Уравнение Кортевега - де Фриса

Содержание 1. Введение 3 1.1. Волны в природе 3 1.2. Открытие уединенной волны 4 1.3. Линейные и нелинейные волны 5 2. Уравнение Кортевега - де Фриса 8 2.1. Солитоны Кортевега - де Фриса 10 2.2. Групповой солитон 13 3. Постановка задачи 15 3.1. Описание модели 15 3.2. Постановка дифференциальной задачи. 15 4. Свойства уравнения Кортевега - де Фриз а 16 4.1. Краткий обзор результатов по уравнен ию КдФ 16 4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ 17 5. Разностные схемы для решения уравнен ия КдФ 19 5.1. Обозначения и постановка разностной задачи. 19 5.2. Явные разностные схемы (обзор) 21 5.3 Неявные разностные схемы (обзор). 23 6.Численное решение 25 7. Заключение 26 8. Литература 27 1. Введение 1. Волны в природе Из школьного курса физики [1] хорошо известно, что если в к акой-либо точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбуди ть колебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача возб уждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом . При этом колебания, возбужденные в одном месте, распространяются в прос транстве с определенной скоростью. Волной принято называть процесс пер едачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от одной точки к другой. Природа механизма распространения волны может быть различной. В просте йшем случае связи между участками в среде могут быть обусловлены силами упругости, которые возникают из-за деформаций в среде. При этом в твердой упругой среде могут распространяться как продольные волны, при которых смещения частиц среды осуществляются в направлении распространения во лны, так и поперечные волны, у которых смещения частиц перпендикулярны р аспространению волны. В жидкости или газе в отличие от твердых тел нет си л сопротивления сдвигу, поэтому могут распространяться только продоль ные волны. Хорошо известный пример продольных волн в природе — звуковые волны, которые возникают из-за упругости воздуха. Среди волн иной природы особое место занимают электромагнитные волны, п ередача возбуждений у которых происходит из-за колебаний электрическо го и магнитного полей. Среда, в которой распространяются электромагнитн ые волны, как правило, оказывает существенное влияние на процесс распрос транения волн, однако электромагнитные волны в отличие от упругих могут распространяться даже в пустоте. Связь между различными участками в про странстве при распространении таких волн обусловлена тем, что изменени е электрического поля вызывает появление магнитного поля и наоборот. С явлениями распространения электромагнитных волн мы часто сталкиваем ся в нашей повседневной жизни. К этим явлениям относятся радиоволны, при менение которых в технических приложениях общеизвестно. В этой связи мо жно упомянуть работу радио и телевидения, которая основана на приеме рад иоволн. К электромагнитным явлениям, только в другом частотном диапазон е, относится также свет, с помощью которого мы видим окружающие нас предм еты. Очень важным и интересным типом волн являются волны на поверхности воды . Это один из распространенных видов волн, который каждый наблюдал еще в д етстве и который обычно демонстрируется в рамках школьного курса физик и. Однако, по выражению Ричарда Фейнмана [2], "более неудачного примера для д емонстрации волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все трудности, которые могут быть в во лнах". Если рассмотреть достаточно глубокий бассейн, наполненный водой, и на ег о поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начн ут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частиц ы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмущения бу дут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Р азвитие этого явления со временем и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизит ельно по окружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, н и поперечными. Они как бы смесь тех и других. С глубиной радиусы окружност ей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьшаются до тех пор, пока он и не станут равными нулю. Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывае тся, что она зависит от ее длины. Скорость длинных волн пропорциональна к орню квадратному из ускорения свободного падения, умноженному на длину волны. Причиной возникновения таких волн является сила тяжести. Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой поверхност ного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна корню квад ратному из частного, в числителе которого стоит коэффициент поверхност ного натяжения, а в знаменателе — произведение длины волны на плотность воды. Для волн средней длины волны скорость их распространения зависит от перечисленных выше параметров задачи [2]. Из сказанного ясно, что волны на воде и в самом деле довольно сложное явление. 