Эванджелиста Торричелли

Эванджелиста Торричелли План: 1. Биография. 2.Атмосферное давление и первый барометр. 3.Точка Торричелли. 4. Литература. Биография. ТОРРИЧЕЛЛИ, ЭВА НДЖЕЛИСТА (Torricelli, Evangelista) (1608– 1647), итальянский физик и математик. Родился 15 октября 1608 в Фаэнце. В 1627 приехал в Рим, где изучал математику под руководством Б.Кастелли, друг а и ученика Галилео Галилея. Под впечатлением трудов Галилея о движении написал собственное сочинение на ту же тему под названием Трактат о движ ении (Trattato del moto, 1640). В 1641 переехал в Арчетри, где стал учеником и секретарем Галилея, а позже его преемником на кафедре математики и философии Флорентийского универси тета. С 1642, после смерти Галилея, придворный математик великого герцога Тосканс кого и одновременно профессор математики Флорентийского университета . Наиболее известны труды Торричелли в области пневматики и механики. В 1644 развил теорию атмосферного давления, доказал возможность получения так называемой торричеллиевой пустоты и изобрёл ртутный барометр. В осн овном труде по механике "О движении свободно падающих и брошенных тяжёлы х тел" (1641) развивал идеи Галилея о движении, сформулировал принцип движени я центров тяжести, заложил основы гидравлики, вывел формулу для скорости истечения идеальной жидкости из сосуда. Торричелли принадлежат также работы по математике (в частности, развил " неделимых" метод) и баллистике, усовершенствованию оптических приборов, шлифовке линз. В математике усовершенствовал и широко применил метод не делимых при решении задач на касательные. Использовал кинематические п редставления, в частности принцип сложения движений. Обобщил правило кв адратуры параболы на случай произвольного рационального показателя. С амостоятельно, хотя и несколько позже Ж. Роберваля , определил квадратур у циклоиды. Вслед за Р. Декартом нашел длину дуги логарифмической спира ли. Кроме изготовления зрительных труб и телескопов, занимался конструиро ванием простых микроскопов, состоящих всего из одной крошечной линзы, ко торую он получал из капли стекла (расплавляя над пламенем свечи стеклянн ую палочку). Именно такие микроскопы получили затем широкое распростран ение. Умер Торричелли во Флоренции 25 сентября 1647. Атмосферное давление и первый барометр. Имя Торричелли навсегда вошло в историю физики как имя человека, впервые доказавшего существование атмосферного давления и с конструировавшего первый барометр. До середины XVII века считалось непререкаемым утверждение древнегреческо го ученого Аристотеля (384– 322 до н.э.) о том, что вода поднимается за поршнем н асоса потому, что "природа не терпит пустоты". Однако при сооружении фонта нов во Флоренции обнаружилось, что засасываемая насосами вода не желает подниматься выше 34 футов. Недоу мевающие строители обратились за помощью к престарелому Галилею, котор ый сострил, что, вероятно, природа перестает бояться пустоты на высоте бо лее 34 футов, но все же предложил разобраться в этом своим ученикам – Торричелли и Вивиани. Трудно сказат ь, кто первым догадался, что высота поднятия жидкости за поршнем насоса д олжна быть тем меньше, чем больше ее плотность. Так как ртуть в 13 раз плотне е воды, то высота ее поднятия за поршнем будет во столько же раз меньше. Те м самым опыт получил возможность "перейти" со стройплощадки в лаборатори ю и был проведен Вивиани по инициативе Торричелли. Осмысливая результат ы эксперимента, Торричелли делает два вывода: пространство над ртутью в трубке пусто (позже его назовут "торричеллиевой пустотой"), а ртуть не выли вается из трубки обратно в сосуд потому, что атмосферный воздух давит на поверхность ртути в сосуде. Из этого следовало, что воздух имеет вес. Это у тверждение казалось настолько невероятным, что не сразу было принято уч еными того времени. В 1641 Торричелли сформулировал закон вытекания жидкости из отверстий в ст енке открытого сосуда и вывел формулу для определения скорости вытекан ия (формула Торричелли). Точка Торричелли. Точка Торричелли – это точка в плоскости треугольника, сумма расстояни й от которой до вершин треугольника имеет наименьшее значение. Вопрос о нахождении такой точки имеет давнюю историю. Им интересовались крупнейшие ученые эпохи Возрождения – Вивиани, Кавальери, Торричелли и др. Задача Торричелли об отыскании точки, сумма расстояний от которой до трех данных точек минимальна, имеет большое применение в решении различ ных технико-экономических задачах. Например, рассмотрим такую задачу: в местах Р 1 , Р 2 , Р 3 добывается некоторые материалы, п отребляемые на центральной станции Р . Где следует построить Р , чтобы стоимость доставки грузов из Р 1 , Р 2 , Р 3 в пункт Р была наименьшей? Р – точка Торричелли для треугольника Р 1 Р 2 Р 3 . Приведем решение задачи о нахождении точки Торричелли. Докажем следующ ие два утверждения. Утверждени е 1 . Для трех данных точек не может су ществовать на плоскости больше одной точки, сумма расстояний которой до вершин имеет наименьшее значение. 