Диплом: Обобщающее повторение по геометрии на примере темы "Четырехугольник" - текст диплома. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Диплом

Обобщающее повторение по геометрии на примере темы "Четырехугольник"

Банк рефератов / Педагогика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Дипломная работа
Язык диплома: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 682 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной дипломной работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

С одержание . Введ ение. 2 Глава I. Психолого– педагогические особенности подросткового периода. 5 § 1. Воз растные критерии. 5 § 2. Повышение уровня обоб щённости изучаемых знаний. 12 Глава II. Обобщающее повторение по геометрии в 8 классе (на примере темы : "Четырехугольники "). 16 § 1. Зна чение повторения. 16 § 2. Виды повторения. 17 § 3. Содерж ание и методика обобщающего повторения на примере темы : «Четырехугольники». 24 Глава III. Описание и результаты эксперимента. 42 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47 БИБЛИОГРАФИЯ 50 Введение. В процессе обучения математике важное место отводится ор ганизации повторения изученного материала . Необхо димость повторения обусловлена задачами обучения , требующими прочного и сознательного ов ладения ими . Указывая на важность процесса повторения изученного материала , современные исследователи показали значительную роль при этом таки х дидактических приёмов , как сравнение , класси фикация , анализ , синтез , обобщение , содействующее интенсивному прот еканию процесса запоминан ия . При этом вырабатывается гибкость , подвижно сть ума , обобщённость знаний . В процессе повторения память у учащих ся развивается . Эмоциональная память опирается на наглядно– образные процессы , постепенно усту пает памяти с логическим и процессами мышления , которая основана на умении устанавл ивать связи между известными и неизвестными компонентами , сопоставлять абстрактный материал , классифицировать его , обосновывать свои выск азывания. Повторение учебного материала по математи ке осущест вляется во всей системе уче бного процесса : при актуализации знаний — на этапе подготовки и изучения нового материала , при формировании учителем новых по нятий , при закреплении изученного ранее , при организации самостоятельных работ различных ви дов , при про в ерке знаний учащихся . Необходимость повторения изученного ранее материала вызвано самой структурой программы учебного курса математики . Например , учащиеся проходят по учебной программе тему : «Четырё хугольники» в 8 классе , но пользуются ей в 10 – 11 класса х при изучении темы : « Поверхность тел вращения» , «Площадь поверхности» , «Объёмы тел» и др . Школьная программа устроена так , что , не повторяя ранее изу ченного материала , трудно понять новый . Поэтом у повторение пройденного материала необходимо учащимся . На практике чувствуется ва жность и полезность обобщающего повторения . О бобщающие уроки являются итогом большой работ ы учащихся по повторению , оказывают им пра ктическую помощь в подготовке к экзаменам . Отзывы восьмиклассников об этих уроках , их осознанные , л огически правильные от веты , с правильным использованием символической записи , умением применять теоретические знания при решении задач говорят о большой эффективности такого повторения . Литературы по организации повторения не хватает . Важность обобщающего повторения и методических разработок определяют актуально сть этой проблемы . Проблема заключается в изучении влияния обобщающего повторения на качество знаний учащихся . В связи с возникшей проблемой выдвига ется гипотеза : предлагаемая методика обобщающег о повторения способствует повышению качес тва знаний учащихся. Объектом является учебно– воспитательный про цесс в периоды повторения пройденного материа ла . Предметом служит обобщающее повторение на уроках математики в 8 классе . Для решения проблемы необход имо р ешить задачи : Изучить научно– педагогический материал по психологии , по математике , по методике препо давания . Изучить состояние обобщающего повторения в процессе работы , практику работы учителей , то есть , опыт их работы . Проанализировать виды обобща ющего пов торения . Разработать содержание и метод приёмов на примере темы : «Четырехугольники» . Провести экспериментально в средней шк оле . Методы , использованные при экспериментировани и гипотезы : теоретический анализ , педагогическое наблюдение , беседа , т естирование анкетирова ние , эксперимент . Аплобирование гипотезы проводило сь в средней школе № 46 (гимназия № 4) под руководством Баязитовой Л.Ш . в 8 б и 8 г классах. Глава I . Психолого– педа гогические особенности подросткового периода. § 1. Возр астные критерии. В настоящее время наблюдается усиленный интерес учителей математики к психолого– педагогическим проблемам , к психологическим знаниям . Этот интерес обусловлен тем , что учителя математики в с воей повседневн ой практической деятельности встречаются с такими проблемами , которые можно разрешить лишь на основе психолого– пед агогических знаний , а также при условии гл убокого психологического осмысления сущности эти х проблем . 1. Ученик как объект и су бъект процесса обучения. В процессе обучения математике непосредственно участвуют с одной стороны — учитель , с другой — ученик . Роли их в этом процессе представляются , по кра йней мере на первый взгляд , достаточно ясн ыми : учитель организует , направляет и руководи т процесс ом обучения математике , а уче ник должен учиться , выполнять все требования учителя . Вот как , например , определяется процесс обучения в одном из учебников по педаг огике : «Обучением называется двусторонний процесс , состоящий из деятельности учителя , когда он ученикам объясняет , рассказывает , показыв ает , заставляет их выполнять упражнения , испра вляет их ошибки и т.д ., и из деятельнос ти учеников , которые под руководством учителя усваивают знания и соответствующие умения и навыки» . Основная роль учителя математ ики в современных условиях — это воспитание личности учащихся , формирование их потребностно– мотивационной сферы , воспитание их способностей , нравственных идеалов и убеждений . Обучение знаниям умениям и навыкам по математике я вляется составной частью этого воспит ания и тем процессом , в котором это во спитание осуществляется. 2. Возрастные психологические ос обенности ученика как объекта обучения матема тике . О том , что надо учитывать возрастные особенности учащихся , говорится всюд у , но не всегда указывается , ч то эт о означает , какие особенности надо учитывать и как их надо учитывать . Между тем , надо иметь в виду , что возрастные особе нности — это не нечто неизменное и в ечное , что присуще ученикам опре делённого возраста . Сами эти о собенности довольно резко меняютс я со временем . Скажем , возрастные психологические особенности ученика м ладшего школьного возраста теперь и лет 30 тому наза д совсем не одни и те же . Точно также современный подрос ток весьма существенно отличается от подростк а довоенных лет . Рассмотрим нек оторые психологические особенности современного ученика , име я в виду лишь те ег о особенности , которые важно у читывать в процессе обучения математике . Ученик — это растущий , развивающийся человек . Придя в школу в семь лет , он заканчивает её в 17 лет вполне сложив шимся человеком юношеского возраста . За эти десять лет обучения ученик проходит огромн ый путь физического , психического и социально – нравственного развития . Подростковый возраст — это весьма сл ожный , таящий в себе опасность кризисных я влений , период в жизни ученика . В это т период организм ребёнка претерпевает кардин альные изменения . Развёртывается процесс полового созревания . С этим процессом связано возн икновение у подростка физического ощущения со бственной взрослости . У него возникает предст авлени е о себе уже не как о ребёнке , он стремится быть и считаться взрослым . Отсюда у подростка возникает нова я жизненная позиция по отношению к себе , к окружающим людям , к миру . Он становитс я социально активным , восприимчивым к усвоени ю норм ценностей и способо в пов едения , которые существуют среди взрослых . Поэтому период подросткового возраста хар актерен тем , что здесь начинается формировани е морально– нравственных и социальных установок личности ученика , намечается общая направлен ность этой личности . Подросток стремится к активному общ ению со своими сверстниками , и через это общение он активно познаёт самого себя , овладевает своим поведением , ориентируясь на образцы и идеалы , почерпнутые из книг , к инофильмов , телевидения . Подросток становится более независимым от взрослых ещё и потому , что у него возникают такие потребности , которые он должен удовлетворить только сам (потребн ость в общении со сверстниками , в дружбе , в любви ). Родители и вообще взрослые при всём их желании не могут решить п роблемы , встающие пер е д подростками в связи с возникновением у них новых потребностей , между тем как удовлетворение всех основных потребностей младших школьников зависит в основном от родителей . Всё эт о зачастую болезненно сказывается на отношени и учащихся к учению . Вот как ха р актеризует это известный психолог Н.