Термодинамическое равновесие гетерогенных плазменных систем с существенной ионизацией компонентов

Содержание Введение 1. Идеально-газовый подход при описании ионизации в плазме с конденсированными частицами 1.1. Ионизаци я в идеальном газе и плазмозоле. Система ид ентичных частиц в буферном газе. Учет ионизации атомов легкоионизируемой присадк и 2. Дебаевский подход моделирования гетерогенных кулоновских систем 2.1. Объемный заряд и потенциал в плазмозоле . Зависимость электронной концентрации от определяющих параметров плазмы 3. Ячеечные модели плазмы, содержащей частицы 3.1. Ионизация системы газ – частицы в модели Гибсона 3.2. Режим слабого экранирования Выводы Список литературы Введение Термодинамика рабочих тел МГД-генераторов на твердом топливе, электрические воздействия на процесс горения с целью его интенсификации и управления, высокотемпературная конденсация оксидов в продуктах сгорания металлизированных топлив, проблемы защиты окружающей среды, поведение пылегазованных образований в атмосфере и космосе, плазмохимия – все это далеко не полный перечень областей науки и техники, где требуется знание свойств плазмы с КДФ в различных состояниях. Плазма с КДФ – ионизированный газ, содержащий малые частицы или кластеры, при чем эти частицы могут влиять на некоторые свойства плазмы. В области температур Т , характерной для приложений НТП с КДФ, важную роль играют процессы переноса заряда; поглощение электромагнитных волн в гетерогенной плазме непосредственно зависит от ее ионизации. Явление переноса – это кинетические процессы, но как известно из статистической физики [1] и физической кинетики [2], их скорости определяются градиентами соответствующих величин, т.е. в конечном счете их полем. Существующие модели ГПС основываются на известных подходах (Саха, Дебая, а также, появившихся в последнее время, ячеечных),которые выходят из предположения о малости потенциальных взаимодействий ГПС, сравнительно с кинетической энергией теплового движения частиц. Однако, как показывает эксперимент в плотной и высокотемпературной ГПС ионизации макрочастиц и газовой фазы становится существенней, и в результате потенциальная энергия заряда плазм в самосогласованном поле сравнивается больше kT . В этом случаи применение результатов разработанных ранней моделью становится не корректным и требуется их усовершенствование с целью охватить интересную для приложения область высоких концентраций и температур. В работе рассматривается “аналитическая” продолжение статистической ячеечной модели плазмы на эту область термодинамических параметров. В первом разделе рассмотрены существующие подходы к описанию состояния ГПС. Второй раздел посвящен вопросам модификации и распространению статистической модели квазинейтральных ячеек на область высоких температур и концентраций ГПС. Идеально-газовый подход при описании ионизации в плазме с конденсированными частицами. Ионизационное равновесие идеальных газов в термодинамических равновесных системах определено термодинамическими параметрами газа (Т, Р, V ) и рассчитывается методам статистической физики. В системах, находящихся в равновесии, средние концентрации газовых частиц с течением времени не изменяются. Это значит, что скорости прямых и обратных химических реакций равны и выполняется закон действующих масс [1]. Рассматривая равновесную термическую ионизацию идеальных газов как баланс различных реакций ионизации и рекомбинации, Саха получил выражение для константы ионизационного равновесия в разреженном газе [3]. В настоящей главе рассмотрены основные физические аспекты такого подхода и его распространение на системы, содержащие частицы конденсированной дисперсной фазы (КДФ). Ионизация в идеальном газе и плазмозоле. Согласно определению идеальный газ – это система, состоящая из точечных молекулярных частиц, взаимодействующих только при столкновении, т.е. при их сближении на расстояния, сравнимые с их собственными размерами, которые пренебрежимо малы по сравнению с межчастичными расстояниями. Если молекулы газа ионизовать, то в газовой фазе появляются заряды – электроны и ионы, которые взаимодействуют между собой кулоновскими силами. Эти силы дальнодействующие [4], и каждый атомарный заряд (электрон, ион) в данном случае подвергается действию всех других зарядов в системе. Однако, если его электростатическое взаимодействие с полем, создаваемым в месте локализации этого заряда всеми другими зарядами системы, мало по сравнению со средней кинетической энергией его поступательного движения ( к Т), свойства ионизованного газа приближаются к свойствам идеального, а поправки на неидеальность также оказываются малыми [1, с.264]. Моделирование равновесных электрофизических свойств газа направлено прежде всего на получение зависимостей концентрации заряженных частиц от определяющих параметров системы – температуры Т, исходных концентраций компонентов n j ( j нумеруют сорт молекул и атомов, потенциалы ионизации компонентов I aj ). Действительно, с точки зрения практического использования, электронная и ионная концентрации в газе – наиболее интересные величины, так как ими определяются процессы переноса заряда. Газ содержит электроны, ионы, нейтральные молекулы и атомы. Характерной особенностью такого ионизованного газа является его квазинейтральность, т.