1.2. Открытие уед иненной волны Волны на воде из давна привлекали к себе внимание исследователей. Это связано с тем, что о ни представляют собой широко известное явление в природе и, кроме того, с опровождают перемещение судов по воде. Любопытную волну на воде наблюдал шотландский ученый Джон Скотт Рассел в 1834 году. Он занимался исследованием перемещения по каналу баржи, котору ю тянула пара лошадей. Неожиданно баржа остановилась, но масса воды, кото рую баржа привела в движение, не остановилась, а собралась у носа судна, а затем оторвалась от него. Далее эта масса воды покатилась по каналу с бол ьшой скоростью в виде уединенного возвышения, не меняя своей формы и не с нижая скорости. На протяжении всей жизни Рассел неоднократно возвращался к наблюдению за этой волной, поскольку верил, что открытая им уединенная волна играет важную роль во многих явлениях в природе. Он установил некоторые свойств а этой волны. Во-первых, заметил, что она движется с постоянной скоростью и без изменения формы [3]. Во-вторых, нашел зависимость скорости С этой волны от глубины канала h и высоты волны а: где g — ускорение свободного падения, причем a < h. В-третьих, Рассел обнаружил, что возмо жен распад одной большой волны на несколько волн. В-четвертых, он отметил, что в экспериментах наблюдаются только волны возвышения. Однажды он так же обратил внимание, что открытые им уединенные волны проходят друг чере з друга без каких-либо изменений , ка к и малые волны, образованные на поверхности воды. Однако на последнее оч ень важное свойство он не обратил существенного внимания. Работа Рассела, опубликованная в 1844 году как "Доклад о волнах", вызвала осто рожную реакцию в среде ученых. На континенте ее не заметили совсем, а в сам ой Англии на нее обратили внимание Г.Р. Эйри и Дж.Г. Стоке. Эйри подверг крит ике результаты экспериментов, которые наблюдал Рассел. Он отмечал, что и з теории длинных волн на мелкой воде выводы Рассела не получаются, и утве рждал, что длинные волны не могут сохранять неизменную форму. И в конечно м итоге подверг сомнению правильность наблюдений Рассела. Один из основ ателей современной гидродинамики, Джордж Габриэль Стоке, также не согла сился с результатами наблюдений, полученными Расселом, и критически отн есся к факту существования уединенной волны. После столь негативного отношения к открытию уединенной волны долгое в ремя о ней просто не вспоминали. Определенную ясность в наблюдения Рассе ла внесли Дж. Буссинеск (1872 год) и Дж.У. Рэлей (1876 год), которые независимо друг о т друга нашли аналитическую формулу для возвышения свободной поверхно сти на воде в виде квадрата гиперболического секанса и вычислили скорос ть распространения уединенной волны на воде. Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями и получили подтверждение. 1.3. Линейные и н елинейные волны В качестве мате матических моделей при описании распространения волн в различных сред ах часто используют уравнения в частных производных. Это такие уравнени я, которые содержат в качестве неизвестных производные от характеристи к рассматриваемого явления. Причем поскольку характеристика (например, плотность воздуха при распространении звука) зависит от расстояния до и сточника и от времени, то и в уравнении используются не одна, а две (а иногд а и больше) производные. Простое волновое уравнение имеет вид u tt =c 2 u xx (1.1) Характеристик а волны и в этом уравнении зависит о т пространственной координаты х и времени t, а индексы у переменной и обозначают вторую производную от и по времени ( u tt ) и вторую производную от и по переменной x(u xx ). Уравнение (1) опис ывает плоскую одномерную волну, аналогом которой может служить волна в с труне. В этом уравнении в качестве и можно принять плотность воздуха, если речь идет, например, о звуковой вол не в воздухе. Если рассматривают электромагнитные волны, то под и следует понимать напряженность электрич еского или магнитного поля. Решение волнового уравнения (1), которое впервые было получено Ж. Д'Аламбер ом в 1748 году, имеет вид u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct) (1.2) Здесь функции f и g находят из начальных условий для и. Уравнение (1.1) содержит вторую производную от и по t, поэтому для не го следует задавать два начальных условия: значение и при t = 0 и производ ную и, при t = 0. Волновое уравнение (1.1) имеет очень важное свойство, суть которого заключе на в следующем. Оказалось, что если взять два любых решения этого уравнен ия, то их сумма снова будет решением этого же уравнения. Это свойство отра жает принцип суперпозиции решений уравнения (1.1) и соответствует линейно сти явления, которое оно описывает. Для нелинейных моделей это свойство не выполняется, что приводит к существенным отличиям протекания процес сов в соответствующих моделях. В частности, из выражения для скорости уе диненной волны, которую наблюдал Рассел, следует, что ее значение зависи т от амплитуды, а для волны, описываемой уравнением (1.1), такой зависимости н