С . Лейтес : «Дети 12 – 13 лет в подавляющем больш инстве своём относятся к учению в основно м благодушно : не утруждают себя излишними раздумьями , выполняют только уроки в пределах заданного , часто находят поводы для развл ече н ия… Ослабление связи с учител ем , снижение его влияния особенно дают о себе знать в недостатках поведения учени ков на уроках . Теперь учащихся не только иногда позволяют себе игнорировать получаемы е замечания , но могут и активно им про тивостоять . В средних к лассах можно столкнутся с изобретательными шалостями и проявлением самого легкомысленного поведения» . Общая картина работы учащихся– подростков на уроках по сравнению с младшими клас сами ухудшается . Ранее примерные и аккуратные ученики позволяют себе не вы полнять задания . Тетради ведутся неряшливо . У мно гих учащихся меняется подчерк , он становится неразборчивым и небрежным . При решении ма тематических задач многие подростки не проявл яют нужной настойчивости и прилежания . Попытк и учителя заинтересовать учени к ов занимательностью формы изложения или какими– л ибо другими способами зачастую не приносят ожидаемого результата . В то же время эти же подростки весьма охотно участвуют в работе различных кружков , где , казалось бы , наиболее трудны е подростки охотно выполн яют все указ ания взрослого руководителя кружка , с интерес ом и усердием овладевают теоретическими знани ями , нужными для выполнения практических рабо т . Если подростковый возраст есть начало внутреннего перехода ученика от положения объекта обучения и воспит ания , которым он был в младшем школьном возрасте , к положению субъекта этого процесса , то в юношеском возрасте ученик становится (во вс яком случае , должен становиться ) уже подлинным субъектом своей деятельности в учебно– воспи тательном процессе . В то же вр емя ученики ещё сохраняют материальную зависимость от родителей . Главным в их жизни становится подготовка к будущей самостоятельной , взрослой жизни , подготовка к труду , выбор жизненного пути , профессии . В эти годы особую значимость для учеников приобретае т ценностно– ориентационная деятельность . Ученик пытается произвести глубок ую самооценку своей личности , своих способнос тей . Растёт и развивается рефлексия , познавате льный интерес к философским проблемам , юноша пытается выяснить смысл жизни ; оценить на блюд а емые явления с этой точки зрения . Особо следует отметить стремление ученико в старшего школьного возраста к автономии , к эмоциональной и ценностной самостоятельности , к независимости , к самоуважению , между те м как для подростков характерна зависимость от г руппы своих сверстников . Подросто к весьма податлив влиянию сверстников . Внутре нне отойдя от родителей , он ещё не при шёл к своей индивидуальности , которая обретае тся в юношеском возрасте . Если подростка в олнует вопрос : «Неужели я не такой , как все ?» , то юн о шу : «Неужели я такой , как все ?» . Учителю всё это надо иметь в виду и учитывать в своей работе . 3. Мотивация процесса учения . Выше мы установили , что ученик в п роцессе обучения математике из объекта этого обучения постепенно становится его субъектом . Чт о это значит ? В чём выражается различие между объектом и субъектом обуч ения ? Ведь в том и в другом случае ученик как– то учится , приобретает знания , у мения . Действительно , и когда ученик является лишь объектом обучения математике , и когда он становится суб ъектом этого процес са он выполняет задания учителя , решает за дачи , повторяет изученный материал и т.д ., т. е . он учится . Все различия между учением ученика в роли объекта и его же уче нием в роли субъекта состоят в том , ра ди чего он это делает . Человек , уче ник есть деятельное су щество . Он всегда что– то делает , участвует в какой– то деятельности . Но ученик участву ет во многих различных деятельностях , соверша ет разные действия . Для того чтобы ученик эффективно учился , он должен совершать не любые действия , а в п олне опре делённые . Встаёт вопрос : почему ученик соверша ет именно эти действия , а не другие , чт о побуждает совершать эти действия , что на правляет и регулирует его деятельность в процессе обучения ? Иными словами , что мотивиру ет — побуждает и направляет — де я тельность ученика . Только разобравшись в этом , мы сможем понять , в чём различия между объектом и субъектом процесса обучения . Кроме того , в этом надо разобраться ещё и потому , а может быть главным образом потому , чт о учитель должен научиться управлять дея тельностью учащихся в процессе обучения , а для этого он должен формировать у них нужную мотивацию . Ведь в противном случае , если этого не делать , становится вполне реальной опасность , о которой говори л В.А.Сухомлинский : «Все наши замыслы , все поиски и по с троения превращаются в прах , если нет у учащихся желания учиться.» Поэтому учитель должен вызвать у учащ ихся такое желание , а это значит , что о н должен формировать у них соответствующую мотивацию . Что такое мотивация , как она формирует ся у человека ? Под м отивацией понимают обычно совокупность побуждений к деятельност и . Однако когда деятельность уже началась , то она имеет определённую цель . Цель — это то , чего сознательно хочет достигнут ь человек в результате этой деятельности . Но между целью деятельности и её по буждениями не всегда существует полное соотве тствие . Когда оно имеется , то говорят , что эта деятельность имеет смысл ; в противном случае , когда цель деятельности и вызвавш ие эту деятельность побуждения не соответству ют друг другу , то говорят , что д еятельность не имеет смысла , лишена дл я данного человека смысла . Например , ученики решают задачу . Цель у них одна — научиться решать подобные задачи . Побуждения же могут быть самые различные . Так , одни из них решают задачу потому , что привыкли выполнять т ребов ания учителя , у них ещё имеется достаточно стойкая установка на выполнение требований учителя , но некоторые из них , кроме то го , хотят получить хорошую отметку , похвалу . Для других главное — получить хорошую отметку ; третьи решают задачу ещё и пот ому, что их интересует сам процесс решения , он приносит эмоциональное удовольст вие ; наконец , есть и такие , у которых , к роме перечисленных побуждений , есть ещё и стремление овладеть общим способом решения по добных задач . Возможно , что у некоторых уч ащихся и дру г ие побуждения . Однако независимо от мотивов , которые побуждают учащихся решать задачу , объективно эта деятельность направлена на какие– то учеб ные цели , например , на то , чтобы каждый из них научился решать подобные задачи . З аметим , что сама задача с психол огичес кой точки зрения выступает лишь как матер иал , как средство этой деятельности . Итак , ученик всегда является объектом деятельности в процессе обучения , а субъектом этой деятельности он становится тогда , ко гда сознательно принимает объективные цели де я тельности за свои личные цели . Очевид но , что в последнем случае обучение являет ся наиболее эффективном , только в этом слу чае учитель может легко и с удовольствием полностью осуществить цели и задачи обуч ения . Учителю необходимо стремиться к тому , чтобы ка ждый ученик становился субъектом деятельности в процессе обучения . А для этого нужно , чтобы все стороны учебно– во спитательного процесса , его содержание , организаци я и методы содействовали такому становлению , были прямо направлены на воспитание учен ика — с у бъекта своей деятельност и . К описанию одного из путей построения процесса повторения математики мы и пере ходим . § 2. Повы шение уровня обобщённости изучаемых знаний. В настоящее время школьный курс математики далеко от стаёт от мат ематики как науки по уровню обобщённости знаний . Если в современно й математике уровень обобщённости очень высок , то в школьном курсе математики он по ка ещё весьма низок . Его повышение (в р азумных пределах ) приведёт к повышению информ ационной ценности изуч а емых знаний , и также к резкому сокращению времени н а их усвоение . Следует особо отметить , что только на этом пути можно избавиться от пресловуто й перегрузки учащихся , ибо общими понятиями современный школьный курс математики , не то лько не перегружен , но я вно не дог ружен . Проблема развития