Теплопроводность через сферическую оболочку

Реферат Объектом исследов ания является сферическая оболочка заданной толщины с переменным коэф фициентом теплопроводности и с заданными значениями температуры на вн утренней и внешней поверхностях оболочки. Цель проекта — определить распределение температуры вн утри оболочки. В процессе работы выведено дифференциальное уравнение т еплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и п олучено решение этого уравнения в виде функции T ( r ), где T - температура в произвольной точке оболочки а r - расстояние между этой точкой и геометрическим центром оболо чки. Разработана программа TSO , рассчитываю щая функцию T ( r ) и строящая её график для различных задаваемых пользователем пара метров задачи . Результатом исследования является аналитическое решен ие уравнения теплопроводности T ( r ) и графическая иллюстрация этого решения, изоб ражаемая на экране компьютера программой TSO . Полученная в проекте функция T ( r ) и разработанная программа TSO могут быть полезными для разработчиков химич еских и ядерных реакторов, котлов тепловых станций и различных сосудов в области промышленной и бытовой техники. Курсовой проект выполнен в текстовом редакторе Microsoft WORD 7.0. Abstract Object of study is a spherical shell of given thickness with floating factors heatconduct and with given values of temperature on internal and external surfaces of shell. Purpose of project — define a sharing a temperature of inwardly shell. In the process of work is remove differential equation heatconduct is aplicable to given concrete conditions of problem and is received decision of this equation in the manner of function s T(r), where T - a temperature in the free spot of shell, but r - a distance between this spot and geometric shell centre. Designed program TSO, calculate function T(r) and build its graph for different assign by the user of parameters of task. Result of studies is an analytical decision of equation heatconduct T(r) and graphic illustration of this deciding, express on the computer screen by the program TSO. Received in the project a function T(r) and developping program TSO are to be useful for develope rs of chemical and nucleus reactors, caldrons of heat stations and different containers in the field of industrial and home appliances. Course project is executed in the textual editor Microsoft WORD 7.0. Задание Пространство между двумя сферами радиусы которых R 1 и R 2 ( R 1 < R 2 ), температура которых Т 1 и Т 2 , заполнено веществом, теплопроводность кото рого изменяется по закону ( b=const) , где r - радиус от це нтра сфер. Найти закон распре деления температуры в этом веществе Т = Т ( r ). Содержание 1 Введение ....................................................................................................... 6 2 Основные положения теплопроводности................................................... 8 2.1 Температурное поле .................................................................................. 8 2.2 Градиент температуры............................................................................... 10 2.3 Основной закон теплопроводности.......................................................... 11 2.4 Дифференциальное уравнение теплопроводности................................... 13 2.5 Краевые условия........................................................................................ 17 2.6 Теплопроводность через шаровую стенку............................................... 18 3 Заключение................................................................................................... 22 Список используемых источников................................................................. 23 Приложение А Программа TSO , ра ссчитывающая функцию T ( r ).............. 24 1 Введение В учении о теплообмене рассматриваются процессы распрос транения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма многообразны, отличаются бол ьшой сложностью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородн ых явлений. Перенос теплоты может осуществляться тремя способами: те плопроводностью, конвекцией и излучением, или радиацией. Эти формы глубо ко различны по своей природе и характеризуются различными законами. Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися телами или частицами тел с раз личной температурой. Учение о теплопроводности однородных и изотропны х тел опирается на весьма прочный теоретический фундамент. Оно основано на простых количественных законах и располагает хорошо разработанным математическим аппаратом. Теплопроводность представляет собой, соглас но взглядам современной физики, молекулярный процесс передачи теплоты. Известно, что при нагревании тела кинетическая энергия е го молекул возрастает. Частицы более нагретой части тела, сталкиваясь пр и своем беспорядочном движении с соседними частицами, сообщают им часть своей кинетической энергии. Этот процесс постепенно распространяется по всему телу. Перенос теплоты теплопроводностью зависит от физических свойств тела, от его геометрических размерах, а также от разности темпер атур между различными частями тела. При определении переноса теплоты те плопроводностью в реальных телах встречаются известные трудности, кот орые на практике до сих пор удовлетворительно не решены. Эти трудности с остоят в том, что тепловые процессы развиваются в неоднородной среде, св ойства которой зависят от температуры и изменяются по объему; кроме того , трудности возникают с увеличением сложности конфигурации системы. Целью данного курсового проекта является нахождение зак она распределения температуры в веществе, которым заполнено пространс тво между двумя сферами. 2 Основные положения теплопроводности 2.1 Температурное поле Теплопроводность представляет собой процесс распростр анения энергии между частицами тела, находящимися друг с другом в соприк основении и имеющими различные температуры. Рассмотрим нагрев какого-либо однородного и изотропного тела. Изотропным называют тело, обладающее одинаковыми физическими сво йствами по всем направлениям. При нагреве такого тела температура его в различных точках изменяется во времени и теплота распространяется от т очек с более высокой температурой к точкам с более низкой. Из этого следу ет, что в общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твер дом теле сопровождается изменением температуры T как в пространстве, так и во времени: , (2.1) где — координаты точки; t — время. Эта функция определяет температурное поле в рассматрива емом теле. В математической физике температурным полем называют совоку пность значений температуры в данный момент времени для всех точек изуч аемого пространства, в котором протекает процесс. Если температура тела есть функция координат и времени, т о температурное поле называют нестационарным, т.е. зависящим от времени: . (2.2) Такое поле отвечае т неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности. Если температура тела есть функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле тела называют стац ионарным: . (2.3) Уравнения двухмер ного температурного поля для режима стационарного: ; (2.4) нестационарного: . (2.5) На практике встреч аются задачи, когда температура тела является функцией одной координат ы, тогда уравнения одномерного температурного поля для режима стациона рного: ; (2.6) нестационарного: . (2.7) Одномерной, наприм ер, является задача о переносе теплоты в стенке, у которой длину и ширину м ожно считать бесконечно большой по сравнению с толщиной. 2.2 Градиент температуры Если соединить точки тела с одинаковой температурой, то п олучим поверхность равных температур, называемую изотермической. Изот ермические поверхности между собой никогда не пересекаются. Они либо за мыкаются на себя, либо кончаются на границах тела. Рассмотрим две близкие изотермические поверхности с тем пературами T и T + D T (рисунок 2.1). Перемещаясь из какой либо точки А , можно обнаружить, что интенсивность изменения температуры по различным направлениям неодинакова. Если перемещаться по изотермическ ой поверхности, то изменения температуры не обнаружим. Если же перемещат ься вдоль какого-либо направления P , то наб людаем изменение температуры. Наибольшая разность температур на едини цу длины будет в направлении нормали к изотермической поверхности. Пред ел отношения изменения температуры к расстоянию между изотермами по нормали , когда стремится к нул ю, называют градиентом температуры. (2.8) Градиент температ уры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный частной производной от температуры по этому направлению. За положительное направление град иента принимается направление возрастания температур. 2.3 Основной закон теплопроводности Для распространения теплоты в любом теле или пространств е необходимо наличие разности температур в различных точках тела. Это ус ловие относится и к передаче теплоты теплопроводностью, при которой гра диент температуры в различных точках тела не должен быть равен нулю. Связь между количеством теплоты , проходящим за промежуток времени через элементарную площадку dS , расположенную на изотермической поверхности, и градиентом темпе ратуры устанавливается гипотезой Фурье, согласно которой . (2.9) Минус в правой час ти показывает, что в направлении теплового потока температура убывает и grad T является величиной отрицательной. Коэ ффициент пропорциональности называе тся коэффициентом теплопроводности или более кратко - теплопроводност ью. Справедливость гипотезы Фурье подтверждено многочисленными опытны ми данными, поэтому эта гипотеза в настоящее время носит название основн ого уравнения теплопроводности или закона Фурье. Отношение количества теплоты, проходящего через заданну ю поверхность, ко времени называют тепловым потоком. Тепловой поток обоз начают q и выражают в ваттах (Вт): . (2.10) Отношение теплово го потока dq через малый элемент изотермич еской поверхности к площади dS этой поверх ности называют поверхностной плотностью теплового потока (или векторо м плотности теплового потока), обозначают j и выражают в ваттах на квадратный метр (Вт/м 2 ): . (2.11) Вектор плотности т еплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности в ст орону убывания температуры. Векторы j и grad T лежат на одной прямой, но направлены в про тивоположные стороны. Тепловой поток q , прошедший сквозь произвольную поверхность S , наход ят из выражения . (2.12) Количество теплот ы, прошедшее через эту поверхность в течение времени t , определяется интегралом . (2.13) Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо произвол ьную поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле вн утри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и составля ет основную задачу аналитической теории теплопроводности. 2.4 Дифференциальное уравнение теплопроводности Изучение любого физического процесса связано с установл ением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Д ля сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопровод ностью, при установлении зависимостей между величинами удобно восполь зоваться методами математической физики, которая рассматривает протек ание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между велич инами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавлива ется дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранн ого элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становит ся возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс. При выводе дифференциального уравнения теплопроводнос ти принимаются следующие допущения: · вн утренние источники теплоты отсутствуют; · среда, в которой распрос траняется тепло, однородна и изотропна; · используется закон сох ранения энергии, который для данного случая формулируется так: разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в эле ментарный параллелепипед за время dt и выш едшей из него за тоже время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема. Выделим в среде элементарный параллелепипед с ребрами (рисунок 2.2). Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлении осей . Через площадку за время dt , согласно уравнению Фурье, проходит количество теплоты: (2.14) (grad T взят в виде частной производной, т.к. предполагается завис имость температуры не только от x , но и от д ругих координат и времени). Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из вы ражения: , (2.15) где — температура второй грани, а величина определяет изменение темпера туры в направлении z. Последнее уравнение можно представить в другом виде: . (2.16) Итак, приращение в нутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси z равно: . (2.17) Приращение внутре нней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси y выразится аналогичным уравнением: , (2.18) а в направлении ос и x : . (2.19) Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде: . (2.20) С другой стороны, с огласно закону сохранения энергии: , (2.21) где — объем параллелепипеда; — масса параллелепипеда; c — удельная теплоемкость среды; — плотность среды; — изменение температуры в да нной точке среды за время dt . Левые части уравнения (2.20) и (2.21) равны, поэтому: , (2.22) или . (2.23) Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно ; величи ну называют температуропроводн остью и обозначают буквой a . При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид: . (2.24) Уравнение (2.24) назыв ается дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциал ьным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основн ым при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передач и теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пр остранственным изменениям температуры в любой точке поля. Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м 2 /c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температур ы. Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во врем ени для любой точки тела пропорци онально величине a . Поэтому при одинаковы х условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность. Дифференциальное уравнение теплопроводности с источни ком теплоты внутри тела имеет вид: , (2.25) где q V — удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в едини цу времени. Это уравнение записано в декартовых координатах. В други х координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид ур авнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное урав нение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково: , (2.26) где r — радиус-вектор в цилиндрической системе координ ат; — полярный угол. 2.5 Краевые условия Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределен ие температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть извес тны: · ге ометрическая форма и размеры тела, · физические параметры с реды и тела, · граничные условия, хара ктеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимод ействие изучаемого тела с окружающей средой. Все эти частные особенности совместно с дифференциальны м уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводнос ти и называются условиями однозначности или краевыми условиями. Обычно начальные условия распределения температуры зад аются для момента времени t = 0. Граничные условия могут быть заданы тремя способами. Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени. Граничное условие второго рода задается поверхностной п лотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого м омента времени. Граничное условие третьего рода задается температурой с реды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и ок ружающей средой. Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить температурн ое поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию . 2.6 Теплопроводность через шаровую стенку С учётом описанной в разделах 2.1 - 2.5 терминологии задачу дан ной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой пото к направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является вн утренняя сфера радиусом R 1 . Мощность источника P постоянна. Сре да между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность c явл яется функцией одной переменной - расстояния от центра сфер (радиуса) r . По условию задачи . Вследствие этого температура среды тоже является в данно м случае функцией одной переменной - радиуса r : T = T ( r ), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле - стационарное и одномерное, а граничные усло вия являются условиями первого рода: T ( R 1 ) = T 1 , T ( R 2 ) = T 2 . Из одномерности температурного поля следует, что плотнос ть теплового потока j так же, как теплопров одность и температура, являются в данном случае функциями одной перемен ной - радиуса r . Неизвестные функции j ( r ) и T ( r ) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), и ли использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Зако н Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного темпера турного поля имеет вид: . (2.27) В этом уравнении у чтено, что вектор нормали к изотермической поверхности n параллелен радиус-вектору r . Поэтому производная может быть записана как . Определим зависимость плотности теплового потока j от r . Для этого сн ачала вычислим тепловой поток q через сфе ру произвольного радиуса r > R . . (2.28) В частности, тепло вой поток q 1 через внутрен нюю сферу радиусом R 1 и теп ловой поток q 2 через наруж ную сферу радиусом R 2 равн ы (2.29) Все эти три потока создаются одним и тем же источником мощностью P . Поэтому все они равны P и поэтому ра вны между собой. . (2.30) С учётом (2.28) и (2.29) это р авенство можно записать в виде: . (2.31) Учитывая, что , получаем искомую з ависимость плотности теплового потока j о т радиуса r : , (2.32) где C 1 - это константа, определяемая форм улой . (2.33) Физический смысл п олученного результата достаточно ясен: это известный закон обратных кв адратов, характерный для задач со сферической симметрией. Теперь, так как функция j ( r ) известна, можно рассматривать уравнение (2.27) как дифференциальное уравнение относительно функции T ( r ). Решение этого ура внение и даст искомое распределение температур. Подставив в (2.27) выражени е (2.32) и заданную функцию , получим следую щее дифференциальное уравнение: . (2.34) Данное уравнение р ешается методом разделения переменных: . Интегрирование эт ого выражения даёт: Итак, функция T ( r ) имеет вид: . (2.35) Константы C 1 и C 2 можно определить из граничных условий T ( R 1 ) = T 1 , T ( R 2 ) = T 2 . Подстановка этих условий в (2.35) даё т линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными C 1 и C 2 : . (2.36) Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение относительно C 1 : , откуда . (2.37) С учётом этого выр ажение (2.35) можно записать в виде: . (2.38) Теперь первое гран ичное условие T ( R 1 ) = T 1 даёт: , (2.39) откуда следует выр ажение для константы C 2 : . (2.40) Подстановка (2.40) в (2.39) даёт окончательное выражение для искомой функции T ( r ): . (2.41) Зная функцию T ( r ), можно из зак она Фурье определить и оконч ательное выражение для плотности теплового потока j как функции от радиуса r : . (2.42) Интересно отметит ь, что распределение температур не зависит от коэффициента b , но зато плотность потока пропорциональна b . 