ПОЧЕМУ МЫ ЗАГОВОРИ ЛИ О ФРАКТАЛАХ ? Во второй половине нашего века в естествознании произошли фундаментальные изменения , породившие так называемую теорию самоорганизации , или синергетику . Она родилась внезапно , как бы на скрещении нескольких линий научного исследования . Од ин из решающих начальных импульсов был предан ей российскими учеными на рубеже пятидесятых - шестидесятых годов . В пятидесятых годах ученый химик-аналитик Б . П . Белоусов открыл окислительно-восстановительную химическую реакцию . Открытие и изучение авток о лебаний и автоволн в ходе реакции Белоусова С . Э . Шнолем , А . М . Жаботинским , В.И . Кринским , А . Н . Заикиным , Г . Р . Иваницким - едва ли не самая блестящая страница фундаментальной российской науки в послевоенный период . Быстрое и успешное изучение ре акции Белоусова - Жаботинского сработало в науке как спусковой крючок : сразу вспомнили , что и раньше были известны процессы подобного рода и что многие природные явления , начиная от образования галактик до смерчей , циклонов и игры света на отражаю щ их поверхностях ( так называемых каустиках ), - по сути дела процессы самоорганизации . Они могут иметь самую различную природу : химическую , механическую , оптическую , электрическую и тому подобное . Более того , оказалось , что уже давно была готова и прекр а сно разработана математическая теория самоорганизации . Ее основу заложили работы А . Пуанкаре и А . А . Ляпунова еще в конце прошлого века . Диссертация "Об устойчивости движения " написана Ляпуновым в 1892 году. Математическая теория самоорганизаци и заставляет нас по-новому взглянуть на окружающий нас мир . Объясним , чем она отличается от классического мировоззрения , так как нам это будет необходимо знать при изучении фрактальных объектов. "Классическое однозначно - детерминистическое мирово ззрение может символизироваться ровной гладкой поверхностью , на которой соударяются шары , получившие определенный количества движения . Будущая судьба каждого такого тела однозначно определена его "прошлым " в предыдущий момент времени (количеств о м движения , зарядом ) и взаимодействием с другими телами . Никакой целостностью такая система не обладает ." ( Л . Белоусов . Посланники живой грозы . \\ Знание - сила . N 2. 1996. - с .32). Таким образом , классическая наука верила , что будущее такой системы ж естко и однозначно определено ее прошлым и , при условии знания прошлого , неограниченно предсказуемо . Современная математика показала , что в некоторых случаях это не так : например , если шары ударяются о выпуклую стенку , то ничтожно малые различия в их траекториях будут неограниченно нарастать , так что поведение системы становиться в определенный момент непредсказуемым . Тем самым позиции однозначного детерминизма оказались подорванными даже в сравнительно простых ситуациях. Мировоззрение , осно ванное на теории самоорганизации , символизируется образом горной страны с долинами , по которым текут реки , и хребтами-водоразделами . В этой стране действуют мощные обратные связи - как отрицательные , так и положительные . Если тело скатывается вниз по склону , то между его скоростью и положением существует положительная обратная связь , если оно пытается взобраться вверх , то отрицательная . Нелинейные (достаточно сильные ) обратные связи – непременное условие самоорганизации . Нелинейность в мировоззре н ческом смысле означает многовариантность путей эволюции , наличие выбора из альтернативных путей и определенного темпа эволюции , а также необратимость эволюционных процессов . Например , рассмотрим взаимодействие двух тел : А и В . В – упругий древесный ствол, А – горный поток в нашей стране . Поток сгибает ствол по направлению движения воды , но по достижении некоторого изгиба ствол под действием упругой силы может распрямиться , отталкивая частицы воды обратно . То есть мы видим альтернативу взаимодейст в ия двух тел А и В . Причем , это взаимодействие происходит таким образом , что связь А-В - положительна , а В-А - отрицательна . Соблюдается условие нелинейности. Более того , в теории самоорганизации мы можем заставить нашу горную страну "жить ", то есть изменяться во времени . При этом важно выделить переменные различного порядка . Такая иерархия переменных по времени является необходимым условием упорядочения самоорганизации . Нарушьте ее , "смешайте " времена - наступит хаос (пример - землетрясение , ког д а сдвиги геологического порядка происходят за считанные минуты , а должны - за несколько тысячелетий ).Впрочем , как выявляется , живые системы не так уж и боятся хаоса : они живут на его пределе , иногда даже впадая в него , но все же умеют , когда н а до , из него выбираться . При этом самыми важными оказываются наиболее медленные по времени переменные (их называют параметрами ). Именно значения параметров определяют , каким набором устойчивых решений будет обладать система и , таким образом , какие с т руктуры могут быть в ней вообще реализованы . В то же время более быстрые (динамические ) переменные отвечают за конкретный выбор реализуемых устойчивых состояний из числа возможных . Принципы нелинейности и альтернативы выбора развития любого п роцесса , развития системы реализуется и при построении фракталов . Как стало ясно в последние десятилетия (в связи с развитием теории самоорганизации ), самоподобие встречается в самых разных предметах и явлениях . Например , самоподобие можно наблюдать в в етках деревьев и кустарников , при делении оплодотворенной зиготы , снежинках , кристаллах льда , при развитии экономических систем (волны Кондратьева ), строении горных систем , в строении облаков . Все перечисленные объекты и другие , подобные им по своей с труктуре , называются фрактальными . То есть они обладают свойствами самоподобия , или масштабной инвариантности . А это значит , что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки . Очевидно , что эти о бъекты могут иметь любую природу , причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба. Таким образом , можно сказать , что фракталы как модели применяются в том случае , когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей . А это значит , что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной природой данных . Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей развития , наличие выбора из альтернатив путей и определенного темпа эволюции , а также н е обратимость эволюционных процессов . Нелинейность в математическом смысле означает , определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения ), содержащих искомые величины в степенях , больше единицы или коэффициенты , зависящие от св о йств среды . То есть , когда мы применяем классические модели (например , трендовые , регрессионные и т . д .), мы говорим , что будущее объекта однозначно детерминированное . И мы можем предсказать его , зная прошлое объекта ( исходные данные для моделирования ). А фракталы применяются в том случае , когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением , в котором она находится на данный момент . То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие. Что же нам дает применение фра кталов ? Они позволяют намного упростить сложные процессы и объекты , что очень важно для моделирования . Позволяют описать нестабильные системы и процессы и , самое главное , предсказать будущее таких объектов. I РАЗДЕЛ ТЕОРИЯ ФРАКТАЛОВ ПРЕДПОСЫЛК И ВОЗНИКНОВЕНИЯ Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст . Она появилась в конце шестидесятых годов на стыке математики , информатики , лингвистики и биологии . В то время компьютеры все больше проникали в жизнь людей , ученые начинали при менять их в своих исследованиях , росло число пользователей вычислительных машин . Для массового использования компьютеров необходимо стало облегчить процесс общения человека с машиной . Если в самом начале компьютерной эры немногочисленные программист ы -пользователи самоотверженно вводили команды в машинных кодах и получали результаты в виде бесконечных лент бумаги , то при массовом и загруженном режиме использования компьютеров возникла необходимость в изобретении такого языка программирования , к оторый был бы понятен для машины , и в то же время , был бы прост в изучении и применении . То есть пользователю требовалось бы ввести только одну команду , а компьютер разложил бы ее на более простые , и выполнил бы уже их . Чтобы облегчить написание трансляторов , на стыке информатики и лингвистики возникла теория фракталов , позволяющая строго задавать взаимоотношения между алгоритмическими языками . А датский математик и биолог А . Линденмеер придумал в 1968 году одну такую грамматику , названную и м L - системой , которая , как он полагал , моделирует также рост живых организмов , в особенности образование кустов и веток у растений. Вот как выглядит его модель . Задают алфавит - произвольный набор символов . Выделяют одно , начальное слово , называемое а ксиомой , - можно считать , что оно соответствует исходному состоянию организма – зародышу . А потом описывают правила замены каждого символа алфавита определенным набором символов , то есть задают закон развития зародыша . Действуют правила так : прочитывае м по порядку каждый символ аксиомы и заменяем его на слово , указанное в правиле замены. Таким образом , прочитав аксиому один раз , мы получаем новую строку символов , к которой снова применяем ту же процедуру . Шаг за шагом возникает все более длинная строка – каждый из таких шагов можно считать одной из последовательных стадий развития “организма” . Ограничив число шагов , определяют , когда развития считается законченным. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ Отцом фракталов по праву можно считать Бен уа Мандельброта . Мандельброт является изобретателем термина “фрактал” . Мандельброт писал : “ Я придумал слово “фрактал” , взяв за основу латинское прилагательное “ fractus ” , означающее нерегулярный , рекурсивный , фрагментный” . Первое определение фр акталам также дал Б . Мандельброт : Фрактал – самоподобная структура , чье изображение не зависит от масштаба . Это рекурсивная модель , каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом. На сегодняшний день существует много ра зличных математических моделей фракталов . Отличительная особенность каждой из них является то , что в их основе лежит какая-либо рекурсивная функция , например : x i = f ( x i -1 ) . С применением ЭВМ у исследователей появилась возможность получать графические и зображения фракталов . Простейшие модели не требуют больших вычислений и их можно реализовать прямо на уроке информатики , тогда как иные модели настолько требовательны к мощности компьютера , что их реализация осуществляется с применением суперЭВМ . Кст а ти , в США изучением фрактальных моделей занимается Национальных Центр Приложений для Суперкомпьютеров ( NCSA ) . В данной работе мы хотим показать только несколько моделей фракталов , которые нам удалось получить . 1. Модель Мандельброта. Бенуа Манде льброт предложил модель фрактала , которая уже стала классической и часто используется для демонстрации как типичного примера самого фрактала , так и для демонстрации красоты фракталов , которая также привлекает исследователей , художников , просто интер е сующихся людей. Математическое описание модели следующее : на комплексной плоскости в неком интервале для каждой точки с вычисляется рекурсивная функция Z = Z 2 + c . Казалось бы , что такого особенного в этой функции ? Но после N повторений данной процеду ры вычисления координат точек , на комплексной плоскости появляется удивительно красивая фигура , чем-то напоминающая грушу. В модели Мандельброта изменяющимся фактором является начальная точка с, а параметр z , является зависимым . Поэтому для постро ения фрактала Мандельброта существует правило : начальное значение z равно нулю ( z =0 )! Это ограничение вводится для того , чтобы первая производная от функции z в начальной точке была равна нулю . А это означает , что в начальной точке функция имеет миним ум , и в дальнейшем она будет принимать только большие значения. Мы хотим заметить , что если рекурсивная формула фрактала имеет другой вид , то тогда следует выбирать другое значение начальной точки для параметра Z . Например , если формула имеет вид z = z 2 + z + c , то начальная точка будет р авна : 2* z +1=0 Ю z = -1/2 . В данной работе мы имеем возможность привести изображения фракталов , которые были построены в NCSA . Мы получили файлы с изображениями через сеть Internet . Рис .1 Фрактал Мандельброта Вам уже известна математическая модель фрактала Мандельброта . Теперь мы покажем , как она реализуется графически . Начальная точка модели равна нулю . Графически она соответствует центру т ела “ груши ” . Через N шагов заполнятся все тело груши и в том месте , где закончилась последняя итерация , начинает образовываться “голова” фрактала . “Голова” фрактала будет ровно в четыре раза меньше тела , так как математическая формула фрактала пр едставляет из себя квадратный полином . Затем опять через N итераций у “тела” начинает образовываться “почка” (справа и слева от “тела” ). И так далее . Чем больше задано числе итераций N , тем более детальным получится изображение фрактала , тем больше бу дет у него различных отростков . Схематическое изображение стадий роста фрактала Мандельброта представлено на рис .2: Рис .2 Схема образования фрактала Мандельброта Из рисунков 1 и 2 видно , чт о каждое последующее образование на “теле” точно повторяет в своем строении само тело . Это и есть отличительная черта того , что данная модель является фракталом . На следующих рисунках показано , как будет изменяться положение точки , соответствующе й параметру z , при различном начальном положении точки c . А ) Начальна я точка в “теле” Б ) Начальная точка в “голове” В ) Начальная точка в “почке” Г ) Начальная точка в “почке” второго уровня Д ) Начальная точка в “почке” третье го уровня Из рисунков А - Д хорошо видно , как с каждым шагом все более усложняется структура фрактала и у параметра z все более сложная траектория . Ограничения на модель Мандельброта : существует доказательство , что в модели Мандельброта | z |<=2 и | c |<=2. 2. Модель Джулии ( Julia set) Модель фрактала Джулии имеет то же уравнение , что и модель Мандельброта : Z = Z 2 + c , только здесь переменным параметром является не c , a z . Соответственно , меняется вся структура фрак тала , так как теперь на начальное положение не накладывается никаких ограничений . Между моделями Мандельброта и Джулии существует такое различие : если модель Мандельброта является статической ( так как z начальное всегда равно нулю ), то модель Джулии является динамической моделью фрактала . На рис . 4 показано графическое представление фрактала Джулии. Рис . 