ет. Непосредственной подстановкой в уравнение (1.1) можно убедиться, что завис имость u(x,t)=a cos(kx- w t) (1.3) в которой а, k и w — постоянные, при w =±k является решением уравнения (1). В этом решени и а — амплитуда, k — волновое число, а w — частота. Приведенное р ешение представляет собой монохроматическую волну, переносимую в сред е с фазовой скоростью c p = (1.4) На практике мон охроматическую волну создать трудно, и обычно имеют дело с цугом (пакето м) волн, в котором каждая волна распространяется со своей скоростью, а ско рость распространения пакета характеризуется групповой скоростью C g = , (1.5) определяемой ч ерез производную от частоты w по волновому числу k. Определить, с какой (линейной или нелинейной) моделью и меет дело исследователь, не всегда легко, но когда математическая модель сформулирована, то решение этого вопроса упрощается и выполнение принц ипа суперпозиции решений можно проверить. Возвращаясь к волнам на воде, заметим, что их можно анализировать исполь зуя хорошо известные уравнения гидродинамики, о которых известно, что он и нелинейны. Поэтому и волны на воде в общем случае являются нелинейными. Только в предельном случае малых амплитуд эти волны могут считаться лин ейными. Отметим, что и распространение звука не во всех случаях описывается лине йным уравнением. Еще Рассел при обосновании своих наблюдений по уединен ной волне отметил, что звук от выстрела пушки распространяется в воздухе быстрее, чем команда произвести этот выстрел. Это объясняется тем, что ра спространение мощного звука описывается уже не волновым уравнением, а у равнениями газовой динамики. 1. Уравнение Кортевега - де Фриса Окончательная ясность в проблеме, которая возникла по сле опытов Рассела по уединенной волне, наступила после работы датских у ченых Д .Д. Кортевега и Г. де Фриса, которые попытались разобраться в сущес тве наблюдений Рассела. Обобщив метод Рэлея, эти ученые в 1895 году вывели ур авнение для описания длинных волн на воде. Кортевег и де Фрис, используя у равнения гидродинамики, рассмотрели отклонение и(х,t) от положения равновесия поверхности воды при отсутст вии вихрей и при постоянстве плотности воды. Сделанные ими начальные при ближения были естественны. Они также предположили, что при распростране нии волны выполняются два условия для безразмерных параметров e = <<1, d = (2.1) Здесь а — амплитуда волны, h — глубина бассейна, в котором рассматриваются волны, l — длина волны (рис. 1). Суть приближений состояла в том, что амплитуда рассматриваемых волн был а много меньше, чем Рис. 1. Уединенная во лна, распространяющаяся по каналу, и ее параметры глубина бассейна, но в то же время длина волны была много больше, чем глуби на бассейна. Таким образом, Кортевег и де Фрис рассматривали длинные вол ны. Уравнение, которое было ими получено, имеет вид u t + 6uu x + u xxx = 0. (2.2) Здесь u(x,t) - отклонение от положения равновесия пов ерхности воды (форма волны) - зависит от координаты x и времени t . Индекс ы у характеристики u означают соотв етствующие производные по t и по x. Это уравнение, как и (1), является урав нением в частных производных. Изучаемая характеристика у него (в данном случае u) зависит от пространственн ой координаты x и времени t. Решить уравнение такого типа - значит найти зависимость u от x и t, после подстановки которой в уравнени е мы придем к тождеству. Уравнение (2.2) имеет волновое решение, известное с конца прошлого века. Оно выражается через специальную эллиптическую функцию, изученную Карлом Якоби, которая носит теперь его имя. При некоторых условиях эллиптическая функция Якоби переходит в гиперб олический секанс и решение имеет вид u(x,t)=2k 2 ch -2 k(x-4k 2 t)+ j 0 , (2.3) где j 0 — произвольная постоянная. Решение (8) уравнения (7) является предельным случаем бес конечно большого периода волны. Именно этот предельный случай является уединенной волной, соответствующей наблюдению Рассела в 1834 году. Решение (8) уравнения Кортевега— де Фриса является бегущей волной. Это оз начает, что оно зависит от координаты x и времени t через переменную x =x-c 0 t . Эта переменная характеризует положение точки координат, дви жущейся со скоростью волны с 0 , то ес ть она обозначает положение наблюдателя, который постоянно находится н а гребне волны. Таким образом, уравнение Кортевега— де Фриса в отличие о т решения Д'Аламбера (1.2) волнового решения (1.1) имеет волну, распространяющу юся лишь в одном направлении. Однако оно учитывает проявление более слож ных эффектов вследствие дополнительных слагаемых uu x и u xxx . В действительности это уравнение является также приб лиженным, поскольку при его выводе использованы малые параметры (2.1) e и d . Если пренебречь влиянием этих парам етров, устремляя их к нулю, мы получим одну из частей решения Д'Аламбера. Конечно, при выводе уравнения для длинных волн на воде влияние параметров е и 6 может быть учтено более точно, но тогда