном логическом
исчислении , то Кант утверждал , что вс е математические положения могут
доказываться только путем обращения к наглядному представлен ию , которое
дается только априорными формами чувств енности.
Но в прошлом веке положение начало резко меняться.
Начало этому положила геометрия Лобачев ского , в которой
только один постулат (аксиома ) отличался от традиционной евклидовой
геометрии . Эта геометрия уже не соответствовала привычным представлениям
людей , но в то же время была логически безупречна и непротиворечива.
Дальнейшие работа немецкого математика Римана , создавшего систему
различных геометрий , наиболее известна и з которых сферическа я геометрия
Римана , итальянского математика Бельтрами показали , что
геометрии можно строить на различных системах аксиом и получать
при этом непротиворечивые теории . Матема тика перешла на новый уровень
абстракции.
Что же послужило толчком для подобног о события ? Основу классической
геометрии составляли пять постулатов Евкл ида , из которых первые четыре
казались очевидными , и только пятый бы л достаточно сложным и казался
более похожим на теорему . На протяжени и почти двух тысячелетий многие
математики пыта лись вывести его из других аксиом , но это не удавалось.
Тем не менее , на геометрию смотрели как на идеал научного знания , и
вопрос о единственности геометрии был не просто математическим
вопросом , а имел мировоззренческий , философ ский характер . У Канта,
на пример , идея единственности геометрии была органичной частью его
философской системы . Иначе говоря , в то время математики рассуждали
так : геометрия Евклида является великолепн о выстроенным зданием,
правда , в нем есть некоторая неясность , связанная с 5 пост улатом,
однако , в конце концов , все выясниться и неясность будет устранена.
Однако в начале XIX века вдруг наступил кризис в отношении пятого
постулата , и сразу трое человек (Н . Лобачевский , Ф . Гаусс и Я . Больяи )
решают этот кризис методом построения ново й геометрии . Почему же именно
в этот момент произошел перелом ? Вряд ли можно предполагать , что
одновременно появились три гения , которых не было на протяжении
многих веков.
Дело в том , что проблема пятого пос тулата предстала перед математиками
в новом све те , уже не как до садная неясность , а как проблема,
порождающая ряд фундаментальных вопросов : как вообще должна быть
построена математика ? Может ли она быт ь построена на действительно
прочных основаниях ? Является ли она до стоверным знанием ? Является ли
она логически точным знанием ? Эти вопросы возникли не в связи с
постановкой проблемы пятого постулата , а были определены общим
состоянием математики в тот исторический момент.
Вплоть до XVII века математика находилась как бы в зачаточном
состоянии . Наиболее разработана была геометрия , известны начала алгебры
и тригонометрии . Но с XVII века математика начала бурно развиваться , и
к началу XIX века она представляла собой довольно сложную и развитую
систему знаний . Для нужд механики было создано и развивалось
диф ференциальное и интегральное исчисл ение ; значительное развитие
получила алгебра , появилось понятие функци и ; появилась теория
вероятностей и теория рядов . Математическо е знание выросло не только
количественно , но и качественно . С этим развитием появилось мн ожество
новых понятий , которые математики не м огли истолковать . Например,
алгебра несла с собой понятие числа . Положительные , отрицательные и
мнимые величины были в равной степени ее объектами , но что это такое,
никто толком не знал до XIX века . Не было от вета даже на более общий
вопрос --- что такое число ? Что такое бесконечно малая величина,
которая уже широко использовалась в ди фференциальном и интегральном
исчислениях ? Как можно обосновать дифферен цирование , интегрирование,
суммирование рядов , то есть о пераци и , требующие предельного перехода ?
Что представляет собой вероятность ?
В итоге именно в XIX веке сложилась к ризисная ситуация в математике.
Но трудности истолкований новых понятий еще можно было понять : то,
что неясно сегодня , станет ясно завтра , к огда соответствующая область
получит должное развитие , когда там бу дет сосредоточено достаточное
количество интеллектуальных усилий . Иначе дело обстояло с проблемой
пятого постулата --- она стояла уже около двух тысячелетий , и многие
люди ей занимались , но решения не было . Может быть , что эта проблема
устанавливала некий эталон для истолкован ия тогдашнего состояния
математики и уяснения того , что есть математика вообще . Возможно,
математика не является точным знанием . В свете этих вопросов проблема
пятого постулата перестала быть частн ой задачей , а стала
фундаментальной проблемой и была решена путем построения новых
геометрий . Параллельно на основе нового взгляда на метематику
развивались и другие области.
Алгебра логики возникла в работах а нгличанина Джо на Буля , который
предложил рассматривать логику как алге бру , где переменные принимают
только два значения - 0 и 1, и применять к высказываниям методы алгебры.
Буль полагал , что есть некие общие принципы мышления , что дает основания
для аналогий между л огикой и алгеброй . Эта идея блестяще подтвердилась,
кроме того , булевозначные алгебры , как оказалось , являются моделями
классической теории множеств.
На этом подходе ныне базируется вся электронно-вычислительная техника.
Дальнейшее развитие этот подход по лучил в работах математика Готлоба
Фреге , который осуществил дедуктивно-аксиоматич еское построение логики
высказываний и
логики предикатов . Он построил систему формализованной арифметики , тем
самым пытаясь обосновать идею сводимост и значительной част и математики к
чистой логике . Это направление получило название логицизм , который был
развит в работе "Принципы математики " англичанами Бертраном Расселом и
Альфредом Уайтхедом . В этом же напра влении работали гениальные математики
Пеано (им создана зна менитая сист ема аксиом Пеано для определения
базового понятия математики - натурального числа и принципа
математической индукции ) и Гильберт , стр ого аксиоматически изложивший
евклидову геометрию в своем труде "О снования геометрии "(1889). Надо
сказать , что она была достаточно далека от той геометрии , которую до сих
пор преподают в школах.
Однако с углублением формализации матем атики начали натыкаться на различные
парадоксы , связанные с определениями абс трактных понятий , из которых
наиболее известен парадокс Рассела в теории множеств . Возникла
ситуация , похожая на ситуацию с евклид овой геометрией . Опять еще более
остро стали философские вопросы обоснов ания математики и возможности
ее построения на чисто логико-аксиоматич еской основе.
В 1931 году
австрийский математик Курт Гедель доказ ал неполноту достаточно богатых
формальных систем , что и означало , чт о лейбницева программа полной
формализации мышления невозможна . Иначе говоря , существуют
предложения , которые формулируются в тер минах данной т еории , но
недоказуемы и неопровержимы в рамках этой теории . Эти исследования
наряду с исследованиями поляка Тарского и голландца Чёрча определили
современное состояние математической логики . На сегодняшний день
ситуация с классической логикой повтори л а ситуацию с евклидовой
геометрией . Созданы и развиваются интуиц ионистская и конструктивная
логики , основанные на отбрасывании или замене классических
аристотелевских законов логики . Ведутся исследования в области
многозначных , релевантных и модальных логик.
Итак , можно сказать , что в ходе р азвития математики все большее внимание
уделялось строгости логики . Надо сказат ь , что это не является какой-то
особенностью именно математики . Для при мера можно взять юриспруденцию и
сравнить законы , которы е использовал ись в средние века , в Новое время и
сегодняшний свод законов . Можно увидеть , что при сохранении основных
идей (записанных еще в Библии --- не убий , не укради и т.д .)
увеличивается детальность и логическая последовательность законов . Те м
более это видно в естественных наук ах . Был момент , когда казалось , что
все в математике можно свести к формальным правилам вычислений . Иначе
говоря , можно было бы сконструировать некую машину , которая могла бы
генерировать все теоремы и их доказ а тельства , а нужда в
математике-человеке с его интуицией бы отпала . Только в 30-х годах XX
века вновь появилось понимание , что машина не может заменить человека в
этой области знаний (и , по-видимому , н и в какой другой ).