4 Модель Джулии Как видно из рисунка фрактала , он симметричную относительно центральной точки форму , тогда как фрактал Мандельброта имеет форму , симметричную относительно оси. 3. Ковер Серпинского Ковер Серпинского считается еще одной моделью фрактала . Строится он следующим образом : берется квадрат , делится на девять квадратов , вырез ается центральный квадрат . Затем с каждым из восьми оставшихся квадратов проделывается подобная процедура . И так до бесконечности . В результате вместо целого квадрата мы получаем ковер со своеобразным симметричным рисунком . Впервые данную модель пр е дложил математик Серпинский , в честь которого он и получил свое название . Пример ковра Серпинского можно увидеть на рис . 4 d . Рис .4 Построение ковра Серпинского 4. Кривая Коха В начале ХХ века м атематики искали такие кривые , которые ни в одной точке не имеют касательной . Это означало , что кривая резко меняет свое направление , и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности ). Поиски данных кривых были вызваны не п росто праздным интересом математиков . Дело в том , что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика . Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так : беспорядочно движущиеся а томы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение . После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую , которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц . Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам : не иметь касательной ни в одной точке . Математик Кох предложил одну такую кривую . Мы не будем вдаваться в объяснения правила ее построения , а просто приведем ее изображение , из которого все станет ясно ( рис .5). Рис .5 Этапы построения кривой Коха Кривая Коха является еще одним примером фрактала , так как каждая ее часть является уменьшенным изображением всей кривой. 6. Графи ческие изображения различных фракталов В данном пункте мы решили поместить графические изображения различных фракталов , которые мы получили из сети Internet . К сожалению , мы не смогли найти математическое описание этих фракталов , но для того , чтобы понять их красоту , достаточно только рисунков . Рис . 6 Примеры графического представления фракталов II РАЗДЕЛ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТ АЛОВ В ЭКОНОМИКЕ ТЕХНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ Финансовый рынок в развитых странах мира существует уже не одну сотню лет . На протяжении веков люди продавали и покупали ценные бумаги . Данный вид сделок с ценными бумагами приносил участника м рынка доход из-за того , что цены на акции и облигации все время варьировали , постоянно менялись . В течение веков люди покупали ценные бумаги по одной цене и продавали , когда они становились дороже . Но иногда ожидания покупателя не сбывались и це н ы на купленные бумаги начинали падать , таким образом , он не только не получал доход , а еще и терпел убытки . Очень долгое время никто не задумывался , почему так происходит : цена то растет , то падает . Люди просто видели результат действия и не задумывали с ь о причинно-следственном механизме , его порождающем . Так происходило до тех пор , пока американский финансист , один из издателей известной газеты “ Financial Times ”, Чарльз Доу не опубликовал ряд статей , в которых он излагал свои взгляды на функциони рование финансового рынка . Доу заметил , что цены на акции подвержены циклическим колебаниям : после продолжительного роста следует продолжительное падение , потом опять рост и падение . Таким образом , Чарльз Доу впервые заметил , что можно прогнозировать д а льнейшее поведение цены на акции , если известно ее направление за какой-то последний период. Рис .1 Поведение цены по Ч .Доу Впоследствии на основе сделанных Ч.Доу открытий была разработана целая теория технического анализа финансового рынка , которая получила название Теория Доу . Эта теория ведет свое начало с девяностых годов девятнадцатого века , когда Ч.Доу опу бликовал свои статьи . Технический анализ рынков - это методы прогнозирования дальнейшего поведения тренда цены , основанные на знании предыстории его поведения . Технический анализ для прогнозирования использует математические свойства трендов , а не эк ономические показатели ценных бумаг. В середине века двадцатого , когда весь научный мир увлекался только что появившейся теорией фракталов , другой известный американский финансист Ральф Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции , которая была основана на использовании теории фракталов . Эллиот исходил из того , что геометрия фракталов имеет место быть не только в живой природе , но и в общественных процессах . К общественным процессам он относил и торговлю акциями на бирже . ВОЛНОВ АЯ ТЕОРИЯ ЭЛЛИОТА Волновая Теория Эллиота – одна из старейших теорий технического анализа . Со времени ее создания никто из пользователей не вносил в нее каких-либо заметных новшеств . Наоборот , все усилия были направлены на то , чтобы принципы сформулир ованные Эллиотом , вырисовывались более и более четко . Результат – налицо . С помощью теории Эллиота были сделаны самые лучшие прогнозы движения американского индекса Доу-Джонса. Основой теории служит так называемая волновая диаграмма . Волна – это раз личимое ценовое движение . Следуя правилам развития массового психологического поведения , все движения цен разбиваются на пять волн в направлении более сильного тренда , и на три волны – в обратном направлении . Например , в случае доминирующего тренда м ы увидим пять волн при движении цены вверх и три – при движении (коррекции ) вниз. Для обозначения пятиволнового тренда используют цифры а для противоположного трехволнового – буквы . Каждое из пятиволновых движений называют импульсным , а каждое из т рехвоновых - коррективным . Поэтому каждая из волн 1,3,5,А и С является импульсной , а 2,4,и В - коррективной . Рис . 7 Волновая диаграмма Эллиота Эллиот был одним из первых , кто четко определил действие Геометрии Фракталов в природе , в данном случае - в ценовом графике . Он предположил , что в каждая из только что показанных импульсных и коррективны х волн также представляет собой волновую диаграмму Эллиота . В свою очередь , те волны тоже можно разложить на составляющие и так далее . Таким образом Эллиот применил теорию фракталов для разложения тренда на более мелкие и понятные части . Знание этих частей в более мелком масштабе , чем самая большая волновая диаграмма , важно потому , что трейдеры (участники финансового рынка ), зная , в какой части диаграммы они находятся , могут уверенно продавать ценные бумаги , когда начинается коррективная волна , и д олжны покупать их , когда начинается импульсная волна . Рис .8 Фрактальная структура диаграммы Эллиота ЧИСЛА ФИБОНАЧ ЧИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛН Ральф Эллиот первым подал идею использовать числовую последовательность Фибоначчи Последовательность Фибоначчи – последовательность , предложенная в 1202 г . средневековым математиком Леонардо Фибоначчи . Относится к виду возвр атных последовательностей . a 1 =1, а 2 =1, а i =a i-1 +a i-2. Коэффициенты Фибоначчи – частное от деления двух соседних членов последовательности Фибоначчи : K1=a i /a i-1 =1.618, K2=a i-1 /a i =0.618 . Эти коэффициенты представляют собой так называемое “золотое сечен ие”. для составления прогнозов в рамках технического анализа . С помощью чисел и коэффициентов Фибоначчи можно прогнозировать длину каждой волны и время ее завершения . Не затрагивая вопроса времени , обратимся к наиболее часто применяемым правилам определ ения длины Эллиотовских волн . Под длиной в данном случае имеется в виду ее повышение или понижение по шкале цен. 1. Импульсные волны. Волна 3 обычно имеет длину , составляющую 1,618 волны 1, реже – равную ей . Две из импульсных волн часто бывают р авны по длине , обычно это волны 5 и 1. Обычно это происходит , если длина волны 3 меньше , чем 1,618 длины волны 1. Часто встречается соотношение , при котором длина волны 5 равна 0,382 или 0,618 расстояния , пройденного ценой от начала волны 1 до конце волны 3. 2. Коррекции Длины корректирующих волн составляют определенный коэффициент Фибоначчи от длины предшествующей импульсной волны . В соответствии с правилом чередования волны 2 и 4 должны чередоваться в процентном соотношении . Наиболее рас пространенным примером является следующий : волна 2 составила 61,8% волны 1, при этом волна 4 может составлять только 38,2% или 50% от волны 3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В нашей работе приведены далеко не все области человеческих знаний , где нашла свое приме нение теория фракталов . Хотим только сказать , что со времени возникновения теории прошло не более трети века , но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи , которые озарил неведомые доселе факты и закономерн о сти в конкретных областях данных . С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки , возникновение гор и образование облаков , движение цен на бирже и развитие общества и семьи . Может быть , в первое время данное увлеч е ние фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными . Но , без сомнения , данная теория имеет право на существование , и мы сожалеем , что в последнее время она как-то забылась и осталась уделом и збранным . При подготовке данной работы нам было очень интересно находить применения ТЕОРИИ на ПРАКТИКЕ . Потому что очень часто возникает такое ощущение , что теоретические знания стоят в стороне от жизненной реальности . В завершение нашей работы , мы хотим привести восторженные слова крестного отца теории фракталов Бенуа Мандельброта : “Геометрия природы фрактальна !” . В наше время это звучит также дерзко и абсурдно , как знаменитое восклицание Г . Галилея : “А все-таки она вертится !” в XVI веке . СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Шейпак И.А . Фракталы , графталы , кусты… //Химия и жизнь . 1996 № 6 2. Постижение хаоса //Химия и жизнь . 1992 № 8 3. Эрлих А . Технический анализ товарных и фондовых рынков , М : Инфр а-М , 1996 4. Материалы из сети Internet.