е. вследствие электростатических взаимодействий в достаточно малых областях, занятых газом, наблюдается компенсация положительных и отрицательных зарядов (суммарный заряд такой области с точностью до флуктуации равен нулю). Квазинейтральность – основное свойство плазменных сред и частично ионизованный газ в состоянии равновесия также обладает этим свойством. Согласно принципу детального равновесия, каждый канал ионизации (процесс, приводящий к появлению свободных электронов в объеме) скомпенсирован противоположным ему процессом рекомбинации так, что средние концентрации атомарных зарядов сохраняются. Таким образом, в газовой плазме непрерывно идут конкурирующие процессы: ионизация – рекомбинация, причем генерация и исчезновение электронов вследствие этих процессов скомпенсированы, а движение молекулярных зарядов происходит так, что в плазме наблюдается квазинейтральность. Обратимая реакция ионизации нейтрального атома: , (1.1 .1 ) где А – нейтральный атом; М – произвольная частица (молекула, электрон, фотон, другой атом и т.д.), А + - положительный ион, е - - электрон. Аналогичным образом можно записать все прочие реакции, сопровождающиеся генерацией и исчезновением заряженных частиц в плазме. Для реакции (1.1.1) условие равновесия принимает вид , (1. 1. 2) где м а, м i , м e -химические потенциалы соответственно атома, иона и электрона, м m входят справа и слева в равенство (1.1.2) и могут быть сокращены. Пренебрегая взаимодействием между компонентами газовой плазмы, химический потенциал компонента б определим по формуле для идеального газа [1]: , (1. 1. 3) где S б – статистическая сумма; ; (1.1.4) - число частиц сорта б в объеме плазмы V . В (1.1.4) суммирование распространено на все состояния n частиц сорта б; q бn – статистический вес, а множитель exp (- E бn / kT ) определяет относительную вероятность состояния частицы с энергией E бn (величина E бn должна отсчитываться от общего уровня энергии группы частиц, участвующих в рассматриваемой реакции).` Подставляя (1.1.3) в ( 1.1.2), получаем условие равновесия или . (1.1.5) Уточним (1.1.4) для статистических сумм S (для простоты индекс б опускаем). Входящая в (1.1.4) полная энергия Е частиц слагается из энергии внутренних степеней свободы j и энергии поступательного движения К. следовательно, (1.1.4) можно записать следующим образом: , (1.1.6) где означает суммирование по внутренним состояниям, а - по скоростям. Выделив энергию основного состояния частицы е 0 , представим первую из сумм (1.1.6) в виде , (1. 1. 7) где Q – “внутренняя” статистическая сумма. Поскольку энергия е 0 отсчитывается от общего уровня системы, то, очевидно, разность энергии системы электрон – ион до и после ионизации равна энергии ионизации атома, т.е. . (1. 1. 8) Именно эта разность энергий (потенциал ионизации атома) входит в выражение для отношения статистических сумм (1.1.5). Внутренние статистические суммы атомов и ионов можно определить следующим образом [5, с.102]: , (1. 1. 9) где квантовые числа l и s определяют орбитальный момент количества движения и спин. При kT <Де 1 (что обычно выполнено для низкотемпературной плазмы(НТП)) члены суммы (1.1.9) очень быстро уменьшаются. При расчетах для атомов в этой сумме можно ограничится двумя членами, для ионов – одним. Электроны внутренней структуры не имеют, поэтому их внутренний статистический вес Q =2, он соответствует двум направлениям спина. Статистическую сумму, связанную с поступательными степенями свободы, определим, основываясь на квазиклассическом приближении квантовой механики [6, с.198]. Размер шестимерной ячейки, соответствующей одному состоянию, находим из соотношения неопределенности . (1.1.10) Найдем число состояний, приходившихся на весь фазовый объем системы, отвечающий интервалу скоростей ,во всем объеме плазмы V : . (1.1.11) Подставляя (1.1.11) в выражение для статистической суммы , получаем (1. 1. 12) Заменяя суммирование по скоростям интегрированием, находим (1. 1. 13) Используя полученное выражение для частиц всех сортов, участвующих в реакции (1.1.1), и учитывая (1.1.8), преобразуем (1.1.5) к виду (1. 1. 14) Эта формула, определяющая константу ионизационного равновесия, называется формулой Саха. По аналогии с предыдущим можно получить цепочку уравнений Саха для последовательности степеней ионизации атома, т.е. для реакций , где К – кратность ионизации. При этом в формулах Саха (1. 1. 14 ’ ) будут фигурировать потенциалы ионизации I k , которые равны энергии ионизации иона с зарядом К e . Поскольку значения I k для К>1 быстро возрастают , в области температур 1000…3000 К, характерной для низкотемпературной плазмы, будет в основном наблюдаться однократная ионизация атомов. Закон сохранения числа частиц и заряда б определенного сорта совместно с цепочкой уравнений Саха (1.1.14 ' ) представляет замкнутую систему уравнений, описывающую ионизационное равновесие в газовой плазме. В качестве примера рассмотрим ионизацию атомов калия в аргоне. При неизменной температуре Т плазмы повышение исходного содержания атомов калия n A приведет к увеличению равновесной плотности электронов в плазме. Поскольку , в пренебрежении более высокими степенями ионизации атомов калия запишем систему ионизационных уравнений: (1.1.15)(1.1.15’ )(1.1.15’ ’ ) где (1.1.15) – уравнение Саха для однократной ионизации; (1.1.15’ ) – закон сохранения числа частиц (исходное содержание присадки калия в результате реакций ионизации не меняется); (1.1.15’ ’ ) – закон сохранение заряда (концентрация электронов в системе определяется числом ионизованных атомов калия). Вводя обозначение (1. 