Диплом: Собственные колебания пластин - текст диплома. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Диплом

Собственные колебания пластин

Банк рефератов / Физика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Дипломная работа
Язык диплома: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 5716 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной дипломной работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Введение 3 Глава I Основные положения математической физики и теории дифференц и альных уравнений 4 1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия 4 1.2 Метод разделе ния переменных или метод Фурье 6 1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 8 Глава II Нахождение функций, описывающих собственные колебания мембран 11 2.1 Основные определения 1 1 2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны 1 2 2.3 Собственн ые колебания круглой мембраны 1 9 Заключение 28 Библиографический список 29 Приложение 30 Введение М атематическа я физика ставит своей задачей возможно более точное изучение явлений природы. С этой целью она использует аппарат математ и ки. Объектом изучения математической физики могут служить только те я в ления природы, которые поддаются измерению. Например, механическое движение, звук, теплота, свет и т. д. Цели работы: 1. Изучить математическую литературу по данной теме. 2. Освоить основные методы решения задач математической ф и зики и применить их к решению задач . Задачи работы: 1. Решить двумерное уравнение колебаний мембраны при допо л нительных условиях для прямоугольной и круглой мембраны. 2. Сравнить полученные результаты для обоих случаев с анал о гичными задачами, решенными для других дополнительных условий. Методы работы: · Изучение специальной литературы; · Решение задач. Глава I Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением ра з личных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидр о динамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики . Дифференциальным уравнением с частными производными называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких переменных, независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Решением уравнения с частными производными называется функция, обращающая это уравнение в тождество [ 4 ] . 1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для одн о значного определения процесса. Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бес конечное множество решений. П о этому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с час т ными производными, для однозначной характеристики процесса необхо димо задать некоторые дополнительные условия. В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определ яется начальными условиями, например, заданием значений функции и е е первой производной при «начальном» значении а р гумента. Для уравнения с частными производными возмо жны различные формы дополнительных условий. Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под стр у ной понимаем тонкую упругую нить). Каждую то ч ку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x . Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать ко м поненты вектора смещения точки x в момент t . Тогда будет задавать отклонение стру ны от оси абсцисс. Если концы струны закреплены , то должны выполняться гр а ничные условия , . Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия: , . Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий , где и – заданные функции точки. Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные усл о вия (1 .1.1 ) принимают другой вид: , , где и - заданные функции времени t . Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией. В точке подвеса x =0 отклонение ; на свободном конце x = l натяжение пружины равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка усл о вия свободного конца имеет вид . Если конец x =0 движется по определенному закону , а при x = l зад а на сила , то . Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x = l или , при котором конец x = l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся к о нец в прежнее положение. Если точка (система), относительно которой имеет место упругое з а крепление, перемещается , и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие принимает вид . Условие упругого закрепления при x =0 имеет вид . Таким образом, имеют место три о сновных типа граничных условий, н апример , при x =0 : § граничные условия 1-го рода - заданный режим, § граничное условие 2-го рода - заданная сила, § граничное условие 3-го рода - упругое з а крепление. Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x = l . Если функция, задаваемая в правой части ( или ), равны нулю, то гр а ничные условия называются однородными [8 ] . 1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье . Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую для t >0 ура в нению в области D и дополнительным начальным и граничным условиям , где дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка . Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых час т ных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиал ь ные частные решения уравнения (1.2.1) , удовлетворяющие граничным усл о виям , в классе функций вида ( где непрерывны в , н е прерывны в ). Подставляя функцию в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на , получаем . Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция уд о влетворяла уравнению (1.2.1) при всех ) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе . Таким образом, должны выполняться тождественно , , причем функция должна удовлетворять граничным условиям . Соотве т ствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные реш е ния не при всех значениях . Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой з а дачи, а соответствующие им решения уравнения (1.2.3) – собственн ы ми функциями краевой задачи. Суть метода Фурье : 1) ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только гр а ничным условиям , среди функций вида . Для функции получаем краевую задачу; 2) решаем краевую задачу для функции . Пусть суть собственные функции этой задачи, а - отвечающие им собственные значения; 3) для каждого собственного значения находим решение уравн е ния (1.2.3); 4) таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетв о ряющим только граничному условию, являются функции вида ; 5) возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям . Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2] . 1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффицие н том при старшей производной равным единице , а . Рассмотрим р еш е ние уравнения (1.3.1) , оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях . В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения , образующих фундаментальную систему решений. Покажем, что выражение , где – действительное число , будет удовлетворя ть нашему уравнению. Продифференцируем по x выражение (1.3.2): . Подставляем полученные выражения в (1.3.1): . Обозначим через - это есть характеристический мн о гочлен , соответствующий оператору L . Тогда (1.3.3) запишется в виде . Характеристический многочлен получается из оператора L [ y ] , если пр о изводные различных порядков в этом уравнении заменить равными степен я ми величины : на . Если (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тожд е ственно нулю, но , следовательно . Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением . Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень характеристического уравнения (1.3.4), то , т.е. будет решением дифференциального ура в нения (1.3.1). Уравнение (1.3.4) – уравнение 2 -ой степени, следовательно, имеет 2 ко р н я . Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному р е шению дифференциального уравнения (1.3.1). Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет , где - произвольные постоянные, а - решения характеристического уравнения (1.3.4) [6] . Если корни характеристического уравнения комплексные, , то они будут сопряженными, т.к. коэффициенты уравн е ния действительные числа. В таком случае, общим решением уравнения (1.3.5) будет . Если корни характеристического уравнения чисто мнимые, т.е. . Общим решением уравнения (1.3. 1 ) будет . Если предположить, что характеристическое уравнение имеет равные корни , то одн о частн ое решение будет иметь вид . Второе частное решение будет . Тогда общее решение уравнения (1.3.1) можно представить в виде . Глава II Нахождение функции, описывающе й собственные колебания мембраны 2.1 Основные определения В этой главе использованы следующие обозначения · - част н ая производная функции по ; · - производная функция одной переменной. М ембраной называется плоская пл астинка , не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать поперечные колебания мембраны , в кот о рых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Отклонение точек мембраны от плоскости xOy будем обозначать через функцию , к о торая зависит от координат точки ( x , y ) и от времени t . Вывод дифференц и альных уравнений задач математической физики сопровождается целым р я дом допущений как механических, так и геометрических. Так при выводе уравнения колебания прямоугольной мембраны мы пренебрегли квадратом частных производных . В результате получается следующее уравнение колебаний прямоугол ь ной мембраны . В случае рассмотрения мембраны круглой формы полезно перейти к поля р ным координатам. Пусть мембрана в состоянии покоя занимает круг радиуса с центром в начале координат. Введем полярные координаты , . Уравнение границы круга будет при этом . Отклонение точек мембраны является теперь функцией полярных координат и и времени t : . Выражение для оператора в полярных координатах имеет вид , Тогда уравнение колебаний мембраны (2.1.1) перепишется в виде . В данной главе нам еще понадобится определение ортогональных фун к ций в следующем виде: Система функций называе тся ортогональн ой на и н тервале , если интеграл от произведения любых двух ра зличных функций системы равен но лю : ( ). Это условие ортогональности отличается от обычного тем, что под интегралом с о держится множитель , в таких случаях говорят об ортогональности с весом [ 1 ] . 2.2 Собственные колебания прямоугольной мембраны Процесс колебания плоской однородной мембраны описывается уравнением Пусть в плоскости ( x , y ) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b 1 и b 2 , закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости. Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях и граничных условиях . Краткое решение задачи (2.2.1) – (2.2.3) приведено в книге [ 8 ] , где был и получены следующие результаты. Функция имеет вид , где - собственны е функции, соотв етствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определя ющиеся формулой . А коэффициенты и равны: , . Найдем решение задачи при других граничных условиях. Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях и граничных условиях . Будем искат ь решение методом Фурье. Пусть функция и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на (при этом мы не теряем решений, т. к. ), получаем . Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных ( x , y ) , а левая – только t . Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно . , где - постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке. Из соотношения (2.2.8) получаем однородное дифференциальное уравнения второго порядка для функции : , а для функции следующую краевую задачу: Таким образом, сама задача о собственных значениях состоит в решении однородного уравнения в частных производных при заданных граничных условиях. Снова применим метод разделения переменных. Пусть и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции в уравнение и, поделив обе части уравнения на , приведем его к виду . Правая часть равенства (2.2.10) является функцией только переменной y , а левая – только x . Фиксируя, например, некоторые значения x и меняя (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно . Тогда из данного соотношения получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка: 1. 1. 2. где и - постоянные разделения переменных, причем . При этом граничные условия для и вытекают из соответствующих условий для функции . , , , . Получаем следующие одномерные задачи на собственные значения: 1. (2.2.11) (2.2.12) - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Таким образом , общее решение данного уравнения зависит от параметра . Рассмотрим отдельно случаи, когда параметра отрицателен, равен нулю, положителен. 1) При задача не имеет нетривиальных решений. Общее решение уравнения имеет вид , т. к. характеристическое уравнение имеет корни . Учитывая граничные условия, получаем: т.к. - действительно и положительно, то . 2) При нетривиальных решений тоже не существует. 3) При общее решение уравнения имеет вид . Учитывая граничные условия, получаем: , т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид . Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице. Аналогично получаем решение задачи (2.2.12): Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции , где - некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функций с в есом единица была равна единице . Вычислим отдельно интегралы в равенстве: Тогда, . Число собственных функций, принадлежащих зависит от количества целочисленных решений n и m уравнения . Собственным значениям соответствуют решения уравнения : , где и - произвольные константы. Возвращаясь к начальной задаче для уравнения с дополнительными условиями (2.2.4) – (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид . Тогда общее решение запишется в виде , где определяется формулой (2.2.13), а коэффициенты и равны: , . В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных услов и ях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий. 2.3 Собственные колебания круглой мембраны Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных грани ч ных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембр а ны. Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид . Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях и граничных условиях . Применим метод разделения переменных. Пусть . Подставляем полученное выражение для функции в уравнение (2.3.1) , получаем: . Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то , полученное равенство можно поделить на . Тогда . Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции , решением, которого будет функция (см. 2.2) , и следующую задачу на собственные значения для функции : К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции . Пусть , подставляем в уравнение для функции . Поделим данное равенство на : Так как левая часть соотношения ( ) функция только переменной r , а правая ( ) - только переменной , то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно . П ри данном предположении получаем : 1) однор одное дифференциальн ое уравнение второго порядка для нахождения функции : Нетривиальные периодические решения для существуют лишь при и имеют вид (см. 2.2): . 2) уравнение для определения функции Из граничных условий для функции получаем граничные условия для функции : Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях. Введем новую переменную Подставляем выражение в уравнение для определения функции и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n -го порядка. Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями , общее решение, которого имеет вид , где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода или фун кция Неймана ( смотри п риложение) . Из условия следует , что , т. к. при . Из условия имеем , где . Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений , которым соответствуют собственные функции краевой задачи для нахождения функции . Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10). Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функций с весом r : Для этого рассмотрим функции Они удовлетворяют уравнениям причем , а не удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, на и . Переходя к пределу при , получаем неопределенность . Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя , получаем выражение для квадрата нормы: т.к . , то . Итак, получаем: 1. Согласно (2.3.11) при , собственные функции , принадлежащие различным собственным значениям , ортогональны с весом r . 2. Норма этих функций определяется формулой (2.3.12) . 