План: 1. Происхождение названия “теория относительности” ............................................ стр. 1-2 2. Теория относительности, как современная теория пространства-времени ......... стр. 2-3 3. Постулаты Эйнштейна ............................................................................................... стр. 3-5 4. Вывод преобразрваний Лоренца без постулата о постоянстве скорости света ... стр. 5-9 5. Изображение преобразований Лоренца на плоскости Минковского ............... стр. 10-12 6. Некоторые "парадоксы" теории относительности: 6.а. Сокращение движущихся масштабов ............................................................ стр. 12-13 6 .б. Замедление движущихся часов ......................................................................стр. 13-14 6.в. Парадокс часов ................................................................................................. стр. 14-16 7. Список используемой литературы ............................................................................. стр. 16 Происхождение названия “теория относительности” Название “теория относительности” возникло из наименования основного принципа (постулата), положенного Пуанкаре и Эйнштейном в основу из всех те о ретических построений новой теории пространства и времени. Содержанием теории относительности является физическая теория пр о странства и времени, учитывающая существующую между ними взаимосвязь геометрического хара к тера. Название же “принцип относительности” или “постулат относительности”, возникло как отрицание представления об абсолютной неподвижной системе о т счета, связанной с неподвижным эфиром, вводившимся для объяснения оптич е ских и электроди н амических явлений. Дело в том, что к началу двадцатого века у физиков, строивших теорию о п тических и электромагнитных явлений по аналогии с теорией упругости, сложилось ложное представление о необходимости существования абсолютной неподвижной системы отсчета, связанной с электромагнитным эфиром. Зародилось, таким обр а зом, представление об абсолютном движении относительно системы, связанной с эфиром, представление, противоречащее более ранним воззрениям классической механики (принцип относительности Галилея). Опыты Майкельсона и других ф и зиков опровергли эту теорию “неподвижного эфира” и дали основание для форм у лировки противоположного утверждения, которое и получило название “принципа относительности”. Так это название вводится и обосновывается в первых работах Пуанкаре и Эйнштейна. Эйнштейн пишет: “.. неудавшиеся попытки обнаружить движение Земли относительно “светоносной среды” ведут к предположению, что не только в мех а нике, но и в электродинамике никакие свойства явлений не соответствуют понятию абсолютного покоя, и даже более того,- к предположению, что для всех координа т ных систем, для которых справедливы уравнения механики, имеют место те же с а мые электродинамические и оптические законы, как это уже доказано для величин первого порядка. Мы намерены это положение (содержание которого в дальнейшем будет называться “принципом относительности”) превратить в предпосылку... “ “Принцип относительности” Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн и Минковский; ОНТИ ; 1935 г., стр. 134 А вот что пишет Пуанкаре: “Эта невозможность показать опытным путем абсолютное движение Земли представляет закон природы; мы приходим к тому, чтобы принять этот закон, который мы назовем постулатом относительности , и примем его без оговорок.” “Принцип относительности” Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн и Минковский; ОНТИ ; 1935 г., стр. 51 Но крупнейший советский теоретик Л. И. Мандельштам в своих лекциях по теории относительности Полное собрание трудов, Л. И. Мандельштам; Том 5, стр. 172 разъяснял: “Название “принцип относительности” - одно из самых неудачных. Утверждается независимость явлений от неускоренного дв и жения замкнутой системы. Это вводит в заблуждение многие умы” На неудачность названия указывал и один из творцов теории относительности, раскрывший ее с о держание в четырехмерной геометрической форме, - Герман Минковский. В 1908 г. он утверждал: “... термин “постулат относительности” для требования инвариан т ности по отношению к группе , кажется мне слишком бедным. Так как смысл постулата сводится к тому, что в явлениях нам дается только четырехмерный в пр о странстве и времени мир, но что проекции этого мира на пространство и на время могут быть взяты с некоторым произволом, мне хотелось бы этому утверждению дать название: постулат абсолютного м и ра ” “Принцип относительности” Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн и Минковский; ОНТИ ; 1935 г., стр. 192 Таким образом, мы видим, что названия “принцип относительности” и “теория относительности” не отражают истинного содержания теории. Теория относительности, как современная теория пространства-времени. Содержание теории относительности, как четырехмерной физической те о рии пространства и времени, впервые отчетливо было вскрыто Германом Минко в ским в 1908 г. Лишь опираясь на эти представления, Эйнштейн сумел в 1916 г. п о строить общую теорию пространства-времени, включающую явление гравитации (общая теория относител ь ности). Основным отличием представлений о пространстве и времени теории отн о сительности от представлений ньютоновской физики является ограниченная вза и мосвязь пространства и времени . Эта взаимосвязь раскрывается в формулах пр е образования координат и времени при переходе от одной системе отсчета к другой (преобразования Лоренца) Вообще каждое физическое явление протекает в пространстве и времени и не может быть изображено в нашем сознании иначе, как в пространстве и во врем е ни. Пространство и время суть формы существования материи. Никакой материи не существует вне пространства и времени. Конкретным изображением пространства и времени является система отсчета , т.е. координатно-временное многообразие ч и сел составляющие воображаемую сетку и временную последовательность всех возможных пространственных и временных точек. Одно и то же пространство и время могут изображаться различными координатно-временными сетками (си с темами отсч е та). Вместо чисел пространство-время может изображаться числами причем эти числа не произвольны, а связаны с предыдущими соверше н но определенного вида формулами преобразования, которые и выражают свойства пр о странства-времени. Итак, каждое возможное изображение пространства и времени можно св я зать с определенной системой отсчета, систему отсчета - с реальным телом, коо р динаты - с конкретными точками тела, моменты времени с показаниями конкре т ных часов, расставленных в различных системах отсчета. Тело отсчета необходимо для проведения ко н кретных измерений пространственно-временных отношений. Не следует однако отожествлять систему отсчета с телом отсчета, как это предполагают физики. Физики при изображении явлений пользуются любыми си с темами отсчета, в том числе и такими с которыми невозможно связать какое-либо реальное тело. Основанием для такого выбора служит представление о полном ра в ноправии всех мыслимых систем отсчета. Следовательно, выбор системы отсчета является лишь выбором способа изображения пространства и времени для отобр а жения исследуемого явления. Если выбраны две системы отсчета и , каждая из которых подобным образом изображает одно и то же пространство-время, то, как это установлено в теории относительности, координаты в системах и связаны так, что интервал , опр е деляемый для двух разобщенных событий как (a) остается одинаковым при переходе от Е к Е’ , т.е. (b) Иначе говоря, является инвариантом преобразований Лоренца, связывающих коо р д и наты и время в и : , (c) Из (c) , так же как из (a) и (b) , следует относительность одновременности простра н ственно разобщенных событий, т.е. для двух событий, в системе движущейся со скоростью , будем иметь (d) В этих свойствах пространственно-временных координат и отражается существо новых представлений о пространстве и времени, связанных в единое геометрического типа многообразие, многообразие с особой, определяемой (а) и (b) четырехмерной псевд о евклидовой геометрией, геометрией, в которой время тесно связано с пространством и не может рассматриваться независимо от последнего, как это видно из (d). Из этих же представлений вытекают важнейшие следствия для законов прир о ды, выражаемые в требовании ковариантности (т.е. неизменяемости формы) любых физических процессов по отношению к преобразованиям четырехмерных простра н ственно-временных координат. В требовании также отражается представление о пр о странстве-времени как о едином четырехмерном многообразии. Так представляют себе физики, конкретно применяющие теорию относительности, ее реальное содержание. При этом понятие относительности приобретает лишь смысл возможной множестве н ности пространственно-временных изображений явлений при абсолютности содерж а ния, т.е. законов природы. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца, отражающие свойства пространства-времени, были вывед е ны Эйнштейном, исходя из 2 постулатов: принципа относительности и принципа п о стоянства скорости света. 1. Законы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, находящихся относительно друг друга в равномерном поступательном движении, эти изменения состояния относятся. 2. Каждый луч света движется в “покоящейся” системе координат с определе н ной скоростью , независимо от того, испускается ли этот луч света покоящимся или движущимся телом. Значение этих постулатов для дальнейшего развития теории пространства-времени состояло в том, что их принятие прежде всего означало отказ от старых пре д ставлений о пространстве и времени, как о многообразиях, не связанных органически друг с другом. Принцип относительности сам по себе не представлял чего-либо абсолютно нового, т.к. он содержался и в Ньютоновской физике, построенной на базе класс и ческой механики. Принцип постоянства скорости света также не был чем-то абсолю т но неприемлемым с точки зрения ньютоновских представлений о пространстве и вр е мени. Однако эти два принципа, взятые вместе привели к противоречию с конкретн ы ми представлениями о пространстве и времени, связанные с механикой Ньютона. Это противоречие можно проиллюстрировать следующим парадоксом. Пусть в системе отсчета в начальный момент в точке, совпадающей с началом координат произошла вспышка света. В последующий момент времени фронт световой волны, в силу закона постоянства скорости света, распространился до сферы радиуса с центром в начале координат системы . Однако в соо т ветствии с постулатами Эйнштейна, это же явление мы можем рассмотреть и точки зрения системы отсчета , движущейся равномерно и прямолинейно вдоль оси , так, что ее начало координат и направления всех осей совпадали в момент времени с началом координат и направлениями осей первоначальной системы . В этой движущейся системе, соответственно постулатам Эйнштейна, за время свет также распространится до сф е ры радиуса радиуса , однако, в отличие о предыдущей сферы должен лежать в начале коо р динат системы , а не . Несовпадение этих сфер, т.е. одного и того же физического явления, представляется чем-то совершенно парадоксальным и неприемлемым с точки зрения существующих представлений. Кажется, что для разрешения парадокса надо отказаться от принципа относительности, либо от принципа постоянства скорости св е та. Теория относительности предлагает, однако, совершенно иное разрешение пар а докса, состоящее в том, что события, одновременные в одной системе отсчета , н е одновременны в другой, движущейся системе , и наоборот. Тогда одновременные события, состоящие в достижении световым фронтом сферы, определяемой уравнен и ем , не являются одновременными с точки зрения системы , где одн о временны другие события, состоящие в достижении тем же световым фронтом точек сферы, определя е мой уравнением Таким образом, одновременность пространственно разобщенных событий пер е стает быть чем-то абсолютным, как это принято считать в повседневном макроскоп и ческом опыте, а становится зависящей от выбора системы отсчета и расстояния между точками, в которых происходит события. Эта относительность одновременности пространственно разобщенных событий свидетельствует о том, что пространство и время тесно связаны друг с другом, т.к. при переходе о одной системе отсчета к другой, физически эквивалентной, промежутки времени между событиями становятся завис я щими от расстояний (нулевой промежуток становится конечным и наоборот). Итак, постулаты Эйнштейна помогли нам прийти к новому фундаментальному положению в физической теории пространства и времени, положению о тесной вз а имосвязи пространства и времени и об их нераздельности, в этом и состоит главное значение постулатов Эйнштейна. Основное содержание теории относительности играет постулат о постоянстве скорости света. Основным аргументов в пользу этого является та роль, которую отв о дил Эйнштейн световым сигналам, с помощью которых устанавливается одновреме н ность пространственно разобщенных событий. Световой сигнал, распространяющийся всегда только со скоростью света, приравнивается, таким образом, к некоторому и н струменту, устанавливающему связь между временными отношениями в различных системах отсчета, без которого якобы понятия одновременности разобщенных событий и времени теряют смысл. Необходимость такого истолкования содержания теории о т носительности легко доказывается, если обратиться к одному из возможных выводов преобразований Лоренца, опирающемуся на постулат относительности и вместо п о стулата о постоянстве скорости света использующему лишь допущение о зависимости массы тела от скорости. Вывод преобразований Лоренца без постулата о постоянстве скорости света. Для вывода преобразований Лоренца будем опираться лишь на “естественные” допущения о свойствах пространства и времени, содержавшиеся еще в классической физике, опиравшейся на общие представления, связанные с классической механикой: 1. Изотропность пространства , т.е. все пространственные направления равн о пра в ны. 2. Однородность пространства и времени , т.е. независимость свойств пр о странства и времени от выбора начальных точек отсчета (начала координат и начала отсчета времени). 3. Принцип относительности , т.е. полная равноправность всех инерциальных систем отсчета. Различные системы отсчета по-разному изображают одно и то же пространство и время как всеобщие формы существования материи. Каждое из этих изображений обладает одинаковыми свойствами. Следовательно, формулы преобразования, выр а жающие связь между координатами и временем в одной - “неподвижной” системе с координатами и временем в другой - “движущейся” системе , не могут быть произвольными. Установим те ограничения, которые накладывают “естественные” требования на вид функций преобразования: 1. Вследствие однородности пространства и времени преобразования должны быть линейными. Действительно, если бы производные функций по не были бы константами, а зависели от то и разности , выр а жающие проекции расстояний между точками 1 и 2 в “движущейся” системе, зависели бы не только от соответствующих проекций , в “неподвижной” системе, но и от значений самих координат что противоречило бы требованию независимости свойств пространства от выбора начальных точек отсч е та. Если положить, что проекции расстояний вида ‘ = = зависят только от проекций расстояний в неподвижной системе, т.е. от = , но не зависит от , то при т.е. или . Аналогично можно доказать, что производные по всем другим координатам также равны константам, а следовательно, и вообще все производные по суть константы. 2. Выберем "движущуюся" систему таким образом, чтобы в начальный м о мент точка, изображающая ее начало координат, т.е. совпадала с точкой, изображающей начало координат "неподвижной" системы, т.е. , а ск о рость движения системы была бы направлена только по Если мы также учтем требование изотропности пространства, то линейные преобразования для системы отсчета , выбранной указанным образом, запишутся в виде Здесь отсутствуют члены, соде р жащие и в выражениях и , в силу изотропности пространства и наличия еди н ственного выделенного направления вдоль оси , соответственно постановке задачи. На этом же основании в выражениях для и отсутствуют члены, пропорционал ь ные, соответственно, и , а коэффициенты при и одинаковы. Члены, соде р жащие и , отсутствуют в выражениях для и в силу того, что ось все время совпадает с осью . Последнее было бы невозможно, если бы и зависели от и . 3. Изотропность предполагает также симметричность пространства. В силу же симметрии ничто не должно измениться в формулах преобразования, если изменить знаки и , т.е. одновременно изменить направление оси и направление движения системы . Следовательно, (d) Сравнивая эти уравнения с предыдущими ( ) п о луч а ем: . Вместо удобно ввести др у гую функцию , так, чтобы выражалось через и посредством соотношения Согласно этому соотношению, - симметричная функция. И с пользуя это соотношение, преобразования (d) можно записать в виде (e), причем все входящие в эти формулы коэффициенты суть симметрии функции . 4. В силу принципа относительности обе системы, "движущаяся" и "неподвижная", абсолютно эквивалентны, и поэтому обратные преобразования от с и стемы к должны быть тождественно прямым от к . Обратные преобразования должны отличаться лишь знаком скорости , т.к. система движется относительно системы вправо со скоростью , а система движется относительно системы (если последнюю считать неподвижной), влево со скоростью . Следовательно, о б ратные преобразования должны иметь вид . (f) Сравнивая эти преобразования с (e), получаем . Но в силу симметрии получаем, что , т.е. . Очевидно, имеет смысл лишь знак (+), т.к. знак (-) давал бы при перевернутую по и систему. Следовательно . Замечая, что коэффиц и енты - тоже симметричные функции , первое и последнее уравнение из (e) и (f) можно записать в виде: А) , а) , В) , в) . Умножая А) на , В) на и складывая, получим . Сравнивая это выражение с а), п о лучаем . Откуда имеем Следовательно, извлекая квадратный корень и замечая, что знак (-) так же, как и для , не имеет смысла, получаем . Итак преобразования прио б ретают вид: (g) или ,подробнее: ,(h) где - неизвестная пока функция . 5. Для определения вида обратимся вновь к принципу относительности . Очевидно, что преобразования (g) должны быть универсальными и применимыми при любых переходах от одних систем к другим. Таким образом, если мы дважды перейдем от системы к и от к , то полученные формулы, связывающие координаты и время в системе с координатами и временем в , должны также иметь вид преобр а зований (g). Это вытекающее из принципа относительности требование, в совоку п ности с предыдущими требованиями обратимости, симметрии и т.д. означает, что пр е образования должны составлять группу . Воспользуемся этим требованием групповости преобразований. Пусть - ск о рость системы относительно и - скорость системы относительно системы Тогда согласно (g) Выражая и через и , получаем Согласно сформулированному выше требованию эти же преобразования должны зап и сываться в виде (g), т.е. (k) Коэффициенты, стоящие при в первой из этих формул и при во второй, одинаковы. Следовательно, в силу тождественности предыдущих формул и этих, должны быть одинаковы и коэ ф фициенты, стоящие при в первой из предыдущих формул и при во второй из формул (h) т.е. . Последнее равенство может быть удовлетворено только при 6. Итак, в преобразованиях (h) является константой, имеющей размерность квадрата скорости. Величина и даже знак этой константы не могут быть определены без привлечения каких-либо новых допущений, опирающихся на опытные факты. Если положить , то преобразования (h) превращаются в известные прео б разования Галилея Эти преобразования, справедливые в механике малых скоростей ( ), не могут быть приняты как точные преобразов а ния, справедливые при любых скоростях тел, когда становится заметным изменение массы тел со скоростью. Действительно, учет изменения массы со скоростью приводит к необходимости принять положение об относительности одновременности разобще н ных событий. Последнее же несовместимо с преобразованиями Галилея. Таким обр а зом, константа должна быть выбрана конечной. Из опыта известно, что при больших скоростях, сравнимых со скоростью света, уравнения механики имеют вид (i), где - собственная масса, совпадающая с массой частицы при малых скоростях ( ), с - константа, имеющая размерность скорости и числено равная см/сек, т.е. совпадающая со скоростью света в пустоте. Этот опытный факт трактуется как зависимость массы от скорости, если массу определить как отношение импульса тела к его скорости. Константа имеет такую же размерность, какую имеет , входящая в формулы преобразования координат и времени (h). Естественно поэтому положить (j), поскольку в экспериментально полученную зависимость массы от скорости не входит никакая иная константа, имеющая квадрата скорости. Принимая это равенство, прео б разования (h) записываются в виде (l). Пуанкаре назвал эти преобразования координат и времени преобразованиями Лоре н ца . В силу обратимости обратные преобразования Лоренца, очевидно, должны быть записаны в виде Примененные нами соображения размерности для выбора константы не впо л не, однако, однозначны, т.к. вместо соотношения (j) с таким же правом можно было бы выбрать (k) Оказывается, однако, что совпадающие с опытом уравнения механики (i) могут быть получены лишь как следствия преобразований Лоренца и не могут быть совмещ е ны с преобразованиями, получающимися из допущения (k). Действительно, известно, что уравнения механики, опирающимися на преобразования Лоренца, являются ура в нения Минковского, согласно которым масса увеличивается со скоростью по формуле . Если же в качестве преобразований координат выбрать , то соответствующие уравнения Минковского д а дут убывающую со скоростью массу m, что противоречит опыту. Итак, не обращаясь к постулату о постоянстве скорости света в пустоте, не сс ы лаясь на электродинамику и не используя свойств световых сигналов для определения одновременности, мы вывели преобразования Лоренца, используя лишь представление об однородности и изотропности пространства и времени, принцип относительности и формулу зависимости массы от скорости. Обычно, следуя пути, намеченному еще в первой работе Эйнштейна, вместо формулы зависимости массы от скорости используют постулат о постоянстве скорости света в пустоте. Согласно этому постулату при переходе от системы к сист е ме должно оставаться инвариантным уравнение , описывающее фронт световой волны, распространяющейся из начала координатной системы . Ле г ко убедиться в том, что уравнение после подстановки формул преобразования (k) не изменяет своего вида, т.е. это уравнение переходит в предыдущее, лишь в том случае, если . Мы применили иной вывод, не использующий постулат о постоянстве скорости света, с тем, чтобы показать, что преобразования Лоренца могут быть получены нез а висимо от способа сигнализации, избранного для синхронизации часов, измеряющих время. Физики могли бы вообще ничего не знать о скорости света и о законах электр о динамики, однако могли бы получить преобразования Лоренца, анализирую факт зав и симости массы от скорости и исходя из механического принципа относительности. Таким образом, преобразования Лоренца выражают общие свойства пр о странства и времени для любых физических процессов. Эти преобразования, как это выяснилось в процессе доказательства, составляют непрерывную группу, называемую группой Лоренца . В этом факте, в наиболее общем виде отображаются свойства пр о странства и времени, раскрытые теорией относительности. Изображение преобразований Лоренца на плоскости Минковского. Первыми наиболее поражающими следствиями преобразований Лоренца явл я ются: сокращение движущихся масштабов в направлении движения и замедление хода движущихся часов. С точки зрения повседневных представлений о пространстве и вр е мени эти следствия кажутся парадоксальными. Исчерпывающее, но всегда кажущееся несколько формальным, разъяснение этих кинематических явлений дается на плоскости x, ct, если в соответствии с прав и лами четырехмерной геометрии Минковского изобразить на ней сетку координат "неподвижной" и сетку координат "движущейся" системы. Преобразования Лоренца оставляют инвариантным (неизменным) интервал между любыми двумя событиями, определяемый согласно (a), как в этом легко уб е диться подстановкой в (l) в (b). Совмещая первое событие с моментом t=0 и началом отсчета системы и вводя симметричные обозначения координат и времени интервал между вторым и первым событием можно написать в виде (o) Ч е тырехмерная геометрия, определяемая инвариантностью интервала этого уравнения, качественно отличается от обычной евклидовой геометрии, определяемой инвариан т ностью расстояния, т.е. (m) или от простого четырехмерного обобщ е ния геометрии, где инвариантом считается (n) В евклидовых ге о метриях, определяемых (m) или (n), квадрат "расстояния" всегда положителен, и, сл е довательно, "расстояние" является действительной величиной. Но в четырехмерной геометрии, определяемой интервалом (о), являющимся аналогом "расстояния", квадрат интервала может быть положителен, отрицателен или равным нулю. Соответственно, в этой псевдоевклидовой геометрии интервал может быть действительной или мн и мой величиной. В частном случае он может быть равен нулю для несовпадающих с о бытий. Иногда кажется, что качественное различие между четырехмерной евклидовой геометрией и четырехмерной псевдоевклидовой геометрией стирается, если, во с пользовавшись предложением Минковского, считать время пропорциональным нек о торой мнимой четвертой координате, т.е. положить В этом случае квадрат интервала запишется как т.е. с точностью до знака совпадает с (n). Однако в силу мнимости это выражение, так же как и (o), может иметь различные знаки и, таким образом, качественно отличается от (n). В силу инвариантности интервала качественное различие связи между событи я ми не зависит от выбора системы отсчета, и действительный, или времениподобный , интервал ( ) остается действительным во всех системах отсчета, мнимый же, или пространственноподобный , интервал ( ) также остается мнимым во всех сист е мах отсчета. Все эти особенности псевдоевклидовой геометрии могут наглядно проилл ю стрированы на плоскости Минковского . Отрезками 0a и 0b на этой плоскости изображены соответственно единичные масшт а бы временной оси и пространственной оси . Кривая, выходящая вправо из точки a, является гиперболой, описываемой уравнением а кривая, выходящая вверх из точки b, является гиперболой, описываемой уравнением Таким образом, точка начала координат и все точки, лежащие на гиперболе, выход я щей из точки a, разделены единичным времениподобным интервалом. Точки же, л е жащие на гиперболе, выходящей из точки b, отделены от начала координат простра н ственноподобным интервалом. Пунктирная линия, выходящая параллельно оси из точки a, изображает точки с координатами , а линия, выходящая из точки b параллельно оси , изображает точки с координатами . На этой же плоскости нанесены линии и , изображающие соответстве н но точки с координатами и , а также линии, проходящие через и и соответственно изображающие точки с координатами . Эти линии изо б ражают координатную сетку системы . Из рисунка видно, что переход от системы к системе соответствует перех о ду от прямоугольных координат к косоугольным на плоскости Минковского. После д нее следует также непосредственно из преобразований Лоренца, которые можно зап и сать также в виде где или в виде (p) где и очеви д но, Но преобразования (p) тождественны преобразованиям перехода от декартовых координат к косоугольным. При этих преобразованиях времениподобные векторы, т.е. векторы, направленные из начала отсчета в точки, лежащие выше линии OO', в любой системе координат также останутся времениподобными, т.к. концы векторов лежат на гиперболах. Следовательно, и пространственноподобные векторы во всех системах к о ординат останутся пространственноподобными. На плоскости Минковского видно, что "пространственная" проекция единичн о го вектора на ось равна 1, а на ось равна , т.е. меньше 1. Следовател ь но, масштаб, покоящийся в системе , при измерении из системы оказался укор о ченным. Но это утверждение обратимо, ибо "пространственная" проекция вектора Ob на ось равна Ob, т.е. в системе меньше, чем , являющийся единичным ве к тором. Аналогично дело обстоит и с "временными" проекциями на оси и Отр е зок , изображающий в системе процесс, длящийся единицу времени, в системе будет проектироваться как , т.е. как процесс, длящийся меньшее время, чем Oa=1. Следовательно, ход часов, покоящихся в системе , при измерении из системы окажется замедленным. Легко проверить, что это явление также обратимо, т.е. ход часов, покоящихся в системе , оказывается замедленным в системе . Сокращение движущихся масштабов. Если длина неподвижного масштаба может быть измерена путем прикладыв а ния к нему эталонных масштабов, без использования каких-либо часов, то длину дв и жущегося масштаба невозможно измерить из неподвижной системы отсчета без и с пользования часов или сигналов, отмечающих одновременность прохождения концов измеряемого масштаба относительно точек эталона. Таким образом, под длиной дв и жущегося масштаба надо понимать расстояние между его концами, измеренное при помощи неподвижного эталона в один и тот же момент времени для каждого конца. Одновременность измерения положений концов является существенно необходимым условием опыта. Легко видеть, что нарушение этого условия может привести к тому, что измеренная длина может оказаться любой, в том числе отрицательной или равной нулю. Пусть длина движущ е гося масштаба, предварительно измеренная путем непосредственного приложения к эталону, помещавшемуся в любой системе координат. Тогда если моменты и пр о хождения концов масштабы мимо точек и неподвижного эталона одинаковы (т.е. t1=t2), то является, по определению, длиной движущегося масштаба. Согла с но преобразованиям Лоренца имеем , откуда в силу t1=t2 получаем .(r) Парадоксальность этого вывода состоит в том, что в силу принципа относител ь ности точно такая же формула должна получиться для длины масштаба, находящегося в системе и измеряемого из системы . Иначе говоря, представляется необходимым удовлетворение обратного соотношения , которое находится в явном пр о тиворечии с (r), если под и понимать так же измеряемые величины. Противоречие, однако, снимается, если учесть, что относительность предпол а гает совершенно симметричное измерение всей системы измерения, т.е. переход от предыдущего рисунка к следующему рисунку: В этой схеме уже , но , т.е. концы нижнего масштаба засекаются не в один и тот же момент времени по часам, помещенным в системе , но в один и тот же момент по часам, находящимся в сист е ме . Тогда, применяя формулы обратных преобразований Лоренца, получаем , откуда в силу , имеем . Эта формула действительно означает, что уменьшается длина масштаба , измеренного из системы . Но эта формула уже не находится в противоречии с формулой (r), ибо входящие в нее и измеряются иначе, чем и , входящие в (r). Следовательно, укорочение или удлинение измеряемых масштабов зависит лишь от того, в какой системе отсчета производятся одновременные измерения п о ложений концов масштабов, ибо события, одновременные в одной системе отсчета, неодновременны в другой. Замедление движущихся часов. Замедление движущихся часов может быть обнаружено в следующем опыте: Движущиеся со скоростью часы, изм е ряющие время , проходят последовательно мимо точки в момент и мимо то ч ки в момент . В эти моменты производится сравнивание положений стрелок дв и жущихся часов и соответствующих неподвижных, находящихся с ними. Путь за время движения от точки до точки стрелки движущихся часов о т меряют промежуток времени , а стрелки предварительно синхронизированных в неподвижной системе часов 1 и 2 отмеряют промежуток времени . Таким образом, (s). Но согласно обратным преобразованиям Лоренца имеем . Подставляя (s) в это уравнение и замечая, что движ у щиеся часы все время находятся в одной и той же точки движущейся системы отсчета, т.е. что , получаем .(u) Эта формула означает, что промежуток времени, отмеченный неподвижными часами, оказывается большим, чем промежуток времени, отмеренный движущимися часами. Но это означает, что движущиеся часы отстают от неподвижных, т.е. их ход замедляется. Эта формула также обратима, как и соответствующая формула для ма с штабов. Однако написав обратную формулу в виде (t) мы должны подр а зумевать, что измеряются уже не в предыдущем опыте, а в сл е дующем: (в этом случае действительно согласно преобразованиям Лоренца ) при условии получаем формулу (t). Пол у ченное замедление является вполне реальным, однако оно имеет, так сказать, чисто кинематическую природу. Например, в схеме предыдущего опыта, тот результат, что часы 2 оказались впереди движущихся часов, с точки зрения движущейся системы об ъ ясняется тем, что часы 2 с самого начала шли несинхронно с часами 1 и опережали их (в силу неодновременности разобщенных событий, одновременных в другой, движ у щейся системе отсчета). Таким образом, как замедление движущихся часов, так и с о кращение движущихся масштабов не являются парадоксальными, если освоиться с представлением об относительности одновременности пространственно разобщенных событий. Парадокс часов. Более поразительным и вызывающим большое число споров и недоразумений является так называемый "парадокс часов". Путь часы А находятся в точке 1 в неп о движной инерциальной системе отсчета , а одинаковые с ними часы В, находи в шиеся в начальный момент также в точке 1, движутся к точке 2 со скоростью . Затем, пройдя путь до точки 2, часы В возвращаются и, приобретая противоположную ск о рость - , возвращаются в точку 1 Если время, требуемое на изменение скорости часов В на обратную, достаточно мало по сравнению с временем прямолинейного и равномерного движения от точки 1 до точки 2, то время , отмеренное часами А, и время , отмеренное часами В, можно вычислить согласно (u) по формулам (v) где - возможная малая поправка на время ускоренного движения часов В. Следовательно, часы В, вернувшись в точку 1, реально отстанут от часов А на время Поскольку расстояние может быть сколько угодно большим, постольку поправка может не приниматься во вним а ние вообще. Особенность этого кинетического следствия преобразований Лоренца состоит в том, что здесь отставание хода движущихся часов является вполне реальным эффе к том , а не результатом избранной процедуры измерения, как это имело место выше. Реально должны отставать все процессы, связанные с системой , от процессов, идущих в системе . В том числе должны отставать и биологические процессы орг а низмов, находящихся вместе с часами В. Должны замедляться физиологические пр о цессы в организме человека, путешествующего в системе , в результате чего орг а низм, находившийся в системе в момент ее возврата в точку 1, окажется менее п о старевшим, чем организм, оставшийся в системе . Парадоксальным представляется здесь то, что один из часов реально отстают от других. Ведь это кажется противоречащим самому принципу относительности, т.к. согласно последнему любую из систем и можно считать неподвижной. Но тогда представляется, что лишь в зависимости от нашего выбора реально отстающими могут стать любые из часов А и В. Но последнее явно абсурдно, т.к. реально отстают часы В от часов А. Ошибочность последнего рассуждения состоит в том, что системы и физически не равноправны, т.к. система все время инерциальна, система же некоторый промежуток времени, когда производится изменение ее скорости на обра т ную, неинерциальна. Следовательно, вторая из формул (v) для системы неправил ь на, т.к. во время ускорения ход удаленных часов может сильно измениться за счет инерциального гравитационного поля. Однако и это совершенно правильное объяснение представляется весьма пор а зительным. Ведь в течении большого промежутка времени обе системы движутся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Поэтому, с точки зрения системы , часы А, находящиеся в , отстают (но не уходят вперед) в полном соответствии с формулой (v). И лишь за малый промежуток времени, когда в системе действуют инерциальные силы, часы А быстро уходят вперед на промежуток времени, вдвое больший, чем . При этом, чем большее ускорение испытывает система , тем быстрее бежит время на часах А. Наглядно суть полученных выводов может быть раз ъ яснена на плоскости Минковского. Отрезок 0b на этом рисунке изображает покоящиеся часы А, ломаная линия 0ab - движущиеся часы В. В точке a действуют силы, ускоряющие систему часов В и изм е няющие ее скорость на обратную. Точки, расставленные на оси 0b, разделяют едини ч ные промежутки времени в неподвижной системе , связанной с часами А. Точки на ломаной 0ab отмечают равные единичные промежутки времени, изм е ряемые часами В, находящимися в системе . Из рисунка видно, что число единичных отрезков, укладывающихся на линии 0b, больше чем число таких же, но относящихся к системе , отрезков, укладывающихся на ломаной 0ab. Следовательно, часы В отстают от часов А. Согласно рисунку "неподвижные" часы А также отстают от часов В вплоть до того момента, изображаемого точкой a. Одновременно с этим моментом является момент a1, однако до тех пор, пока часы В еще движутся со скоростью . Но через м а лый промежуток времени, требуемый для замедления часов В и сообщения им скоро с ти - на часах В практически останется тот же момент a, но одновременным с ним м о ментом в системе станет момент a2. То есть, почти мгновенно время системы как бы перескочит на конечный интервал a1a2. Этот перескок времени не является, однако, реально наблюдаемым эффектом. Действительно, если из системы регулярно, через единичные интервалы посылать в систему световые сигналы, то они совершенно регулярно будут приниматься сист е мой , сперва более редко, а затем, после изменения скорости на обратную, более часто. Никакого разрыва в показаниях часов А в системе наблюдаться не будет. Таким образом, "парадокс часов" также является лишь непривычным для обы ч ных представлений о пространстве и времени следствием псевдоевклидовой геометрии четырехмерного пространственно-временного многообразия. Список используемой литературы . 1. "Принцип относительности" ; Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн, Минковский; ОНТИ ., 1935 г. 2. Полное собрание трудов; Л. И. Мандельштам. 3. "Парадоксы теории относительности "; Я. П. Терлецкий; Москва ., 1965 г. 4. " Физика пространства-времени"; Э. Ф. Тейлор; Москва., 1963 г . 5. " Общая теория относительности"; Н. В. Мицкевич; Москва., 1927 г.