самостоятельности мышления учащихся в процессе обучения математике является острой , ещё не разрешённой проблемой методики математики . Анализ характера умственной деятельности учеников на различных уроках , в разных кла сс ах показал , что лишь 15 – 20% учебного времени тратится на самостоятельную работу , чем старше класс , тем самостоятельных работ меньше . Создаётся ненормальное положение : с возра стом учащиеся , конечно , становятся более спосо бными к самостоятельной работе , а и м предоставляют для этого всё меньше време ни . Если в числе тренировочных упражнений преобладают однотипные , при решении которых ученик ограничивается лишь получением ответа и сверкой его с готовым ответом , то такие упражнения не направляют усилия ученик а на разрешение иных нешаблонных задани й , с чем ему придётся встречаться в жи зни . Знания ученика будут прочными , если он и приобретены не одной памятью , не заучены механически , а являются продуктом собственны х размышлений и закрепились в результате его собст венной творческой деятельности н ад учебным материалом . Не случайно Леонид Эйлер полагал , что кроме описания результатов своих исследовани й , обогативших науку , ему надобно для обще й пользы чистосердечно изложить ещё и про цесс искания истины со всеми его ис каниями и затруднениями . Действующие учебники математики мало , чем могут помочь развитию творческих начал : в них по меткому выражению профессора Б.В Г неденко , спрятаны все концы , дана уже гото вая схема , знания представлены в статистическ ом состоянии , в за вершённых формах. Под обобщением будем понимать распростран ение , какого– либо суждения от частого поняти я к общему (например , от «четырёхугольника» до «трапеции , ромба…» ). Суждения полученные по аналогии , будут проблематическими и подлежат дальнейшему иссл едованию и доказательству . Умозаключения по аналогии являются непрем енной составной частью творческого мышления , так как этим путём мысль человека выходит за пределы известного , пролагая путь к неизвестному . Умственное развитие учащихся , которые дол жны п одготавливаться уже в период шко льного обучения к роли творчески мыслящих активных деятелей , не может быть полноценны м , если их не научат в школе специальн о применению приёма аналогии . Простое применение аналогии даёт упражнен ие подобное , однопорядковое с исходным . О т него следует отличать составление задачи обобщением , когда новая задача оказывается в том или ином отношении сложнее исходной . Процесс обобщени я основывается на применении анало гии , но не сводится полностью к ней . Применение обобщения связа но с пр еобразованием мыслей , с умственным экспериментиро ванием ; оно есть одно из самых важных средств самообучения , то есть , самостоятельного расширения и углубления имеющихся знаний . Для достижения глубокого усвоения нового понятия , способа решения нельз я обход иться задачами одного уровня трудности , а нужно предложить обобщённую задачу , а ещё лучше дать учащимся возможность самим обобщит ь решённую задачу , чтобы затем решить тако вую , видоизменяя , если нужно прежний способ . В практике обучения общее классн о е задание рассчитано на среднего ученика , а для расширения познавательных способностей более сильных учащихся необходимы дополнительные задания по самостоятельному обобщению и решению составленных задач . Если , скажем готовую задачу , решают вс е учащиеся в основном одинаковой послед овательностью рассуждений , то с обобщением уж е справляется не всякий . Результат обобщения зависит не столько от суммы знаний , п римерно одинаковой для всех учащихся класса , а от умения комбинировать , связывать эти знания по– новом у , заглядывать даль ше обычных пределов . Характер упражнений , выполняемых в классе , должен отразится и на характере контроль ных и проверочных работ ; чему обучают , то и следует проверять . Всякая математическая задача неисчерпаема в своих связях с другими за дачами ; после решения задачи почти всегда можно найти предмет размышления , найти несколько направлений , в которых удаётся обобщить зад ачу , и найти затем решение созданных таким образом новых проблем . Время и усилия , затраченные на обобщен ие знаний , окупаю тся той большой эконо мией мышления , в последующем , которые достигаю тся благодаря единообразным методам усвоения материала . Глава II. Обобщающее повторение по геометрии в 8 классе (на примере темы : "Четырехугольни ки "). § 1. Знач ение повторения. Одним из ва жнейших вопросов , способствующих дальнейшему повы шению успеваемости , достижению глубоких и про чных знаний у учеников является вопрос о повторении ранее пройденного материала . Без прочного сохранения п риобретенных знаний , без умения воспроизвести в необхо димый момент , ранее пройденный материал , изуче ние нового материала всегда будет сопряжено с большими трудностями и не дает над лежащего эффекта . "Обучение нельзя довести до основательн ости без возможно более частых и ос обенно искусно поставленных повторений и упра жнений ", — говорил Каменский . Преподавать математику , не повтор яя повседневно на каждом уроке ранее прой денный материал , это значит — передать , п ересказать учащимся определенную сумму различных законов , теорем , формул и т . п . , с овершенно не заботясь о том , насколько про чно и сознательно освоили этот материал н аши питомцы ; это значит не дать детям глубоких и прочных знаний . Работать так , э то , по меткому выражению Ушинского , уподобитьс я "пьяному вознице с дурно увязанн ой кладью : он все гонит вперед , не огля дываясь назад , и привозит домой пустую тел егу , хвастаясь только тем . что сделал боль шую дорогу ". Ранее пройденный материал должен служить фундаментом , на который опирается изучение нового матер иала , который в свою оч ередь , должен обогащать и расширять ранее изученные понятия . "Старое должно подпирать новое , а но вое обогащать старое ". Правильно организованное повторение помогает ученику увидеть в старом нечто новое ; помогает установить логическ ие связи м ежду вновь изучаемым материалом и ранее и зученным ; обогащает память ученика ; расширяет его кругозор ; приводит знания ученика в си стему ; дисциплинирует ученика ; приучает в нем уменье находить необходимого для ответа на поставленный вопрос материа л ; вос питывает в ученике чувство ответственности . В связи с этим особо важное значение приобретают воп росы : Что надо повторять ? Как повторять ? Ког да повторять ? Большую и серьезную ошибку допускает тот учитель , который побуждает ученика повтор ять материал в том порядке , в которо м он изучался . Повторение в этом случае сводится и механическому воспроизведению в памяти пройденного материала . Ушинский воспитывал против механического повторения . "Нет никакой надобности повторять выученное в том порядке , в каком оно было пройдено , а напротив , ещё полезнее повторения случайные , сводящие выученное в новые комбинации ", — говорил он . Повторение пройденного материала должно стать необходимейшим элементом в препо давании математики , органической и неотъемлемой частью к аждого урока . § 2. Виды повторения. В связи с этим мы различаем следующие виды повторе ния ранее пройденного материала : 1. Повторение в начале учебного года . 2. Текущее повторение всего , ранее пройд енного : а ) повторение пройд енного в связи с изучением нового материала (сопутствующие повторению ); б ) повторение пройденного вне связи с новым материалом . 3. Tематиче cк oе повторение (обобщающее и систематизирующее повторение законченных тем и разделов программы ). 4. Заключительно е повторение (организуемо е при окончании прохождения большого раздела программы или в конце учебного года ). Цели и время повторения тесно связаны и взаимообусловлены и в свою очередь определяют методы и приемы повторения . При планировании повторения необ ходим о отобрать материал , установить последовательност ь и время повторения , распределить отобранный материал по урокам , установить формы и методы для осуществления повторения , разумеется , надо учитывать и свойство памяти . Основные требования к организации п овторения должны исходить из целей повторения , специфики математики как учебного предмета , её методов . Первое требование к организации повторени я , исходящее из его целей , это определение времени : когда повторять ? Оно должно осущ ествляться по принципу : " Учить новое , пов торяя , и повторять , изучая новое " (В . П . В ахтеров ). Это не означает , однако , что нельзя специально отводить уроки для повторения , с кажем , для таких вопросов программы , которые трудно увязать с текущим материалом . План повторения и выбор тем для повторения учитель должен сос тавлять в каждом отдельном случае на осно вании общих теоретических соображений с учето м того , как усвоен учащимся материал соотв етствующих разделов . К сказанному добавим еще то , то ха рактер урока в связи с переходом уч ащихся из одного класса в другой значительно меняется . В старших классах сущес твенно перестраивается закрепление и повторение учебного материала . Увеличивается объем факт ического материалами , выносимого на закрепление и повторение ; поурочное закрепление в ряде случаев переходит и тематическое или перерастает в обобщающее повторение , ув еличивается доля самостоятельности учащихся при закреплении и повторении . Второе требование к организации повторени я должно отвечать на вопрос : Что повторять ? Исходя из выска зываний классиков пед агогики , можно выдвинуть следующие положения при отборе учебного материала по различным видам повторения : 1. Не следует повторять все ранее пройденное . Нужно в ыбрать для повторения наиболее важные вопросы и понятия , вокруг которых груп пируетс я учебный материал . 