\ begin center
\ bf
О природе математического умозаключения
\ end center
Сама возможность математического познания при рассмотрении ее с точки
зрения логицизма кажется неразрешимым п ротиворечием . Если все предложения в
математике выведены одно из другого по правилам формальной ло гики , то
верно ли , что вся математика сводитс я к бесконечному повторению и
тавтологии ? Ведь силлогизм Аристотеля не может научить ничему новому , и
если все теоремы вытекают из закона тождества , то все должно к сводится
к нему и к нескольким аксиомам , лежащим в основе математики . Правда , надо
предположить или проверить , что эта система аксиом не сводится к закону
противоречия.
Получается , что ни одна теорема не могла бы дать никаких новых знаний,
если бы в ее доказательство не входила бы новая ак сиома . Ведь сам
силлогизм ничего не добавляет к тем данным , которые даются в посылке.
Иначе говоря , вся математика сводилась бы к нескольким аксиомам и
скрытому способу говорить , что А ест ь А . Кроме того , если математика
имеет дедуктивный характер , то как объяснить тот факт , что 90
процентов математических статей связаны с обобщением уже известных
результатов . Чтобы объяснить смысл этих противоречий , надо признать,
что математическое умозаключение само п о себе имеет род творческой
силы , и этим отл ичается от си ллогизма.
Рассмотрим один из важнейших , если н е самый важный , тип математических
умозаключений , причем сделаем это на простейшем примере , на примере
арифметике . Выражение "дважды два равно четырем " используется , когда
говорят о чем-то оче нь простом , элементарном . Это вроде бы ясно , и
доказывать тут нечего . Первым пытался доказать это Лейбниц . Для этого
необходимо ввести некие понятия (по сути - аксиомы ), а именно понятие
числа 1 и операции прибавления к неко торому числу х числа 1. Далее
определяем числа 2, 3 и 4 следующими равенст вами
2=1+1, 3=2+1, 4=3+1. Теперь определим операцию прибавления 2 следующим
образом х +2=(х +1)+1. Заметим , что пока ничего содержательного не
появилось , но при этом в определении новой операции неявно
исполь зуется аксиома ассоциативности сложения . Иначе говоря , либо
вводится эта аксиома , и тогда новая операция определяется однозначно,
либо сначала определяется новая операци я прибавления 2, и из нее
получается ассоциативность сложения как свойство (а не как аксиома ).
Далее имеем цепочку равенств 2+2=(2+1)+1=3+1=4. Откуд а и получим , что
2+2=4. Таким образом , на основе формально введенных понятий мы
доказали формальное (!) равенство . Вроде бы эти рассуждения может
проделать и машина , с этим никто не спорит.
Но если спросить любого математика об этом доказательстве , то он скажет,
что это рассуждение доказательством не является , это просто проверка.
Грань между доказательством и проверкой очень тонкая , и если все
математики ее чувствуют интуитивно , то да леко не все смогут ее точно
определить . На самом деле проверка - это некое бесплодное рассуждение,
где фактически мы просто проверили закон тождества , перевели предпосылки
на другой язык . Истинное доказательство должно быть плодотворным , и вывод
должен заключать в себе некое новое знание , чем посылка , которое берется
не из новых введенных аксиом , а из самой творческой силы умозаключения.
Рассмотрим другое рассуждение , которое , по-видимому , лежит в самой основе
математики . Пусть у нас есть некотор ое высказывание , зависящее от n,
например , что существует n-угольник , у которого 3 острых угла . Ряд
силлогизмов будет выглядеть следующим о бразом
Это верно для n=3.
Если это верно для n=3, то это верн о для n=4.
Следовательно , это верно для n=4.
Есл и это верно для n=4, то это верно для n=5.
Следовательно , это верно для n=5. и т.д.
Таким образом , мы получаем бесконечный ряд силлогизмов . Если мы хотим
проверить наше утверждение для 10-угольни ка , то нам необходимо пройти все
предыдущие этапы , и о босновать 7 с иллогизмов . Для 100-угольника
потребуется немного больше времени --- 97 си ллогизмов . Тем не менее это
время конечное . А вот если потребует ся узнать , верна ли теорема для
многоугольника с миллиардом углов , то жизни одного человека уже не хва тит.
Однако , как бы далеко мы не шли , мы никогда не дойдем до применимой к о
всем числам теоремы , которая и есть предмет науки математика . Чтобы ее
достигнуть , необходимо пройти бесконечный ряд силлогизмов , то есть надо
перескочить бездну , сделать шаг , на который не способна формальная логика,
и , следовательно , на этот шаг неспосо бна машина.
Орудием , которое
позволяет переходить от конечного к бесконечному , является математическая
индукция , которая избавляет нас от р яда долгих и однообразных проверо к,
позволяя получить общую теорему . Надо сказать , что метод математической
индукции для натуральных , а в послед нее время и для трансфинитных чисел,
включен в систему аксиом Пеано . Если задуматься , то это очень странный
факт - ведь МЕТОД мышления включе н в систему аксиом , он не может быть
выведен из других аксиом - понятий пр и помощи логических законов . Причем
еще в начале нашего века множество математиков пыталось создать систему
аксиом без индукции (кстати , это же пытался сделать и сам Пеано , и вели кий
Гильберт ), но так или иначе , индукция возникала в скрытой , неявной
форме.
Вторая странность заключается вот в чем . Если аксиома - это то , что
нам очевидно , то надо сказать , что метод математической индукции
имеет дело с бесконечностью , перед к ото рой бессилен любой человеческий
опыт . Это правило не доступно для аналитического или опытного
доказательства или проверки . Но тем не менее , этот метод достаточно
очевиден для мало-мальски образованного и подготовленного ума.
Доказательством тому являет ся тот факт , что в последние годы он входит в
школьную программу для 10-11 классов , а наиболее подготовленные ученики
осваивают его в 7-8 классе , причем инту итивно они начинают его
применять примерно с 6 класса , и поэт ому его логическую формулировку
во спринимают достаточно легко . Здесь , по-видимому , сказывается только
утверждение могущества человеческого разума , который способен постичь
общность бесконечного повторения одного и того же акта , даже в различных
его вариациях . В силу этого могущест ва ра зум обладает непосредственной
интуицией бесконечного и интуицией обоб щения.
Еще один аспект проблемы индукции в математике связан с процессом
конструирования . Имея простые понятия , м атематики строят более сложные
совокупности или конструкции . Затем пу тем анализа этих сочетаний они
возвращаются к первоначальным объектам , раскрывая соотношение этих
элементов и выводя отсюда отношение самих совокупностей . В этом процессе
конструирования , которому всегда совершенно справедливо придавалось большое
знач ение , некоторые хотели видеть необходимое и достаточное условие
прогресса математики и вообще точных наук . Необходимость очевидна . А вот
достаточность ? Ведь для того , чтобы п роцесс конструирования был полезен,
необходимо , чтобы конструкция несла в себе что-то новое по сравнению с
составляющими ее элементами . Например , д ля чего изучать многоугольники , с
которыми несомненно , дело иметь гораздо труднее , вместо того , чтобы
ограничиться изучением только треугольников ? Ведь любой многоугольник
может быть составлен из треугольни ков.
Делается это для того , чтобы получат ь и доказывать общие свойства
многоугольников с любым числом сторон (например , оценка периметра через
сумму диагоналей ), которые можно применя ть затем в любом частном случае.
Если же расс матривать многоугольник только как фигуру , состоящую из
элементарных треугольников , то увидеть э ти свойства удается только ценой
значительных умственных усилий или инту иции , или не удается вообще.
