Анализ ошибок заочной математической школы

Оглавление. Введение. 2 §1 . Классификация ошибок по их психологической природе. 4 1.1 Анализ. 4 1.2 Синтез. 9 1.3 Сравнение и аналогия. 10 1.4 Абстракция, конкретизация и обобщение. 13 §2. Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ. 19 Комбинаторика. Задания №1, №2. 19 Целые числа. Задания №3, 4. 27 Метод координат на прямой и плоскости. 35 §3. Общие рекомендации по проверке работ учеников 8 класса ВЗМШ. 38 Литература 38 Введение. Любая самостоятельная работа ученика по изучению матери а ла предполагает его работу с учебными текстами. В процессе чтения у него появляются те или иные проблемы с пониманием смысла проч и танного. Преодолевать их помогает учитель. При очном обучении он может оказать эту помощь в любой момент. В заочном обучении ди а лог выглядит иначе: чаще всего учитель может позволить себе лишь одну письменную реплику по поводу каждой ошибки. Понятно, что это значительно увеличивает "цену" каждой реплики, и они должны быть особенно обдуманными и содержательными, чтобы с их помощью обучаемый мог понять ошибку и исправить ее без дальнейшего вм е шательства преподавателя. Проблемы, которые возникают у ученика в процессе работы с учебным текстом, можно разделить на типичные и индивидуальные. Индивидуальные — это те, которые связаны с особенностями данного ученика. Типичные носят массовый характер. Их в свою очередь мо ж но разделить на два вида: 1) ошибки, спровоцированные изъянами учебного текста; 2) ошибки, связанные с психологией ученика. Ошибки первого рода перестают составлять проблему после соответствующей корректировки пособия. Ошибки же второго рода учителю приходится исправлять и комментировать снова и снова каждому новому ученику. В такой ситуации возникает потребность в типовых комментариях, к о торые учителю достаточно было бы лишь адаптировать к различным конкретным ситуациям. Предназначенные для постоянного использ о вания, они должны быть как можно более качественными. Это подр а зумевает выявление психологической природы каждой типичной ошибки с последующим поиском наиболее убедительного способа не просто объяснить ученику, что была сделана ошибка, но и "разве н чать" спровоцировавшие ее мотивы, чтобы ученик не допускал подо б ных ошибок впредь. Соответствующее исследование на примере з а даний курса 8 класса Всероссийской заочной многопредметной шк о лы, занимающейся дополнительным образованием одаренных школ ь ников, и составляет основную цель настоящей работы. При составл е нии рецензий по ошибкам будем руководствоваться следующими принципами: задача, поставленная перед учеником, должна быть д о ступной (иначе она приведет к задержке процесса обучения или с о всем отобьет интерес ученика к решению задач); доля самостоятел ь ной работы ученика максимальна (при такой форме наиболее быс т рые темпы развития мышления, да и материал усваивается прочнее); об у чение общим теоретическим принципам, а не работе с частными примерами; применение учеником методов при решении задач дол ж но быть осознанным. Работа состоит из трех параграфов. В первом из них мы дадим обзор некоторых типичных видов ошибок, взяв за основу мыслител ь ные операции, совершаемые при решении задач. Второй параграф посвящен разбору ошибок, наиболее часто встречающихся в работах учащихся 8 класса ВЗМШ. Наконец, в третьей главе эти ошибки гру п пируются по их психологической природе и обсуждается возможная реакция проверяющего на ошибки каждой из групп. Полученные р е зультаты могут быть использованы проверяющими ВЗМШ при реце н зировании работ учащихся. §1 . Классификация ошибок по их психологической природе. В процессе мыслительной деятельности ученик познает н о вые объекты и связи между ними с помощью особых умственных операций. Основными мыслительными операциями являются ан а лиз, синтез, сравнение, абстракция, конкретизация и обобщение. Эти операции составляют различные взаимосвязанные, переход я щие друг в друга стороны мышления, поэтому четкого разделения ошибок на классы сделать невозможно. Тем не менее, можно в ы делить ошибки, которые могут возникнуть при определенном типе мыслительного процесса. 1.1 Анализ . Анализ – это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений [2]. Анализ применяется при изучении понятий, предложений и при доказательстве утверждений. Одним из видов анализа является следующая процедура: разложение множества рассматриваемых объектов A на несколько подмножеств B 1 , B 2 , …, B n ("случаев") по какому-то определенному критерию и работа с каждым из них отдельно. При этом должны выполнятся следующие условия: 1) объединение всех подмножеств должно совпадать с самим множеством ; 2) пересечение любых двух подмножеств пусто Впрочем, выполнение второго свойства необходимо лишь в задачах на подсчет объектов. В задачах на доказательство это условие необязательно. Исходя из вышесказанного, при решении задач методом разложения класса на подмножества могут возникнуть ошибки двух видов: 1) существуют объекты, которые не были рассмо т рены: (неполный перебор). Задача А1: В математическом кружке занимается 20 учен и ков. Им задали на дом 20 задач. Оказалось, что каждый член кру ж ка решил ровно 2 задачи, и каждая задача решена ровно двумя учениками. Докажите, что руководитель кружка сможет так орган и зовать разбор всех задач, что каждый ученик расскажет решение задачи, которую он сам решил. Если сможет, то сколькими спос о бами? [6] Решение: Начертим граф, в котором ве р шины – ученики, ребра – задачи. Если две верш и ны (ученика) соединены ребром (задачей), значит ученики решили одну и ту же задачу. От каждой вершины отходит ровно два ребра, так как каждый решил ровно две задачи. Если этот граф развернуть, то получится замкнутый контур (см. рисунок). Наглядно понятно, что существует два спос о ба распределения задач. Они строятся следующим образом. Пе р вый: ученик «1» рассказывает задачу «з1», ученику «2» остается рассказать лишь задачу «з2», ученику «3» - «з3» и так далее, уч е ник «20» рассказывает задачу «з20». Второй: ученик «1» рассказ ы вает задачу «з20», ученик «20» - «з19», …, ученик «2» - рассказ ы вает задачу «з1». Получается, что преподаватель сможет орган и зовать разбор задач двумя способами. Анализ ошибки. Не рассмотрен случай, когда граф состоит из нескольких замкнутых частей, например такой граф (см. рисунок). В этом случае разбор может быть осуществлен 2 n способами, где n – количество контуров. Причина в том, что при составлении цепочки от какого-то ученика школьник не рассматривает случай ее замыкания раньше, чем на 20 звене. Т а ким образом, ученик произвел неполный перебор: не рассмотрел случай несвязного графа. 2) в разложении существует два подмножества B i и B k такие, что . Рассмотрим задачи, в которых требуется сосчитать колич е ство объектов, удовлетворяющих данному условию. Задача А2: Сколько существует положительных чисел, меньших 100, которые делятся на 2 или на 3. Решение: Чисел, делящихся на 2 – 49. Чисел, делящихся на 3 – 33. Чисел, делящихся на 2 или на 3: 49 + 33 = 82. Ответ: 82. Анализ ошибки: При решении данной задачи не было учтено существование чисел, которые делятся на 6 (на 2 и на 3). В резул ь тате такие числа были подсчитаны два раза: первый – как делящ и еся на 2, второй – как делящиеся на 3. При решении такого рода задач (задач на подсчет колич е ства элементов, удовлетворяющих условию задачи), следует ра з делять множество всех объектов на попарно непересекающиеся множества или каким-то образом учитывать их пересечения. Другое дело, если мы проводим отдельно для каждого мн о жества, объединение которых дает весь класс, какое-либо постр о ение, нахождение (скажем, корней уравнения) или доказател ь ство. Пересечение множеств при этом может быть и не пустым, на р е зультат это не влияет. Главное, чтобы каждый из объектов прина д лежал хотя бы одному из рассматриваемых множеств. В пр о тивном случае решение будет неполным. Приведем пример: Пример А3: Все треугольники равновелики. Решение: Пусть стороны треугольника равны a , b , c , соо т ветствующие высоты h a , h b , h c , площадь равна S . Для обозначения треугольников будем использовать те же обозначения только с соответствующим числом штрихов. Так как S = ah /2 , то: ; (1) . (2) Из (1) и (2) следует: ; . Следовательно, , или: . (3) Умножив обе части равенства (3) на и раскрыв скобки, получим: . (4) Прибавив к обеим частям равенства (4) разность , получим: . (5) Из (5) следует, что . (6) Анализ ошибки: В данном случае переход от (5) к (6) не ра в носильный, так как равенство (5) выполняется в двух случаях: 1) , тогда не обязательно, чтобы . 2) , тогда обязательно . Заметим, что всегда. Поэтому, отбр о сив первый случай, ученик по сути дела пошел по неверному пути. Все ученики хорошо знают, что на ноль делить нельзя. Тем не м е нее они часто делят на выражения без проверки равенства после д них нулю. Приведем еще один пример, когда рассмотрены не все во з можные случаи. Пример А4: Дан треугольник ABC . Проведена высота BH , равная 4. Найдите площадь треугольника ABC , если известно, что AH =6, BC =5. Решение: Так как треугольник BCH прямоугольный, то CH = = 3 . Значит AC = AH + HC = 6 + 3 = 9 . Площадь треугольника ABC соотве т ственно равна: . Анализ решения: В рассуждениях ошибок нет, но не ра с смотрен случай, когда треугольник ABC – тупоугольный. Рассужд е ния будут аналогичными, а ответ другой. Очевидно, ученик бесс о знательно использовал в решении особенности своего чертежа, не вытекающие из условия задачи. 1.2 Синтез. Синтез – это мысленное объединение частей, свойств, де й ствий в единое целое. Синтез не является механическим соедин е нием частей и поэтому не сводится к их сумме [2]. Главное в процессе синтеза – учесть все условия, все да н ные, чтобы получить адекватный результат. Всем известно, что бывает, если не учесть одно из уравнений системы; как трудно ин о гда решить задачу по геометрии, позабыв про какие-то данные; п о строить график функции, не исследовав ее производную и т. п. Рассмотрим примеры, когда одно из условий не учтено. Задача С1: Решить неравенство . Решение: так как знаменатель дроби всегда положителен, то он не влияет на знак. Получаем, что решением неравенства будет промежуток (– 3; 3). Анализ ошибки: Знаменатель действительно не влияет на знак неравенства, но при равенстве последнего нулю дробь не имеет смысла, поэтому x = 0 следует исключить из множества р е шений. Таким образом, от того, в какой степени учтены свойства и с следуемого объекта, зависит конечный результат синтеза. 1.3 Сравнение и аналогия. Сравнение – это установление сходства или различия между предметами или их отдельными признаками . Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: сравниваемые понятия однородны и сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение. Процесс сравнения и аналогия тесно связаны. Можно ск а зать, что сравнение подготавливает почву для применения анал о гии . С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в р е зультате их сравнения, распространяется на новое свойство. Ра с суждения по аналогии можно представить следующей схемой: Объект A обладает свойствами c 1 , c 2 , …, c n . Объект B обладает свойствами c 1 , c 2 , …, c n -1 . Предполагается, но не утверждается, что B обладает сво й ством c n . Именно поэтому аналогию нельзя считать доказательным методом, ее еще надо обосновать. Тем не менее, рассуждения по аналогии полезны в процессе обучения, так как подразумевают с а мостоятельную формулировку новых теоретических фактов. О с новная ошибка школьников при применении аналогии – это отсу т ствие рассуждений, которые бы полностью ее обосновывали. Без них решение является неполным или просто неверным. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в решениях школьников виды необоснованных аналогий: 1) Расширение сферы применения теоремы. Появление такого рода ошибки, как правило, связано с формальным знанием теоремы или свойства. В сознании ученика четко не выделены усл о вия примен имости теоремы, и в результате некоторые из них остаю т ся за пределом его рассмотрения. Следствием этого является нез а конное использование теоремы. По сути ученик применяет не теор е му, а ее аналог, который нередко оказывается неверным. Рассмотрим пример: Пример A н1 : Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.[5] Доказательство: Дана окружность с диаметром AB . Выберем на ней произвольно точку C . Середина AC – точка D . Проведем ч е рез точки B и D хорду BE . Теперь соединим то ч ки C и E . Рассмотрим треугольники ADB и DCE . Они равны по стороне и двум углам : AD = DC по п о строению; B = C как вписанные, опирающиеся на одну дугу AE ; ADB = CDE как вертикальные. Значит соответс т вующие стороны AB и EC равны. Анализ ошибки: «Равенство треугольников по стороне и двум углам» – именно такую условную формулировку часто дают пр и знаку равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней у г лам. В результате школьники просто ищут пары равных элементов: AD = DC , B = C , ADB = CDE . При этом условие, что углы должны быть прилежащими соответственно к сторонам AB и DC , забывается. Буквальное восприятие условной формулировки пр и знака равенства треугольников приводит к замене его совсем др у гим. Произошло расширение сферы применения признака. Ученик воспользовался им без выполнения надлежащих условий, он зам е нил их на более общие. Это и привело к противоречивому факту – равенству хорды, не проходящей через центр, диаметру. В этом случае лучше всего будет, если ученик самостоятельно, просмо т рев предварительно точную формулировку признака равенства треугольников, найдет у себя ошибку. 2) Использование вместо теоремы обратного к ней утверждения. Смысл рассуждений при этом заключается в следу ю щем: если у нас верно A B , то верным будет и B A . Понятно, что эт о выполняется не всегда. Приведем простой пример, когда обратная теорема не верна, и ее применение приводит к противоречивому р е зул ь тату. Пример Ан2: Докажем, что все числа равны. Для этого возьмем два произвольных числа a и b . Докажем, что a = b . 0 = 0 a 2 – 2ab +b 2 = b 2 – 2ab + a 2 (a – b) 2 = (b – a) 2 a – b = = b – a 2a = 2b a = b. Переход (a – b) 2 = (b – a) 2 a – b = b – a не верен . Дело в том, что из равенства чисел следует равенство их квадратов , но из раве н ства квадратов не следует равенство чисел (будут равны лишь их м о дули). 3) Ошибки при попытке обобщения. Пусть у нас имеется класс A и класс B . Для элементов класса A выполняется свойство C A . Делается предположение, что для элементов класса B будет выпо л няться условие C B , которое построено по аналогии со свойством C A в соответствии с особенностями класса B . Например: Задача Ан3: В прямом параллелепипеде ребра равны a , b , c . Найдите длину главной диагонали. Решение: Так как в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон, то квадрат главной диагонали в пр я мом параллелепипеде будет равен сумме квадратов его ребер, то есть a 2 + b 2 + c 2 . В данном случае утверждение, полученное по аналогии, верно, но не доказано. Другой пример: в плоскости любая прямая задается уравн е нием вида Ax + By + C = 0 . Предположение, что в пространстве л ю бая прямая будет задаваться уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0 не верно. Задача учителя – объяснить ученику, что утверждение, пол у ченное по аналогии с верным, может оказаться неверным. Поэтому оно требует отдельного доказательства. 1.4 Абстракция, конкретизация и обобщение. Абстракция состоит в том, что субъект, вычленяя какие-либо свойства, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных [2]. Абстрагирование, процесс применения абстракции, обычно осуществляется в результате анализа. При этом признак, отделяемый от объекта, становится самостоятельным объектом мышления. Конкретизация предполагает возвращение мысли от общ е го и абстрактного к конкретному с целью раскрыть его содержание [2]. Обобщение – мысленное объединение предметов и явл е ний по их общим и существенным признакам [2]. Эти три процесса тесно взаимосвязаны между собой. А б страгирование, как правило, происходит лишь после обобщения, когда объект абстрагирования выделен. Конкретизация – процесс, обратный к абстрагированию. Обобщение можно определить, как переход от единичного к общему. Рассматриваются конкретные объекты класса. У этих об ъ ектов замечается выполнение определенного свойства, делается предположение, что для всех объектов класса это свойство будет выполняться. На самом деле есть определенная схожесть с анал о гией, но есть и отличие: при обобщении мы можем с помощью а б страгирования работать с классом, как с одним объектом. Напр и мер, любое число, делящееся на 5 можно представить в виде 5 k . Доказав какое-то свойство для этого объекта, мы тем самым док а жем это свойство для всего класса. Обратное происходит при ко н кретизации: если свойство верно для всего класса, то для конкре т ного объекта этого класса свойство будет выполняться. Рассмотрим ошибки, которые могут возникать при этих пр о цессах. Одна из распространенных ошибок – необоснованность обобщений. Свойство класса при этом просто замечается, но не доказывается, оно, как правило, проверяется лишь для нескольких элементов класса. Рассмотрим классический пример, принадлеж а щий Л. Эйлеру: Пример О1: Верно ли, что при любом натуральном n n 2 + n +41 – простое число? Доказательство: при n = 1: n 2 + n + 41 = 43 – простое число; при n = 2: n 2 + n + 41 = 47 – простое число; при n = 3: n 2 + n + 41 = 53 – простое число; при n = 4: n 2 + n + 41 = 61 – простое число; при n = 5: n 2 + n + 41 = 71 – простое число; и т. д. При остальных n выражение n 2 + n + 41 также будет простым числом. Обобщение в этом случае не только не обосновано, но и опровергается конкретным примером: при n = 41 имеем n 2 + n + 41 = 41 2 + 41 + 41 = 41 (41+2) = 41 43. В жизни обычно на основе проверки свойства у нескольких объектов класса делается вывод, что данное свойство выполнимо для всего класса в целом. Примерно так строилось большинство физических законов; на ограниченном числе опытов выводились биологические и химические закономерности. Конечно, обобщение – это неотъемлемая часть построения гипотез. Но именно гипотез, из которых лишь впоследствии вырастают логически обоснованные теории. Из рассмотренного выше примера видно, что проверенное даже на многих конкретных примерах утверждение (для натурал ь ных чисел, меньших 41, оно выполняется) может оказаться ло ж ным. Подобные ситуации и вынуждают приводить полные доказ а тельства полученных обобщений, независимо от степени увере н ности в справедливости данной гипотезы. Ошибочность полученной с помощью обобщения гипотезы н е редко бывает связана с нереферентностью неосознанно проведе н ной выборки рассмотренных для ее выдвижения объектов. Они в таких случаях обычно подбираются по принципу «что ближе лежит (или лучше знаем), то и берем». В результате предполагаемый о т вет может оказаться неверным для объектов, которые "лежат дальше". Рассмотрим конкретный пример. Пример О2: Найдите множество всех решений нераве н ства x 3 – x 0 ( х R ). Ответ: [0,+ ]. Анализ ошибки: Ученик просто подобрал ответ, подставляя в неравенство только целые числа. Поэтому-то промежуток (0,1) он также включил в ответ (ведь в нем нет ни одного целого числа, а 0 и 1 удовлетворяют неравенству). Изучив нецелые числа, ученики тем не менее стараются по возможности обходится без них. Такой разрыв между теоретическими знаниями и обыденным сознанием зачастую ведет к неверным выводам вроде сделанного выше. В данной ситуации лучше всего посоветовать ученику решить нер а венство методом интервалов, сравнить полученный ответ с первым и попытаться понять, почему его первоначальная гипотеза оказ а лась неверной. Решения, в которых доказательство свойства для всего класса необоснованно заменяется проверкой лишь для одного или нескольких конкретных объектов этого класса, вообще встречаются в работах школьников достаточно часто. Рассмотрим еще один пример. Задача О3: Докажите, что сумма любых десяти подряд ид у щих нечётных чисел делится на 20. Решение: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19 = 100, делится на 20. Остальные суммы тоже делятся на 20. Анализ решения: Из того, что свойство выполняется для о д ной последовательности чисел, еще не следует выполнение сво й ства для любой другой последовательности. Например, почему 1333 + …+ 1351 делится на 20? От ученика требуются пояснения, которые бы доказывали свойство для всех последовательностей, а не проверка свойства на конкретном примере. Поэтому и оценка решения должна вестись прежде всего на основе того, проверяет ученик свойство для частных случаев или он проводит свои ра с суждения для всего класса рассматриваемых объектов. В нашем случае видно, что ученик просто подсчитал сумму, никакой предп о сы л ки для обобщения он не выделяет. Рассмотрим пример, когда строгого доказательства нет, но все-таки его можно считать верным. Задача О4: Число при делении на 5 дает остаток 2. Какой может быть остаток при делении на 10? Решение: 2 = 5 0 + 2 = 10 0 + 2 , 7 = 5 1 + 2 = 10 0 + 7 , 12 = 5 2 + + 2 = 10 1 + 2 и так далее, при увеличении числа на 5 никаких др у гих остатков, кроме 2 и 7 не будет. В этом случае более строгих пояснений не требуется, так как действия с оставшимися объектами достаточно ясны. В отличие от обобщения, при конкретизации происходит п е реход от общего к частному: от понятия к объекту, который этим понятием характеризуется; от теоремы к применению этой теор е мы. В связи с этим возникают ошибки следующего вида: 1) нето ч ное понимание определения; 2) неправильное применение теор е мы, свойства. В понимание структуры определения входит: 1) понимание смысла определения (раскрытие содержания п о нятия). 2) понимание строения определения (родовой и видовой признаки). 3) знание условий, которым должно удовлетворять правильное определение (указываются только основные признаки, не должно быть “порочного круга”). Ученики могут понимать определение более узко (множество объектов, подходящих под определение, меньше действительного) или более широко (множество объектов, подходящих под опред е ление, шире действительного). Примеры: · по определению делимости 5 делится на 2, так как сущ е ствует число 2,5 такое, что 5 = 2 2,5. Множество объектов шире действительного, так как оба множителя должны быть целыми чи с лами. · многие школьники четырехугольник понимают как выпу к лый, понятия о существовании невыпуклого четырехугольника нет, так как в школьной практике ученики работают почти исключител ь но с выпуклыми фигурами. Множество объектов, удовлетворяющих определению, э же действительного. Ученики в рассуждениях иногда используют предложения, которые к рассматриваемому объекту применять нельзя. Напр и мер: Задача О5: Основание призмы имеет площадь S . Ее боковое ребро длиной k наклонено к основанию под углом . Найдите об ъ ем призмы. Решение: Объем призмы равен произведению площади о с нования на длину бокового ребра, поэтому V = S k . Анализ ошибки: В данном случае ученик воспользовался формулой вычисления объема для прямой призмы. Для наклонной призмы эта формула не верна, следовател ь но, применять ее нельзя. Единственный сп о соб искоренить ошибку – показать ученику наглядно, что его рассуждения противореч и вы. Для этого возьмем прямую призму. Разделим ее на две равные части так, как показано на рисунке. Составим из этих частей наклонную призму. Понятно, что их объемы должны быть равны. Если же действовать подобно ученику при вычислении объемов, то объем наклонной призмы будет больше, чем объем прямой при з мы. §2. Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ. Эта часть основана на конкретных работах учащихся ВЗМШ. Здесь мы выделили типичные ошибки, которые допускаются школьниками при выполнении заданий по пособиям [8] – [10], вх о дящих в программу 8 класса Кировского отделения ВЗМШ. Анализ причины и соответствующие комментарии по ее исправлению, пр и веденные ниже по каждой из задач, могут быть использованы пр о веряющими при рецензировании работ учащихся. Кроме того, ан а лиз причин основан на классификации ошибок, которая нами уже рассмотрена в §1. На ее основе мы и будем составлять соотве т ствующие комментарии по задачам. Номера всех задач совпадают с их номерами в пособиях [8] – [10], которые приложены к насто я щей работе. Комбинаторика. Задания №1, №2. Задача 1-7. A B содержит 25 элементов, A B – 10 элементов, B содержит 15 элементов. Найти количество элементов в A . Рассуждения ученика: Так как множество B содержит 15 эл е ментов, то множество A будет содержать 25 – 15 = 10 элементов. Анализ ошибки: Следует заметить, что, выполняя задание “Комбинаторика”, большинство учеников впервые знакомятся с теор и ей множеств. В связи с этим они пытаются найти свойства, схожие со свойствами уже знакомых им объектов. Так операцию объединения двух множеств школьники часто связывают с операцией сложения двух чисел. Это вполне логично, ведь в свою очередь числа еще в младшем возрасте они изучали при помощи подручных предметов, к примеру, тех же счетных палочек, то есть, фактически, с помощью операций над множествами. При решении задачи ученик действовал с множествами, как с числами. Это было бы верно, если бы пересеч е ние множеств было пустым, как при работе со счетными палочками. Но если это не так, то число элементов в объединении и сумма кол и честв элементов в каждом из множеств – это разные величины. Но ученик действовал по уже сформированному стереотипу, поэтому в ответе он получил не количество элементов множества A , а колич е ство элементов, принадлежащих только A . Исходя из классификации, данной в §1, эту ошибку следует отнести к классу необоснованных аналогий . Причина ошибки состоит в том, что ребенок при решении задачи неосознанно работает с любыми двумя множествами как с н е пересекающимися. Проверяющему следует помочь ученику раз о браться в понятиях пересечения и объединения, сделав упор на том, что отличает объединение множеств от сложения чисел. Это можно сделать, разобрав конкретную задачу. Целесообразно использовать круги Эйлера, так как графические иллюстрации помогают ученику лучше воспринимать информацию. Рассмотрим конкретный пример. Задача . Множество A содержит 7 элементов, множество B – 10, объединение множеств A и B – 15.Сколько элементов содержит пер е сечение множеств A и B ( c )? Объединение множеств A и B можно разделить на три подмн о жества: 1) элементы, принадлежащие только множеству A ; 2) элеме н ты, принадлежащие пересечению множеств A и B ; 3) элементы, принадлежащие только множеству B . Сл о жив количество элементов трех групп, мы получим кол и чество элементов в объединении множеств A и B . Это видно и на кр у гах Эйлера. Обозначим за x – количество элементов пересечения. Т о гда в первой группе 7 – x элементов, во вт о рой x , в третьей 10 – x . В объединении (7 – x ) + x + (10 – x ) = 17 – x = 15 x = 2. Можно пре д ложить ученику решить данную задачу в о б щем виде, заменив числа 7, 10 и 15 на a , b и с. Тем самым он получит выражение с = a + b – х , характеризующее количественное отношение двух множеств. Задача 1-14. Записать формулами множества, заштрихова н ные на диаграммах (приведено несколько диаграмм, из которых мы рассмотрим одну). Рассуждения ученика: Интересующее нас мн о жество можно записать как A C + B C . Анализ ошибки: Ученик отождествляет сложение с объедин е нием. Надо убедить его, что между этими двумя операциями есть ра з ница. Не так важно, как называет ученик объединение (“объединение первого и второго множеств” или “прибавим к первому второе множ е ство”, как-то иначе), важно то, что он подразумевает под ним, поним а ет ли он суть операции объединения. Поэтому нельзя считать, что ученик действовал при решении данной задачи неправильно. Надо указать, что при оперировании с числами употребляется знак “+”, а с множествами – “ ”. Разделение этих операций исключает из рассу ж дений ненужную путаницу. Рассуждения ученика: Интересующее нас множество можно записать формулой A C + B C – A B C . Анализ ошибки: ученик множествами оперирует, как числами. Он решает совсем другую задачу: сколько элементов содержит з а штрихованное множество. Задача проверяющего – разъяснить разн и цу между множеством и количеством элементов в этом множестве. Ошибка напрямую связана с формальным знанием определений оп е раций над множествами . По классификации она относится к разделу неправильное понимание определения (неверная конкретизация). Поэтому в данной ситуации проверяющему рекомендуется дать кроме приведенных в методическом пособии определений на диаграммах, словесные определения: A B – множество всех элементов, которые принадлежат либо A либо B. A B – множество всех элементов, которые принадлежат и A и B одновременно. A \ B – множество всех элементов, принадлежащих A , но не пр и надлежащие множеству B . – множество всех элементов, не принадлежащих A . Рекомендуется также сказать, что при объединении одинак о вые объекты сливаются в один. Именно из таких объектов, которые содержатся в обоих множествах, и состоит пересечение. Пусть ученик сравнит определения с их графическими иллюстрациями. Сначала лучше научиться строить множества по формулам (их достаточно в пособии), а потом переходить к написанию формул по диаграммам. Задача 2-6. Сколько существует семизначных чисел, цифры которых идут в убывающем порядке? Рассуждения ученика: всё решение сводится к указанию того факта, что семизначных чисел столько же, сколько трехзначных с с о ответствующим убывающим порядком цифр. Отсутствует доказател ь ство этого факта. Анализ ошибки: Стоит упомянуть то, что перед данной зад а чей разобрана следующая : сколько существует восьмизначных чисел, цифры которых идут в убывающем порядке? Подробно рассмотрено решение, суть которого состоит в установлении взаимнооднозначного соответствия между восьмизначными и двузначными числами. Кол и чество двузначных чисел нам уже известно. Авторы хотели тем самым дать образец решения. Хорошо выделили этапы доказательства: ка ж дому двузначному сопоставлено ровно одно восьмизначное; каждому восьмизначному сопоставлено ровно одно двузначное; установлено взаимноооднозначное соответствие, следовательно, и тех и других чисел одинаковое число. Предполагалось, что школьники будут де й ствовать аналогично. Действительно, многие ученики привели полн о стью обоснованное решение, но есть и те, кто не написал его, посч и тав излишним приводить обоснования, аналогичные изложенным в методическом пособии. Необязательно требовать от ученика полн о стью приводить все доказательство, но в чем отличие рассуждений с семизначными числами от рассуждений с восьмизначными и почему действия будут аналогичными – ученик должен написать. Иначе это – необоснованная аналогия и решением не является. Одного ответа в данной задаче недостаточно, ученик должен понимать суть подсчета и уметь его осуществлять в подобных ситуациях. Ссылаться на соо т ветствующий результат можно лишь после того, как показано, что р е шение при этом будет действительно аналогичное. Для убедительн о сти надо привести задачу, в которой действия по аналогии приводят к неверному ответу. Можно привести задачу на поиск количества дев я ток в числах от 1 до 100. Рассуждаем следующим образом. От 1 до 10 – одна девятка, от 11 до 20 также – одна, получается в каждом деся т ке по одной девятке. Так как десятков десять, то девятка в числах от 1 до 100 встречается 10 раз. Все вроде бы верно, за исключением того, что в каждом числе от 90 до 99 включительно девятка встречается еще и в разряде десятков (в других десятках она встречается лишь в разряде единиц), поэтому аналогия на этот десяток неверная. В р е зультате вместо верного результата 20 мы получили всего лишь 10. На таких, очевидных с виду задачах, подобных задаче 2-6, и нужно развивать умение строго обосновывать каждый шаг в рассу ж дениях. Задача 3-5. б) Четыре футбольных команды A , B , C и D , пров е ли друг с другом несколько тренировочных матчей. Известно, что к о манда A участвовала в 6 матчах, команда B – в 5, C – в 7, D – в 10. Сколько всего состоялось матчей? в) Три футбольных команды, A , B и C провели друг с другом несколько тренировочных матчей. Известно, что команда A участв о вала в 6 матчах, команда B – в 7 матчах, а команда C – в 11 матчах. Сколько матчей сыграли друг с другом команды A и C ? Рассуждения ученика сводятся к рассмотрению конкретных графов, иллюстрирующих турнир. Подсчитав количество матчей, он дает ответ. Анализ ошибки: Нет гарантий, что при построении другого графа ответ будет таким же. Это необоснованное обобщение в мн о гих случаях приводит к неполному ответу. Приведем конкретный пр и мер. Возьмем 4 команды. A сыграла одну игру, B – две, C – три , D – две . Сколько игр сыграли между собой команды B и C ? П о нятно, что ответ неоднозначен. Может быть две игры, может быть одна. Пусть теперь ученик докажет, что в его задаче такая ситуация не возникнет. Это подтолкнет его к рассуждениям в общем виде, и не стоит на этом этапе писать подсказки, которые лишают ученика во з можности самостоятельного решения задачи. Ученик должен сам до й ти до сути, в этом состоит один из главных принципов обучения в ВЗМШ. Задача 3-6. Можно ли устроить такой турнир, чтобы в нем: а) участвовало 13 команд, и каждая команда сыграла ровно 5 матчей; б) участвовало 10 команд, и каждая команда сыграла бы ровно 5 матчей; в) участвовало 9 команд, и каждая команда сыграла бы 4 ма т ча? Рассуждения ученика: а) так как каждая команда сыграла 5 матчей, то всего было игр, то есть не целое число. Но в любом турнире всегда количество игр – целое число. Приходим к противор е чию. Следовательно турнир устроить нельзя. б) Подсчитаем количество игр: – целое число. Значит турнир устроить можно. в) Подсчитаем количество игр: – целое число. Значит турнир устроить можно. Анализ ошибки: В рассуждениях пункта а) никаких замечаний нет. Действительно, в любом турнире число игр целое (*). Есть с о мнения в пунктах б) и в). Ученик использует утверждение, обратное (*): если при подсчете количества игр мы получаем целое число, то турнир можно устроить. На самом деле это утверждение не такое уж и очевидное и требует доказательства. Ошибка: использование вместо теоремы обратного к ней утверждения . Приведем пример того, что при выполнении прямого утверждения обратное ему не вс е гда выполняется: Можно ли для пяти команд устроить турнир в один круг так, чтобы четыре из них сыграли бы по четыре игры, а одна – две? Понятно, что такой турнир устроить нельзя. Если четыре к о манды сыграют по четыре игры, то и пятая при этом должна будет сыграть тоже четыре. Число игр при этом – целое число. Этот пример ясно показывает, что обратное утверждение не всегда верно. Задача 3-8а. На окружности выбраны 10 точек. Сколько сущ е ствует выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках? 1) Рассуждения ученика: У нас имеется десять точек, прон у меруем их от 0 до 9. Тогда каждому четырехзначному числу будет с о ответствовать ровно один четырехугольник. Значит четырехугольн и ков столько же, сколько четырехзначных чисел с различными цифр а ми, а их 10 9 8 7=40320. Анализ ошибки: Школьник хотел использовать для решения задачи взаимнооднозначное соответствие, но при этом установил его неправильно. Верно замечено, что каждому четырехзначному числу соответствует ровно один четырехугольник. Для взаимнооднозначного соответствия еще требуется, чтобы каждому четырехугольнику соо т ветствовало ровно одно число, а их 4!=24. О биекции и речи быть не может. К примеру, числам 1234, 2341, 3412, 4123, 4321, 3214, 2143, 1432 соответствует один и тот же четырехугольник «1234». Мало того, кроме выпуклых четыре х угольников были подсчитаны самопер е секающиеся «1342» и «1324» (это прич и на действия стереотипа, формирующег о ся в школе, так как школьники в основном работают только с выпуклыми фигурами), каждый из которых может быть представлен восемью различными ч е тыре х значными числами. Причина ошибки: ученик просмотрев лишь несколько четыре х угольников, сопоставив ему четырехзначное число, сделал вывод о взаимнооднозначности двух множеств. Данная ошибка – своего рода аналог ошибки « замена прямой теоремы обратной ». Если провер е на однозначность соответствия в одну сторону, то в обратную сторону соответствие автоматически считается однозначным. Это не верно. Примеры хорошо опровергают такие рассуждения. Целые числа. Задания №3, 4. §1. Задача 1. Выяснить, какие из следующих утверждений верны, а какие – нет: б) если a и b не делятся на 6, то a + b не делится на 6; г) если a делится на 6, b не делится на 6, то ab не делится на 6; д) если a делится на 6, b делится на 10, то ab делится на 60. Рассуждения ученика: в решениях всех пунктов используется один и тот же метод. Утверждение проверяется лишь для конкретной пары чисел, удовлетворяющей условиям задачи. Результат проверки служит ответом. Анализ ошибки: Выделим три случая: 1) при проверке для конкретной пары чисел утверждение неверно; 2) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно, но существуют пары ч и сел, при которых утверждение ложно; 3) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно и для остальных пар чисел оно также выполняется. Получается, что в первом и втором случаях утвержд е ние неверное, а в третьем – верное. Ученики лучше всего действуют в первом случае, так как им легче оперировать конкретными числами. От них требуется лишь подобрать опровергающий пример. Если же все рассмотренные примеры подтверждают утверждение, но пер е браны не все возможные случаи, что для бесконечного их множества просто невозможно, то нет гарантии, что это третий случай, а не вт о рой. Поэтому требуются работать с классом чисел, в связи с этим во з никают трудности представления в общем виде. Все выше сказанное подтверждается в решениях школьников. В пунктах б) и г) ученик находит пару чисел, при которых усл о вие не выполняется, и делает правильный вывод, что утверждение не верно. В пункте д) также рассматривается одна или две пары a и b , для которых конечно же все справедливо. Делается вывод о выполн е нии утверждения для всех остальных чисел, то есть производится н е законное обобщение. Стоит отметить следующий момент: в отличие от пунктов б) и г), где приводится одна пара чисел, в пункте д) ученики, как правило, рассматривают несколько пар чисел. Они понимают, что недостаточно рассмотрения конкретных чисел. Но рассмотреть все пары чисел н е возможно, и они ограничиваются несколькими. Значит основная пр о блема состоит в переходе от конкретных чисел, обладающих опред е ленным свойством, к классу, как объекту. Школьник не может предст а вить класс в алгебраическом виде. Задача проверяющего – помочь ему в этом. На самом деле в методическом пособии приведено опр е деление делимости, из которого можно понять, как представить класс чисел, делящихся на конкретное число, в общем виде. Конкретных примеров представления нет. Поэтому можно дать такой коммент а рий: «В пункте д) Вами был рассмотрен лишь частный случай. Выпо л нимость утверждения для всех оставшихся пар чисел (а их достаточно много) остается под вопросом. Чтобы проверить ее, необходимо ра с суждать в общем виде. Скажем, число a , которое делится на 6 можно записать, как 6 k , где k – некоторое целое число.» Задача 2. Докажите утверждения: г) если и , то . д) если , то . г) Рассуждения учеников: Так как , то либо либо . Дальше рассматриваются эти варианты и отдельно для каждого док а зывается, что . Анализ ошибки: Это типичный неполный перебор, рассмотр е ны не все варианты, а конкретно – не рассмотрен вариант, когда a и b не делятся на c . Ученик не учел случай, когда c представляется в виде произведения двух множителей, на один из которых делится a , на др у гой делится b . Причина ошибки – отождествление в сознании ученика делителя с простым числом и использование соответствующих свойств. Это обобщение свойств простого числа на все числа легко опровергается контрпримером: a =3, b =6, c =9. Понятно, что при этом , но ни a и ни b на c не делятся. д) Рассуждения учеников: Так как и , то . Анализ ошибки: В методическом пособии выделено несколько свойств делимости целых чисел. Одно из них формулируется след у ющим образом: если a и b делятся на c , то a + b и a - b делятся на c . Ученик воспользовался этим свойством, но неправильно, он его изм е нил: если c делится на a и на b , то c делится на a + b и на a - b (*) . Пр и чина в следующем: делимость – антисимметричное бинарное отнош е ние. В школе ученики встречались лишь с равенством (симметричным отношением) и только начинают подробно изучать отношение поря д ка. Не удивительно, что они путают числа, которые делятся, и числа, на которые делятся. Единственное правило на первых этапах изуч е ния делимости – внимательно применять свойства при решении з а дач. Для опровержения данного свойства (*) достаточно привести контрпример: 10 делится на 5 и на 2, но на 3 число 10 не делится. Для того, чтобы ученики лучше понимали суть делимости чисел и свойств, рекомендуется самостоятельно доказать некоторые из них, приведе н ные в пособии. Задача 5-в. При каких n 3 n 2 +2 n +2 делится на 4 n +3 . Рассуждения ученика: Так как , то и или . Если n = – 1, то 4 n +3 = – 1, и . Если n = 0, то 4 – n не делится на 4 n +3. Если n = 1, то 4 – n не делится на 4 n +3. Если n = 4, то . Ответ: n = – 1. Анализ ошибки: В рассуждениях нет логики, ученик рассма т ривает лишь некоторые n . Как обстоит дело с оставшимися числами – неизвестно. Это неполный перебор. Школьник пытался рассуждать по аналогии с примером, разобранном в методическом пособии ([9], с. 5), но не довел решение до конца, не сделав последний шаг: . Сейчас остается рассмотреть ч е тыре случая 4 n +3 = 19; 1; – 1; – 19. Других вариантов нет. Задача 3. Докажите, что сумма 2 n +1 последовательных нат у ральных чисел делится на 2 n +1 . Рассуждения ученика: 1+2+3+…+(2 n +1)=(1+2 n +1)(2 n + 1)/2=( n +1)(2 n +1) делится на 2 n +1. Анализ ошибки: Рассмотрен частный случай. На его основе проведено необоснованное обобщение выполнения свойства для всех остальных последовательностей. Хотя в данном случае рассу ж дения и будут аналогичные, но ведь это надо еще показать. Тем б о лее, что можно привести пример, когда для нескольких частных сл у чаев свойство выполняется, а в общем не верно. Например: ( n +1)( n +2)( n +3)( n +4) делится на 120 при n =1, 2, 3, 4, а вот при n =5 выражение ( n +1)( n +2)( n +3)( n +4) = 6 7 8 9 на 120 уже не делится. Задача 4. Остаток от деления нечетного числа на 7 равен 2. Найдите остаток от деления этого числа на 14. Рассуждения ученика: 9 = 7 1 + 2. 9 = 14 0 + 9. Остаток р а вен 9. Анализ ошибки: Это типичная ошибка при решении задач на делимость: необоснованное обобщение . Ученик рассмотрел лишь одно число, удовлетворяющее условиям. При каком-то другом числе может получиться остаток, отличный от 9. Недостаточно найти пр а вильный ответ, надо еще доказать , что все остальные будут непр а вильными. В задачах на делимость есть два наиболее часто употребля е мых метода решения: 1) разбиение общей задачи на несколько частных (дизъюн к ция). При этом нужно следить за тем, чтобы все случаи (задачи) были разобраны. Если какой-то из них не рассмотрен, то метод теряет свою суть и решение считается неверным. Неполный перебор часто встр е чается в работах школьников. 2) решение в общем виде. Нелегко дается учениками, так как им легче оперировать с конкретными объектами. Этот метод хорош тем, что исключает потерю части решения. Большинство свойств д о казывается именно в общем виде. При его использовании происходит абстрагирование, частные характеристики объектов не учитываются, рассуждения опираются на общие свойства данного класса объектов. Красота метода в том, что, работая с одним объектом, мы тем самым охватываем весь класс. Но это одновременное оперирование всеми объектами сразу и отталкивает детей с их конкретным мышлением. В действительности же, представив число в общем виде, он работает с ним, как с конкретным числом, ничего принципиально нового нет. З а дачи на делимость – это благодатная среда для обучения абстрагир о ванию: рассуждения в общем виде здесь не очень сложны и в то же время достаточно ярко показывают эффективность данного метода. Чтобы ученик действительно понял преимущество решения в общем виде, разберем решение конкретной задачи двумя методами. Задача : При делении на 5 число дает остаток 3. Какой остаток дает число при делении на 15? 1) Решение перебором. При делении на 15 могут получиться следующие остатки: 0, 1, …, 14. Если остаток равен 0: то при делении на 5 будет остаток 0 3; 1: то при делении на 5 будет остаток 1 3; 2: то при делении на 5 будет остаток 2 3; 3: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3; 4: то при делении на 5 будет остаток 4 3; 5: то при делении на 5 будет остаток 0 3; 6: то при делении на 5 будет остаток 1 3; 7: то при делении на 5 будет остаток 2 3; 8: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3; 9: то при делении на 5 будет остаток 4 3; 10: то при делении на 5 будет остаток 0 3; 11: то при делении на 5 будет остаток 1 3; 12: то при делении на 5 будет остаток 2 3; 13: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3; 14: то при делении на 5 будет остаток 4 3; Получается, что существует три варианта остатка: 3, 8, 13. 2) Решение в общем виде. Так как при делении числа a на 5 остаток равен 3, то его можно записать в виде а = 5 k + 3 . Пусть ост а ток от деления числа a на 15 равен b , тогда a = 15 n + b , где 15 b > 0. Значит 15 n + b = 5 k + 3 b – 3 = 5 k – 15 n = 5( k – 3 n ). Получается, что 12 b – 3 > – 3 и b – 3 делится на 5. Возможны три варианта: b – 3 = 0 b = 3 b – 3 = 5 b = 8 b – 3 = 10 b = 13. Трудно не согласиться, что решение в общем виде красивее и короче. §3. Задача 2. Докажите, что число 111…1(восемьдесят одна ед и ница) делится на 81. Рассуждения ученика: Так как сумма цифр числа 111…1(восемьдесят одна единица) делится на 9, то само число д е лится на 9. Сумма цифр делится на 9 два раза, значит и число дели т ся два раза на 9, значит оно делится на 81. Анализ ошибки: По сути дела, ученик сформулировал признак делимости на 81 по аналогии с признаком делимости на 9. В этом н и чего плохого нет. Но ученик не проверил, верен ли этот признак. Это необоснованная аналогия . Что касается признака делимости на 81, то он ошибочен (хотя для чисел, составленных из одних единиц, он все-таки выполняется). Достаточно привести контрпример: 81818181818181819=81 1010101010101010 + 9, сумма цифр равна 81. Задача 3. Найдите какое-нибудь целое число, записываемое одними единицами, которое делится на 33…3 (сто троек). 1) Рассуждения ученика: ответ 11…1(триста единиц). Анализ ошибки: в данной задаче ответ получить не так уж и сложно. Главное – обосновать его. Этого этапа у многих школьников нет. Нужно разъяснить, что в тех задачах, где требуется найти какое-то число: первое – надо его указать; второе – надо доказать, что оно удовлетворяет всем условиям задачи. 2) Рассуждения ученика: 111 делится на 3 (сумма цифр равна трем, значит, число делится на три); 111111 делится на 33 (на 3 д е лится, так как сумма цифр делится на 3; на 11, так как 111111 = 11 10101); …;11…1(триста единиц) делится на 33…3(сто троек). Анализ ошибки: Рассмотрены частные случаи и на их основе делается незаконное обобщение на все множество объектов. Ученик предполагает, что 11…1 (3 n единиц) делится на 33…3 ( n троек). Это верное предположение, но ее еще надо обосновать. Либо описать д о казательство в общем виде либо доказать конкретно для числа 11…1 (триста единиц). Для убедительности необходимо привести пример подобной задачи, в которой свойство не обобщается: 1 1 11 2 121 111 3 12321 1111 4 1234321 … … 123…(n-1)n(n-1)…21 Понятно, что в этом случае обобщение неверное, начиная с n =10. Метод координат на прямой и на плоскости. Задача 1– 4. Подумайте, какая из двух точек правее: б) A ( c ) или B ( c + 2) ; в) A ( x ) или B ( x 2 ) ; г ) A(x) или B(x – a) . б) Рассуждения ученика: Рассмотрим три случая: 1) c > 0. Е с ли к положительному числу прибавить положительное число, то оно увеличится. Значит c < c + 2 и точка B правее точки A ; 2) c = 0 . Так как 2 > 0, то точка B правее точки A ; 3) c < 0 . Если к отрицательному числу прибавить положительное, то оно станет больше. Значит c < c + 2 и точка B правее точки A . Обсуждение: Это не ошибка, это скорее недочет. Даже по те к сту решения видно, что три выделенных учеником случая по сути н и чем не отличается. Ведь любое число увеличится, если к нему приб а вить положительное число. Ученик просто воспроизводил решение подобно тексту, изложенному в методическом пособии. Отчасти эта ошибка спровоцирована не совсем уместным примером. Разобранный в пособии пример (что правее: A (2 x ) или B ( x ) ?) действительно треб о вал рассмотрения трех случаев, действия же ученика излишни. Бе з условно следует обратить на это внимание ученика, спросить, «чем о т личаются его действия в каждом из случаев?» Стоит задать ученику следующий вопрос: 1) что происходит с точкой, если ее координату увеличить на 1, на 2? 2) попробуй решить задачу теперь, пользуясь геометрическим смыслом увеличения коо р динаты точки. в) Рассуждения ученика: часто приводятся следующий ответ: точки совпадают при x = 0 и x = 1 , во всех остальных случаях точка B ( x 2 ) лежит правее точки A ( x ) . Анализ ошибки: Можно лишь догадываться, как рассуждал ученик. Понятно, что x 2 – неотрицательное число, а значит при x < 0 точка B правее A . Почему он не обратил внимание на промежуток (0; 1)? Потому что в этом промежутке нет ни одного целого числа. Подо б ная ошибка уже была нами рассмотрена в §1, с. 15.. Комментарии проверяющего будут в этом случае аналогичными: «Вы дали непр а вильный ответ. Например при x = Ѕ , точка лежит все-таки правее, а не левее точки B . Подумайте, какие еще точки вы определили непр а вильно. Кроме того, перебор не является достоверным источником о т вета. Чтобы в ответе действительно не было никаких сомнений, реш и те эту задачу алгебраически. Для этого вам надо понять: какое нер а венство должно выполняться, чтобы точка A была правее точки B . И наоборот: какое неравенство должно выполняться, чтобы точка B б ы ла правее точки A ». г) Рассуждения ученика: Рассмотрим 9 случаев: 1) x > 0, a > 0 : A правее B . 2) x > 0, a = 0 : A и B совпадают . 3) x > 0, a < 0 : B правее A . 4) x = 0, a > 0 : A правее B . 5) x = 0, a = 0 : A и B совпадают . 6) x = 0, a < 0 : B правее A . 7) x < 0, a > 0 : A правее B . 8) x < 0, a = 0 : A и B совпадают . 9) x < 0, a < 0 : B правее A . Анализ ошибки: опять же, от x ничего не зависит. Координаты отличаются на a , поэтому все зависит лишь от a . Если a – полож и тельное, то точка B получается из A при помощи сдвига вправо на a единиц, если a = 0 , то точки совпадают, если a – отрицательное, то делаем сдвиг влево. Пояснения к подобной ошибке были написаны выше в пункте 1). Задача 2– 6. Запишите без знака модуля выражение , если a – отрицательное число? Рассуждения ученика: = a . Анализ ошибки: Поскольку в данном случае – а > 0 , верный о т вет: – а. Ошибку спровоцировал нечастый в математике случай син о нимии. Знак "– " может выполнять три разные функции: 1) признака о т рицательности числа (– 2, – 5, – 2003 и др.) ; 2) символа операции выч и тания ( a – b и др.); 3) символа операции перемены знака (– a и др.). Ученик в данном случае принял операцию перемены знака за символ отрицательности, не приняв в расчет, что эту роль знак минус может играть только перед числом, а не перед выражением. Хорошо отраж а ет операцию смены знака соответствующая функция на калькуляторе (+/– ). Так как большинству школьников он доступен, то есть возмо ж ность привести пример, с которым ребенок может непосредственно поработать и лучше понять суть операции. §3. Общие рекомендации по проверке работ учеников 8 класса ВЗМШ. В данном параграфе мы постараемся дать общие рекоменд а ции по написанию указаний к наиболее часто встречающимся видам ошибок. Опираясь на анализ работ учеников 8 класса заочной школы ВЗМШ, проведенный во втором параграфе, можно выделить следу ю щие группы типичных ошибок: 1) Необоснованное обобщение. В общем случае ошибку этого в ида можно охарактеризовать следующим образом. Имеется класс объектов. Ученик проверил, что некоторые из них обладают определенным свойством, и на этом о с новании утверждает, что этим свойством обладают все объекты да н ного класса. Наша задача – дать такие указания, которые бы убедили ученика в необходимости доказательства данного свойства для ка ж дого объекта этого класса. При решении данной проблемы возникает два случая. а) Утверждение, полученное при обобщении, неверно. Тогда достаточно привести контрпример, опровергающий доказательство ученика. Подобные ошибки рассмотрены в §2: задачи 2– 6 (Комбин а торика) и 2 (Целые числа, §3). б) У тверждение, полученное при обобщении, верно. Это более сложная ситуация. Контрпримера нет. Голословное требование док а зать утверждение, справедливость которого интуитивно ясна, зач а стую кажется ученику неубедительным. Чтобы подкрепить его, нео б ходимо наглядно показать ученику, что в иной ситуации его действия могли бы привести к неверному результату. Для этого нужно под о брать соответствующий пример как можно более похожей задачи (лучше просто поменять условия в данной задаче) . Примеры подо б ных ошибок и соответствующие комментарии к ним рассмотрены в §2: з а дачи 3– 5 (Комбинаторика), 3 (Целые числа, §2) и 3 (Целые числа, §3). С другой стороны, существуют ситуаци и, когда рассуждения, по форме проведенные учеником только для некоторых конкретных пр и меров, по сути проходят и для общего случая. Тогда не стоит заос т рять внимание ученика на строгости доказательства, тем более, что часть восьмиклассников еще не готова перейти на такой уровень стр о гости. Для этого требуется время и соответствующие задачи, в кот о рых действия в общем случае не так очевидны. 2) Ошибки при использовании аналогии. а) При изучении новых понятий мы пытаемся встроить их в уже имеющуюся систему знаний. При этом происходит поиск «схожих» с данным понятием структур и автоматическое присваивание понятию тех или иных свойств. К примеру, покоординатное сложение векторов определяется с помощью сложения чисел. Таким образом происходит некий перенос уже изученного материла на новый, что безусловно с о кращает время и придает знаниям более системный вид. С другой стороны, раз появляется новое понятие, значит у него есть что-то н о вое, свойственное только ему. Очень часто у школьников аналогия переходит в отождествление, они не чувствуют разницу между новым и уже изученным понятием. К примеру, операции объединения мн о жеств и сложения чисел имеют общую природу, но при объединении важно то, из каких элементов состоит множество, а при сложении – нас уже будет интересовать лишь количественная сторона. Ученики часто этой разницы не замечают. Данная ошибка разобрана в §2, з а дача 1– 7 (Комбинаторика). Задача проверяющего – показать эту ра з ницу ученику. Сделать это можно при помощи графических иллюстр а ций, хорошо подобранных примеров, тех же самых аналогий. б) Синонимия. Иногда в математике одним и тем же символом обозначаются различные понятия. Такое явление называют синон и мией. Определить значение данного символа помогают объекты, вм е сте с которыми он применяется. Скажем, если мы говорим про отрезки и пишем , то в данном случае – это конгруэнция. Если же мы р а ботаем с группами, то символ будет обозначать изоморфизм групп. В математике много таких символов, но их значение однозначно опр е деляются «средой» их применения. Существует такие примеры и в школьном курсе математики. Например, знак «– » имеет три значения (см. задачу 2– 6, §2, Метод координат на плоскости). В решениях школьников встречаются ситуации, когда они н е верно определяют значение данного символа. В этом случае: 1) ук а зывается, что символ употреблен не в том значении; 2) приводятся все значения данного символа, а также ситуации, в которых он эти значения принимает. в) Подмена теоремы обратным к ней утверждением. Ошибки данного типа возникают в основном из-за того, что формулировки те о ремы и обратного ей утверждений похожи. Действительно: если пр я мая теорема имеет структуру A B , то обратная – B A . Ученики как правило обращают внимание лишь на содержание A и B . Поэтому они отождествляют эти два утверждения. Примером может служить всем известная теорема Пифагора. Очень часто ученики ссылаются на нее, используя на самом деле обратную теорему. Все бы было хорошо, если бы у всех теорем обратные к ним утверждения были также ве р ными. Но это на так. Поэтому необходимо требовать доказательства обратного к теореме утверждения. Как и при обобщении возникают два случая: обратное утверждение неверное; обратное утверждение верное. В первом случае достаточно привести контрпример. Во вт о ром – необходимо подобрать схожее с данным утверждение, обратное к которому было бы неверным. Примеры ошибок данного вида прив е дены в §2: задачи 3-6 и 3-8а (Комбинаторика). 3) Стереотипы . При неоднократном выполнении одних и тех же операций формируется набор действий, который с некоторого м о мента начинает применяться в стандартных ситуациях уже бессозн а тельно. С одной стороны, это экономит силы и время. С другой, если не следить за границами применения стереотипа, может случиться, что он будет использован некорректно, как это случилось, например, в задачах 1-7 и 3-8а (Комбинаторика), разобранных в §2. В такой ситу а ции, кроме всего прочего, бывает полезно объяснить ученику психол о гическую природу его ошибки. Литература 1. Информация, с сайта ВЗМШ: www . vzms . director . ru . 2. Общая психология: Курс лекций для первой ступени пед а гогического образования / Сост. Е.И.Рогов. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1998. 3. Работы учащихся Кировского отделения ВЗМШ. 4. Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя: Из опыта работы./ Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Пр о свещение, 1989. 5. В.М. Брадис, В.А. Минковский, А.К. Харчева. Ошибки в мат е матических рассуждениях. М., 1959. 6. Поучительные задачи: методические разработки для уч а щихся ВЗМШ. 7. Методика преподавания математики в средней школе: О б щая методика / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М., Просвещение, 1985. 8. Введение в комбинаторику: методические разработки для учащихся ВЗМШ АПН СССР при МГУ (В.Л. Гутенмахер, Н.Б. Васильев – М.: изд. АПН СССР, 40 с.). 9. Целые числа: учебные задания для учащихся заочной мат е матической школы при ЛГУ./ Сост.: Б.М. Беккер, В.М. Гольховой. 10. Метод координат. Часть 1, глава 1. Координаты на прямой. М., 1997. Пособие для учащихся ВЗМШ. Составлено на основе книги И.М. Гельфанда, Е.Г. Глаголевой и А.А. Кириллова “Метод координат” (изд. “Наука”) с использованием методических материалов ВЗМШ./ Сост.: Е.Г. Глаголева, Л.Г. Серебренникова при участии Р.Н. Соловь е ва и Н.Ю. Вайсман. 11. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7 – 9 классы: Пособие для учащихся – М.: Дрофа, 2001.