2. Выделять для повторения такие темы и вопросы , которые по трудности своей н едостаточно прочно усваиваются . 3. Выделять для повторения надо то , чт о необходимо обобщить , углубить и систематизи ровать . 4. Не следует повторять в се в одинаковой степени . Повторять основательно надо главное и трудное . При отборе материала для повторения необходимо учитывать степень его связи с вновь изучаемым материалом . Третье требование к организации повторени я математики должно отвечать на вопро с , как повторять , т . е . осветить те мето ды и приемы , которыми должно осуществляться повторение . Методы и приемы повторения долж ны находиться в тесной связи с видами повторения . При повторении необходимо применять различные приемы и ме тоды , сделать повторе ние интересным путём внесения , как в повторяемый материал , так и в методы изучения некоторых элементов новизны . Только разнообразие методов повторения может устранить те противоречие , которое возникает ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то , что ими усвоено однажды . Различные виды повторения тесно взаимодей ствуют ; от своевременного и успешного проведе ния одного из видов повторения , например , тематического или те кущего , зависит продолжительность и успешность повторения другого вида — заключи тель ного повторения или повторения в конце го да . Перейдём к краткой характеристике видов повторения . 1. Повторение пройденного в начале года . При повторении в начале учебн ого года в первый план должно выдвигаться повторение тем , имеющих прямую связь с но вым учебным материалом . Новые знания , приобретаемые на уроке , должны опираться на прочный фундамент уже усвоенных . При повторении в начале года необходи мо наряду с повторением тем , тесно связанн ых с новым материалом , повторить и другие разделы , которые по ка не примыкают к вновь изучаемому материалу . Здесь необход имо сочетать обе задачи : провести общее по вторение в порядке обзора основных вопросов из материала прошлых лет и более глу боко повторить вопросы , непосредственно связанные с очередным материалом п о прог рамме учебного года . Само повторение следует проводить как в классе , так и дома . При решении во проса , какой материал должен быть повторен в классе и какой оставлен учащимся для самостоятельного повторения дома , нужно исхо дить из особенности материала . Наиболее трудный материал повторили в классе , а мен ее трудный дали на дом для самостоятельно й работы . 2. Текущее повторение пройденн ого . Текущее повторение в процессе изучения нового материала — весьма важный момент в системе повторения . Оно помогает ус танавливать органическую связь между новым ма териалом и ранее пройденным . Текущее повторение может осуществляться в связи с изучением нового материала . В этом случае повторяется материал , естественно увязывающийся с новым материалом . Повторение здесь вх одит составной и неотъемлемо й частью во вновь изучаемый материал . Под руководством учителя ученики на у роке воспроизводят ранее изученный ими необхо димый материал . В результате этого доказатель ство новой теоремы воспринимается учащимися л егко , а дальнейш ая работа учителя — воспроизведение доказанного и упражнения , об еспечивающие вторичное осмысление теоремы и е ё закрепление . Во втором случае все связи с новы м материалом , когда повторяемый материал не находит естественной увязки с новым и его приходится п овторять на специальных уроках . При текущем повторении вопросы и упра жнения могут быть предложены учащимся из различных разделов программы . Текущее повторение осуществляется в проце ссе разбора упражнений , включается в домашнее задание . Оно может быть про ведено как в начале или в конце урока , так и во время опроса учащихся . Текущее повторение дополняется сопутствующим повторением , которое нельзя строго планирова ть на большой период . Сопутствующее повторени е не вносится в календарные планы , для него не выд еляется специальное время , но оно является органической частью каждог о урока . Сопутствующее повторение зависит от материала , привлекаемого для изучения очеред ного вопроса , от возможности установить связи между новым и старым , от состояния зн аний учащихся в данный момент . Усп ех сопутствующего повторения в значительной с тепени обусловливается опытом и находчивостью учителя . Сопутствующим повторением учитель по ходу работы устраняет неточности в знани ях , напоминает вкратце давно пройденное , указы вает их связь с новым . 3. Тематическое повторение . В процессе работы над математ ическим материалом особенно большое значение приобретает повторение каждой законченной темы или целого раздела курса . При тематическом повторении систематизируютс я знания учащихся по теме на заверш ающем этапе его прохождения или после нек оторого перерыва . Для тематического повторения выделяются с пециальные уроки , на которых концентрируется и обобщается материал одной какой-нибудь темы . В процессе работы над темой вопросы , предлагаемые уч ащимся по каждому разде лу , следует вновь пересмотреть ; оставить наибо лее существенные и отбросить более мелкие . Обобщающий характер вопросов при тематическом повторении отображается и на их количест ве . Учителю приходится основной материал темы охватить в меньшем числе вопросов . Повторение на уроке проводится путём беседы с широким вовлечением учащихся в э ту беседу . После этого учащиеся получают з адание повторить определённую тему и предупре ждаются , что будет проведена контрольная рабо та . Контрольная рабо та по теме должна включать все ее основные вопросы . После выполнения контрольной работы проводится раз бор характерных ошибок и организуется повторе ние для их устранения . При тематическом повторении полезно соста вить вопросник , а затем логический план по т еме и завершить работу составлением итоговых схем . Таблица или схема экономно и наглядно показывает общее для понятий , входящих в данную тему , их взаимосвязь в логической последовательности . Процесс составления таблиц в одних сл учаях , подбор и запись прим еров после анализа готовой таблицы в других случаях является одновременно и формами письменных упражнений при обобщающем и систематизирующе м повторении . Последовательное изучение различных особых случаев при повторении весьма полезно зако нчить их классифи кацией , что поможет у чащимся яснее различить отдельные случаи и группировать их по определенному признаку . 4. Заключительное повторение . Повторение , проводящееся на завершающем э тапе изучения основных вопросов курса математ ики и осуществляемое в логическ ой свя зи с изучением учебного материала по данн ому разделу или курсу в целом , будем н азывать заключительным повторением . Цели тематического повторения и заключите льного повторения аналогичны , материал повторения (отбор существенного ) весьма близок , а при е мы повторения в ряде случаев совпада ют . Заключительное повторение учебного материала преследует цели : 1. Обозрение основных понятий , ведущих ид ей курса соответствующего учебного предмета ; напоминания в возможно крупных чертах пройден ного пути , эволюции п онятий , их развит ия , их теоретических и практических приложени й . 2. Углубления и по возможности расширения знаний учащихся по основным вопросам кур са в процессе повторения . 3. Некоторой перестройки и иного подхода к ранее изученному материалу , присоедине ния к повторному материалу новых знан ий , допускаемых программой с целью его угл убления . § 3. Содержание и методика обобщающего повторения на прим ере темы : «Четырехугольники». Решением одной из важных задач общеобразовательной и п рофессиональной школы является усиление прикладной направле нности обучения . В этой связи важно вырабо тать у учащихся умение при решении конкре тных вопросов ориентироваться на существенные свойства объектов и явлений . Большие возмож ности для формирования т акого умения имеются при изучении темы "Четырёхугольники ". Предлагаемый материал представляет большие возможности для организации разных форм ко ллективной учебно-познавательской деятельности учащих ся , формирования их диалектико– материалистического мировоз зрения , закладывает фундамент для развитая умения применять геометрические знани я при решении вопросов жизненно– практического и производственного характера . В качестве ведущей идеи берем идею четкого разграничения свойств и признаков параллелограмма и его частных видов . Прежде всего нужно добиться , чтобы уча щиеся научились различать понятия "свойство ф игуры " и "признак фигуры ". Если дано , что фигура параллелограмм , и исходя из этой посылки доказывают некоторые соотношения между элементами рассматриваемой фигуры , то к аждое из этих соотношений называется свойство м фигуры , о которой речь идет в услови и теоремы . Например , теорема : "У параллелограмма проти воположные стороны равны , противоположные углы равны ", кратко может быть записано так : Дано : АВСД – параллелограмм . Доказать : 1) АВ = СД ; АД = ВС 2) А = С ; В = Д Каждое из соотношений (1), (2) заключения теоремы дает свойство параллелограмма . В теореме же "Если диагонали четырёхуг ольника пересекаются и точкой пересечения дел ятся пополам , то этот четырехугольник — п араллелограмм " указаны соотношения между элемента ми некоторо го четырехугольника (АО =ОС , ВО =ОД ) и доказывается , что при их выпо лнении четырехугольник будет принадлежать к к лассу параллелограммов (будет являться параллелог раммом ). В этом случае условия (АО =ОС , В О =ОД ) называют признаками параллелограмма , т . к . при и х выполнении мы можем смело утверждать , что четырехугольник , для которого выполняются эти условия , обязательно будет параллелограммом (теорема ). Более глубокого и осознанного усвоения понятий "свойство " и "признак " можно добиться , если связать их с понятия ми "необ ходимое условие ", "достаточное условие ", "необходимое и достаточное условие ". Сообщаем школьникам , что любая теорема может быть записана в виде А Ю В , где А — условие теоремы (что дан о ), а В — заключение теоремы (что треб уется доказать ). Если доказ ана теорема А Ю В , то А является дос таточным для В (как только есть А , то сейчас же будет и В ), а В — н еобходимо для А , из А неизменно (необходим о ) следует В . Ещё более убедительное обоснование того , почему условие В считается необходимым д ля А , можно дать, если познакомить уч ащихся с вопросом о видах теорем и св язи между ними . Записываем схему : (1) А Ю В В Ю А (2) (3) нет А Ю нет В нет В Ю нет А (4) Сообщаем , что если утверждение (1) назвать прямым , то утверждение (2) будет к нему об ратным , утверждение (3) — противоположным прям ому , а (4) — противоположно обратному . Далее дока зывается , что из справедливости утверждения (1) следует справедливость утверждения (4) [(1) Ю (4)] и наоборот , т . е . (4) Ю (1). Сообщается , что если (1) Ю (4), то утверждения называются эквивалентными . Аналогично эквивалентны утверждени я (2) и (3) [(2) Ы (3)]. Словами формулу (1) Ю (4) можно расшифровать так : если из условия А следует (вытекает ) условие В , т о без в нет и А (из нет в нет А ), иными словами В необходимо для А (без В не будет и А ). А далее сообщаем , что необходимое усло вие дает нам свойство , а если условие не только необходимо , но и достаточно , то получаем признак . Иными словами , чтобы получить свойство В какого-нибудь объекта А , достаточно доказа ть теорему А Ю В , а ч тобы убедиться , что рассматриваем ое свойство В является признаком , следует ещё доказать теорему В Ю А (обратную ). Вместе с учащимися вспоминаем все сво йства параллелограмма и составляем таблицу . Дано : АВС Д – параллелограмм Доказать : 1) АВ || СД 2) ВС || А Д 3) АВ = СД 4) ВС = АД 5) АО = ОС 6) ВО = ОД 7) А = С 8) В = Д 9) А + В = 180 0 10) С + В = 180 0 11) С + Д = 180 0 12) А + Д = 180 0 Обращаем внимание на тот факт , что каждое из условий 1 – 12 вытекает из того , что АВСД — параллелограмм , следовательн о , каждое из них является необходимым условием того , чтобы четырехугольник АВСД б ыл параллелограммом . Легко убедиться , что из каждого из условий 1 – 12 не следует , что АВСД — параллелограмм (например , если да но , что АВ II СД , что имеем трапецию , ибо ВС || АД ) . Таким образом , каждое из условий 1 – 12, взятое в отдельности , признаком параллелограмма не является . Теперь начнём комбинировать свойства по два (Сколько таки х комбинаций будет ? Как сосчитать все комб инации , чтобы быть убеждённым , что ни одна не пропущена ?). Убеждаемся , что не к оторые из комбинаций дают признак пар аллелограмма . Какие из комбинаций по два д ают известные уже вам признаки параллелограмм а ? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)]. В то же время легко видеть , что не каждая из комбинаций по два дает признак параллелограмма . Н апример , из то го что АВ II СД и ВС = АД следует , что фигура АВСД — равнобочная трапеция , а не параллелограмм . Естественно встает вопрос , сколько же всего признаков у параллелограмма ? Для ответа на этот вопрос нужно перебрать все в озможные комбинации и либ о доказать п олученную теорему , либо привести пример , опров ергающий её (контрпример ). Ясно , что эта раб ота на уроке проделана быть не может . Она может быть дана в качестве индивидуал ьных заданий на дом хорошо успевающим уча щимся , или еще лучше , предложена в качестве коллективной работы кружковцам . Здесь встают интересные вопросы о планиров ании работы , о разделении труда при решени и этой проблемы , об организации самоконтроля и взаимоконтроля , о подведении окончательных ит oг oв , т .e. вопросы , возникающие при о р ганизации любой трудовой деятель ности . Далее аналогичную работу можно провести по выяснению признаков прямоугольника и ромба . Но этой работе должно предшествовать уточнение определений прямоугольника и ромба . Действительно , достаточно потребовать , чтобы у параллелограмма был один прямой угол , т . к . из условия (АВСД — параллелограмм ; Р А =90 0 ) следует , что Р В =90 0 , Р С =90 0 , Р Д =90 0 . Для д оказательства этого факта достаточно воспользова ться известными свойствами углов параллелограмма . Аналогично , легко доказать теорему (А ВСД — параллелограмм , АВ =ВС Ю АВ =ВС =СД =АД ), из которой следует , что ромбом называется паралл елограмм , у которого две смежные стороны р авны . Можно не менять привычные учащимся из быточные определения , но обязательно подчеркнуть тот факт , что , чтобы убедиться , что рассматриваемый параллелограмм будет ромбом , достаточно проверить равенство двух смежных сторон , а чтобы убедиться , что он будет прямоугольником , достаточно доказать , что один из его углов прямой . После этого отмечаем особые свойства диагон алей пря моугольника и ромба и опять ставим вопрос , будут ли эти условия не только необходимыми , но и до статочными , т . е . являются ли эти условия признаками рассматриваемых фигур . Как это п роверить ? Учащиеся должны сообразить , что для ответа на поставленный вопрос следует сформулировать и доказать теоремы , обратные к теоремам , выражающим свойства диагоналей прямоугольника и ромба . Запишем одну из этих теорем . Дано : АВСД - прямоугольник . Доказать : АС = ВД . Обратное к этой теореме утверждение з аписывается так : Дано : в четырёхугольнике АВСД АС =ВД . Доказать : АВСД — прямоугольник . Легко убедиться , что это утверждение н есправедливо . Приведите примеры , подтверждающие эт от факт . Учащиеся могут вспомнить , что диа гонали равны у равнобочной трапеции , или н ачертить произвольный четырехугольник с рав ными диагоналями . Таким образом , мы убеждаемся , что равенство диагоналей не выделяет пря моугольник из класса четырехугольников (среди четырёхугольников с равными диагоналями есть и не являющиеся прямоугольниками ). Здесь учитель знакомит учащихся с еще одним способом получения утверждений , о братных данному . Замечает , что условие прямой теоремы может быть разбито на две ча сти . Дано : 1) АВСД — параллелограмм . 