Отсюда получается , что конструирование с тановится плодот ворным тогда,
когда его можно сравнивать с аналог ичными конструкциями того же
родового понятия и когда есть возмо жность доказывать некоторые родовые
свойства , не прибегая к проверке эти х свойств для каждой конструкции.
Для этого опять необходимо подня ться от частного к общему , а это делае тся
с помощью математической индукции.
\ begin center
\ bf
Два типа математического мышления
\ end center
Если ознакомится с работами различных математиков , то легко заметить , что
существуют два сильно отличающих ся типа математического мышления . Один из
них можно условно называют геометрическ им или европейским тип , а
другой - алгебраическим или азиатским (ны не его также называют
аналитическим стилем мышления ). Конечно , подобные названия сильно
условны , и появи лись , по-видимому , в связи с тем , что геометрия как школа
и наука развилась в Европе (Пифагор , Евклид , Декарт , Лобачевский ), а
начало алгебре , уравнениям и т.д . был о положено в трудах арабов
Аль-Хорезми , Омара Хайяма и других . С амо слово алгебра происхо дит от
арабского слова аль-джебр.
Аналитики придерживаются в своих работа х логической стройности , двигаясь
вперед шаг за шагом . Обычно они не пропускают без доказательства ни одной
мелочи , аккуратно обосновывая каждый шаг . При этом общая идея
доказа тельства может потонуть за нагромождением разного рода деталей.
Чертежи или иного рода наглядные пр едставления используются в работах
аналитиков чрезвычайно редко.
Совершенно иная ситуация у математиков с
геометрическим стилем мышления . Их работ ы изо билуют рисунками , если это
вообще возможно . Если нет , то по крайней мере они на словах пытаются
объяснить то , что представляется их внутреннему взору . При этом общие
идеи доказательств обычно выписываются до строгой формулировки теорем , а
иногда и вмес то нее . Они не затрудняют себя доказательством мелких деталей.
Надо сказать , что условное деление н а геометров и аналитиков вовсе не
означает , что они занимаются именно той областью математики , которая
вынесена в название соответствующего ти па мышления . Это просто
условное название того типа мышления , который присущ данным людям.
Причем , видимо , эта склонность дается от рождения , а не формируется в
результате воспитания или обучения , хотя в ходе этих процессов можно
развить или подкорректировать эти склонности . Чтобы проиллюстрировать
все вышесказанное примерами , обратимся к свидетельству французского
математика Анри Пуанкаре , записанной в его книге "Ценность науки ". Я
позволю себе процитировать довольно бол ьшой кусок , потому что он дает
яркие п римеры двух типов математ иков , с которыми Пуанкаре был знаком
лично.
"Так , Мере хочет доказать , что двучле нное уравнение всегда имеет корень,
или , говоря просто , что всегда можно разделить угол на части . Если есть
истина , которую мы могли бы узнать не посредственной интуицией , то она
здесь . Кто станет сомневаться , что уг ол всегда можно разделить на какое
угодно количество равных частей , и ч тобы доказать это , ему нужно несколько
страниц . Напротив , посмотрите на Клейна : он изучает один из самых
абстра ктных вопросов теории функций ; требуется узнать , всегда ли
существует на данной поверхности Римана функция , допускающая данные
сингулярности . Что делает знаменитый нем ецкий геометр ? Он заменяет
поверхность Римана металлической поверхност ью , электропрово дность которой
меняется по известным законам , и сое диняет две точки ее с двумя полюсами
элемента . Ток , говорит он , непременно пройдет , и распределение этого тока
по поверхности определит функцию , особым и свойствами которой будут именно
те , которые пред усмотрены условием . Без сомнения , Клейн знает , что он дал
здесь лишь наглядный очерк ; и все-так и он не задумался опубликовать его ;
вероятно , он надеялся найти здесь ес ли не строгое доказательство , то по
крайней мере как бы нравственную ув еренность . Логи к с ужасом отбросил бы
подобную концепцию или --- вернее --- ему и не нужно было бы ее
отбрасывать , потому что она никогда не могла бы возникнуть в его уме ."
Аналогичная , даже еще более характерная ситуация сложилась в общей теории
функций , особенно ф ункций комплексно го переменного . Основа этого
направления заложена в работах двух немецких математиков , Вейерштрасса
и Римана . Они жили примерно в од но время , и получили примерно
одинаковое образования . Математическая одар енность каждого из них не
вызы вает никаких сомнений . Работали они примерно в одной области , но
насколько разительно их подходы отличаю тся друг от друга ! Если
Вейерштрасс сводил все функции к ан алитическим рядам и рассматривал
далее операции и свойства числовых и функциональных рядов , то есть как
будто сводил всю теорию функций к алгебре или даже арифметике , то
Риман прибегал к помощи геометрии и особенно топологии . Особенно
интересно затронуть этот вопрос в с вете того , что сама я лично была
свидетелем очень яркого примера подобно й классификации умов , и именно
в этой области . Во время моего о бучения в университете теорию функций
комплексного переменного нам одновременно читали два преподавателя :
Леонид Эммануилович Медников и Александ р Борисович Воронецкий.
Естественно , они ра зделили темы , и каждый читал эту теорию с той точки
зрения , которая ему ближе . Если Ворон ецкий имеет ярко выраженные черты
аналитического склада мышления , то Медни ков , наоборот , ярко выраженный
геометр и , естественно , читал топологиче скую часть , связанн ую с
римановыми многообразиями . Воронецкий же читал часть , связанную с
оценками , неравенствами , разложениями в ряды и т.д . В чем же еще было
отличие ? Всем моим одногруппникам нравил ись лекции Воронецкого , потому
что он не пропускал ни одной де тали , все у него было логически прави льно
построено , при этом записано на бума ге , весь текст он полностью переносил
на доску . Отдельно были выделены опр еделения , затем теоремы,
доказательства и примеры . Лекции же Медникова , по общему мнению,
слушать было еще мо жно , а вот запоминать или записывать - нет . Он не
записывал на доске практически ни о дной формулы , а рисовал множество
картинок , поясняя общую идею доказательс тва и не вдаваясь в детали . При
этом в принципе было невозможно пон ять , где доказательство тео ремы , а где
пример . На мой взгляд , он как бы моделировал творческую работу математика,
процесс его размышлений над теоремами . Причем надо заметить и
неоднозначную оценку студентами методов того и другого . Если мои
одногруппники считали , что лекции Медн икова не понятны и поэтому скучны,
то для меня , наоборот , лекции Воронец кого казались загруженными ненужными
деталями и поэтому скучными и сложн ыми для понимания , а идеи
доказательства , выраженные в картинках , я помню до сих пор , и до сих
пор именно кр асота интуитивных и дей делает для меня эти рассуждения
простыми . Иначе говоря , эти два отли чия присущи не только великим
умам , но и встречаются повсюду . Если аналитики не способны
представлять в пространстве (а у мы , будучи студентами , подозревали,
что Медников может представить чет ырехмерное пространство ), то
геометры не способны к длительным в ычислениям и скоро в них путаются
(именно сейчас , в ходе работы над диссертацией , у меня возникают
серьезные проблемы со строгой записью доказательств . Надо л и говорить,
что я считаю свой стиль мышления более геометрическим , чем
аналитическим ). Оба рода умов одинаково необходимы для развития
науки , оба делают те открытия и шаги , на которые неспособны другие.
\ begin center
\ bf
Роль интуиции в математике
\ end center
Но , раз уж мы говорим , что матема тические рассуждения ученых античности и
нового времени грешат отсутствием логич еской строгости , там не
доказаны казавшиеся очевидными факты , то означает ли это , что все эти
ученые были по своему складу ум а геометрами ? Конечно , это не так.