1. 16) и используя (1.1.15’ ) и (1.1.15’ ’ ), преобразуем (1.1.15) к виду . (1. 1. 17) Последнее уравнение имеет очевидное решение , (1. 1. 18) которое и определяет однократную ионизацию атомов калия в плазме по Саха. На рис.1. показаны расчетные зависимости концентрации электронов в НТП, образованной атомами аргона и калия для температур плазмы Т= 1000, 2000, 3000 К, от исходного содержания атомарного калия n A . Источниками электронов в высокотемпературном электронейтральном газе могут быть и частицы КДФ с малой работой выхода электронов W . В этом случае появляется специфическая плазменная среда – плазмозоль [7], т.е. система нейтральный молекулярный газ с высоким потенциалом ионизации + свободные электроны, эмиттированные частицами КДФ + заряженные макрочастицы, обменивающиеся электронами с газовой фазой. Отличительные черты такой системы: возможность приобретения частицами КДФ больших (макроскопических) зарядов, наличие у макрочастиц собственного объема, сравнимого с размерами микронеоднородностей в системе, фактически всегда наблюдаемая полидисперсность КДФ. В связи с широким применением гетерогенных плазменных сред в ряде современных областей энергетики(МГД– генераторы на твердом топливе, управление процессом горения [8]) и технологии (высокотемпературные гетерогенные процессы [9], плазменное напыление [10] и др.), описание термоионизации в НТП с КДФ вызывают в настоящее время значительный интерес [11]. Возможность воздействия на ионизацию среды посредством частиц КДФ была доказана в экспериментах по измерению концентрации электронов в плазме углеводородных пламен [12,13]. Система идентичных частиц в буферном газе. Наиболее простая модель плазмозоля [14] предполагает, что имеется “ансамбль” идентичных сферических частиц КДФ, обменивающихся электронами с химически нейтральным буферным (несущим) газом. Система неограниченна, и температура всех подсистем: газа, КДФ, электронов – постоянна и равна Т. Равновесная реакция ионизации макрочастицы с зарядовым числом (1. 2.1 ) как и ранее, описывается методами расчета равновесных химических систем. Поскольку конденсированные частицы (КЧ) в такой модели представляют собой фактически гигантские молекулы, то в константы равновесия реакций (1.2.1) (соответствующие константы Саха) должна войти разность энергии до и после ионизации КЧ. Эта размерность и является потенциалом ионизации m – кратно заряженной частицы КДФ, который в моделях выбирается равным , (1.2.2) где W – работа выхода с поверхности вещества частиц; e – заряд электрона; r p – радиус сферической частицы. Выбор потенциала ионизации частицы КДФ в виде (1.2.2) фактически означает предположение, что электрон, покидающий КЧ, затрачивает энергию, равную работе выхода с поверхности вещества незаряженной частицы, плюс работа, связанная с кулоновским взаимодействием между эмиттирующей КЧ и излучаемым электроном. Она равна кулоновской энергии электрона на поверхности КЧ только для уединенных макрочастиц или для достаточно разреженных систем. Действительно, в этом случае можно пренебречь эффектами объемного заряда и их влиянием на работу по удалению электрона. На основе идеально-газовых представлений, как и ранее [(1.1.14), (1.1.14’ ), (1.1.15), (1.1.15’ ), (1.1.15’ ’ )], получим соотношение для концентраций КЧ: (1.2.3) где Q m , Q m -1 – статистический вес соответственно m - и ( m -1) – кратно ионизованной частицы КДФ; m e – масса электрона; h и k – постоянные Планка и Больцмана. Обозначив n 0 концентрацию нейтральных КЧ в системе, построим цепочку уравнений Саха (1.2.3), считая что для макрочастиц Q m / Q m -1 =1. Частицы плазмозоля с положительными зарядами дают последовательность уравнений, которыми определяются все более высокие степени ионизации отдельной КЧ. Таким образом, получаем набор уравнений для процессов термоэмиссии электрона с поверхности идентичных сферических частиц с зарядами q m -1 =( m -1) e , где m = 1, 2, 3, …, : (1.2.4) В уравнениях (1.2.4) К обозначена константа Саха для процесса термоэмиссии электрона с поверхности незаряженной частицы плазмозоля, т.е. для реакции . Выражая из m – го уравнения с помощью , которое в свою очередь, можно выразить из ( m -1) – го уравнения, и так далее, продолжая этот процесс вплоть до первого уравнения системы (1.2.4), получаем . (1.2.5) После некоторых преобразований произведение в последней формуле запишем так: . (1.2.6) В данном случае введены обозначения (1.2.7) Аналогично для отрицательных степеней ионизации дисперсных частиц получим: (1.2.8) По последнему уравнению (1.2.8) найдем . Выразим далее из предыдущего уравнения этой системы и подставим его в выражение для . Продолжив, как и ранее, этот процесс вплоть до первого уравнения (1.2.8), окончательно получим . (1.2.9) Уравнения (1.2.5) и (1.2.9) связывают концентрацию нейтральных частиц КДФ в плазмозоле с концентрациями m – кратно ионизованных положительных(1.2.9) макрочастиц. Совместно с законом сохранения заряда (1. 2.10 ) и условием сохранения полного числа КЧ в плазмозоле (1.2.11) ( n p – концентрация частиц КДФ) они позволяют определить замкнутую систему уравнений термоионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Из (1.2.10) и (1.2.11) можно найти среднюю ионизацию частиц КДФ, т.е. их среднее зарядовое число: (1 . 2.12) и относительную концентрацию электронейтральных макрочастиц в системе . (1.2.13) Как показал Саясов, соотношения, аналогичные (1.2.12) и (1.2.13), могут быть преобразованы с помощью эллиптических и – функций к удобному для математического анализа виду: (1. 2.14 ) (1.2.15) Здесь (1.2. 16 ) m =1,2,… . На основе таблиц и – функций построены зависимости lg ( n e / K ) от lg ( n p / K ) при различных значениях параметра у 2 , охватывающие достаточно широкий диапазон изменения размеров КЧ r p и температур Т монодисперсного плазмозоля. После некоторых преобразований приходим к формуле Эйнбиндера, которая достаточно точна для высоких степеней ионизации частиц. На рис.2 в координатах ( lg r p , lg T ), изображена область применения формулы (1.2.17) к описанию ионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Множество точек плоскости ( r p , T ), соответствующее заштрихованной области I , выделяет состояния плазмозоля, для которых с относительной погрешностью применима приближенная формула Эйнбиндера (1.2.17). Эта формула является следствием идеально-газового приближения, т.е. получена без учета влияния микрополей на ионизацию частиц, а следовательно, корректна для систем газ – макрочастицы, в которых влиянием этих полей на ионизационные процессы можно пренебречь. Точность (1.2.17) повышается с усилением ионизации частиц КДФ, однако при этом все более начинают сказываться эффекты объемного заряда, что ограничивает его применимость “сверху” (в области больших зарядов свойства плазмозоля не могут аппроксимироваться идеально-газовым приближением). Область II на рис.2, ограниченная координатными осями и линией с=1 ( линия I ), соответствует состояниям плазмозоля, которые = 2 ру 2 ≤ 1, так что exp (-рс) ≤ 0.1 и в (1.2.14) для среднего заряда КЧ логарифмическую производную d / dy ( lnи 3 ( y , с )) удобнее представить в виде разложения по параметрам yґ и с ґ [15, с.96]: (1.2.18) Распределение частиц КДФ по зарядам можно найти, используя (1.33), по которой определяют также относительную концентрацию дисперсных частиц с зарядовым числом m . Оно совпадает с нормальным (гауссовским) распределением [16], в котором у имеет смысл дисперсии распределения. В случае малой дисперсии у 2 <<1 или с ≤1, т.е. состояний плазмозоля, соответствующих точкам области II , имеем резкое распределение по зарядам и термоионизационное равновесие лимитируется основной реакцией . (1.2.19) Здесь ( E - Entier (целая часть) от y ), т.е. большинство частиц в системе имеет кратность ионизации и , а средний заряд y - центр распределения Гаусса удовлетворяет неравенствам ≤ y ≤ . При высокой степени ионизации частиц n e / n = z >>1 приближение Эйнбиндера можно распространить на всю область параметров r p , n p и значение y z . Причем связь между n e – средней концентрацией электронов и средним зарядом конденсированной частицы в соответствии с (1.2.19) (1.2.20) где . В случае сильной ионизации частиц , так что (1.2.20) фактически совпадает с формулой, полученной Сагденом и Тращем из решения кинетической задачи о термоэмиссии электронов с идентичных частиц с зарядом ze . В газовой фазе могут присутствовать легкоионизующиеся атомы (обычно атомы щелочных металлов) в виде естественных добавок (плазма продуктов сгорания) или вводится дополнительно с целью повышения ионизации. Наличие ионизующихся атомов в газовой подсистеме приводит к необходимости учета сложного баланса объемных и поверхностных процессов, определяющий межфазный обмен энергией, массой, импульсом и электрическим зарядом в НТП с КДФ. При этом частицы КДФ, являясь источниками и стоками электронов, могут как повышать в плазме n e , так и способствовать ее понижению. 1.3. Учет ионизации атомов легкоионизируемой присадки . Основные предположения модели плазмы с макрочастицами, содержащей атомы легко ионизующихся элементов (щелочных металлов), следующие: в состоянии термодинамического равновесия температуры газа и частиц одинаковы; каждая из макрочастиц с точностью до флуктуаций сохраняет свой равновесный заряд z e ; в газовой фазе сохраняются неизменными средние концентрации атомных зарядов – электронов и ионов. В модели Лукьянова предполагается, что равновесная система неограниченна, а “частичная” подсистема (ансамбль частиц КДФ) состоит из однородно ионизованных (имеющих один и тот же заряд q = z e ) идентичных сферических частиц радиуса r p с работой выхода W . Связь между концентрацией электронов n e в газовой фазе и зарядом отдельной дисперсной частицы определяется с помощью формулы Ричардсона – Дешмана [17,с.213] для плотности тока термоэлектронной эмиссии с поверхности КЧ. Этот ток уравновешивается потоком электронов прилипания, т.е. тех газовых электронов, которые за единицу времени “оседает” на частицы КДФ. В результате получаем уже известную формулу (1.2.20), в которой заменено : . (1.3. 1 ) Кроме частиц КДФ, в газовой фазе присутствуют легко ионизующиеся щелочные атомы, которые также вносят свой вклад в равновесную концентрацию электронов n e . Пренебрегая влиянием микрополей на ионизацию атомарных частиц запишем для них формулу Саха (см. (1.1.16)): . (1. 3.2 ) Учитывая более высокие степени ионизации атомов, получаем цепочку уравнений Саха. Однако для интервала температур Т=2000….3500 К вклад этих степеней пренебрежимо мал, и в систему ионизационных уравнений входит только первое – (1.3.2). Используя условия электронейтральности плазмы и закон сохранения массы для щелочной компоненты, получаем замкнутую систему термоионизационного равновесия: (1.3.3) Система (1.3.3) записана в принятых обозначениях и представляет собой систему ионизационных уравнений Лукьянова [18]. На рис.3 показаны расчетные зависимости концентрации электронов (рис.3.а) и заряда частиц окиси алюминия (рис.3.б) от исходного содержания щелочных атомов (атомов калия), полеченных в [18]. Линии I и 2 соответствуют размерам r p частиц Al 2 O 3 . Штриховая линия 3 определяет ионизацию в чисто газовой плазме с теми же параметрами. Она проведена для наглядности несколько выше, поскольку для n A >10 12 c м -3 практически сливается с линиями 1,2. Видно, что при малых концентрациях щелочных атомов ( n A <2 10 8 см -3 ) частицы КДФ способствуют повышению концентрации электронов в газовой фазе по сравнению с чисто газовой системой в тех же условиях (при таких же температуре и парциальном давлении щелочных атомов). При более высоких концентрациях атомов щелочной присадки оказывается деонизирующее влияние дисперсных частиц: их заряд отрицателен и они служат стоками электронов (рис.3.б). Дальнейшее повышение концентрации легко ионизующихся атомов приводит к росту n e и его асимптотическому приближению (“снизу”) к зависимости по Саха, т.е. формулой (1.1.18). Вне зависимости от размера заряд дисперсных частиц проходит через 0 при значении n e = n s . Преобразуем систему (1.3.3) к удобному для аналитического рассмотрения виду. Из первого и четвертого уравнений .Используя второе и третье уравнения (подставляем выражение для n i в третье уравнение, из него n e выражаем z и определяющие параметры системы K S , n p , n A ; подставляем это соотношение в левую часть второго уравнения), окончательно получаем (1.3.4) Трансцендентное уравнение (1.3.4) относительно зарядового числа z дисперсной частицы в символическом виде запишем так: Ш( z )=0 (1.3.5) Уравнение (1.3.5) однозначно решает вопрос об ионизации частиц и газа в модели, в которой не учитываются эффекты объемного заряда, существенно влияющие на электрон-ионные процессы в плазме. Как показывают эксперименты, отрицательные заряды частиц КДФ в плазме со щелочными присадками достаточно велики ( z ≥10 4 ), что ограничивает применимость этой модели. По характеру используемых физических допущений ее следует отнести к классу идеально-газовых моделей. 2. Дебаевский подход моделирования гетерогенных кулоновских систем. Модели дебаевского типа заимствуют представления из теории слабых электролитов Дебая – Хюнкеля [19]. Каждая частица КДФ, как и ион [19], поляризует свое окружение, что приводит к появлению избыточного усредненного заряда в окрестности выделенного (рассматриваемой частицы КДФ), т.е. к эффектам электростатического экранирования. Закон распределения избыточного заряда в окрестности КЧ определяется больцмановской статистикой для концентраций заряженных частиц в самосогласованном электростатическом поле в системе координат частицы. Распределение потенциала ц и объемного заряда с ( избыточного заряда) подчинены уравнению Пуассона. Совместно с законом сохранения заряда для объема, занятого плазмой, а также больцмановскими распределениями зарядов в поле частицы, оно составляет замкнутую систему уравнений для зарядового числа z выделенной КЧ. 2.1. Объемный заряд и потенциал в плазмозоле. Рассмотрим бесконечную среду, содержащую идентичные сферические частицы КДФ, равномерно распределенные в нейтральном газе с высоким потенциалом ионизации ( I q >> kT ), T – температура газа и частиц. В результате электростатических взаимодействий локальные концентрации электронов и дисперсных частиц в окрестности выделенной КЧ отличаются от средних по объему, и избыточный заряд вблизи КЧ (фактически усредненная по времени плотность электростатического заряда среды в системе координат КЧ) будет (2.1.1) где - радиус вектор точки, z – средний заряд КЧ, e – элементарный заряд. В (2.1.1) предполагается, что все частицы КДФ имеют один и тот же – заряд z . Распределение избыточного заряда (2.1.1) и самосогласованного потенциала связаны уравнением Пуассона . (2.1.2) Электронейтральные молекулы буферного газа, поляризуясь в поле КЧ, также вносят свой вклад в экранирование. Поэтому в правую часть (2.1.2) должна входить (в общем случае) диэлектрическая проницаемость . Однако, для рассматриваемых давлений (р~1….10 МПа) 1 и не учитывается. Поскольку система неограниченна и в ней нет выделенных направлений, оператор Лапласа Д в (2.1.2) содержит только радиальную часть, а функции точки - локальные концентрации электронов и частиц будут зависеть только от расстояния . Интегрируя уравнение (2.1.1) по всему объему плазмы, не содержащему выделенной КЧ, для изотропного случая (сферически симметричное распределение избыточного заряда) получаем . (2.1.3) Уравнение (2.1.3) отражает факт электронейтральности плазмозоля. Локальные концентрации и связанны с усредненными по объему концентрациями n e и n p больцмановскими соотношениями: (2.1.4) Отметим, что (2.1.4) справедливы только в случае слабой ионизации дисперсных частиц, т.