получится уравнение, содержащее гораздо больше слагаемых, чем уравнение (2.2), и с прои зводными более высокого порядка. Из сказанного следует, что решение урав нения Кортевега-де Фриса для описания волн справедливо только на опреде ленном расстоянии от места образования волны и на определенном промежу тке времени. На очень больших расстояниях нелинейные волны уже не будут описываться уравнением Кортевега-де Фриса, и для описания процесса потр ебуется более точная модель. Уравнение Кортевега-де Фриса в этом смысле следует рассматривать как некоторое приближение (математическую модел ь), соответствующее с определенной степенью точности реальному процесс у распространения волн на воде. Используя специальный подход, можно убедиться, что принцип суперпозици и решений для уравнения Кортевега-де Фриса не выполняется, и поэтому это уравнение является нелинейным и описывает нелинейные волны. 2.1. Солитоны Кор тевега - де Фриса В настоящее вре мя кажется странным, что открытие Рассела и его последующее подтвержден ие в работе Кортевега и де Фриса не получили заметного резонанса в науке. Эти работы оказались забытыми почти на 70 лет. Один из авторов уравнения, Д. Д. Кортевег, прожил долгую жизнь и был известным ученым. Но когда в 1945 году н аучная общественность отмечала его 100-летний юбилей, то в списке лучших пу бликаций работа, выполненная им с де Фрисом, даже не значилась. Составите ли списка сочли эту работу Кортевега не заслуживающей внимания. Только с пустя еще четверть века именно эта работа стала считаться главным научн ым достижением Кортевега. Однако если поразмыслить, то такое невнимание к уединенной волне Рассел а становится понятным. Дело в том, что в силу своей специфичности это откр ытие долгое время считалось довольно частным фактом. В самом деле, в то вр емя физический мир казался линейным и принцип суперпозиции считался од ним из фундаментальных принципов большинства физических теорий. Поэто му никто из исследователей не придал открытию экзотической волны на вод е серьезного значения. Возвращение к открытию уединенной волны на воде произошло в какой-то сте пени случайно и вначале, казалось, не имело к нему никакого отношения. Вин овником этого события стал величайший физик нашего столетия Энрико Фер ми. В 1952 году Ферми попросил двух молодых физиков С. Улама и Д. Паста решить о дну из нелинейных задач на ЭВМ. Они должны были рассчитать колебания 64 гру зиков, связанных друг с другом пружинками, которые при отклонении от пол ожения равновесия на D l приобретали возвращающуюся силу, равную k D l+a ( D l ) 2 . Здесь k и a - постоянные коэффициенты. При этом нелинейная добавк а предполагалась малой по сравнению с основной силой k D l . Создавая начальное колебание, исследовател и хотели посмотреть, как эта начальная мода будет распределяться по всем другим модам. После проведения расчетов этой задачи на ЭВМ ожидаемого р езультата они не получили, но обнаружили, что перекачивание энергии в дв е или три моды на начальном этапе расчета действительно происходит, но з атем наблюдается возврат к начальному состоянию. Об этом парадоксе, связ анном с возвратом начального колебания, стало известно нескольким мате матикам и физикам. В частности, об этой задаче узнали американские физик и М. Крускал и Н. Забуски, которые решили продолжить вычислительные экспе рименты с моделью, предложенной Ферми. После расчетов и поиска аналогий эти ученые установил и, что уравнение, которое использовали Ферми, Паста и Улам, при уменьшении расстояния между грузиками и при неограниченном росте их числа переход ит в уравнение Кортевега— де Фриса. То есть по существу задача, предложе нная Ферми, сводилась к численному решению уравнения Кортевега— де Фри са, предложенного в 1895 году для описания уединенной волны Рассела. Пример но в те же годы было показано, что для описания ионно-звуковых волн в плазм е используется также уравнение Кортевега— де Фриса. Тогда стало ясно, чт о это уравнение встречается во многих областях физики и, следовательно, уединенная волна, которая описывается этим уравнением, является широко распространенным явлением. Продолжая вычислительные эксперименты по моделированию распростране ния таких волн, Крускал и Забуски рассмотрели их столкновение. Остановим ся подробнее на обсуждении этого замечательного факта. Пусть имеются дв е уединенные волны, описываемые уравнением Кортевега— де Фриса, которы е различаются амплитудами и движутся друг за другом в одном направлении (рис. 2). Из формулы для уединенных волн (8) следует, что скорость движения так их волн тем выше, чем больше их амплитуда, а ширина пика уменьшается с рост ом амплитуды. Таким образом, высокие уединенные волны движутся быстрее. Волна с большей амплитудой догонит движущуюся впереди волну с меньшей а мплитудой. Далее в течение некоторого времени две волны будут двигаться вместе как единое целое, взаимодействуя между собой, а затем