Перспективы исследований в философии математики

Перспективы исследований в философии ма тематики Философия математики как отдельная в етвь философии родилась сто лет назад. Исследования в области оснований математики и математической логики, начатые в конце XIX - начале XX в., были свя заны с грандиозными философскими программами, а именно, с логицизмом, ин туиционизмом и формализмом. Поначалу эта связь казалась необходимой, но по ходу времени росло разочарование в выполнимости этих программ, и к 60-м годам в настроениях математиков и логиков стала превалировать усталос ть. В этом отношении весьма симптоматично замечание А.Мостовского в его работе 'Thirty years of foundational studies': 'Философские цели трех школ не были достигнуты, и, судя по всему, мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ'1. Больше того, многие полагают, что сами программы не имеют прямого о тношения к основаниям математики и математической логики и возникнове ние программ обязано философским талантам и интересам основателей шко л. Опять-таки Мостовский замечает в связи с этим: ':Нельзя отрицать, что акт ивность этих школ принесла огромное число важных результатов и открыти й, которые углубили наше знание математики и ее отношения к логике. Как ча сто случается, эти побочные продукты оказались более важными, чем исходн ые цели основателей этих школ'2. Недавно Х.Патнэм опубликовал статью с хар актерным названием 'Почему все это не работает' (имея в виду традиционно г лавные направления в философии математики). В некотором смысле это итого вое впечатление о нынешнем состоянии философии математики. Другими словами, философия математики оказалась в глубоком кризисе, нач иная с 50-60-х годов, когда были исчерпаны ресурсы традиционных подходов к по ниманию математики. И хотя традиционное преподнесение проблем этой обл асти философских исследований опиралось (да и опирается сейчас) на три в еликих направления, существует глубокий скепсис относительно возможно стей самой дисциплины. И , по мнению ряда авторитетных исслед ователей, дисциплина выжила, поскольку старые проблемы были заменены но выми3. Цель данной статьи состоит в анализе сложившейся ситуации в филос офии математики и наброске перспектив ее развития в свете этих новых про блем. Отсутствие прогресса часто объясняют тем, что проблемы, бывшие собствен но философскими, перестали быть таковыми, перейдя в разряд 'технических', чисто математических или логических. Быть может, исследования в области философии математики, точнее, оснований математики, действительно долж ны быть в высшей степени техническими исследованиями, а само появление т радиционных классических направлений было обязано тому, что 'отцы-основ атели' сумели увязать (быть может, и не совсем обоснованно) математически е и философские проблемы, как, например, это сделал Рассел, связав поиски с пасения от парадоксов с логицизмом. Другой немаловажной причиной ощущения стагнации в философии математик и является огромное уважение к авторитетам, временами препятствующее н ормальному процессу критического обсуждения проблем. Типичным случаем является крайний платонизм К.Геделя, в отношении которого, несмотря на н еудовлетворительность крайней формы платонизма, постоянно возобновля лись попытки оправдания или реабилитации весьма сложных для интерпрет ации и понимания утверждений. В частности, речь идет о хорошо известном в ысказывании Геделя о том, что математические сущности доступны интуици и математика точно так же, как физические объекты доступны чувственному восприятию. И только в последнее время возобладало скептическое отноше ние к попыткам придать более точный смысл подобным тезисам4. То же относи тся к тезису В.Куайна о том, что логика второго порядка является скрытой т еорией множеств ('волк в овечьей шкуре'), - тезису, который в значительной ст епени тормозил логицистские тенденции. Преодоление стагнации в философии математики в последние два десятка л ет было связано с общефилософскими тенденциями. Главным обстоятельств ом тут является то, что философия математики есть часть философии, и на не й отражаются все те тенденции, которые свойственны всей философии. Филос офия даже относительно элементарных ветвей математики - это такая дисци плина, в которой ясно фокусируются теории о природе языка, знания, указан ия и истины. Именно это обстоятельство делает исследования в философии м атематики важным видом философского исследования. В настоящее время ст ало очевидным то обстоятельство, что традиционная философия математик и столкнулась с дилеммами, обусловленными современной теорией познани я, и, стало быть, мы имеем дело с эпистемологическим уклоном в философии ма тематики. Возможны два представления того, что было сделано в философии математик и в последнее время. Одно связано с попыткой увязать новые исследования с традиционными направлениями - логицизмом, формализмом и интуиционизм ом, т.е. представить новые направления как реакцию на традиционные. Друго е связано непосредственно с эпистемологической тенденцией, вызванной к жизни постановкой двух дилемм П.Бенацеррафом в его работах 'What numbers could not be' и 'Mathematical truth'5. Последняя четверть века прошла в поисках согласия по поводу того, что со ставляет ответ на теоретико-познавательную дилемму, поставленную в раб оте П.Бенацеррафа 'Математическая истина'. Дилемма формулируется следую щим образом: если математика представляет собой исследование объектив ных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позво ляют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты? Апелляция к познанию чувственных объектов подразумевает совершенно оп ределенную концепцию познания - так называемую причинную теорию познан ия. Можно возразить, что это не единственная теория, и тогда дилемма теряе т смысл. Однако можно переформулировать дилемму таким образом, что она н е будет опираться на специфическую теорию познания. Дилемма ставит пере д нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предпол агать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Поскольку обе возможности не выглядят привлекательными, пр едпринимались различные попытки разрешить дилемму. Многие исследовате ли соглашаются в том, что при решении эпистемологических вопросов прихо дится решать и главный онтологический вопрос о существовании математи ческих сущностей, и решать его надо так, чтобы не нужно было жертвовать ст андартной математикой, как это происходит при традиционном номиналист ическом подходе. Здесь мы хотим наметить основные направления в философии математики, це ль которых состоит в попытке разрешить проблемы, связанные с эпистемоло гическим статусом математических утверждений, и соответствующим онтол огическим статусом математических объектов. Краткий перечень основных альтернатив включает несколько направлений. Одним из наиболее влиятел ьных является структурализм, согласно которому математика говорит не о специфических математических объектах, а о структурах. Основными представителями структурализма являются П.Бенацерраф, С.Шап иро и М.Резник6. Согласно Бенацеррафу, онтологические вопросы о существо вании математических сущностей могут быть вообще обойдены, если поняти е математического объекта заменить понятием места в математической ст руктуре. В уже упомянутой статье 'Чем не должны быть числа' он приводит при мер числа 2, которое должно пониматься не как некоторый абстрактный объе кт, а как то, что стоит после 1 и перед 3. Другими словами, указание на абстрак тный объект 2 требует неявного указания на всю структуру натуральных чис ел. Но тем самым устраняется необходимость в семантической схеме, соглас но которой математические утверждения, будучи истинными, содержат синг улярные термины, которые должны указывать на некоторый объект. Теперь центр тяжести переносится на понятие структуры. Почти всеми приз нается, что математика состоит из структур. Но что такое структура с онто логической и эпистемологической точек зрения? И является ли это понятие более простым или удобным, или более фундаментальным, чем понятие абстра ктного объекта? Это тот самый вопрос, который пытаются разрешить Резник и Шапиро в целой серии влиятельных статей и книг. Н.Бурбаки полагал, что по нятие структуры является более фундаментальным, чем все остальные поня тия математики. Сходным образом формулируются посылки Резника и Шапиро. Если структура понимается как область объектов с определенными отноше ниями между ними, т.е. понимается как структура, изучаемая в математическ ой логике, то тогда нужно иметь в виду, что в математической логике структ ура определяется теоретико-множественным образом. Но в этом случае след ует весьма радикальное заключение, что теория множеств представляет со бой дисциплину наравне с другими ветвями математики, но никак не основан ием всей математики. То есть теория множеств изучает одну из множества в озможных структур. Например, арифметика является исследованием не нату ральных чисел, а исследованием 'натуральных структур'. Все это означает, ч то в этом случае нам нужно определение структуры, которое само не являет ся теоретико-множественным понятием. Шапиро описывает структуру как 'во зможную систему объектов, находящихся в определенных отношениях друг к другу, когда игнорируются те свойства объектов, которые несущественны д ля этих отношений'. Например, в аксиоматической теории множеств Цермело- Френкеля игнорируется все, кроме отношения членства в множестве. Отмети м, что это лишь описание понятия структуры, а не определение. Структурали сты в философии математики избегают давать подобные определения, поско льку само понятие структуры не очень подходит на роль базисного онтолог ического понятия, и в то же время не снимает эпистемологические проблемы . Понятие структуры не решает, а скорее, 'рассасывает' эти проблемы в духе в иттгенштейновской терапии. Несмотря на опре деленный радикализм, структурализм являе тся лишь модификацией того, что Ч.Чихара назвал 'буквалистской точкой зр ения'. Буквализм состоит в том, что экзистенциальные утверждения математ ики не отличаются по своей структуре от экзистенциальных утверждений э мпирических наук. Обоснование этого тезиса состоит в том, что математиче ские утверждения делаются в терминах экзистенциальных кванторов логик и первого порядка, и поэтому буквально и прямо утверждают существование математических сущностей. И поскольку структура математических утверж дений в понимании структуралистов остается именно такой, перед ними вст ают все те же проблемы, которые они предпочли бы видеть 'рассосанными'. Дей ствительно, 'буквализм' такого структуралиста, как Резник, заключается в двух идеях. Во-первых, логическая форма математических утверждений долж на пониматься буквально, и во-вторых, семантика математических утвержде ний должна быть семантикой естественных наук. В противном случае нельзя будет говорить об истинности математических утверждений, а без этой пос ылки невозможно ничего сказать о математических объектах. Эти проблемы могли бы быть игнорированы, если бы не общепринятое, разделяемое и струк туралистами, убеждение в том, что математические утверждения являются и стинными. Подлинно радикальным взглядом в этом отношении является номи нализм Х.Филда, который полагает математические утверждения ложными. Др угой радикальный отход от буквализма можно видеть в позиции Ф.Китчера, д ля которого математические утверждения сутьсовокупность операций, вып олняемых идеальным субъектом. Х.Филд7 полагает, что математических объектов не су ществует, что стандартная математика ложна, но при этом он стремится сох ранить математическую практику. Для этого он снабжает физическую реаль ность значительной математической структурой и описывает физические в ерсии анализа. Математические утверждения типа 'континуум гипотезы' ока зываются утверждениями об областях пространства и времени. Такая позиция возможна лишь при некоторой сильной версии номинализма. Т ехническим средством выражения такого номинализма является так называ емая 'теорема консервативности', суть которой в том, что любое номиналист ическое заключение, которое может быть выведено с помощью математики из номиналистической теории, может быть сделано без помощи математики, с од ним лишь использованием логики. Таким образом, в математической практик е делается указание на математические сущности, но нет необходимости ве рить в существование таких вещей, поскольку указание подобного рода не т ребует признания математических утверждений истинными. Таким образом, Филд полагает математические теоремы просто ложными, а ма тематические объекты - полезными фикциями, которые в теоретическом смыс ле вполне устранимы. Теория Филда не только радикальна, но и в значительной степени парадокса льна, так как соединяет в себе логицизм и номинализм. Логицизм виден в сам ой 'теореме консервативности', согласно которой математический вывод мо жно в принципе заменить более длинным логическим выводом. Под номиналистической теорией Филд понимает теорию, в которой кванторн ые переменные ограничены нематематическими сущностями. Другими словам и, нелогический словарь номиналистической теории не пересекается со сл оварем математической теории и, значит, абстрактные объекты математики избегаются. Более точно, пусть N - номиналистическая теория первого поряд ка, а ZFU - теория множеств Цермело-Френкеля с Urelemente. Тогда может быть показано, ч то если N + ZFU дает S, тогда N дает S. На самом деле, тут требуется некоторая модификация ZFU, в частности добавле ние к ней некоторых экзистенциальных аксиом и изменение аксиомы множес тва-степени, что позволяет связать математическую теорию с номиналисти ческой теорией. Ф.Китчер8 полагает математику цепью непрерывных концептуальных констр укций и в этой связи развивает эволюционную модель математического поз нания. Таким образом, ключевой дисциплиной при подобного рода исследова нии предстает история математики, из которой следует извлечь некоторые рациональные принципы, управляющие концептуальными изменениями по ход у развития математики. Ясно, что философия Т.Куна занимает в позиции Ф.Кит чера самое значительное место. Кроме того, Китчер прибегает в объяснении математического познания к пр ичинной теории указания Крипке-Патнэма, согласно которой значение терм ина прослеживается через цепь изменений к некоторому исходному акту уп отребления термина. Рано или поздно эта цепь опирается на перцептуально е познание наших предшественников-предков. В этом ключе, утверждая важно сть психологии, Китчер отказывается от эпистемологической ориентации в исследовании природы математических истин. Если обычная позиция в фил ософии математики состоит в том, чтобы обосновать знание этих истин, то К итчер полагает, что большая часть людей уже знает значительную часть мат ематических истин, и задача философского исследования состоит в том, что бы понять, как мы получаем это знание. Следует упомянуть также попытку Ч.Чихары9 дать объяснение математическ их сущностей не в рамках теории теории множеств, а в рамках теории типов. Д ж.Хеллман10 и Х.Филд11 прибегают для объяснения математических сущностей к модальной логике, полагая их скорее возможностями, нежели актуальностя ми. Самым важным обстоятельством при этом является то, что в основе всех под ходов лежит апелляция к перцептуальному опыту, понимаемому в самом широ ком смысле слова. Ведь даже при номинализме Филда эпистемический доступ к областям пространства-времени, в которых зиждятся математические стр уктуры, оказывается все-таки перцептуальным доступом. Наиболее характе рны в этом отношении работы П.Мэдди12. Она считает, что предполагаемые плат онистскими сущности могут быть доступны обычному восприятию. Мэдди полагает, что абстрактные сущности математики подобны физически м сущностям, и поэтому возможен прямой перцептуальный доступ к ним. Множ ество физических предметов Мэдди отличает от физической совокупности этих же предметов. Каждый предмет соотносится с физической совокупност ью совсем по-другому по сравнению с тем, как он соотносится с множеством э тих предметов. Физические совокупности не имеют членов, в то время как мн ожество определяется отношением членства. Именно по этой причине множе ство является абстрактным объектом, который, тем не менее, предполагаетс я локализованным в том же месте пространства, в котором локализована физ ическая совокупность. Следует еще раз подчеркнуть, что подобная трактовка множеств возможна з а счет эпистемологических трактовок восприятия, развитых в самое после днее время. Так, согласно одному из определений, субъект Р воспринимает о бъект К в месте Н, если и только если, во-первых, имеется объект, принадлежа щий виду К в месте Н, во-вторых, Р приобретает перцептуальное знание о виде К, и, в-третьих, объект в месте Н включен в процесс порождения состояния пе рцептуальной веры подходящим причинным образом. Не входя в подробности этого определения, отметим, что оно является лишь одним из нескольких по дходов к определению перцептуального восприятия, и не ясно, в какой степ ени трактовка Мэдди множеств как перцептуально воспринимаемых объекто в будет оправданной при других определениях восприятия. Таков весьма краткий перечень основных направлений в философии матема тики сегодня. Недостаток места не позволяет привести критические аргум енты в отношении каждой из упомянутых позиций. Но как нам кажется, эписте мологический вызов философии математики, инициированный П.Бенацеррафо м, принят в качестве того, что можно назвать локальной парадигмой этой об ласти философии. Целищев В . В . Список литературы 1 Mostowski A. Thirty years of foundational studies//Acta Philosophica Fennica, Fasc. XVII. - Helsinki, 1965. - p.8. 2 Ibid. 3 См .: Maddy P. Philosophy of Mathematics: Prospects for the 1990s//Synthese 88. 1991. - p.155-164. 4 См ., например : Balaguer M. Platonism and Anti-Platonism in Mathematics. - Oxford University Press, 1998. 5 Benacerraf P. What Numbers Could Not Be//Philos. Rev. - 1965. - V.74, ?1; Id. Mathematical Truth//Journ. Philos. -1973. - P. 403-419. 6 Shapiro S. Foundations without Foundalism. - Oxford University Press, 1997. Resnik M. Second-Order Logic Still Wild//Journ. Philos. - 1988. - P. 75. 7 См .: Field H. Science without Numbers. - Princeton University Press, 1980. 8 Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge, Oxford University Press, 1983. 9 Chihara Ch. Constructibility and Mathematical Existence, Oxford University Press. - 1990. 10 Hellman G. Mathematics without Numbers. - Oxford University Press. - 1989. 11 Field H. Realism, Mathematics and Modality. - Basil Blackwell. - 1989. 12 Maddy P. Realism in mathematics. - Clarendom Press. - 1990.