Иначе пришлось бы заключить , что в древности природа создавала только
геометров , зато в 19 веке и на руб еже 20 вдруг перевыполнила план по
аналитикам . Например , если взять Евклида , про которого неизвестно
ничего , кро ме одного сочинения , в котором и излагается система его
аксиом , то можно с уверенностью закл ючить , что этот человек ---
аналитик . Только логик мог в античны е времена вообще принять
необходимость выделения в геометрии неи збыточной системы
непротиворечив ых аксиом . С большой вероятностью можно утверждать , что
сами аксиомы , принимаемые интуитивно , бы ли высказаны другими учеными,
тем более другими людьми доказаны т еоремы геометрии . Но тем не менее
эту геометрию мы называем евклидовой , потому что именно Е вклид взял на
себя труд обобщить и систематизировать разрозненные знания.
На сегодняшний день изменились не у мы , а идеи . Сейчас от математиков,
руководствуются они интуицией или логик ой , требуется некий необходимый
уровень строгости , и эта необходимос ть признана всеми . Какова же причина
этого негласного соглашения ? Она лежит на поверхности . Мало того , что
интуиция , при всей ее творческой сил е , не может дать нам строгости . Это
еще полбеды . К сожалению , она не может дать достоверности знания,
получен ного с ее помощью.
Например , все мы имеем интуитивное п онятие о
непрерывной функции как о функции , г рафик которой представляется
непрерывной линией . В то же время строгое определение непрерывности , на
каком языке (топологическом , языке после довательн остей,
$\ve-\ dl$-окрестностей ) его не формулируй , не может не содержать менее
5 предикатов , а нормальный , не занимавшийс я математикой человек может
понять сходу фразу , содержащую не бо лее двух вложенных предикатов . Зачем
тогда вообще нужно это строгое логическое определение ? Но с помощью т ого
интуитивного представления , которое мы и меем , представляя непрерывную
кривую , мы получаем такое "доказательств о ": любая непрерывная функция
имеет производную , так как любая кри вая имеет касательную . В то же врем я
известно , что далеко не всегда непре рывность функции обеспечивает
ее гладкость.
Интуиция нас "обманывает " ровно в сил у того , что в математике мы имеем
дело не с реальными объектами , а с идеальными . Мы не можем представить
себе кривую , не имеющую толщины . В лучшем случае мы представляем не
канат , а очень тонкую линию , но т ем не менее предельного перехода
чувственная интуиция совершить не может . Это необходимо остается на долю
логиков.
Таким образом , необходима логическая стр огость , а она
нево зможна в рассуждениях , если е е нет в определениях . Таким образом,
усилия логиков были направлены на с ами начальные определения . Так,
интуитивное понятие непрерывности сложилось в сложную систему неравенств.
Понятие вещественного числа строго было опреде лено только в 19 веке
Дедекиндом , причем пришлось столкнуться с такими сложностями , что подобное
определение изучают только ПРИ ПОЛУЧЕНИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ , и то только
технические специальности . Очевидное интуит ивное понятие натурального
числа тоже формализовано только в 19 веке , и тоже с большими
трудностями.
Естественно возникает вопрос : а закончил ась ли эта эволюция строгости ?
Ведь не из лени и не из-за о тсутствия внимательности предыдущие поколения
математиков не добивались требуемой нын ешни м временем строгости.
Кстати , физики до сих пор оперируют в своих рассуждениях уровнем
строгости такого сорта , что вызывают ужас у математиков . Результаты
экспериментов экстраполируются некоторой фо рмулой , и если результаты
последующих экспериментов хорошо ложат ся в эту формулу , то она
признается верной . Кроме того , их не интересуют такие тонкие случаи,
как поведение решений на границах и других множествах меры нуль , так
как вероятность попадания туда равна нулю . В то же время математик не
сочтет задачу решенной , пока не исследует поведение решения во всех
точках , и , как правило , его интересую т именно тонкие случаи.
Древние считали свой уровень строгости достаточным . Не потребуют
ли наши потомки еще большего господ ства логики ? Конечно , одной л огикой
обойтись нельзя , так как она сводит все к чистой тавтологии . Необходима
интуиция . А что же вообще может пониматься под словом интуиция ?
Рассмотрим следующие утверждения :
1) Две величины , равные третьей , равны между собой ;
2) Пусть теорема рав на для n=1, и верно , что если она верна для n, то
верна и для n+1. Тогда теорема верна для всех целых чисел ;
3) Если точка С лежит на прямой ме жду А и В , а точка D лежит между А и
С , то точка D лежит между А и В ;
4) Через две точки можно провести тол ь ко одну прямую.
Все четыре высказывания являются аксиомам и и должны быть приписаны
интуиции . Тем не менее первое есть выражение формального логического
закона (если заранее определено понятие равенства ), второе есть
выражение метода , называемого математич еской индукцией , третье есть
апелляция к геометрической или пространст венной интуиции и к
интуитивно понимаемому отношению "между ", а четвертое утверждение есть
фактически скрытое определение прямой . Ина че говоря , интуиция не есть
обязательно свидетельств о чувств челов ека . Есть несколько видов
интуиции --- обращение к чувствам или воо бражению , интуиция обобщения,
и , наконец , интуиция чистого числа , поро дившая арифметику и в
дальнейшем всю математику . Первые две не могут дать достоверности , но
третья являе тся основой математики , иначе говоря , сомневаться в ней
означает сомневаться в арифметике . Сейчас в математике окончательно
изгнана из доказательств интуиция первого рода , строго формализована
интуиция второго рода . Остальное составляю т силлогизмы и интуиц ия
чистого числа . На современном уровне р азвития философии можно сказать,
что в математике достигнута абсолютная строгость.
\begin center
\ bf
Интуиция ученого
\ end center
Если мы говорим , что логика дает т олько чистую тавтологию , то в чем же
заключ ается процесс творчества ученого ? Этот вопрос особенно интересен для
математического творчества , потому что в этом акте человеческий ум
заимствует из внешнего мира меньше все го , и орудием , и объектом
воздействия является он сам . Поэтому , и зучая процесс мат ематического
творчества , можно надеяться проникнуть в саму сущность человеческого
ума.
На самом деле удивителен тот факт , что некоторые люди совершенно не
понимают математических рассуждений . При э том они могут быть талантливы,
умны , но не понимать матема тику . На самом деле , ведь если математика есть
цепь силлогизмов , построенных по общим нормальным законам логики,
которые понятны каждому нормальному челов еку , и основанных на некоторых
принципах , называемых аксиомами , которые об щи для всех и никто не
собир ается их отрицать , то почему большое количество людей не понимает
эти построения ? Понятно , что не каждый способен на творчество , понятно
также , что не каждый может запомнить однажды услышанное доказательство.
Но каким образом такое количество люде й не мог ут понять доказательство
в тот момент , когда его излагают ? Э то подтверждает даже тот факт , что
математика , преподаваемая в школе и не имеющая самого элементарного
уровня строгости , считается одним из н аиболее трудных предметов и
усваивается далеко не всеми . Кроме того , как могут возникать ошибки в
математических доказательствах ? Ведь это п росто цепь предложений,
построенных по очень простым правилам . Но , тем не менее , ошибки
допускали даже великие умы , причем быв ало , что ошибки в их
доказательствах были найдены через ст олетия после опубликования работ
(яркий пример тому - метод множителей Лагранжа ).