е. при . В этом приближении они допускают линеаризацию. Из уравнения (2.1.1), которое определяет избыточный заряд в окрестности рассматриваемой КЧ и условия, вытекающего из закона сохранения заряда для среды в целом, zn p - n e =0 , (2.1.5) находим связь между распределением усредненного электростатического потенциала и избыточного заряда . Окончательно приходим к дифференциальному уравнению 2-го порядка для избыточного заряда в окрестности заданной КЧ: . (2.1.6) Посредством D 2 (квадрат дебаевского радиуса для плазмозоля идентичных частиц) обозначена константа (2.1.7) Граничные условия для дифференциального уравнения (2.1.6) можно записать из следующих физических соображений: 1) в плазмозоле идентичных эмитирующих частиц усредненная плотность объемного заряда у поверхности КЧ должна определяться балансом потоков электронов эмиссии и прилипания (потока газовых электронов, поглощенных поверхностью КЧ); 2) на бесконечности (при r )плотность избыточного заряда должна обращаться в нуль. Таким образом, приходим к граничным условиям Дирихле (задаются значения самой функции – плотности избыточного заряда (r) на поверхности КЧ и вдали от нее): и ( r )= и ; и ( )=0. (2.1.8) Отбросив растущее на бесконечности частное решение (2.1.6), представим выражение для избыточного заряда и(r) в виде (2.1.9) Подставляя его в уравнение электронейтральности плазмоля (2.1.3) и производя интегрирование, получаем . (2.1.10) Таким образом, имеем трансцендентное уравнение для зарядового числа КЧ в плазмозоле. Поверхностная плотность избыточного заряда параметрически зависит от электростатического заряда z и определяется как (2.1.11) где Q – отношение статистических весов частицы p в зарядовых состояниях z +1 и z ; Ф z – работа выхода электрона с поверхности заряженной частицы радиуса r p . Вследствие наличия собственных размеров частицы КДФ не могут приблизиться на расстояния r <2 r p и поэтому объемный заряд на поверхности (при r = r p +0) КЧ равен плотности электронной компоненты. Подставляя (2.1.11) в (2.1.10), получаем уравнение для среднего зарядового числа z КЧ в плазмозоле. Решив это уравнение относительно z и подставив найденное значение корня в условие электронейтральности среды (2.5), получим среднее значение концентрации электронов в газовой фазе: n e = zn p . (2.1.12) Таким образом, уравнения (2.1.10) – (2.1.12) полностью решают вопрос об ионизационном равновесии в плазмозоле идентичных сферических частиц в рамках дебаевского рассмотрения. 2.2. Зависимость электронной концентрации от определяющих параметров плазмы. Гетерогенная плазма, состоящая из двух подсистем: “частичной” – заряженных частиц КДФ и газовой – нейтрального буферного газа с эмитированными КДФ электронами, характеризуется параметрами, на основе которых можно однозначно в рамках той или иной модели рассчитать ее равновесный состав. Кроме термодинамических параметров ( T , P , V ), характеризующих плазму в целом, каждая из подсистем определяется своими параметрами. Для ансамбля макрочастиц КДФ – это их размер или функция распределения по размерам в полидисперсной системе, работа выхода W вещества частиц. Свойства атомарных частиц в газовой фазе определяются потенциалами ионизации I j парциальными давлениями компонент P j , т.е. счетными концентрациями атомарных частиц каждого сорта n Aj . Основная цель описания термической ионизации в любой из моделей – построение зависимостей электрофизических параметров системы (плазмы с КДФ) от ее определяющих параметров. При математической формулировке задачи физическая модель обычно сводится к решению соответствующей системы уравнений сохранения и кинетики, записанной для термодинамического равновесия. После преобразований системы ионизационных уравнений приходят в конечном итоге к решению трансцендентного уравнения (см., например (1.2.14)), выражающего функциональную связь между определяющими – исходными параметрами задачи и искомыми (в данном случае электрофизическими). Так, уравнение (2.2.1) связывает усредненный заряд дисперсной частицы, а значит, и концентрацию электронов n e = zn p , со всеми остальными параметрами, характеризующими плазмозоль, а именно: температурой Т, размером частиц КДФ r p , их концентрацией n p (входит в определение D ), работой выхода с поверхности материала частиц W . Таким образом, исследование зависимости концентрации электронов n e в равновесном плазмозоле идентичных частиц от определяющих параметров (Т, r p , n p , W ) можно проводить на основе анализа решения (2.2.1) в пространстве параметров задачи. Общие параметры Т, n p характеризуют систему в целом, а r p , W определяют свойства отдельных макрочастиц. Если добавить сюда искомые параметры z и n p , то каждая точка (Т, r p , n p , W , z , n e ) в пространстве параметров задачи будет определять некоторое состояние ионизации в плазмозоле. Причем реализующимся состояниям соответствуют точки, которые лежат на “поверхности”, задаваемой в пространстве параметров (2.2.1). Это уравнение множеству точек (Т, r p , n p , W ) ставит в соответствие множество решений задачи ( z , n e ). Символически связь между z и определяющими параметрами запишем так: F(z, T, W, n p , r p )=0 (2.2.2) 3. Ячеечные модели плазмы, содержащей частицы. Расчет равновесных состояний ионизации в системах с сильным кулоновским взаимодействием частиц конденсированной фазы (К-фазы) и газа, т.е. в случае, когда , (3.1) не может быть реализован в рамках дебаевского рассмотрения, так как в правой части уравнения Пуассона (2.1.2) не представляется возможным связать средние по объему концентрации заряженных частиц с их локальными концентрациями в системе координат выделенной КЧ. Это привело к появлению моделей, использующих решение нелинейного уравнения Пуассона в ограниченной области – ячейке [20]. В существующих моделях этого класса для плазмозолей концентрация электронов вблизи поверхности КЧ определена законом термоэмиссии, а область электронейтральности содержит одну – сферическая симметрия (модель Гибсона [20], ее модификация) или две – цилиндрическая симметрия – частицы КДФ одинакового размера, которые в последнем случае могут отличаться сортом. Главная особенность этих моделей в сферически симметричном случае – предположение о том, что весь объем плазмы можно заменить совокупностью сферических ячеек, каждая из которых содержит строго одну из идентичных сферических частиц. Для случая двух сортов частиц К-фазы объем плазмозоля заменяется совокупностью цилиндрических ячеек, содержащих две либо одинаковые, либо различающиеся сортом дисперсные частицы. Граничные условия для нелинейного уравнения Пуассона (2.1.2) выбираются на поверхности КЧ и на границе ячейки. Эти идеи распространяются на случай существенной нелинейности в правой части (2.1.2). Статистический подход к моделированию электрофизических свойств НТП с КДФ, по характеру используемых представлений также может быть отнесен к классу ячеечных. Здесь ограниченная область экранирования выделенной КЧ является усредненным по ансамблю Гиббса электронейтральным объемом, в котором КЧ находится в последовательные моменты времени. Рассмотрим специфические особенности ячеечного подхода согласно работе Гибсона [20], в которой впервые изучена возможность распространения результатов, полученных для индивидуальных частиц К-фазы в ячейке на весь объем, занятый гетерогенной плазмой. 3.1. Ионизация системы газ – частицы в модели Гибсона. В состоянии термодинамического равновесия распределение потенциала и объемного заряда тесно связаны между собой и подчинены уравнению Пуассона (2.1.2). Термоионизационное равновесие системы газ – частицы будет полностью определено, если одновременно найдены оба распределения: заряда с и потенциала ц. Таким образом, описать ионизацию в плазме газ – частицы – значит решить уравнение Пуассона при некоторых упрощающих предположениях, используемых в модели. В [20] предполагается, что в плазмозоле идентичных частиц (в системе макрочастицы + излученные ими электроны + электрически и химически нейтральный буферный газ) в состоянии термодинамического равновесия наблюдается однородная ионизация дисперсных частиц (все частицы К-фазы имеют один и тот же заряд q = ze , z – зарядовое число, е – элементарный заряд). Плазма электрически нейтральна, а распределения объемного заряда электронов и потенциала в плазме связаны больцмановским коэффициентом, т.е. электроны в поле частиц распределены по Больцману: , (3.1.1) где r – расстояние от центра макрочастицы; n eb – концентрация электронов на расстоянии b от выделенной КЧ; - электростатический потенциал; k – постоянная Больцмана; T – температура; b – радиус сферически-симметричной ячейки, в которой, согласно основному допущению модели [20], частица КДФ оказывается полностью за экранированной электронным газом, т.е. (3.1.2) Радиус b определяется объемом, отведенным в плазмозоле на одну дисперсную частицу: . (3.1.3) Связь электронной плотности в ячейке с распределением электростатического потенциала задается уравнением (2.1.2), которое запишем: . (3.1.4) Учитывая граничные условия (3.1.2), имеем задачу Коши. Ее решение параметрически зависит от концентрации электронов на границе ячейки n eb . Если при этом известна электронная концентрация на поверхности КЧ, т.е. для r = r p – радиусу частиц конденсата, приходим к замкнутой системе уравнений для определения концентрации электронов в плазме. Действительно, из уравнения Пуассона (3.1.4) находим параметрическую зависимость потенциала в ячейке от n eb . Подставляя эту зависимость в распределение Больцмана (3.1.1) и учитывая, что , можно в символическом виде записать . (3.1.5) Таким образом, получили трансцендентное уравнение относительной переменной n eb . Разрешив его относительно n eb и подставив n eb в уравнение, выражающее факт электронейтральности ячейки, получим значение среднего заряда КЧ в плазме: . (3.1.6) Окончательно средняя по объему концентрация электронов в плазмозоле: . (3.1.7) Изложенная последовательность шагов расчета ионизации плазмозоля дает возможность строить конкретные алгоритмы числовых расчетов, предполагающих их реализацию на ЭВМ. Расчеты, приведенные в [20] реализованы на основе подпрограмм, содержащих в своей основе три основных момента: вычисление зависимости ; определение концентрации электронов на границе ячейки решением трансцендентного уравнения относительно n eb ; вычисление заряда КДФ – z и средней концентрации электронов в объеме плазмозоля – n e . Концентрация электронов на внутренней границе ячейки в модели определяется законом термоэмиссии Ричардсона-Дешмана: . (3.1.8) Здесь К – коэффициент коррекции, учитывающий свойства поверхности КЧ (содержит коэффициент отражения электронов поверхностью дисперсных частиц); В=4,83·10 21 К -3/2 . 3.2. Режим слабого экранирования Прежде чем составлять алгоритм решения задачи с термической ионизации монодисперсного плазмозоля в рамках ячеечной модели, преобразуем (3.1.1) – (3.1.8) к виду, удобному для программирования. Если нормировать значения потенциала на kT , а расстояния посредством b – радиуса ячейки, то математическую модель задачи можно записать как (3.2.1) где введены обозначения: (3.2.2) D b – дебаевский радиус электронов, локализующихся на границе ячейки. Так как вблизи этой границы вследствие непрерывности нормированного потенциала у и его производной dy / dx они оказываются близкими к нулю, экспоненту, входящую в правую часть уравнения Пуассона (3.1.1), разложим в ряд по малому параметру ( x -1): (3.2.3) После дважды интегрированного уравнения, вернемся к безразмерному потенциалу у (умножим выражение на 3/с и разделив на x ), приходим к зависимости (3.2.4) Уравнение (3.2.4) определяет связь безразмерного потенциала у в ячейке с концентрацией свободных электронов на ее внешней границе n eb , которая входит в выражение для константы с. Режим слабого экранирования, описываемый (3.2.4), наиболее часто реализуется на практике в гетерогенной плазме (плазме с КДФ) для микрочастиц в случае, когда r p / D S <5. В таком режиме плотность электронов в ячейке изменяется незначительно (практически однородна), а потенциал в окрестности КЧ кулоновский, т.е. . Таким образом, если среднее по объему значение плотности электронов равно их концентрации на границе ячейки n eb , имеем однородное распределение электронной компоненты и отсутствие экранирования. Малое отличие этих плотностей указывает на слабое экранирование КЧ. Выводы 1. С учетом областей термодинамических параметров реально действующих плазменных устройств существующая модель идеально – газового и дебаевского подхода, должны быть уточнены и расширены на случай плотных плазменных систем с существенным вкладом электростатического взаимодействия термодинамических параметров. 2. Наиболее естественным образом, такое расширение может быть осуществлено для статистической ячеечной модели квазинейтральных ячеек с использованием условного разбиения пространства в не макрочастицы на две области: линейного и не линейного экранирования. В таком подходе аналитическое сопряжение двух решений на границе этих областей дает возможность сформулировать и решить задачу не линейного экранирования макрочастицы в ГПС в замкнутом виде. Полученное решение характеризуется дебаевскими ассимптотиками, а расчетные данные хорошо согласуются с имеющимся экспериментальным материалом. Список литературы 1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. – М.: Наука, 1978. – 583 с. 2. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. – М.: Наука, 1979. – 528 с. 3. Saha M.N. Ionisation in the solar chramosphorell Philosophycal Magazin. – 1920.-v.40 – P.472-488. 4. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976. – 616 с. 5. Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров С.А. Основы физики плазмы. – М.: Автомиздат, 1977. – 384 с. 6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. – М.: Наука, 1974. – 752 с. 7. Самуйлов Е.В. Сечение прилипания электронов к сферическим частицам и теоретическая ионизация частиц // Теплофизика высоких температур. – 1966. – Т.4. - №2. – с.143-147. 8. Фиалков Б.С., Щербаков Н.Д., Акст Н.К., Беседин В.И. Использование электрофизических явлений для контроля и управления теплотехническими и технологтческими процессами // Физика горения и взрыва. – 1983. - № 5. – с. 29. 9. Цветков Ю. В., Панфилов С. А. Низкотемпературная плазма в процессах восстановления. – М.: Наука, 1980. – 350 с. 10. Boxman R.L., goldsmith S. The interaction between plasma and microparticles in a multi-cathode-spot // Vacuum arc. // G. Appol. Phys. – 1981. – V.52. N 1. P 151 157/ 11. Красников Ю. Г., Кучеренко В. И. Термодинамика не идеальной низкотемпературной многокомпонентной плазмы на основе химической модели // Теплофизика высоких темтератур. – 1978. – Т. 16. - № 1. – С. 45 – 53. 12. Dimick R.C., Soo S.L. Scattering of electrons and ions by dust particles in a gas // Phys. Fluids. 1964. – V.7.№ 1. P – 1638 – 1640/ 13. Sodha M.N., Kaw P.K., Srivastava H.K. Conductivity of dust – loden gases // Brit. G.Appl.Phys. – 1965. – V.16. - №5.- P .721 – 723. 14. Самуйлов Е. В. О константе равновесия ионизации частиц // Теплофизика высоких температур. – 1965. – Т. 3. - № 2. – С.216 – 222. 15. Журавский А. М. Справочник по эллепт ическим функциям. – М. – Л.: Изд – во. АН СССР, 1941. – 235 с. 16. Аршинов А. А., Мусин А. К. Равновесная ионизация частиц // Доклады Академи Наук СССР. – 1958. – Т. 120. - № 4. – С.747 – 750. 17. Добрецов Л. Н., Гомоюнова М. В. Эмиссионная электроника. – М.: Наука, 1966. – 564 с. 18. Лукьянов Г А. Ионизация в разряженной низкотемпературной плазмы при наличии твердой фазы и примеси щелочного металла // Теплофизика высоких температур. – 1976. – Т. 14 - № 3. – С. 462 – 468. 19. Debye P., Huckel E. Zur Fheorie der Electrolyte. I.Gefrierpunktsniedrigung und vervandte Erscheinungen // Phys. Zschr. – 1923 – B.24. – S.185 – 206. 20. Gibson E. Ionisation phenomena in a – gas – particle – plasmall Phys. Fluids. – 1966.-V.9. - №12. – P.2389 – 2399.