они разъеди нятся. Замечательным свойством этих-волн является то, что после своего в заимодействия форма и Рис. 2. Два солитона, описываемые уравнением Кортевега-де Ф риса, до взаимодействия (вверху) и после (внизу) скорость этих волн восстанавливаются. Обе волны после столкновения лиш ь смещаются на некоторое расстояние по сравнению с тем, как если бы они дв игались без взаимодействия. Процесс, у которого после взаимодействия волн сохраняются форма и скоро сть, напоминает упругое столкновение двух частиц. Поэтому Крускал и Забу ски такие уединенные волны назвали солитонами (от англ. solitary- уединенный). Эт о специальное название уединенных волн, созвучное электрону, протону и м ногим другим элементарным частицам, в настоящее время общепринято. Уединенные волны, которые были открыты Расселом, и в самом деле ведут себ я как частицы. Большая волна не проходит через малую при их взаимодейств ии. Когда уединенные волны соприкасаются, то большая волна замедляется и уменьшается, а волна, которая была малой, наоборот, ускоряется и подраста ет. И когда малая волна дорастает до размеров большой, а большая уменьшае тся до размеров малой, солитоны разделяются и больший уходит вперед. Так им образом, солитоны ведут себя как упругие теннисные мячи. Дадим определение солитона [4]. Солитоном называется нелинейная уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость при собственном движении и столкновении с себе подобны ми уединенными волнами, то есть представляет собой устойчивое образова ние. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть нек оторый сдвиг фаз. Открытия, связанные с уравнением Кортевега - де Фриса, не закончились отк рытием солитона. Следующим важным шагом, имеющим отношение к этому замеч ательному уравнению, было создание нового метода решения нелинейных ур авнений в частных производных. Хорошо известно, что найти решения нелине йных уравнений очень сложно. До 60-х годов нашего столетия считалось, что т акие уравнения могут иметь только некоторые частные решения, удовлетво ряющие специально заданным начальным условиям. Однако уравнение Корте вега— де Фриса и в этом случае оказалось в исключительном положении. В 1967 году американские физики К.С. Гарднер, Дж.М. Грин, М. Крускал и Р. Миура пок азали, что решение уравнения Кортевега— де Фриса может быть в принципе п олучено для всех начальных условий, которые определенным образом обращ аются в нуль при стремлении координаты к бесконечности. Они использовал и преобразование уравнения Кортевега - де Фриса к системе двух уравнений , называемой теперь парой Лакса (по имени американского математика Питер а Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории солитонов), и открыли но вый метод решения ряда очень важных нелинейных уравнений в частных прои зводных. Этот метод получил название метода обратной задачи рассеяния, п оскольку в нем существенно используется решение задачи квантовой меха ники о восстановлении потенциала по данным рассеяния. 2.2. Групповой со литон Выше мы говорил и, что на практике волны, как правило, распространяются группами. Подобны е группы волн на воде люди наблюдали с незапамятных времен. На вопрос о то м, почему для волн на воде так типичны "стаи" волн, удалось ответить Т. Бенжа мену и Дж. Фейеру только в 1967 году. Теоретическими расчетами они показали, ч то простая периодическая волна на глубокой воде неустойчива (теперь это явление называется неустойчивостью Бенжамена— Фейера), и поэтому волн ы на воде из-за неустойчивости разбиваются на группы. Уравнение, с помощь ю которого описывается распространение групп волн на воде, было получен о В.Е. Захаровым в 1968 году. К тому времени это уравнение уже было известно в ф изике и носило название нелинейного уравнения Шрёдингера. В 1971 году В.Е. За харов и А.Б. Шабат показали, что это нелинейное уравнение имеет решения та кже в виде солитонов, более того, нелинейное уравнение Шрёдингера, так же как и уравнение Кортевега— де Фриса, может быть проинтегрировано метод ом обратной задачи рассеяния. Солитоны нелинейного уравнения Шрёдинге ра отличаются от обсуждаемых выше солитонов Кортевега— де Фриса тем, чт о они соответствуют форме огибающей группы волн. Внешне они напоминают м одулированные радиоволны. Эти солитоны называются групповыми солитона ми, а иногда солитонами огибающей. Это название отражает сохраняемость п ри взаимодействии огибающей волнового пакета (аналог штриховой линии, п редставленной на рис. 3), хотя сами волны под огибающей двигаются со скорос тью, отличной от групповой. При этом форма огибающей описывается Рис. 3. Пример группового солитона (штриховая линия) зависимостью a(x,t)=a 0 ch -1 ( ) где а а - амп литуда, а l — половина размера солит она. Обычно под огибающей солитона находится от 14 до 20 волн, причем средняя волна самая большая. С этим связан хорошо известный факт, что самая высок ая волна в группе на воде находится между