0 Предположим, ч то таких точек несколько. Тогда, очевидно, все они будут иметь одинаковые суммы расстояний от трех данных точек. Возьмем две из них М и М 1 . Если N есть средина отрезка ММ 1 , то заметив, что удвоенная медиана треугол ьника меньше суммы боковых сторон, мы получим три неравенства: 2 NА < АМ + АМ 1 ; 2 NВ < ВМ + ВМ 1 ; 2 NС < СМ + СМ 1 . Рис.1. Отсюда 2(NА + NВ + NС) < АМ + ВМ + СМ + АМ 1 + ВМ 1 + СМ 1 , или NА + NВ + NС < АМ + ВМ + СМ. Итак, точка N имеет сумму расстояни й, меньшую, чем точки М и М 1 , что противоречит до пущению. ● (Это доказательство дано Н. М. Соловьевым). Утверждени е 2 . Точка Торричелли не может лежать вне треугольника. Предположим, чт о искомая точка М лежит вне треуго льника и расположена так, как указано на рис. 2а. Рис. 2 Тогда МА + МВ + МС не может быть наиме ньшим, так как М 1 А + М 1 В + М 1 С < МАґ + МВ + + МС (где М 1 – точка пере сечения прямой МС со стороной АВ ). Пусть точка М расположена так, как указано на рис. 9б, то есть точка М ра сположена внутри угла В 1 АС 1 . В этом случа е МВ +МС > АВ + АС (объемлющая более об ъемлемой), а поэтому МА +МВ + МС > АВ + АС . Итак, точка, сумма расстояний которой до вершин треугольника имеет наиме ньшее значение, лежит либо внутри треугольника, либо совпадает с одной и з его вершин. Перейдем непосредственно к решению задачи о нахождении точки Торричел ли. Пусть Р – произвольная точка вну три треугольника АВС . Найдем сумму отрезков РА+РВ+РС . (Рис. 3) Повернем ∆ ВРА на угол в 60° вокруг точки В так, чтобы он оказался вне треугольника АВС . Точка А займет положение А 1 , не зависяще е от выбора точки Р . Точка Р займет положение Р 1 . ? РВР 1 – равносторонний : РР 1 = РВ РА + РВ + РС = А 1 Р 1 + Р 1 Р + РС. Рис. 3 Наименьшее значение будет для точки Р , лежащей на прямой А 1 С . Так как в этом случае Р 1 , Р , С ле жат на одной прямой, то угол ВРС , см ежный с углом равностороннего треугольника, равен 120°; т. к. угол А 1 Р 1 В , равный 120°, равен АВС , то и угол АРВ = 120°. Итак, для отыскания точки Р строим н а каждой из сторон сегмент, вмещающий угол в 120°. Точка пересечения дуг сег ментов – искомая точка. Точка Р находится внутри треугол ьника, если среди углов нет угла, равного или большего 120°. Рассмотрим случаи: а) когда один из углов ∆ АВС равен 120°; б) когда один из углов ∆ АВС больш е 120°. а) В плоскости ∆ АВС с углом А = 120° найдем точку Торричелли. ○'30 Построив равносторонние ∆ АСВ 1 и ∆ АВС 1 , докажем, что вершина А – искомая точка. Покажем, что для всякой точки, лежаще й внутри треугольника, например для точки Р , имеет место соотношение РА + РВ + РС > АВ +А С. (Рис.4.) Рис. 4. Построим на отрезке АР равностор онний треугольник АРР 1 . Из равенства ? В 1 Р 1 А = ∆СР А (АВ 1 = АС; АР 1 =АР; Р РАС= Р В 1 АР 1 ) следует, что РС = Р 1 В 1 . Итак: РА + РВ + РС = Р В + РР 1 + Р 1 В; РВ + РР 1 + Р 1 В 1 > В 1 В; РВ + РА + РС > АВ + АС .● б) В плоскости ∆ ? АВС с углом А > 120° найдем точку Торричелли. Покажем, что искомой точкой является вершина тупого угла. Возьмем произвольную точку Р вну три треугольника и покажем, что сумма РА + РВ + РС > АВ + А С . (Рис.5.) Рис. 5 Построим равносторонние треугольники РАР 1 и АВС 1 . ∆ АВР = ∆ АР 1 С 1 ( АР = АР 1 ; АВ = АС 1 ; Р РАВ = Р Р 1 АС 1 ). Следовательно ВР=Р 1 С 1 ; поэтому РС + РА + РВ = РС +РР 1 + Р 1 С 1 и далее РА + РВ + РС > АС + АС 1 ; РА + РВ + РС > АС +АВ . Задача о нахождении точки Торричелли решена. Литература. 1. Радемахер Г., Тенлиц О. Числа и фигуры. – М.: Физматгиз, 1962. – С. 22 – 29. 2. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Геометричес кие задачи на максимум и минимум//Энциклопедия элементарной математики. Т. V. – М.: Наука, 1966 3. Брокгауз Ф_А_, Ефрон И_А_ Энциклопедиче ский словарь -Москва Высшая Школа 1986.