3 Заключение В результате проделанной работы выведено дифференциаль ное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным усло виям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T ( r ). Разработана прог рамма TSO , рассчитывающая функцию T ( r ) и строящая её г рафик для различных задаваемых пользователем параметров задачи . Листи нг программы приведен в Приложении А. Список используе мых источников Нащокин В.В. Технич еская термодинамика и теплопередача: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., ис пр. и доп. — М: Высш. школа, 1980. — 469 с. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики : М.: Наука, 1969. — 288 стр. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика: Учеб. пособие для студентов втузов. — М.: Наука, 1982. — 432с. Зельдович Б.И., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. — М.: Наука, 1973. — 352с. Приложение А (обязательное) Листинг программы TSO unit Kurs_p; interface uses Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, Spin; type TForm1 = class(TForm) Button1: TButton; Label1: TLabel; Label2: TLabel; Label3: TLabel; Label4: TLabel; Label5: TLabel; Label6: TLabel; Label7: TLabel; Label8: TLabel; Edit1: TEdit; Label9: TLabel; Edit2: TEdit; Label10: TLabel; Edit3: TEdit; Label11: TLabel; Edit4: TEdit; procedure Button1Click(Sender: TObject); procedure FormPaint(Sender: TObject); procedure Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char); private public procedure OsiK (x0,y0:Integer); procedure Postroenie(T1,T2,R1,R2:real); end; var Form1: TForm1; X0,Y0:integer; T1,T2,R1,R2:real; implementation $R *.DFM procedure TForm1.OsiK (x0,y0:Integer); var i,x,y:integer; begin Canvas.Pen.Width:=2; Canvas.Pen.Color := clBlack; Canvas.MoveTo(x0, y0); построение оси X Canvas.LineTo(x0+400, y0); Canvas.MoveTo(x0+400, y0); построение стрелочек оси Х Canvas.LineTo(x0+400-10, y0-5); Canvas.MoveTo(x0+400, y0); Canvas.LineTo(x0+400-10, y0+5); Label4.Left:=x0+390; Label4.Top:=y0+10; Label5.Left:=x0+350; Label5.Top:=y0+10; Label6.Left:=x0; Label6.Top:=y0+10; Label7.Left:=x0-25; Label7.Top:=y0-10; Label8.Left:=x0-25; Label8.Top:=y0-105; Canvas.MoveTo(x0, y0); построение оси Y Canvas.LineTo(x0, y0-150); Canvas.MoveTo(x0, y0-150); построение стрелочек оси Y Canvas.LineTo(x0-5, y0-150+10); Canvas.MoveTo(x0, y0-150); Canvas.LineTo(x0+5, y0-150+10); Label3.Left:=x0-25; Label3.Top:=y0-150; Canvas.Pen.Width:=1; x:=x0; for i:=1 to 10 do begin x:=x+35; Canvas.MoveTo(x, y0-3); Canvas.LineTo(x, y0+3); end; y:=y0; for i:=1 to 5 do begin y:=y-20; Canvas.MoveTo(x0-3, y); Canvas.LineTo(x0+3, y); end; end; procedure TForm1.Postroenie(T1,T2,R1,R2:real); var x,y:integer; Kx,Ky,x1,y1,P,C1,Sag:real; begin Canvas.Pen.Width:=1; Canvas.Pen.Color := clRed; Sag:=(R2-R1)/500; шаг по X C1:=(T1-T2)/(ln(R2/R1)); Kx:=(R2-R1)/350; Коэффициенты "усиления" if T1>T2 then Ky:=T1/100 else Ky:=T2/100; x1:=R1; Начальные условия y1:=T1; Canvas.MoveTo(x0+Round((x1-R1)/Kx),y0-Round(y1/Ky)); repeat y:=Round(y1/Ky); x:=Round((x1-R1)/Kx); Canvas.LineTo(x0+x, y0-y); x1:=x1+Sag; y1:=(T1+C1*ln(R1/x1)); label1.Caption:=label1.Caption+'; '+intToStr(x); label2.Caption:=label2.Caption+'; '+intToStr(y); until x1>R2; P:=4*Pi*C1; label1.Caption:=' Мощность источника : ='+FloatToStrF(P,ffGeneral,5,1)+ ' Вт '; label5.Caption:=FloatToStrF(R2,ffGeneral,4,1); label6.Caption:=FloatToStrF(R1,ffGeneral,4,1); if T1>T2 then begin label7.Caption:=FloatToStrF(T2,ffGeneral,4,1); label8.Caption:=FloatToStrF(T1,ffGeneral,4,1); end else begin label7.Caption:=FloatToStrF(T1,ffGeneral,4,1); label8.Caption:=FloatToStrF(T2,ffGeneral,4,1); end; end; procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var Code1,Code2,Code3,Code4:integer; begin Repaint; val (Edit1.Text,T1,Code1); val (Edit2.Text,T2,Code2); val (Edit3.Text,R1,Code3); val (Edit4.Text,R2,Code4); if (Code4 or Code3 or Code2 or Code1) <> 0 then begin Edit1.SetFocus; MessageDlg (' Введите пожалуйста значение !', mtError, [mbOk],0); end else Postroenie(T1,T2,R1,R2); end; procedure TForm1.FormPaint(Sender: TObject); begin x0:=100; y0:=200; OsiK(x0,y0); end; procedure TForm1.Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char); begin if not (key in ['0'..'9',#8,'.']) then begin Key:=#0; MessageBeep($FFFFFFFF); end; end; end.