седьмой и десятой (девятый вал). Если в группе волн образовалось большее количество волн, то произойдет е е распад на несколько групп. Нелинейное уравнение Шрёдингера, как и уравнение Кортевега— де Фриса, т акже имеет широкую распространенность при описании волн в различных об ластях физики. Это уравнение было предложено в 1926 году выдающимся австрий ским физиком Э. Шрёдингером для анализа фундаментальных свойств кванто вых систем [4] и первоначально использовано при описании взаимодействия внутриатомных частиц. Обобщенное или нелинейное уравнение Шрёдингера описывает совокупность явлений в физике волновых процессов. Например, о но используется для описания эффекта самофокусировки при воздействии мощного лазерного луча на нелинейную диэлектрическую среду и для описа ния распространения нелинейных волн в плазме. 3. Постановка з адачи 3.1. Описание модели. В настоящее время наблюдается значительно возр астающий интерес к исследованию нелинейных волновых процессов в разли чных областях физики (например, в оптике, физике плазмы, радиофизике, гидр одинамике и т.д.). Для изучения волн малой, но конечной амплитуды в дисперс ионных средах в качестве модельного уравнения часто используют уравне ние Кортевега-де Фриза (КдФ): u t + ии х + b и ххх = 0 (3.1) Уравнение КдФ б ыло использовано для описания магнитозвуковых волн, распространяющихс я строго поперек магнитного поля или под углами, близкими к . Основные предположения, которые делаются при выводе уравнения: 1) малая, н о конечная амплитуда, 2) длина волны велика по сравнению с длиной дисперси и. Компенсируя действие нелинейности, дисперсия дает возможность формиро ваться в дисперсионной среде стационарным волнам конечной амплитуды - у единенным и периодическим. Уединенные волны для уравнения КдФ после раб оты [8] стали называться солитонами [9]. Периодические волны носят название кноидальных волн. Соответствующие формулы для их описания даны в [4]. 3.2. Постановка дифференциальной задачи. В работе исследуется численное р ешение задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с периодическими ус ловиями по пространству в прямоугольнике Q T = (t,x):03/2, а в случае периодической задачи - в пространстве L Ґ (0,T,H Ґ (C))где С - окружность длины, равной периоду, на русском языке эти результаты пред ставлены в книге [12]. Случай, когда не предполагается какая-либо гладкость н ачальной функции u 0 О L 2 (R 1 ) , рассмотрен в работе [13]. Там вводится понятие обобщенного решения задачи (3.2),(3.4), устанавливается существование обобщенного решения и(t,х) О L Ґ (0,T,L 2 (R 1 )) в случае произвольной начальной функции u 0 О L 2 (R 1 ) ; при этом и(t,х) О L 2 (0, Т;H -1 (-r,r)) для любо го r>0 , и если для некоторого a > 0 (x a u 0 2 (x)) О L 1 (0,+ Ґ ) , то (4.1) Используя обра щение линейной части уравнения при помощи фундаментального решения G(t,x) соответствующего линейного опер атора , вводится класс коррек тности задачи (3.2),(1.4) и устанавливаются теоремы единственности и непрерывн ой зависимости решений этой задачи от начальных данных. Также исследуют ся вопросы регулярности обобщенных решений. Одним из основных результа тов является достаточное условие существования непрерывной по Гельдер у при t > 0 производной в терминах существования м оментов для начальной функции, для любых k и l. Задача Коши для уравнения КдФ исследовалась также методом обратной зад ачи рассеяния, предложенном в работе [14]. При помощи этого метода были полу чены результаты о существовании и гладкости решений при достаточно быс тро убывающих начальных функциях, причем в [15] установлен, в частности, рез ультат о разрешимости задачи (3.2),(3.4) в пространстве C Ґ (О, Т; S(R 1 )) . Наиболее полный обзор современных результатов по ура внению КдФ можно найти в [16]. 4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ. Как известно, дл я уравнения КдФ существует бесконечное число законов сохранения. В рабо те [17] приводится строгое доказательство этого факта. В работах [11], [12] различ ные законы сохранения применялись для доказательства нелокальных теор ем существования решения задачи (3.2),(3.4) из соответствующих пространств. Продемонстрируем вывод первых трех законов сохранения для задачи Коши на R 1 и периодической задачи. Для получения первого закона сохранения достаточно проинтегрировать у равнения (3.2) по пространственной переменной. Получим: Здесь в качес тве a и b выступают + Ґ и - Ґ для задачи Коши и границы основного периода д ля периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0. (4.2) Для вывода второго закона сохранения следует умножит ь уравнение (3.2) на 2 u(t,x) и проинтегриров ать по пространственной переменной. Тогда, используя формулу интегриро вания по частям получим: но в силу "краев ых" условий все слагаемые кроме первого опять сокращаются Таким образом в торой интегральный закон сохранения имеет вид: (4.3) Для вывода трет ьего закона сохранения нужно умножить наше уравнение (3.2) на (и 2 + 2 b и хх ), таким образом получим: После применен ия несколько раз интегрирования по частям третий и четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагаемые исчезают из-за граничных условий . Таким образом из первого интеграла получаем: что эквивалент но ( 4.4) А это и есть третий закон сохранения для уравнения (3.2). По д физическим смыслом первых двух интегральных законов сохранения в нек оторых моделях можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и последующих законов сохранения физический смысл охарактери зовать уже труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополни тельную информацию о решении, которая используется потом для доказател ьств теорем существования и единственности решения, исследования его с войств и вывода априорных оценок. 5. Разностные сх емы для решения уравнения КдФ 3.1. Обозначения и постановка разностной задачи. В области = (x,t):0 Ј x Ј l,0 Ј t Ј T обычным образом введем равномерные сетки, где Введем линейное пространство W h сеточных функций, определенных на сетке со значениями в узлах сетки y i =y h (x i ). Предполагается, что выполнены условия период ичности y 0 =y N . Кроме того, фо рмально полагаем y i+N =y i для i і 1 . Введем скалярное произведение в пространстве W h (5.1) Посколь ку в пространство W h входят периоди ческие функции, то это скалярное произведение эквивалентно скалярному произведению: Будем строить разностные схемы для уравнения (3.2) на сет ке с периодическими краевыми условиями. Нам потребуются обозначения ра зностных аппроксимаций. Введем их. Используем стандартные обозначения для решения уравнения на очередном (n-м) временном слое, то есть Введем обознач ения для разностных аппроксимаций производных. Для первой производной по времени: Аналогично для первой производной по пространству: Теперь введем о бозначения для вторых производных: Третью простра нственную производную будем аппроксимировать следующим образом: Также нам потре буется аппроксимация у 2 , которую м ы обозначим буквой Q и введем следую щим образом: (5.2) Для записи урав нения на полу целых слоях будем использовать уравновешенную аппроксим ацию, т.е. за исключением аппроксимации у 2 на полу целом слое. Приведем одну из возможных аппроксимаций у 2 на полу целом сл ое: Замечание 2. Стоит отметить, что для 1 выпол няется равенство: Определение 1. Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называт ь консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог первого интег рального закона сохранения, справедливого для дифференциальной задачи . Определение 2. Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называт ь L 2 -консервативной, если для нее име ет место сеточный аналог второго интегрального закона сохранения, спра ведливого для дифференциальной задачи. 5.2. Явные разностные схемы (обзор). При построении разностных схем будем ориентироваться на простейшую разно стную схему из работы [19] для линеаризованного уравнения КдФ, которое сохр аняет свойства самого уравнения КдФ в смысле двух первых законов сохран ения. (5.3) Исследуем тепе рь схему (5.4) на свойства консервативности. Выполнение первого закона сохр анения очевидно. Достаточно просто умножить это уравнение скалярно на 1. Тогда второе и третье слагаемые схемы (5.4) дадут 0, а от первого останется: (5.4) Это сеточный ан алог первого закона сохранения. Для вывода второго закона сохранения умножим скалярно уравнение (5.3) на 2 t у. Приходим к энергетическому тожд еству (5.5) Наличие отрица тельного дисбаланса говорит не только о невыполнении соответствующего закона сохранения, но и ставит под сомнение вопрос вообще об устойчивос ти схемы в наиболее слабой норме L 2 ( ). )- В работе [15] показано, что схемы семейства (3.18) яв ляются абсолютно неустойчивыми в норме L 2 ( ). Другим п римером явной двухслойной схемы является двух шаговая схема Лакса-Венд рофа [20]. Это схема типа предиктор-корректор: В данный момент наиболее популярными схемами для уравнения КдФ считают ся трехслойные схемы ввиду их простоты, точности и удобства реализации. (5.6) (5.7) Самой простой трехслойной схемой является следующая схема: Эта схема была и спользована при получении первых численных решений КдФ [8]. Эта схема аппр оксимирует дифференциальную задачу с порядком О ( t 2 + h 2 ). Согласно [21], схе ма является устойчивой при выполнении условия (при малых Ь): Приведем еще не сколько схем. Трехслойная явная схема с порядком аппроксимации O( t 2 + h 4 ) [20]: Третья производная по пространству аппроксимируется на семиточечном шаблоне, а первая строится по пяти точкам. Согласно [21], эта схема устойчива при выполнении условия (при малых h ): Легко видеть, чт о для этой схемы с более высоким порядком аппроксимации условие устойчи вости является более жестким. В работе [19] предлагается следующая явная разностная схема с порядком апп роксимации О( t 2 + h 2 ) : (5.8) Так как разност ное уравнение (5.8) можно записать в дивергентном виде (5.9) то, скалярно ум ножив уравнение (5.9) на 1, получим следовательн о, выполняется соотношение: которое можно с читать сеточным аналогом первого закона сохранения. Таким образом, схем а (5.8) является консервативной. В [19] доказано, что схема (5.8) является L 2 -консервативной и ее р ешение удовлетворяет сеточному аналогу интегрального закона сохранен ия 5.3. Неявные разн остные схемы (обзор). В этом параграфе мы рассмотрим нея вные разностные схемы для уравнения Кортевега-де Фриза. Вариант двухслойной схемы - неявная абсолютно устойчи вая схема с порядком аппроксимации О ( t 2 , h 4 ) [21]: Решение разностной схемы (3.29) вычисляется с помощью сем и диагональной циклической прогонки [22]. Вопрос о консервативности этой с хемы не исследовался. В работе [15] предлагается неявная трехслойная схема с весами: ( 5.10) Разностная схемы (5.10) с периодическими по пространству решениями, консервативна, L 2 -консерв ативна при s =1/2 и s =1/4 для ее решения имеют место сеточные аналоги интеграл ьных законов сохранения. 6. Численное решение Численное реше ние для (3.2), (3.3), (3.4) было проделано с использованием явной схемы (5.7) Решалась начально-краевая задача на отрезке [0, 2 p ]. В каче стве начальных условий бралась функция u 0 (x)=sin (x). Явным образом б ыло получено решение. Программа для расчетов была написана на языке Turbo Pascal 7.0. Текст основных часте й программы прилагается. Расчеты велись на вычислительной машине с процессором AMD-K6-2 300 МГц с техноло гией 3DNOW!, размер оперативной памяти 32 Мб. 7. Заключение Настоящая рабо та посвящена исследованию уравнения Кортевега – де Фриза. Проведен обш ирный литературный обзор по теме исследования. Изучены различные разно стные схемы для уравнения КдФ. Выполнен практический счет с использован ием явной пяти точечной разносной схемы Как показал ана лиз литературных источников, явные схемы для решения уравнений типа КдФ наиболее применимы. В данной работе также решение было получено с исполь зованием явной схемой. 8. Литература 1. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. М.: Наука, 1964. Т. 3. 2. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1965. Вып.4. 3. Филиппов А. Г Многоликий солитон. М.: Наука, 1986. (Б-чка "Квант"; Вып. 48). 4. Рубанков В.Н. Солитоны, новое в жизни, науке, технике. М .: Знание , 1983. ( Физика ; Вып . 12). 5. Korteweg D.J., de Vries G. On the change form of long waves advancing in a rectangular channel and on new type of long stationary waves.//Phyl.May. 1895. e5. P. 422-443. 6. Сагдеев Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разреженной плазме .-В кн.: Вопросы теории плазмы, Вып.4. М.: Атомиз-дат, 1964, с.20-80. 7. Березин Ю.А., Карпман В.И. К теории нестационарных волн конечной амплитуд ы в разреженной плазме. // ЖЭТФ, 1964, т.46, вып.5, с. 1880-1890. 8. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interactions of "solitons"in a collisionless plasma and the reccurence of initial states // Phys.Rev.Lett. 1965. V.15. еб. Р.240-243. 9. Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны. М.: Мир; 1983 10. Sjoberg A. On the Korteweg-de Vries equation, existence and uniqueness, Uppsala University, Department of Computers, 1967 11. Temam R. Sur un probleme non lineare // J.Math.Pures Anal. 1969, V.48, 2, P. 159-172. 12. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краев ых задач. М.: Мир, 1972. 13. Кружков С.Н. Фаминский А.В. Обобщенные решения для уравнения Кортевега-д е Фриза.// Матем . сборник , 1983, т . 120(162), еЗ , с .396-445 14.. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys.Rev.Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097. 15. Шабат А.Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза // ДАН СССР, 1973, т.211, еб, с.1310-1313. 16. Фаминский А.В. Граничные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза и его о бобщений: Дисс.... докт . фи з .- матем . наук , М : РУДН ,2001 17. Miura R.M., Gardner C.S., Kruscal M.D. Korteweg-de Vries equation and generlization. II. Existence of conservation laws and constants of motion. // J.Math.Phys. 1968. V.9. P. 1204-1209. 18. Амосов А.А., Злотник А.А. Разностная схема для уравнений движений газа. 19. Самарский А.А., Мажукин В.И., Матус П.П., Михайлик И.А. Z/2-консервативные схемы для уравнения Кортевега-де Фриса.// ДАН, 1997, т.357, е4, с.458-461 20. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. Новосибирск: Наука. 1982. 21. Березин Ю.А., О численных решениях уравнения Кортевега-де Вриза.// Численн ые методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1973, т.4, е2, с.20-31 22. Самарский А.А., Николаев Методы решения сеточных уравнений. М: Наука, 1978 23. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М: Наука, 1989 24. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: Наука, 1987