3. В силу общих свойств собственных краевых задач имеет место теорема разложимости: Всякая непрерывная в интервале функция , имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд , причем коэффициенты разложения определяются формулой . Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круглой мембраны, получим для собственного значения две собственные функции . Составим их линейную комбинацию . Докажем ортогональность и вычислим норму собственных функций . Посчитаем сначала для собственных функций . Аналогичные условия имеют место для функции . Тогда выражение для нормы функции можно записать в виде Воспользуемся теоремой о разложимости: всякая непрерывная функция с непрерывными первыми и вторыми производными, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям задачи о собственных значениях для круга. Коэффициенты разложения вычисляются по следующим формулам Вернемся к исходной задаче колебания мембраны при заданном начальном отклонении и начальной скорости, ее решение запишется в виде Коэффициенты определяются из начальных условий Аналогичные формулы имеют место для и, соответственно, для . Решение подобной задачи о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны при тех же начальных условиях и других граничных условиях приведено в источнике [ 8 ] , где были получены следующие результаты. Коэффициенты определяются из начальных условий Аналогично для и, соответственно, для . Следовательно, для круглой мембраны при различных граничных условиях получены также разные функции, описывающие ее прогиб. Заключение В данной квалификационной работе были рассмотрены основные пон я тия теории дифференциальных уравнений с частными производными, изучен один из наиболее распространенных методов решения подобных уравнений – метод Фурье, решены две краевые задачи для уравнения колебаний прям о угольной и круглой мембраны. По результатам решения задач можно сделать следующий вывод: · функция, описывающая прогиб мембраны напрямую зависит от своих граничных условий и от геометрической формы мембраны ; · при изменении формы мембраны задача на нахождение функции, х а рактеризующей ее прогиб, значительно усложнилась. Возникла необход и мость в изучении цилиндрических функций и их свойств. В данной работе некоторые утверждения были взяты без доказательства либо без вывода . Н апример, уравнение колебаний прямоугольной мембраны использовалось без вывода , т. к. его рассмотрение требует более глубоко го знани я законов физи ки. Р ешение цилиндрического уравнения было взято в готовой форме , т. к. не явля лось целью изучения этой работы. Таким образом, можно сказать, что поставленные цели были достигн у ты. Библиографический список 1. Араманович, И. Г. Уравнения математической физики [Текст] / И. Г. Араманович, В. И. Левин. – М.: Наука, 1969. – С. 114 – 144. 2. Арсенин , В . Я . Методы математической физики и специальные функции [Текст] / В . Я . Арсенин . – М.: Наука, 19 74 . – С. 165 – 170. 3. Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу: Учеб. для университетов и пед. вузов [Текст] / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий; Под. ред. В. А. Садовничего. – М.: Высшая школа, 1999. – С. 695. 4. Вебстер, А. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики, Ч. I [Текст] / А. Вебстер, Г. Сеге. – М.: Гос. технико-теоретическое издательство, 1933. – С. 189 – 200. 5. Двайт, Г . Б . Таблицы интегралов и другие математические формулы [Текст] / Г . Б . Двайт; Под ред. К. А. Семендяева . – М.: Наука, 19 66 . – С. 161 – 178. 6. Матвеев, Н. М. Дифференциальные уравнения: Учеб. пос. для студ. пед. ин-тов по физ.-мат. спец. [Текст] / Н. М. Матвеев. – М.: Просвещение, 1988. – С. 131 – 187. 7. Розет, Т. А. Элементы теории цилиндрических функций с приложениями к радиотехнике [Текст] / Т. А. Розет. – М.: «Советское радио», 1956. – С. 141 – 160. 8. Тихонов , А. Н . Уравнения математической физики [Текст] / А. Н . Тихонов , А . А . Самарский . – М.: Наука, 19 72 . – С. 23- 44, 82-88, 426 – 427. 9. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа, Ч. I [Текст] / Г. М. Фихтенгольц, - СПб.: «Лань», 2002. – С. 448. 10. Янке, Е . Специальные функции. Формулы, графики таблицы [Текст] / Е . Янке , Ф . Эмде, Ф. Леш . – М.: Наука, 19 77 . – С. 176 – 241. Приложение Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя При решении многих задач математической физики приходят к обыкн о венному дифференциальному уравнению называемому уравнением цилиндрических функций n -го порядка . Это уравн е ние часто называют также уравнением Бесселя n -го порядка . Уравнение Бесселя -го порядка или где - произвольное действительное или комплексное число, действ и тельную часть которого можно считать неотрицательной. Общее решение уравнения (2) может быть представлено в виде , где - функция Бесселя первого рода, - функция Бесселя второго рода - го порядка или фун кция Неймана, - произвольные постоя н ные. Функция любого положительного и целого отрицательного поря д ков отличается от всех остальных бесселевых функций тем, что они остаются конечными при . Для действительного порядка функции Бесселя и Неймана от действ и тельного аргумента будут действительными функциями , ; , при ( рис. 1 и рис. 2 ) .Функции и наиб о лее часто встречаются в приложениях и для них имеются подробные таблицы [ 5, 7, 10 ] .
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Когда соображают на троих, вначале все выглядят, как три богатыря, а в самом конце, как три поросенка.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, диплом по физике "Собственные колебания пластин", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru