Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

В.Кинети ческие Свойства § 6. Кинетическое уравнение Носители заряд а в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и гр адиентов температуры . Они также испытывают ра ссеяние на примесях , колебаниях решетки и т . д . Эти эффекты должны быть сбалансирова ны — нас интересуют такие ситуации , в которых эле к трон ускоряется полем , но при рассеянии теряет избыточные энерг ию и импульс . В этой главе мы рассмотр им «обычные» кинетические свойства , наблюдаемые при наложении постоянных полей. Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении , или урав нении Болъ цмана . Мы рассматриваем функцию f k (r) — локальную концентр ацию носителей заряда в состоянии k в окрестност и точки r. Строго говоря , эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений , средних по ансамблю , матриц плотнос ти и т . д . Имеется обширная литература по этому вопросу , но она отн осится скорее к формальному аппарату квантово й статистической механики , чем к теории тв ердого тела. Посмотрим теперь , какими спосо бами функция f k (r) может изме няться во времени . Возможны п роцессы т рех типов : 1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее . Пусть v k — скорость носителя в состоянии k . Тогда в течение ин тервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь t v k . Следовательно , на осн овании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r – t v k в момент времени 0: f k (r, t ) = f k (r – t v k , 0). ( 35 ) Это оз начает , что скорость изменения функции расп ределения из-за диффузии есть f k / t ] diff = – v k f k / r = – v k f k . (36) 2. Внешние поля вызывают изме нение волнового вектора k каждог о носителя , согласно равенству (37) Величину можно рассматрива ть как «скорость» носителя заряда в k -пространстве , так что по аналогии с равенством (35) име ем (38) следоват ельно , под действием полей функция распределения меняется со скоростью (39) (мы использовали здесь обоз начение f k / k для градиента в k - пространстве — оператора k ). 3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным . Мы ограничимся з десь в основном упругим рассеянием . При эт ом функция f k меняется со скоростью f k / t ] scat t = ∫ f k' (1 – f k ) – f k (l – f k' ) Q(k, k') dk'. (40) Процесс рассеяния из состояния k в состояние k ' приводит к уменьшению f k . Вероятность этого процесса зависит от величины f k — числа носителей в состояни и k , и от разности (1 – f k ' ) — числа свобод ных мест в конечном состоянии . Имеется так же обратный процесс , переход из k ' в k , который веде т к увеличению функции f k ; он пропорционален величине f k ' (1 – f k ). Очевидно , надо просуммировать по всевозможным состоя ниям k '. Для каждой пары значений k и k ' существует , однако , «собственная» вероятность перехода Q ( k , k '), равная скорости перехода в случае , когда состояние k полностью заполнено , а состояние k ' вакантно . Согласно принципу микроскопической обратимости , та же функция дает и скорость перехода из k ' в k , поэтому под интегралом появляется общий множитель. Кинетическое уравнение выражает следующее : для любой точки r и для люб ого значения k полная скорость изменения функции f k ( r ) рав на нулю , т . е. f k / t ] scatt + f k / t ] field + f k / t ] diff = 0. (41) Отметим , что здесь рассматривается стационарное , но не обяз ательно равновесное состояние . Для последнего функция распре деления обозначается через f 0 k , оно осуществляется только в о тсутствие полей и градиентов темпе ратуры. Допустим , однако , что расс матриваемое стационарное рас преде ление не слишком сильно отличается от рав новесного. Положим g k = f k – f 0 k . (42) где f 0 k = 1/ exp[( E k – )/kT] + 1 (43) Здес ь нужно проявить некоторую осторожность . Имен но , как определить функцию f 0 k в случае , когда температура зависит от координат ? Будем считать , что в каждой точке можно корректно опреде лить локальную температуру T ( r ) , и положим gk(r)=f k (r) – f 0 k 3T(r) . (44) Если введение локальной температуры вызывает затруднения , можно потребовать , чтобы окончат ельное ре шение удовлетворяло какому-либо дополнительному у словию , например g k (r)dk = 0. (45) Подставляя выр ажение (42) в кинетическое у равнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем – v k f k / r – e / ħ'68 (E + 1/c[ v k H]) f k / k = – f k / t] scatt , (46) или – v k f k / T T – e / ħ'68 ( E + 1/ c [ v k H ]) f 0 k / k = – f k / t ] scatt + v k g k / r + e / ħ'68 ( E + 1/ c [ v k H ]) g k / k . (47) С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде ( f 0 / E ) v k ( E (k) – ) / T T + e (E – 1/e ) = – f k / t] scatt + v k g k / r + e / ħ'68 c[ v k H] g k / k. (48) Э то — линеаризованное уравнение Больцмана . В нем опущен член ( E g k / k ) порядка E 2 , соответствующий отклонениям от закона Ома . Отброшен также член v k [ v k H ] , тождественно рав ный нулю ; в левую часть уравнения магнитн ое поле явно не входит. Подставляя выражение (40) в у равнение (48), можно убе дитьс я , что мы получили линейное интегро-дифференци альное уравнение относитель но «добавки» g k ( r ) к функции распределения . Функция g k ( r ) определяется интенсивностью электри ческого поля и величиной градие нта температуры , входящими в неоднородный член в левой части . Далее в этой главе м ы будем отыскивать решения кинетического урав нения для различных случа ев в порядке увеличения сложности. § 7. Электропроводность Пуст ь на систему наложено только электрическое поле E , и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура . С учетом выражения (40) получа ем ( – f 0 / E ) v k eE = – ( f 0 / t)] scatt = (f k – f k )Q(k,k )dk = (g k – g k )Q(k,k )dk (49) Это есть простое интегральное уравнение для неизв естной функции g k . Вместо того чтобы , непосредств енно решать его , сделаем фено менологическое предположение : – f k / t] scatt = g k / (50) Тем самым мы вводим время релаксации . При выключении поля любое отклонение g k от равновесного распределен ия будет затухать по закону – g k / t = g k / , (51) или g k (t) = g k (0)e – t / . (52) Подс тавляя определение (50) в уравнение (49), находим g k = ( – f 0 / E ) v k eE (53) Чтобы найти электропровод ность , вычислим соответствующую плотность тока (54) Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во вни мание , что f 0 k ev k (r)dk 0, использов аны также формулы для преобразования объемног о интеграла в k -пространстве в интеграл по и зоэнергетическим поверхностям и по энергии. В ме талле функция ( – f 0 / E ) ведет себя как -функция от ( E – ) , поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми . Таким образом, ( 55) Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой J = E , (56) где – тен зор . Получим (57) Обы чно имеют дело с кристаллами кубической с имметрии, при этом тензор электропров одности сводится к скаляру , помно женному на единичный тензор . В случае , когда оба вектора E и J направлены по оси х , подынтегральн ое выражение в (55) есть (v k v k E) = v 2 x E, (58) что дает 1/3 вклада от квадра та скорости , v 2 E . Поэтому (5 9 ) где мы ввели длину свободного пробега = v . (6 0 ) Это есть основная формула для электропроводност и. Интересно посмотреть (фиг . 97), как выглядит функция ра спределения f k , заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция g k велика только вблизи по верхности Ферми. Фиг .97. а – смещенная повер хность Ферми ; б – смещенное распределен ие Ферми . Небольшая добавка появляется с той ст ороны , где v k eE >0, т . е . та м , где электроны ускоряются полем . Та же величина вычитается с противоположной стороны. Фактически по теореме Тей лора можно на писать (61) Это выглядит так , как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k -п po странстве на величину ( e / ħ'68 ) E . Это нескольк о неверная интерпретация . В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны , в глубине сферы Ферми . Из-за при нципа Паули поле не может придать ускорен ия электронам в таких состояниях ; по этой же причине они не рассе иваются п римесью. Отметим , однако , что электропр оводность не зависит от тем пературы (если не считать возможной те мпературной зависи мости ). Эта же формула справедлива при T = 0, когда рас пределени е Ферми имеет совершенно четку ю грани цу . Можно сказать , что электр опроводность выражается через смещение жесткой поверхности Ферми. Заметим также , что выражение (61) можно представить в виде f k = f 0 ( E k + e v k E), (62) как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась вели чина E k = e v k E. (63) Это в точности соответствует классической сит уации , которая имела бы место , если бы электрон со скоростью v k двигался в поле E в теч ение интервала времени . Это замечание лежит в основе кинетического метода решения подобных задач . Доба вочная энергия , приобретаемая в промежутках между столкно вениями с примесями , соответств ует наличию дрейфовой скорости v в н аправлении поля ; именно v( E / v) = evE , (64) или для классической частицы массы m v( E / v) = evE / mv. (65) Пусть концентрация част иц есть n , тогда полная плотность тока равна J = ne v, (66) и , сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим = ne 2 / m . (7.33) Легк о показать , что в случае свободного электр онного газа формулы (67) и (59) эквивалентны ; в м еталле последняя формула принципиально зна чительно лучше . Она показывает , что электропроводность зависит т олько от свойств электронов на уровне Ферми , а не от полной концентрации их . Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием не большой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми , а не высо ким значением полной концентрации свободных э лектронов , которым можно придать небольшую др ей фовую скорость. Основная формула (59) показывает также , что происходит , когда площадь своб одной поверхности Ферми уменьшается в р езультате взаимодействия с границами зоны , и учиты вает влияние ре шетки , ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ф ерми . Такие эффекты действительно можно наблюдать в металлах типа Bi . С другой стороны , фор мула кинетической теории (6 7) удобна для полупроводников . При этом под п следует понимать кон центрацию свободных носителей заряда . Обычно пишут = n|е | (68) где = |e| /m (69) есть подвижность носителей . В более общем случае считают , что электроны и дырки вносят независимые вклады в пол ный ток и определяют их подвижности равенством = n h | е | h + n e | е | e . (70) Нетрудно вывести ф ормулу (68), скажем , из (54), при нимая в качестве f ° кл ассическую функцию распределения . При этом мы допускаем , что время релаксации может зависеть от энергии ; в формулу (69) над о подставить его среднее значение (71) гд е N ( E ) есть плотность состоян ий в рассматриваемой зоне . Таким образом, e = |e| e /m e (7.38) где т е — эффективная масса электроно в . Аналогичная формула справедлива и для д ырок . Из этих формул видно , что подвиж ность может зависеть от температуры . С ростом T распределение размазывается и среднее время релаксации изменяется . В случае металла то обстояте льство , что т зависит от энергии , не иг рает большой роли , ибо существенно только значение ( E F ) .