Ответ на этот вопрос можно дать сл едующий . Если доказательство являет
собой длинную цепь силлогизмов , заключение каждого из которых является
посылкой следующ его , то вряд ли хоть кто-то совершит ошибку или не поймет
такое доказательство . Но настоящее математ ическое доказательство не есть
прямая цепочка . Иногда некоторый вывод , полученный в заключении
некоторого элементарного силлогизма , используе тся в качестве посылки
спустя длительное время , при этом пара ллельно развертывается несколько
логических цепей . Когда мы возвращаемся к нашему предложению , мы можем
забыть или исказить его смысл . Кроме того , одно и то же рассуждение,
применяемое несколько раз , кажется н астолько очевидным , что через
некоторое время можно начать применять его без достаточного обоснования , и
при этом допустить ошибку . Таким образ ом получается , что способности к
математике определяются хорошей памятью и аккуратностью . Но тогда все
математики были бы людьми собранными , ни в коем случае не рассеянными,
имеющими большие способности к вычисления м , например . Но это не так , и
много есть примеров гениальных математико в , которые были страшно рассеянными
или не могли без ошибок провести п ростейшие опе рации . Почему же плохая
память не мешала им при проведении математических рассуждений ?
На самом деле математическое доказательст во не есть нагромождение неких
аксиом и силлогизмов , пусть даже и связанных друг с другом (кстати , те
люди , которые не понимаю т доказател ьств , отзываются о них как о куче
или нагромождении непонятных фактов ). Все выводы в доказательстве
расположены в известном порядке , причем порядок здесь более важен , чем
сами элементы . Именно об это и гов орят те математики , которые сначала
об озревают общий ход решения , не задерживаясь на деталях , затем
формулируют теорему и строго ее доказы вают , отдавая дань необходимости
соблюдения всех логических законов . Если же человек обладает интуицией
такого порядка расположения фактов и с иллогизмов , то , по всей
видимости , это и называется математическим дарованием . Память здесь
играет не такую важную роль , так ка к в случае интуиции такого рода
все силлогизмы без больших усилий зани мают отведенные им места . И в
силу этого отпадает необходимость зубрить доказательство , так как
достаточно понять его один раз , и п ри желании или необходимости его
можно воспроизводить самостоятельно . Понятно , что все люди не могут
обладать одновременно и хорошей памятью , и математической интуицией , и
достаточным вниманием для концентрирован ия именно на этой области.
Таким образом , математическое дарование не может быть всеобщим.
Математическое творчество состоит не толь ко в
конструировании некоторых объектов , оно со стоит также в том , чтобы выбрать
из множества возможных объек тов и комбинаций полезные и плодотворные.
Очевидно , что машину , генерирующие некоторы е истины по строгим логическим
законам , можно сравнить с той знаменит ой обезьяной с пишущей машинкой,
которая бьет по клавишам в случайном порядке . Конечно , она может случ айно
напечатать роман Толстого "Война и мир " или какое-то другое литературное
произведение , но произойдет это с нуле вой вероятностью . Чтобы появилось
подобное литературное произведение , мало п роверять все комбинации , как
ученый из "Путешествия Гулливера ", а необходим еще акт творчества . Именно
так обстоит дело и с математическим творчеством.
Но творить , изобретать не значит уметь выбирать из большого множества
вариантов . На самом деле практически в се бесплодные варианты даже не
представляются уму изобретат еля , а перед ним возникают только полезные
комбинации или комбинации , которые впослед ствии будут отброшены с помощью
логического анализа , но они не лишены черт полезных . Именно это и можно
назвать математической интуицией.
Феномен интуиции чрезвычайно шир ок и не всегда то , что считают
интуитивным , действительно заслуживает такого названия . Нередко можно
встретить умозаключения , посылки которых н е формулируются в явном виде,
и результаты кажутся неожиданными , но они вовсе не интуитивны , как
можно предположи ть . Для того , чтобы таких случаев было как можно
меньше , в математике добиваются возможно большей , на современном этапе
абсолютной строгости . При этом посылки силлогизмов должны быть
выписаны явным образом . Слово интуиция применяется также к
сенсорно-чувс твенной интуиции , но матема тическая интуиция по своей
сути есть интуиция интеллектуальная.
И еще одна чрезвычайно важная черта свойственна интуиции --- ее
непосредственность . Непосредственным знанием (в отличие от
опосредованного ) принято называть такое , которое не опирается на
логическое доказательство . Интуиция является непосредственным знанием
только в том отношении , что в момен т выдвижения нового положения оно не
следует с логической необходимостью из существующего чувственного опыта
и теоретических по строений.\ footnote Копнин П.В . "Гносеологические и
теоретические основы науки ". С .190 Иначе говоря , интуиция --- это
способность постижения истины путем прямо го ее усмотрения без
обоснования с помощью доказательства.\ footnote "Ф илософский
энциклопедиче ский словарь ", М .,1989. С .221 П риведем примеры . Свои
ощущения и размышления излагает Анри П уанкаре в книге "Наука и метод ".
"В течении двух недель я старался доказать , что невозможна никакая
функция , которая была бы подобна тем , которым я впоследствии да л
название фуксовых функций ; в то время я был еще весьма далек от того,
что мне было нужно . Каждый день я усаживался за свой рабочий стол,
проводил за ним один-два часа , перебира л большое число комбинаций и не
приходил ни к какому результату . Однаж ды вечер ом я выпил , вопреки
своему обыкновению , чашку черного кофе ; я не смог заснуть ; идеи
возникали во множестве ; мне казалось , ч то я чувствую , как они
сталкиваются между собой , пока , наконец , две из них , как бы сцепившись
друг с другом , не образовали устойчиво г о соединения . Наутро я установил
существование класса функций Фукса , а именно тех , которые получаются из
гипергеометрического ряда ; мне оставалось лишь сформулировать
результаты , что отняло у меня лишь несколько часов ."
Далее он подробно описывает свои да льнейшие размышления над развитием
теории фуксовых функций , и каждый новы й шаг характеризуется тем
толчком , или озарением , а затем кропотл ивой работой по записи и
логическому оформлению результатов.
Бертран Рассел отмечал , что иногда его попытки протолкну ть силой воли
ход творческой работы оказывались бесплод ными , и он убеждался в
необходимости терпеливо ожидать подсознательн ого вызревания идей , что
было результатом напряженных размышлений . " Когда я работаю над книгой,
--- писал он , --- я вижу ее во сне по чти каждую ночь . Не знаю,
возникают ли при этом новые идеи и ли оживляются старые , зачастую я вижу
целые страницы и могу во сне проче сть их ."\footnote Цит . по "Интуиция
и научное творчество ". Аналитический сборни к ИНИОН . М .,1981. С .17
Примеров тому можно привести много , и , конечно же , не только из области
математики . Здесь вспоминается и Эйнштейн , и химик Кекуле , которому
приснилась формула бензола , и Менделеев , которому приснилась его
таблица.
Но все изложенное выше демонстрирует п о крайней мере еще две черты,
свойственные интуиции : внезапность и неосо знанность . Решение проблемы в
этих примерах приходило всегда неожиданно , случайно , и казалось бы , в
неподходящих для творчества условиях , так или иначе непохожих на
условия целенаправленного научного поиск а.
Интуитивное видение совершается не только случайно , но и без явной
осознанности путей и средств , приводящих к данному результату . Причем
иногда неосознанным остается и результат , а самой интуиции при таком
исходе ее действия уготована лишь учас ть возмо жности , не становящейся
действительностью . Человек может вообще не сохранить никаких
воспоминаний о моменте озарения . Одно замечательное наблюдение было
сделано американским математиком Леонардом Юджином Диксоном . Его мать и
ее сестра , которые в школе были соперницами по геометрии , провели
долгий и бесплодный вечер над решением какой-то задачи . Ночью матери
приснилась эта задача , и она стала решать ее вслух громким и ясным
голосом . Ее сестра , услышав это , встала и записала . На следующее утро в
ее руках было правильное решение , неизвестное матери Диксона\ footnote
Налчаджян А.А . "Некоторые психологические и философские проблемы
интуитивного познания (интуиция в процессе научного творчества )".
М .,1972. . Аналогичный пример , правда , не прин адлежащий области
мат ематики , можно привести и с Владимиром Маяковским . По его словам , у
него никак не складывались нужные стро чки , отражающие его чувства и
обстановку в Петрограде времен гражданско й войны . Он промучился весь
вечер и лег спать . Во сне ему п риснились наконец ну жные строчки , он
вскочил и записал их на спичечном коробке , валявшемся на столе . С утра
он очень долго не мог вспомнить , от куда они взялись.
Таким образом , интуитивной способности чел овека свойственны следующие
особенности :
1) неожиданность решения задач и ;
2) неосознанность путей и средств ее р ешения ;
3) непосредственность постижения истины на сущностном уровне объекта.
С чем же связана такая быстрота и эффективность интуиции ? Рассмотрим
вопрос с психофизиологической точки зрени я . Опыты показали , что три
компонента речи --- понятийный , вербализационный и моторный ---
локализуются относительно самостоятельно . Оцен ивая эти данные в плане
интуиции , А.А.Налчаджян пишет :" Если принять эту схему , то можно
заключить , что вполне возможно мышление бессловесное, с отсутствием
или слабым моторным сопровождением . А это не что иное , как
подсознательное или же осознанное , но образное мышление . Отсюда можно
также заключить , что творческое мышление , процесс подсознательной
инкубации , по всей вероятности , связано с отно сительно самостоятельной
активностью идеационной части локализованных следов памяти . Каким
образом конкретно осуществляется образование следов памяти и как
достигается физиологически эта относительная самостоятельность
регистрации различных компонентов , им ев ших языковое выражение и
воспринятых слухом содержаний , нам пока что неизвестно . Вполне
возможно , что это осуществляется вовлечени ем одних и тех же нервных
клеток в различные многоклеточные узоры ." \footnote Налчаджян А.А . "Некоторые психологические и фи лософские проблемы
интуитивного познания (интуиция в процессе научного творчества )".
М .,1972. C.149 . Он приводит убедительные доводы в подтверждение того
положения , что после прекращения сознатель ного анализа научной проблемы
процесс ее решения продолжает ся в подсознательной сфере , что
соответствующие электро-физиологические процессы также не прекращаются,
а преобразуются , продолжают протекать , но лишь с измененными
характеристиками.
Поражает внезапность этого озарения , что , по всей видимости,
свидетельст вует о длительной бессознат ельной работе . Это проявляется не
только в таких ярких случаях , которые приведены выше , но и в житейской,
повседневной жизни . Часто , когда раздумывае шь над какой-то задачей и
кажется , что ты в тупике и мысль пошла по кругу , то во лей-неволей идеш ь
отдыхать или отвлекаешься от задачи ка ким-то другим способом . Через
некоторое время садишься за стол , прох одит еще час или около того , и
вдруг в голове возникает решение . Можн о подумать , что сознательная работа
стала эффективнее от того , что кле тки мозга получили отдых , к ним вернулась
сила и свежесть . Но скорее всего от дых был занят подсознательной работой,
и именно ее результаты сказались на том , что возникло решение . Иначе
говоря , поскольку интуитивная работа мышле ния происходит в подсо знательной
сфере , продолжается даже при "отключенности " субъекта от проблемы , то можно
сделать вывод , что подобное временное отключение может оказаться полезным.
Ж . Адамар , например , советовал после пер вой серьезной работы над проблемой
откладывать ее реше ние на некоторо е время и заниматься другими
проблемами . Ученый , по его словам , может параллельно работать над
несколькими проблемами , время от времени переходя от одной к другой для
активизации подсознательных механизмов мышлен ия . Хорошим дополнением к
это й рекомендации может быть совет известного венгерского ученого и
популяризатора математики , человека , организова вшего систему математических
олимпиад для школьников Д . Пойа из его книги " Как решать задачу ": лучше
не откладывать в сторону нерешенную за дачу без чувства хотя бы небольшого
успеха ; хоть какая-нибудь маленькая деталь должна быть улажена ; нужно
уяснить себе какую-нибудь сторону вопроса к моменту , когда мы
прекращаем работать над решением.
Кроме того , бессознательная работа возможн а или по крайне й мере плодотворна
лишь в том случае , если ей предшест вует и за нею следует период
сознательной работы . Никогда эти внезапные внушения не происходят иначе,
как после некоторого времени волевых у силий , казалось бы , совершенно
бесплодных . Но эти усилия стиму лиру ют , запускают машину бессознательного
поиска и дают ей направление . Необходи мость второго периода
сознательной работы тем более очевидна . Надо пустить в действие
результаты вдохновения , привести их в логически стройный порядок,
провести доказательства и прежде всег о проверить интуитивные догадки . К
сожалению , они не всегда бывают правил ьными и достоверными . Случается , что
интуиция обманывает человека.
Можно сделать вывод , что к общим ус ловиям
формирования интуиции относятся следующие\ footnote Алексеев П.В.,
Панин А.В . Философия : Учебник для ВУЗ ов --- М .:ТЕИС , 1996. C.242 :
1) основательная профессиональная подготовка человека , хорошее владение
материалом , глубокое знание проблемы или задачи ;
2) поисковая ситуация , состояние проблемности ;
3) наличие у субъекта поисковой домин анты на основе непрерывных попыток
решить проблему , длительные напряженные ус илия при решению проблемы ;
4) наличие "подсказки ".
Под "подсказкой " понимается некий факт внешнего мира , напрямую не связанный
с решаемой проблемой , н о наталкиваю щий субъекта на некие ассоциации,
которые могут , в свою очередь , определи ть некий бессознательный выбор того
или иного решения . Это может быть л юбой предмет . Классический пример
"подсказки " --- яблоко , упавшее на голову Ньютону . На мой взгляд,
хотя доказать свое утверждение я не могу,
наличие подобной "подсказки " вовсе необязат ельно , и оно лишь иногда
подталкивает подсознание не к правильному решению , которое уже выбрано на
основе каких-либо принципов , о которых пойдет речь в следующей части , а
подталкивает только выход этого решения из области подсознательного в
область сознательного.
Другое дело , если подсказка является с ущественной и исходит из той же
области знаний , что и решаемая проблем а . На таких подсказках построен
процесс обучения матем атике у тала нтливых педагогов . Ни один из них не
рассказывает детям доказательства тех или иных фактов . Они основывают все
на некоторых ключевых задачах , которые дети сами решают с помощью умело
выстроенных подсказок , которые не ведут к решению задачи на п рямую , а
подсказывают некие ассоциации с идеями решения и освобождают ум от
шаблонов . К сожалению , в процессе позна ния никто заранее не может составить
подобную систему подсказок , так как ее можно составить , только глубоко
чувствуя ход и идеи доказательств а . Если в процессе обучения у учеников
возникает как бы наведенная , запланированн ая преподавателем интуиция , то в
процессе математического творчества она я вляется самопроизвольной.
\ begin center
\ bf
Красота доказательства как критерий его правильности
\ end center
В процессе бессознательной деятельности з агадочно ускоряется
сам ход мышления,
наблюдается возможность переработки на бе ссознательном уровне
$10^9$ бит информации в секунду , а на сознательном --- только 100
бит.\ footnote Алексеев П.В.,
Пан ин А.В . Философия : Учебник для ВУЗов --- М .:ТЕИС , 1996. C.242 .
Все это является важной предпосылкой д ля развертывания быстрых
мыслительных процессов , для оперирования о громной по своему объему
информацией в подсознательной сфере . Подсо знание способно пров одить за
короткое время огромную работу , которая не под силу сознанию за тот же
короткий срок.
Иначе говоря , подсознательное "я " играет в математическом творчестве
роль первостепенной важности . Но это п одсознательное "я " считают
совершенно автоматическим. Между тем мы видели , что математическая
работа не есть простая механическая ра бота , в самом математическом
умозаключении заложен акт творчества , мате матическую работу нельзя
доверить машине . Ведь дело не в том , чтобы перебирать все комбинации,
количество которых превышает все мысл имые пределы , а в том , чтобы
сделать выбор между этими комбинациями , причем еще до их рассмотрения,
дабы освободить себя от труда создават ь все бессмысленный сочетания . Но
правила , руководящие таким априорным выбор ом , очень тонког о , почти
неуловимого свойства . Они явственно чувств уются , но плохо поддаются
формулировке словами . Поэтому невозможно п редставить себе некий
механизм , который мог бы отсеивать вар ианты или целые направления
априорно , до их построения и проверки.
В таком с лучае представляется прав доподобной следующая гипотеза : "я "
подсознательное нисколько не ниже , чем "я " сознательное , оно не имеет
механического характера , а способно к распознаванию , обладает той самой
математической интуицией , о которой говори лось выше . П ричем надо
заметить , что зачастую оно справляется лучше , чем "я " сознательное , ему
удается то , что в сознательном состоян ии оказывается недоступным . Верно
ли , что подсознательное "я " является чем- то высшим , чем "я "
сознательное ?
По всей видимости , это все -таки не так . Так как подсознание действует
эффективнее в плане объема информации , то оно может построить гораздо
больше комбинаций , чем человек это дел ает в сознательном состоянии.Тем
не менее , это число ограничено . Заметим также , что при проявлении интуи ции
внутреннему взору человека предстает одна , и только одна комбинация,
которая зачастую оказывается правильной . П олучается , что подсознание
проводит выбор два раза --- когда априорн о выбирает те комбинации , которые
будут построены , и когда из построенны х комбинаций выбирается та одна,
которой и удается переступить порог со знания . Если бы первый выбор был
случаен , то с очень маленькой вероятно стью среди произвольных комбинаций
возникала бы правильная , гармоничная . Тем более не случаен второй выбор,
так как он выбирает уже среди подходящих комбинаций наилучшую , а не
произвольную . Но на основе каких принц ипов происходит этот выбор ?
По всей видимости , первый выбор обусло влен как раз той предварительной
сознательной работы , и именно в этом заключается ее роль . Математик начинает
перебирать не произвольные возможные вари анты и пути решения , а совершает
перебор именно в том направлении , где он ждет найти правильное решение.
Выбор этого направления обусловлен опытом предыдущих решений . Если в
этом направлении не находится необход имое решение , то мысль расширяет
область поиска , уходит в сторону , но тем не менее имеется некоторый
стержень , который позволяет априори отбрас ывать бесплодные комбинации.
Таким образом , начальный период сознательн ой работы создает то
нап равление , в котором начинает раб оту подсознание . В силу своей большей
производительности оно имеет возможность охватить те области , которые
сознание не успевает охватить в силу нехватки времени , усталости или других
факторов.
Но по какому принципу осущес твля ется выбор одной-единственной
комбинации среди многих построенных ? Каков критерий прорыва этой версии в
сознание или эта версия выбирается слу чайным образом ?
Очевидно , нет , так как если бы дело обстояло именно так , то , учитывая
примерный объем провере нных комбинаций (а его легко вычислить на основе
цифр , характеризующих производительность подсо знания ), и считая , что
версии выбираются с одинаковой вероятност ью , мы получим , что интуиция
должна обманывать нас с вероятностью , близкой к единице . Тем не мене е , вс е
совсем не так , и чем талантливее уч еный , тем больше можно доверять его
интуиции , тем реже она обманывает.
Второй этап выбора , по всей видимости , подчиняется общему закону
человеческого восприятия . Среди всех раздр ажителей наших чувств наше
внимание остановится только на самых интенсивных воздействиях , причем чем
сильнее раздражитель , тем большую часть внимания он забирает . Недаром при
сильном горе человек забывает обо всем , даже о еде . Здесь действует
аналогичный механизм , только сигнал воспри нимают не органы слуха , зрения,
обоняния и т.д ., а нечто другое , что можно назвать математической
интуицией . Именно это может объяснить и тот факт , что ученые часто
бывают рассеянными , но в то же врем я в своей области проявляют незаурядную
память . Дело в том, что для на их интуицию интеллектуальный раздражитель
действует с такой огромной силой , что забирает большую часть внимания,
а внешние раздражители оказываются второс тепенными , более слабыми.
Каждый математик не раз сталкивался с ситуацией , когда доказате льство
некого факта вызывает чувство глубокого эстетического наслаждения , сродни
наслаждению от искусства . При этом дру гой человек , понимая и видя то же
самое доказательство , не может понять , как оно может вообще вызывать
какие-то эмоции . Иначе говоря , он н е может отличить то , что математики
называют красивым доказательством , от того , что математики называют
техническим доказательством , или доказательств ом "в лоб ", "муторным "
или "тупым " доказательством , доказательством , "где надо только работать
руками ". Кроме этих , существует еще множество эпитетов . То есть
математик способен получать чувство эстет ического наслаждения от самих
рассуждений . Понятно , что эта способность , как и способность , например,
к музыке и к наслаждению музыкой , н е может относится ко вс ем . Но если
музыке радуются те , кто имеет слух (имеются в виду , конечно,
музыкальные способности , а не просто о тсутствие глухоты ), то в
математике дело обстоит точно так же , и математикой имеют счастье
наслаждаться те , кто в какой-нибудь мер е наделен матем атической
интуицией.
Что же именно кажется прекрасным и изящным в математических предметах и
доказательствах ? Это те конструкции , элемен ты которых расположены
настолько гармонично , что ум без труда может охватить всю картину и не
упустить деталей , причем эта гармония сложена из далеких , казалось бы,
друг от друга элементов . Иначе говоря , изящным рассуждением в
математике будет считаться то , которое позволяет за сложностью задачи
увидеть гармонию различных ее частей . Эта картина не только
удовлетворяет эсте тические потребности , но и позволяет легко ее
запомнить , так как она как бы сама руководит умом . И в то же время,
давая чувство правильно расположенного це лого , она дает предчувствие
математического закона . А единственными за служивающими внимания
математич ескими фактами служат как раз те , которые могут привести к
открытию нового закона . Иногда новый з акон получался вследствие того,
что был замечен некоторый КРАСИВЫЙ фак т , а затем математики пытались
выяснить , что же скрывается за этим фактом или наблюдением , и примеров
тому в математике множество . Таким обр азом , наиболее полезными
оказываются как раз те комбинации , кот орые кажутся изящными с
математической точки зрения.
Теперь представим себе , что подсознание перебирает множество комбинаций , и
чем комбинац ия изящней и чем бо лее развито математическое чувство эстетики,
тем большее влияние окажет комбинация на внимание человека . Некоторые
из вариантов оказываются столь гармоничны ми и прекрасными , что очень
сильно воздействовуют на эту специальную восприимчиво сть математика , и
это позволит им перешагнуть порог созн ания.
Это подтверждается так же и
тем фактом , что те интуитивные гипотез ы , которые не выдерживают
логической проверки , тем не менее в полной мере обладают гармонией . В
этом случае часто говорят :"Жаль , ч то это неверно ." Эта фраза означает
не то , что математику жалко потраченно го на проверку неправильной
гипотезы времени , а именно то , что если бы это интуитивное утверждение
было бы верным , то оно удовлетворяло бы эстетическому чувству этого
человека . О тсюда можно получить , что это тонкое чувство математической
эстетики и является содержанием математич еской интуиции , и человек,
лишенный этого чувства , не имеет возмо жности стать творцом в области
математики.
\ begin center
\ bf
Роль логики при проверке интуитивных гипотез
\ end center
После периода бессознательной работы мозг а обязательно должен следовать
период сознательного труда . Чем же это вызвано ? Исследователи отмечают,
что интуитивная способность образовалась , по-видимому , в результате
длительно го развития живых организмов вследствие необходимости принимать
решения при неполной информации о собы тиях , и способность интуитивно
познавать можно расценивать как вероятнос тный ответ на вероятностные условия
среды . \footnote Алексеев П.В ., Панин А.В . Фи лософия : Учебник для ВУЗов.
С . 246 Так как ученому для совершения открытия даны не все посылки и
средства , то он осуществляет именно ве роятностный выбор на основе
интуиции . Получается , что интуиция носит вероятностный характер , и для
человека это означает , что на осно ве интуиции есть возможность получить как
истинное знание , так и ошибочное.
"Интуиции бывает достаточно для усмотрен ия истины , но ее недостаточно,
чтобы убедить в этой истине других и самого себя . Для этого необходимо
доказательство ."\ footnote Философский энциклопеди ческий словарь.
М .,1989. С .222 А само доказательство должно быть проведено на строгом
логическом уровне , и без этого доказат ельства никто не сможет оценить
правильность интуитивной гипотезы . Надо за метить , что вдохновение и
интуицию сопровождает чувство абсолютной достоверности , и тем труднее
заставить себя провести строгое доказател ьство . Это кажется скучным и
ненужным , и только воспоминание об обм анах интуиции заставляют
проделывать эту работу . Хотя , возможно , я говорю с точки зрения
геометрического мышления , потому что на этом этапе наступает та часть , в
которой именно аналитики-логики чувствуют себя как рыба в воде и могут
довольно продолжительное время тратить на обоснование всех мелочей.
Другое замечание . Никогда не б ывает так , чтобы бессознательная работа
доставила вполне готовым результат скольк о-нибудь продолжительного
вычисления , состоящего только в многократн ом применении простых правил.
Казалось бы , если наше подсознание раб отает механически , то уж к такой
работе , которую выполнит любая машина , оно должно быть
способно . Но сколько ни думай с веч ера о каком-либо интеграле , к утру не
получишь его первообразную . Или еще бо лее механическая работа состоит в
проверке того , что производная данной первообразной является и нтегральной
функцией . Здесь та же ситуация , сколько ни размышляй об этом , достоверного
ответа с помощью интуиции не получишь , а если первообразная хоть
сколько-нибудь сложна , то не получишь в ообще никакого ответа . Все придется
проверять либо вручную , либо с пом ощью специальных программ.
Иначе говоря , от интуитивных внушений приходится ждать не ответа , а только
исходной точки для подобных вычислений , а сами вычисления приходится
проводить во время второго периода соз нательной деятельности . Именно в
этот пер иод проверятся интуитивные идеи и делаются из них выводы . Этот
процесс происходит на основе современной логики , поэтому он достаточно
сложен и требует дисциплины , повышенного внимания , участия воли , а
следовательно , может происходить только пр и участии соз нания . Если
перерыв в работе требовался для того , чтобы освободить внимание и позволить
подсознанию отвлечь на себя ресурсы мо зга , создать некоторую свободу для
составления различных комбинаций , то тепер ь вся работа должна направлена
на обоснование одной-е динственной комби нации , и все сосредоточено именно на
одной точке , а это уже может произо йти только при включенном сознании.
В этом периоде математического творчества опять должна превалировать
работа аналитическо-логического мышления , и это даже более важ но , чем в
первом периоде , где абсолютная строгость не обязательна , и , даже более
того , не может быть достигнута.
\ begin center
\ bf
Заключение
\ end center
Говоря о двух различных типах математи ческого мышления , можно заметить,
что первый геометрически й тип можн о назвать также интуитивным типом.
Эти математики обладают чувственной интуи цией , которая позволяет им
наглядно представлять те объекты , которые получены путем комбинирования
других абстрактных объектов . Эта чувственн ая интуиция в сочетании с
мат ематической интуицией , дает возможно сть "видеть " математическое
пространство , оттого этот тип изначально более тяготел к геометрии.
Кроме того , этот тип мышления более полезен при выдвижении гипотез,
каких-то общих положений , потому что пр и таком способе м ышления легче
подняться над частностями и обозреть о бщее . Иначе говоря,
геометрическому типу мышления более свойс твенна индукция . К сожалению,
"большое видится на расстоянии ", но пр и этом ускользают детали . Иначе
говоря , математики этого типа получают наиб ольшее эстетическоле
наслаждение от наглядного доказательства , допускающего какие-то другие
интерпретации в других , неожиданных област ях , то есть от гармонии
"содержания ". Их более интересует сама идея , чем ее реализация.
Второму аналитическому типу более сво йственна интуиция числа , формы,
что при работе выражается в чувстве удовлетворенности от стройности и
системности изложения решения . Этому типу мышления более
свойственна дедукция . Иначе говоря , чувство эстетического наслаждения
они получают от заверш енности и полной доказанности утверждений , от
гармонии "связи ", то есть следования все м логическим законам и
неизбыточности содержания . При этом все не упускаются из виду все
мелкие детали , но общая идея может быть упущена , если при ее
доказательстве логик задержится на пе рвом или втором шаге , и в
дальнейшем сочтет невыполнимой всю идею . На самом деле , этот тип
мышления более полезен при проверке и строгом оформлении гипотез и
идей , выдвинутых заранее . Он делает то , в чем затрудняется человек
геометрическо го стиля мышления . Он способен длительно концентрировать
внимание на кропотливой работе , в то время как человек , руководимый
интуицией , предпочитает работать на подсоз нательном уровне , и в силу
этого не любит концентрировать внимание на монотонных деталях.
Надо заметить , что оба стиля одинаково необходимы в математике и
присутствовали , по всей видимости , всегда . Победа какого-то стиля
оказывалась временной и даже вредной . Математика может развиваться
только при условии единства интуитивного и логического, и в каждом
математике присутствуют в той или иной мере оба направления . Но именно
преобладание одного из направлений эстети чекого чувства делает мышление
ученого принадлежащим к какому-то типу . При этом невозможно представить
математика , имеющего чисто ге ометрическ ий или аналитический стиль
мышления . Ведь даже интуиция может быт ь основана только на логике , и
без первого этапа сознательной ЛОГИЧЕСКОЙ деятельности не состоится акт
интиуции , в то же время чистый логи к не смог бы ничего творить в силу
отсутст вия в его выкладках творчес кой силы , без которой они сводятся к
тавтологии . Единство логического и интуити вного --- единственный путь
развития математики и любой другой нау ки.
\ newpage
\ begin center
\ bf
Список литературы
\ end center
1. Алексеев П. В ., Панин А.В . Филосо фия : Учебник для ВУЗов --- М .:ТЕИС,
1996.
2. Налчаджян А.А . Некоторые психологические и философские проблемы
интуитивного познания (интуиция в процес се научного
творчества ).--- М . : Мысль , 1972 (глава 2: Проблема интуитивного
"оз арения " в научном творчестве , с .60--86)
3. Философия / Под ред . проф . В.Н . Лаврине нко .--- М . : "Юристъ ", 1996.
4. Философский словарь / Под ред . И.Т . Фр олова . --- 6-е изд ., перераб . и
доп .--- М . : Политиздат , 1991.
5. Философский энциклопедический слов арь / Гл . ред . Л.Ф . Ильичев и др.
--- М . : Советская энциклопедия , 1983.
6. Анри Пуанкаре . О науке : Пер с фр анц .--- М . : Наука . Главная
редакция физико-математической литературы , 1983.
7. Д . Пойа . Как решать задачу .--- М . : Уч педгиз , 1961.
8. Копнин П.В . Гипотеза и ее роль в познании . --- М . : Знание , 1958.
9. Интуиция и научное творчество . Аналитич еский сборник ИНИОН.---
М ., 1981.
10. Философия и методология науки : Учеб . пособие / Под ред . В.И.
Купцова .--- М .: Аспект Пресс , 1996.
\ end document