2) Р А =90 0 . Доказать : АС = ВД . Если теперь поменять местами закл ючение и вторую часть условия , то мы п олучим утверждение : Дано : АВСД — параллелограмм АС =ВД . Доказать : Р А =90 0 . Это утверждение легко доказать . Докажите самостоятельно . Если учащиеся затрудняются , то можно " навести " их на мысль , обрати в внимание , что Р А + Р Д = 180 0 (АВСД — параллелограмм ). Что ост алось теперь доказать ? ( Р А = Р Д ). Аналогичную работу проводим с установлени ем признаков ромба , основанных на свойствах его диагоналей . Вспоминаем теорему о свой ствах диагоналей ромба . Дано : АВСД — ромб . Доказать : 1) ВД | АС ; 2) Р ВАС = Р САД . Для этой теоремы можно составить две обратные : Теорема 1 Теорема 2 Дано : ВД | АС Дано : Р ВАС = Р САД Доказать : АВСД — ромб . Доказать : АВСД — ромб . Легко показать , что каждая из этих теорем несправедлива , приведя хотя бы по одному "контрпримеру " ; Интересен вопрос . А как можно видоизме нить первый чертеж чтобы его можно било использовать одновременно д ля "опровержения " и теоремы 1 и теоремы 2 (Достаточно взять АО =ОС и тогда Р AВД = Р ДВ С . Используя второй способ образования обрат ных теорем , с которым учащиеся ознакомлены при установлении признака прямоугольника . Имеем : Прямая теорема : Дано : АВСД – паралл елограмм , АВ = ВС . Доказать : ВД | АС Обратная теорема : Дано : АВСД – параллелограмм , ВД | АС . Доказать : АВ =ВС Вспоминая уточненное определение ромба , д аем такую формулировку обратной теоремы : "Если в параллелограмме диагонали взаимоперпендикуляр ны , т о этот параллелограмм — ромб ". Схема аналитического рассуждения при от ыскании доказательства этой теоремы . АВСД – ромб АВСД – параллелограмм АВ =ВС АВО = СВО АОВ = СОВ ВД | А С АО = ОС ВО – общая АОВ = СОВ АВСД – параллелограмм ВД | АС Аналогично формулируем второй признак ром ба : "Если в параллелограмме диагональ делит угол пополам , то этот параллелограмм — ромб ". Аналитическое рассуждение проводится ана л огично . Схематическая запись доказательства АВСД — параллелограмм Ю АД II ВС Ю ( Р 1 = Р 3, Р 1 = Р 2) Ю ЮР 2 = Р 3 Ю (АВ =BС , АВСД - параллелограмм ) Ю АВСД — ромб . Обобщая полученные результаты , полезно об ратить внимание школьников на тот факт , чт о равенство ди агоналей не выделяет пр ямоугольник из множества всех четырехугольников , но выделяет его из множества параллелогр аммов , и предложить им самостоятельно сформул ировать аналогичные утверждения (их 2!) для ромб а . Для поверки того , владеют ли учащиеся признакам и параллелограмма , ставим перед ними следующую проблему : Как сформулировать признаки прямоугольника и ромба , основанные на свойствах их диа гоналей , чтобы они выделяли прямоугольник и ромб из множества всех четырехугольников ? П одсказка , если ученики не спр авляются : условие АВСД — параллелограмм , каким требова нием относительно его диагоналей можно замени ть . Получаем признаки : 1. Если в четырехугольнике диагонали ра вны и точкой их пересечения делятся попол ам , то этот четырехугольник — параллелограмм . 2. Если в четырехугольнике диагонали взаимноперпендикулярны и делятся точкой пере сечения пополам , то этот четырехугольник — параллелограмм . 3. Признак формулируем аналогично . Переходя к выяснению признаков квадрата , подчеркиваем , что квадрат является как ч астным случаем прямоугольника , так и р омба и следовательно обладает всеми свойствам и прямоугольника и всеми свойствами ромба . Ставится проблема : выделить комбинации свойств диагоналей , которые выделяли квадрат из м ножества прямоугольников , из множества ро м бов , их множества параллелограммов , из множества четырехугольников . Если ученики осмыслили рассмотренный мат ериал о признаках прямоугольника и ромба , то они легко ответят на поставленные вопр осы и сформулируют следующие признаки квадрат а : Квадратом явл яется : Прямоугольник с взаимно– перпендикулярными д иагоналями, Прямоугольник , у которого диагональ делит угол пополам . Ромб с равными диагоналями . Параллелограмм , у которого диагонали равн ы и взаимно– перпендикулярны. Параллелограмм , у которого диагонали рваны и делят угол пополам . Четырехугольник , у которого диагонали рав ны , взаимно– перпендикулярны и в точке пересе чения делятся пополам . После этого можно перейти к решению задач , требующих применения изученных признаков . Для приведения в систему материа л а по теме "Параллелограмм и его виды» очень хороша задача : «Определить вид четыреху гольника , который получится , если последовательно соединить отрезками прямых середины сторон произвольного четырехугольника» . После доказательства того факта , что п олученн ый четырехугольник будет параллелогра ммом , ставится вопрос : «Каким должен быть исходный четырехугольник , чтобы полученный оказал ся прямоугольником , ромбом , квадратом ?» . 2) Начертим произвольный четырехугольник . 3) Найд ём середины сторон и изобразим схемат ично на чертеже равенство отрезков . 4) Соединим пос ледовательно полученные точки E, F, M, N. Вопрос : к акой четырехугольник получился ? У разных учащихся ответ будет различн ым : параллелограмм , прямоугольник , ромб , квад рат . Учитель обращает внимание на то , что прямоугольник , ромб , квадрат — частн ые виды параллелограмма , поэтому всем придетс я доказывать , что четырехугольник EFMN — паралле лограмм . Дано : АЕ = Е B, BF=FC, СМ =МД , Д N=NА. Доказать : EFMN — параллелограмм. Провод ится анализ : Вопрос : Для того , чтобы доказать , что EFMN — параллелограмм , что достаточно доказать ? Ответ ; параллельность прямых EF и MN, а так же Е N и MF. Вопрос : Как можно доказать ? (или , если не отвечают : Используя какой признак паралл ельности прямых мо жно это доказать ?). Ответ : Первый признак параллельности прям ых т.к . в других признаках участвуют углы , а в условии задачи об углах ничего не сказано . Вопрос : В первом признаке параллельности прямых говорятся о трех прямых . Где в зять третью прямую ? Ответ : Соединить точки А и С . Получим два треугольника — АВС и АДС . Вопрос : Какое соотношение известн о в этих треугольниках ? Или : Чем являются Е F и MN в АВС и АДС ? Ответ ; Е F является сре дней линией АВС , иб о АЕ = FВ и ВГ = FC, а MN является средней линией АДС , т.к . СМ = МД и Д N = NА. Вопрос : Какой признак средней линии мы знаем ? Ответ : Средняя линия параллельна осн ованию . Вопрос : Какой вывод можно сделать о Е F и MN? Ответ : Е F || АС и М N || АС . Значит , по первому признаку параллельности прямых следу ет , что Е F || MN. Аналогично доказывается , что Е N || FM. Проведем так называемый «взгляд назад» и попробуем найти др угое решение , б олее рациональное и короткое . Вопрос : Как еще можно доказать , что четырехугольник EFMN — параллелограмм ? Или : Каким признаком параллелограмма можн о воспользоваться , чтобы доказать , что четырех угольник EFMN — параллелограмм ? Ответ : Воспол ьзоваться признаком пара ллелограмма , который заключается в том , что если в четырехугольнике противоположные сторон ы попарно параллельны и равны , то этот четырехугольник — параллелограмм . Значит надо доказать , что EF || MN и EF = MN. Вопрос : Параллельност ь прямых EF и MN доказывается так , как это было сделано выш е . Как доказать равенство Е F и М N? или : Какое свойство средней линии мы знаем ? Ответ : Так как Е F — средняя линия АВС , то Е F равна половине основания АС ; MN сре дняя линия АДС и М равна половине основания АС . Значит Е F = MN. Это решение является более рациональным и коротким . Теперь надо записать решение задачи . Д ля этого уже используется синтез . АЕ = ЕВ Е F || AC BF = FC EF = 1/2 AC EF || MN EFMN – парал– СМ = МД MN || AC EF = MN лелограмм Д N = NA MN = 1/2 AC В классе всегда есть ученики , которые быстро найдут решение этой задачи . Для организации индивидуальной групповой деятельности более сильным учащимс я можно дать дополнительные задания : Какой вид должен иметь исходный четыр ехугольник , чтобы полученный был а ) прямоугольником ? б ) ромбом ? в ) квадратом ? В этом случае целесообразно подойти к распределению дифференцированно : наиболее сильны м предложить вариант в ), средним — в ариант б ), остальным — а ). Предлагая учащимся задачи с избыточной и неполной информацией , мы воспитываем в них готовность к практической деятельности . Рассматривая изящное решение той или иной математической задачи , мы способствуе м эстетическому воспитанию школьников . Мне хочется привести несколько примеров задач , возникших из рассмотрения шарнирной модели четырехугольника . Убедившись вместе со школьниками в по движности этой модели (не жёстко скрепленной в вершинах ) учитель побуж дает их к выводу , что четыре данные стороны не определяют четырехугольник однозначно , Затем перед учащимися формируется сама задача . Задача 1. Имеется модель шарнирного четырех угольника со сторонами определённой длины . Ка ким способами можно придать «жёст кость» данной модели четырехугольника , если его вершины не могут быть закреплены ? Ответ об основать . В ходе обсуждения этой задачи предлаг аются различные варианты её решения , которые проверяются опытными путями , например , скрепи ть две вершины четырехугольн ика планкой по диагонали , соединить планкой середины двух противоположных сторон и т . д . Убедившись на опыте в разумности сдел анных предложений , учащихся приходят к необхо димости обосновать т от или иней способ «наведения жесткости» . С помощью учителя они приходят к во зможности провести это обоснование , переформулиро вать задачу в виде соответствующей задачи на построение . Роли по заданным элементам можно построить единственную фигуру , то её модель будет жёсткой . Возможность сведения конкретной задачи , о пре делённой на модели , к решению абст рактной геометрической задачи на построение р еализует одну из важнейших воспитывающих функ ций геометрических задач : связь обучения мате матике с жизнью , т.