Продольные и поперечные волны

ПРОДОЛЬНЫЕ И ПОПЕРЕЧНЫЕ ВОЛНЫ В физике мы имеем дело с волнами различной природы: механическими, электромагнитными и т.д. Несмотря на отличия, эти волны им еют много общих черт. Волны, рассматриваемый параметр которых (смещение молекул, механическое напряжение, и т.д.) изменяется периодически вдоль о си распространения, называются продольными волнами. Если колебания происходят перпендикулярно о си распространения волны (как у электромагнитных волн, например), то таки е волны называются поперечными . Если взаимосвязь между частицами среды осуществля ется силами упругости, возникающими вследствие деформации среды при пе редаче колебаний от одних частиц к другим, то волны называются упругими. К ним относятся звуковые, ультразвуковые, сейсмические и др. волны. На пер вой анимации изображён процесс распространения продольной упругой волны в решётке, состоящей из шарик ов, соединённых упругими пружинками. Каждый шарик колеблется по гармони ческому закону в продольном направлении, совпадающем с направлением ра спространения волны. Амплитуда каждого шарика одинакова и равна A, а фаза колебаний линейно растёт с увеличением номера шарика на яяят.е x 0 = Asin ( я t ); x 1 = Asin ( я t + яя ); x 2 = Asin ( я t +2 яя ); x 3 = Asin ( я t +3 яя ); и т . д . где я -частота волны, t - время, яяя- изменение фазы от шарика к шарику В поперечной волне колебания происходят в направл ении, перпендикулярном направлению распространения волны. Как и в случа е продольных волн амплитуды колебаний всех шариков одинаковы, а фаза лин ейно изменяется от шарика к шарику y 0 = Bsin ( я t ); y 1 = Bsin ( я t + яя ); y 2 = Bsin ( я t +2 яя ); y 3 = Bsin ( я t +3 яя ); и т.д. В общем виде уравнение распространения волны може т быть записано в виде: z = A cos(я t яя яkx яяягде z - координата, по которой происходит дв ижение частиц, x - координата оси, вдоль которой распространяется волна, k - в олновое число, равное я я / v , v - скорость распространения волны. Зная частоту волны и с корость её распространения, мы можем найти сдвиг фаз между соседними шар иками (частицами): яяяяяяя / v)a, где a - расстояни е между шариками в решётке. На следующей анимации изображено наложение продол ьной и поперечной волн равной амплитуды, сдвинутых по фазе на 90 градусов. В результате каждая масса совершает круговые движения. Уравнение движе ния каждого шарика может быть описано уравнением: x = Acos ( я t + я я ); y = Asin ( я t + я я ) У волн, наблюдаемых на поверхности жидкости, так на зываемых поверхностных волн, взаимосвязь между соседними элементами п оверхности жидкости при передаче колебаний осуществляется не силами у пругости, а силами поверхностного натяжения и тяжести. Колебания масс в сетке моделируют движение молекул в волне на поверхности жидкости. В слу чае малой амплитуды волны каждая масса движется по окружности, радиус ко торой убывает с расстоянием от поверхности. Массы внизу сетки находятся в покое . Волны на поверхности жидкости не являются ни продо льными, ни поперечными. Как мы можем видеть на анимации, красный шарик, мод елирующий молекулу поверхности жидкости, движется по круговой траекто рии. Таким образом, волна на поверхности жидкости представляет собой суп ерпозицию продольного и поперечного движения молекул. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ Ж ИДКОСТИ Интерфе ренция двух линейных волн Рассмотрим волну, возникающую на поверхности жидкости под воздействием колебаний длинного цилиндрического стержня: z = A cos(я t я где A - амплит уда колебаний цилиндра, я = 2я f , f - частота колеба ний, t - время. Если волна распространяется без затухания, то любая точка поверхности жидкости будет колебаться с той же амплитудой, что и стержень, но фаза колебаний будет изменяться пропор ционально расстоянию от него: z = A cos(я t яя яkx я где k = я я / v , v - скорость распространения волны. В общем случае, волна будет затухать из-за внутреннего трения жидкости и амплитуда колебаний A будет уменьшаться с расстоянием. Далее рассмотрим случай интерференции волн от двух стержней, вибрирующ их с одинаковой частотой. Предположим, что расстояние между стержнями - d . Амплитуда колебаний поверх ности жидкости в любой точке с координатой x может быть найдена как сумма двух волн: z = A cos(я t - kx ) + A cos(я t + k ( x - d )) Волновое число k входит в выш еуказанную формулу с разными знаками, что соответствует противоположн ому направлению распространению волн от двух стержней. Эта формула може т быть также переписана в виде: z = 2 A cos(я t - kd /2)cos( kx - kd /2) Полученное выражение описывает интерференцию дву х линейных волн, распространяющихся в противоположных направлениях (ст оячая волна). Мы можем видеть из этого выражения, что существуют точки на п оверхности жидкости, где волны интерферируют в противофазе и колебания в этих точках отсутствуют (так называемые узлы), и имеются точки, где волны накладываются, усиливая друг друга, и в этих точках колебания происходя т с удвоенной амплитудой 2 A (пу чности). Узлы возникают в точках, для которых верно равенство cos( kx - kd /2)=0, то есть в точках x =я /2 (1/2+ n )+ d /2, где n - целое число, а я - длина волны. Это означает, расстояние между соседними узлами равно половине длины волны. То же самое утверждение спр аведливо и для расстояния между максимумами интерференционной картины . Так пучности появляются в точках для которых cos( kx - kd /2) равняется +1 ил и -1, то есть в точках x = n я /2+ d /2. Зная частоту колебаний стержней и из меряя расстояние между узлами или пучностями (при помощи, например, микр оскопа), мы можем найти скорость распространения волн на поверхности жид кости и затем, зная эти данные, мы можем вычислить многие важные параметр ы среды, в которой распространяется волна. Анимация показывает интерференцию двух волн на по верхности жидкости, возбуждаемых вибрирующими стержнями. Волны распро страняются в противоположных направлениях и интерферируют с образован ием стоячей волны. Красный шарик расположен в пучности стоячей волны и к олеблется с максимальной амплитудой. Параллелепипед расположен в узле интерференционной картины и амплитуда его колебаний равна нулю (он сове ршает лишь вращательные движения, следуя наклону волны). Круговые волны на поверхности жидкости Наблюдение волн на поверхности жидкости позволяе т изучить и визуально представить многие волновые явления, общие для раз ных типов волн: интерференцию, дифракцию, отражение волн и т.д. Рассмотрим круговую волну на поверхности жидкости, создаваемую точечным источник ом, в качестве которого мы возьмём маленький шарик на поверхности жидкос ти, колеблющейся в вертикальном направлении с малой амплитудой. Так как шарик имеет конечные размеры, то к аждая его точка, соприкасающаяся с жидкостью, является, по существу, точе чным источником волн, наложение которых и даёт действительную волну. Одн ако на расстоянии, много большем диаметра шарика, этим можно пренебречь и образующиеся волны рассматривать как круговые, т.е. состоящий из конце нтрических окружностей. При этом сам шарик принимают за точечный источн ик волн. Отметим, что плоскую волну всегда можно представить как сфериче скую, но с бесконечно большим радиусом, т.е. считать центр плоской волны на ходящимся в бесконечности. Интерфере нция волн от двух точечных источников Рассмотрим теперь два маленьких шарика, колеблющи хся на поверхности жидкости. Каждый из шариков возбуждает волну. Налагая сь, эти волны дают интерференционную картину, показанную на анимации. Рассмотрим уравнение, описывающее интерференционную картину. Если пренебречь затуханием, то волна от каждого шарика может быть записа на следующим образом: s 1 = A 1 cos( я t - kr 1 ); s 2 = A 2 cos( я t - kr 2 ); где A 1 и A 2 - амплитуды волн, r 1 и r 2 - расстояния соответственно от первого и второго шарика, k = я / v , v - скорость распространения волн. Так как разность я = r 2 - r 1 много меньше, чем каждое из расстояний r 1 и r 2 , мы можем положить A = A 1 = A 2 . В этом приближе нии наложение волн s 1 и s 2 описывается следующим выражением: s = s 1 + s 2 = 2 A cos[ k ( r 2 - r 1 )/2 ] cos[ яя t - k ( r 1 + r 2 )/2 ] Из этого выражения видно, что в точках, для которых r 2 - r 1 = я я (1/2+ n ) , поверхност ь жидкости не колеблется. Эти узловые точки (линии) отчётливо видны на ани мации. Интерфе ренция круговой волны в жидкости с её отражением от стенки Рассмотрим точечный источник волн на поверхности жидкости (колеблющийся шарик) и пол ностью отражающую стенку, установленную в на некотором расстоянии от не го. Если расстояние от источника до стенки кратно целому числу полуволн, то исходная круговая волна будет интерферировать с волной, отражённой о т стенки, создавая в волновой ванне интерференционную картину, как показ ано на анимации. Согласно принципу Гюйгенса, отражённая волна совпадает с той, которая бы возбуждалась фиктивным точечным источником, расположе нным по другую сторону стенки симметрично реальному источнику круговы х волн. При этом если расстояние от источника до стенки кратно целому чис лу полуволн, то справа от источника на оси соединяющей фиктивный и реаль ный источник разность фаз будет кратна целому числу волн и круговая волн а накладывается в фазе с волной, отражённой от стенки, увеличивая высоту гребней в интерференционной картине. На следующей анимации также изображена картина ин терференции круговой волны на пов ерхности жидкости с её отражением от стенки. В этом случае расстояние ме жду точечным источником и стенкой кратно целому числу полуволн плюс чет верть волны (или, иначе говоря, равно нечётному числу четверть волн). При э том справа от источника круговая волна накладывается в противофазе с во лной, отражённой от стенки. В результате мы видим, что в широкой полосе спр ава от источника колебания жидкости отсутствуют. Дифракция круговой волны на узкой щели На следующей анимации приведена модель дифракции круговой волны на узкой щели в стенке, установленной в кювете с жидкость ю. Слева от стенки мы видим появление отражённой волны, а справа от стенки возникает новая круговая волна с меньшей амплитудой, что соответствует принципу Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу, первоначально введ ённому голландским учёным Х.Гюйгенсом (Ch.Huygens, 1678), каждый элемент поверхности , которой достигла в данный момент волна, является центром элементарных волн, огибающая которых будет волновой поверхностью в следующий момент времени; при этом обратные элементарные волны во внимание не принимаютс я. Французский физик О.Ж.Френель (A.J.Fresnel, 1815) дополнил принцип Гюйгенса, введя п редставление о когерентности элементарных волн и интерференции волн, ч то позволило рассматривать на основе принципа Гюйгенса-Френеля многие дифракционные явления. Согласно этому принципу, волновое возмущение за непроницаемой стенкой со щелью, как показано на анимации, можно рассматр ивать как результат интерференции вторичных волн, образующихся в прост ранстве щели. Если щель узкая и удалена на значительное расстояние от ис точника, то за стенкой будет распространяться круговая волна, центром ко торой является щель. Так как большая часть волны от источника гасится на стенке, амплитуда прошедшей волны буде много меньше падающей. ОТРАЖЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН Волны с большой амплитудой, возникающие при детона ции взрывчатых веществ, электрическом искровом разряде, и т.д., и называем ые ударными волнами, распространяются по иным законам, чем волны с малым и амплитудами, которые мы рассматривали до сих пор. В ударной волне возни кает, образно выражаясь, очень крутая гора с примыкающей к её задней стор оне пологой, слегка волнистой долиной. Эти волны с аномально большой амп литудой имеют большую скорость, чем нормальные звуковые волны. Вследств ие большой плотности воздуха в гребнях волн их можно фотографировать ка к теневые картины. ЭЛЕКТРОМАГНИТ НЫЕ ВОЛНЫ Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распро страняющуюся вдоль оси абсцисс. Уравнение такой волны может быть записа но в виде: E x = 0, E y = E 0 cos ( я t - kx ), E z = 0; H x = 0, H y = 0, H z = H 0 cos( я t - kx ); Здесь k = яя u - волновое число, u - скорость волны. Рассмотренная в олна изображена схематически в ви де анимации. Как видно, вдоль оси абсцисс, по которой волна распространяе тся, не происходит колебаний векторов поля ( E x = H x = 0). Это означает, что электромагнитна я волна является поперечной. Этим она принципиально отличается от упруг их волн, у которых практически всегда имеется продольная составляющая. Другой принцип распространения электромагнитной волны состоит в том, ч то вектора напряженности электрического и магнитного поля E и H колеблются в фа зе, т.е. они достигают максимума и минимума в одних и тех же точках простра нства. АКУСТИЧЕС КИЕ ВОЛНЫ Ощущение звука возникает благодаря механическим к олебаниям барабанной перепонки уха. Эти колебания возбуждаются акусти ческой волной, распространяющейся от источника звука к уху. Любой колебл ющийся предмет может возбуждать акустическую волну, но ухо способно вос принимать лишь колебания в частотном диапазоне 20 Гц - 20кГц. Звуковые волны, лежащие выше этого частотного д иапазона (ультразвук) и ниже него (инфразвук) могут регистрироваться лиш ь специальными приборами. Рассмотрим процесс генерации звука громкого ворителем. Переменный ток, протекая по катушке громкоговорителя, возбуж дает колебания диффузора. В результате, воздух, расположенный вблизи диф фузора, оказывается попеременно то сжатым, то разреженным. Области с изб ыточным давлением распространяются в пространстве в виде акустических волн. Когда такая волна достигает уха, она возбуждает колебания барабан ной перепонки и мы слышим звук. Так как колебания молекул воздуха происх одят в направлении распространения волны, акустическая волна в воздухе представляет собой типичный пример продольной волны. Если размер источника звука много меньше длины волны, то будет возбуждат ься сферическая волна, а источник звука может быть рассмотрен как точечн ый источник. В ином случае, когда размер источника много больше, чем длина волны, будет возбуждаться плоская звуковая волна. Скорость акустическо й волны зависит от свойств среды, в которой она распространяется. Формул а для скорости звуковых волн была предложена Лапласом (1749-1827): где я - адиабат ическая постоянная, R - универ сальная газовая константа, T - температура газа, я - молекулярный вес газа. Эта формула была выведена в предположении, что распространение звука - адиабатический процесс. Из эт ой формулы следует в частности, что скорость звука в воздухе при темпера туре T =273 K равняется 330 м/с, что нах одится в хорошем соответствии с экспериментальными результатами.