е . показывает реальное п роисхождение математических абстракций . Уч итывая «свойство жесткости» треугол ьника первое из вышеназванных решений обоснов ывается достаточно просто . Однако обоснование второго пути решения задачи не столь очев идно . Возникает уже чисто геометрическая абст рактная задача . Задача 2. Построить 4-х уго льник АВСД , зная длину его сторон и длину отрезк а MN, соединяющего середины сторон АВ и ДС . Допустим , что искомый 4-х угольник АВСД построен (рис . 3а ). Выполним параллельный пе ренос (Д N) стороны ДА и || перенос (CN) стороны СВ , теперь из точки исходят 3 о трезка А 1 N, MN, NВ 1 известной длины. Нетрудно показать , что точка М является серединой АВ 1 . В самом деле , длины отрезков АА 1 и ВВ 1 равны 1/2ДС , а сами о трезки || ДС. Поэтому четырехугольник А 1 АВ 1 В является параллелограммом . Точка М — середина его диаго нали АВ . Поэтому М принадлежит диагонали А 1 В 1 и является ее середино й . Итак , в NA 1 B 1 известны стороны NA 1 , В 1 N и заключённая между ними медиан а . Для того , чтобы построить этот треуголь ник , отметим точку N 1 , симметрично о тносительно М . Очевидн о , |А N| = |В 1 N|. Треугольник N 1 NA 1 можно построить по трем известным сторонам : |NA 1 | = |ДА |, |A 1 N 1 | = |В 1 N| = |CB| и |NM 1 | = 2|NM|. Теперь построим искомый четырехугольник . Делим отрезок N 1 N т очкой М на два конгруэнтных отрезка , строим точку В 1 , симметричную А 1 относительно М . По трем сторонам построим треугольники А 1 МА и МВВ 1 . Перенеся отрезок А 1 А на вектор А 1 N, а отрезок ВВ 1 на вектор В 1 N, поду чим все четыре вершины искомого 4-х угольн ика АВСД . Нетрудно показать единственност ь решения задачи . Усилению развивающих функций задачи спосо бствует последующая постановка задач-аналогов , при решении которых используется некоторый (один и тот же ) прием , основанный на примене нии определённого метода . Так как паралл ельный перенос элементов фигуры (АС ) приводит к построению вспомогательного четырехугольника СВВ 1 Д 1 с весьма интересными с войствами . Например , 4- х угольник ДД 1 В 1 В — параллелограмм , стороны которого конгруэнтны диагоналям 4-х угольника АВСД, в углы конгруэнтны углами между этими диагоналями ; д лины диагоналей ДД 1 В 1 В вдвое больше длин отрезков , соединяющих середины противоположных сторон АВСД ; расстояния от то чки С до вершин этого параллелограмма рав ны соответственно длинам сторон 4-х угольника АВСД и т.д . Многие в этих свойств позволяют решит ь задачи , аналогичные исходной , создают услови я для распространения определенного приема на целый класс задач , способствуя , т.о ., формир ованию у учащихся способностей к об об щению (через анализ ). Таковы , например , следующие задачи : Задача 3. В четырехугольнике АВСД известны длина отрезка М , соединяющего середины ст орон АВ и СД , длина диагонали АС и длины сторон АВ , ВС и АД . Является ли данная фигура жесткой ? Задача 4. Пос троить трапецию АВСД п о данным диагоналям АС , ВД , стороне АД и отрезу М N, соединяющему середины её осно ваний . Рассмотрение этого примера показывает , ка к достаточно широко можно использовать обучаю щие , развивающие и воспитывающие функции зада ч в их единств е . В самом деле , в ходе решения этих задач используются ра зличные свойства геометрических фигур , активно работает метод параллельного переноса и пр ием построения вспомогательной фигуры с весьм а интересными свойствами , тесно связанными со свойствами заданн о й (искомой ) фиг уры (реализуются различные развивающие функции ), задача легко моделируется (дотекает опытные решения ), возбуждает интерес школьников (реализу ются воспитывающие функции ). Задача такова , что может служить источником разнообразных анало гичных задач , многие из которых ка к показал опыт , успешно составляются самими школьниками , что способствует формированию у них творческой активности . Опыт показывает , что успешность в реал изации воспитывающих функций математических зада ч во многом определяется п робуждением у учащихся интереса к данной задаче , во зникновением у них устойчивой потребности в её решении , наличием интереса к самому процессу решения задач на основе последнег о часто возбуждается и формируется интерес учащихся к изучению самой математики и смежных учебных дисциплин , интерес к учению в целом . Факторы , существенно влияющие на формирование у учащихся устойчивого интереса к решению математических задач , весьма ра знообразны . К ним , например , относится доступно сть предложенной задачи , внешняя и ли в нутренняя занимательность задачи , осознанная возм ожность проявить при этом творческую самостоя тельность . Глава III. Описание и результаты эксперимента. Эксперимент п роводится в СШ № 46 (гимназия № 4) под руководством Баязит овой Л.Ш . в 8 б и 8 г . Перед проведением уроков по о бобщающему повторению в обоих классах была проведена самостоятельная работа с целью у знать их уровень знаний . Проверочная самостоятельная работа. Через точку пересечения диагоналей паралл елограмма ABCD пр о ведена прямая , пересекающая стороны AD и BC в точках Е и F соотв етственно . Найдите стороны параллелограмма , если его периметр равен 28 см , АЕ = 5 см , В F = 3 см . [ 1. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в т . М лежащей на стороне ВС . Най дите стороны па раллелограмма , если его периметр равен 36 см .] Найдите меньшую боковую сторону прямоугол ьной трапеции , основания которой равны 10 см и 6 см , а один из углов 45 о [2 . Найдите боковую сторону равнобедрен ной трапеции , основания которой равны 12 с м и 6 см , а один из углов 60 о ] Самостоятельная показала , что знания у учеников в обоих классах разрозненные , реша ют задания очень медленно . Оценки по самос тоятельной работе низкие . (Это показано на графике .) После самостоятельной работы , используя т аблицу темы : «Четырехугольники» , которая приведена в методическом пособии по геометрии (Гудв ин и Гангнус ч .1). Перед учащимися можно поставить ряд вопросов , ответы на которые ученики не найду т в готовой форме в учебнике , а должны поработать головой , чтобы дать их . Приведём некоторые вопросы , которые ставя тся нами перед учащимися : Как из равнобедренной трапеции получить квадрат ? Какие дополнительные условия необхо димы для этого ? Ответ учащихся : равенство боковых сторон сохранится . В равноб едренной трапеции боковые стороны сделаем пер пендикулярными к основаниям трапеции . Тогда п олучим пр ямоугольник . Так как в квадра те смежные стороны равны , то в полученном прямоугольнике смежные стороны сделаем равны ми , получим искомый квадрат . Как из параллелограмма получить квадрат ? Как трапецию обратить в ромб ? Являясь параллелограммом , ромб имеет свои обычные свойства . Перечислите их . Тоже о квадрате . Перечислите , какими свойствами параллелограмм а обладает ромб ? Квадрат ? Прямоугольник ? И т.д . Наряду с использованием указанной таблицы перед учащимися были поставлены вопросы : в каком четырехугольн ике : Диагональ делит его на два равных треугольника ? Диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам ? Диагонали являются биссектрисами внутренних углов ? Диагонали взаимно перпендикулярны ? Диагонали служат осями симметрии ? Учащиеся должны были дать не то лько ответы на вопросы , но каждый ответ обосновать , ссылаясь на изученные теоремы . Ответ считали малоценным , если он пер ечислял без системы отдельные виды четырехуго льников , в которых диагонали обладают требуем ым свойством . Так если на вопрос : « В каких четырехугольниках диагонали пересекаясь делятся пополам ? » Ученик отвечал : «Диагонали , пересекаются в одной точке , делятся пополам в параллело грамме , ромбе , квадрате » . Не перебивая его давали возможность у ченику высказаться , но по окончанию отве та ставили вопрос : «Следует ли для ответа на поставленный вопрос перечислять все в иды четырехугольников ? Нельзя ли дать полный и исчерпывающий ответ , но в более кор откой формулировке ? » Если ученик затрудняется ответить на эти вопросы , перед ним став ились допо лнительные вопросы : «Является ли прямоугольник параллелограммом ? Почему ?» Подобные вопросы ставились и по отнош ению к ромбу и квадрату . Следовательно , можно ли утверждать , что прямоугольник , квадрат , ромб — есть параллелогр амм ? После этого учащимся не составляло затруднений дать такой ответ : «Диагонали , пересекаются и точкой пересеч ения делятся пополам в параллелограммах». Если учащихся давали сразу исчерпывающ ий ответ и при том в краткой форме , мы давали дополнительные вопросы с целью выя снить , на сколько сознательно усвоен материал . Так если на вопрос : «В каком четыр ехугольнике диагональ делит его на два ра вных треугольника ?» Следовал ответ : «Диагональ делит четыреху гольник на два равных треугольника в том случае , если он параллелограмм» , то ученику ставился вопрос : «А в прямоугольнике , квадрате , ромбе диагональ не обладает те м же свойством ?» «Прямоугольник , квадрат , ромб — это п араллелограммы , но каждый с особыми свойствам и . Поэтому , когда говорил о параллелограмме , говорил и о них» , — о твечал уч еник . Подобные ответы мы считали наиболее ц енными , так как они показывают , что ученик действительно поработал сам над данным е му заданием , что материал не зазубрил , а усвоил сознательно . Однако таких ответов было очень мало . Тогда в одном из кла ссов (8 б ) было проведено обоб щающее повторение . А в 8 г была пройдена тема «четырехугольник и» и закреплена . После всего этого была проведена контрольная работа. Контрольная работа . (1ч .) Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О . Найдите угол между диа гоналями , если АВО = 30 о [1. Диагонали ромба КМНР пересекаются в точке О . Найдите углы треугольника КОМ , если угол МНР = 80 о ]. В параллелограмме КМНР проведена биссектр иса угла МКР , которая пересекает сторону М Н в точке Е . а ) Докажите , что треуг ольник КМЕ равнобедренный . б ) Найдите сторону КР , если МЕ = 10 см , а периметр параллелограмма = 52 см . [2. На стор оне ВС параллелограмма АВСД взята точка М так , что АВ =ВМ . а ) Докажите , что АМ — биссектриса угла ВАД . б ) Найдите пе риметр параллелограмма , ес ли СД =8 см , а СМ = 4 см ]. Результаты контрольной работы мож но показать диаграммой. Проведённый эксперимент показывает , что к ласс , в котором было проведено обобщающе е повторение , легко работает с материалом , быстро решает задачи , может ответить на л юбой дополнительный вопрос , пояснить , что и как решается , обосновать свой ответ . Эффективность обобщающего повторения заметна сразу . ЗАКЛЮЧЕН ИЕ Прочное усвоен ие знаний является главной задачей процесса обучения , это очень сложный процесс . В него входят восприятие учебного материала , его запоминание и осмысливание , а также во зможность использования этих зн аний в различных условиях . 1. Преподавание математики не может стоят ь на должном уровне , а знания учащихся не будут достаточно полными и прочными , если в работе учителя отсутствует система повторительно-обобщающих уроков . Это объясняется психологическими особенностями процесса познания и свой ств памяти . Только постоянное в определенной системе осуществляемое включение новых знани й в систему прежних знаний может обеспечи ть достаточно высокое качество усвоения предм ета . Только через повторение можно приход и ть к логическим выводам . Без повторения невозможно , раскрыть сущность вещей и явлений , их развитие . Не даром говорят : «Повторение — мать учения» . 2. Повторение математики необходимо как д ля учащихся с целью углубления , упрочнены и систематизации своих зна ния , так и для самого учителя в чётности совершенст вование методов обучения и поднятия эффективн ости своей работы . 3. Повторение математики должно систематичес ки проводиться на уроках , органически сочетая сь с основным содержанием урока . При сообщении нов ого материала од новременно надо повторять ранее изучаемый мат ериал . Учащиеся должны чувствовать потребность к повторений . Это достигается тем , что п ри изучении нового материала учитель сравнива ет его , сопоставляет со старым , устанавливает аналогии между н и ми , проводит обобщение , углубление и систематизацию . 4. Перед началом учебного года или че тверти необходимо тщательно спланировать материа л для повторения , указать виды повторения , через которое оно может проводится , т.е . ус танавливается , какой материал б удет прово дится параллельно с изучением новой темы и какой на специально отведенных уроках п овторения . 5. Необходимо систематически практиковать те кущее повторение . Необходимо и тематическое п овторение по окончании темы , заключительное — по окончании разд ела , курса в ц елом , на которых устанавливаются более широкие логические связи между темами и разделами , подчеркиваются те основные и ведущие идеи , которые лежат в основе данной учебной дисциплины . 6. Для повышения интереса и активности учащихся при повтор ении необходимо при менять различные приемы и методы работы , р азнообразить повторяемый материал , старый материа л рассмотреть с новых точек зрения , устана вливать все новые и новые логические связ и , стимулировать самостоятельную работу учащихся . Только таким путём можно устранить то противоречие , которое возникает , с одн ой стороны , ввиду отсутствия желания у час ти учащихся повторять то , что ими усвоено однажды , а с другой в силу необходимо сти повторять с целью углубления , обобщения и систематизации ранее изу ч енного материала . 7. Необходима хорошо продуманная теоретическ ая и практически обоснованная система повторе ния , которая должна обеспечить высокое качест во и прочность знаний учащихся . Только в этом случае преподаватель достигает тех целей , которые он прес ледует повторением. 8. Необходимо тщательно проанализировать тео рию и практику повторения с целью установ ления положительных и отрицательных сторон ра боты школ при повторении . Повторение учебного материала требует от учителя творческой работы . Он должен о беспечить четкую связь между видами п овторения , осуществить глубоко продуманную систем у повторения . Овладеть искусством организации повторения — такова задача учителя , от её решения во многом зависит прочность знаний учащи хся . БИБЛИОГР АФ ИЯ Аракелян О.А . «Некоторые вопросы повторения математики в средней школе» М . Учпедгиз , 1960. Басова Л.А ., Шубин М.А ., Эпштейн Л.А . Л екции и задачи по математике : из опыта работы летней физико– математической школы в Карелии . М . 1981. Беляев Е .А ., Киселёва Н.А ., Перминов В.Я . Некоторые особенности развития математич еского знания . М . 1975. Бескин Н.М . «Методика геометрии» . Учебник для педагогических институтов . Учпедгиз . 1947. Библиотека учителя математики . Преподавание геометрии в 6-8 клас сах . Сборник статей составитель В.А . Гусев . Москва "Просвещение " 1979. Богоявленский Д.Н ., Менчинская Н.М . Психолог ия усвоения знаний в школе . М ., 1959. Глейзер . История математики в школе (4 – 6 кл .). М . «Просвещение» , 1981. Жуков Н.И . Философские про блемы ма тематики . Минск , 1977. Кабанова– Меллер Е.Н . Психология формирования знаний и навыков . М . 1962. Карри Х.Б . Основания математической логики . М . 1969. Кедровский О.И . Методологические проблемы разв ития математического познания . Киев , 1977. Кудрявц ев Л.Д . Современная математика и её преподавание . М. 1981. Менчинская А.А . Психологические вопросы ра звивающего обучения и новые программы . «Совет ская педагогика» , 1968. Методика преподавания математики в средне й школе : Общая методика /Ю.М . Колягин и др. — М . Просвещение , 1980. Методика преподавания математики . Составители : Р.С . Черкасов , А.А . Столяр. Молодший В.Н . Очерки по философским во просам математики . М . 1969. Моноезон Е.И . Методика и результаты из учения знаний учащихся . «Советская педагогика» , 1 962. Петров Ю.Н . Философские проблемы математик и . М . 1973. Поба Д . Математика и правдоподобные ра ссуждения . М . 1975. Проверочные задания по математике для учащихся 5 – 8 и 10 классов средней школы . М . «Просвещение» 1992. Реньи А . Диалоги о математике . М. 1969. Рузавин Г.И . О природе математического знания . М . 1968. Славков С . Аспекты на математические п ознания . София . 1971. Срода Р.Б . "Повторение на уроках матема тики ". Издательство газеты "Волга " Астрахань , 1950. Школьный факультатив по математике. Межвузовский сборник . Издательство Саратовского п едагогического института 1993. Эрдниев П.М . Обучать математике активно , творчески , экономно . «Народное образование» , 1962. Эрдниев П.М . Сравнение и обобщение при обучении математике , М . Учпедгиз , 1960. Ф ёдоров И.Г . Некоторые методологически е проблемы математики . М . 1975.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Я просыпаюсь каждый раз совершенно счастливым.
Потому что не умер во сне!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, диплом по педагогике "Обобщающее повторение по геометрии на примере темы "Четырехугольник"", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru