Анализ теории помехоустойчивого кодирования

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В курсовом проекте произведена оценка помехоустойчивого кодирования с использованием кода Хемминга. В ходе выполнения работы были рассчитаны параметры заданного кода и разработаны структурные схемы кодера и декодера для реализации данного метода кодирования.
Также был изучен и проработан материал по линейным кодам и их применению для кодирования и восстановления информации.

...

Содержание

Исходные данные 3
Введение 3
1. Анализ теории помехоустойчивого кодирования 3
2. Расчетная часть 3
Заключение 3
Список литературы 3

ВВЕДЕНИЕ

Прогресс в области электроники, развитие теории и техники цифровой обработки сигналов создали возможность для реализации принципиально новых цифровых способов аудиовидеозаписи. При этом на носитель записывается не исходный аналоговый сигнал, а цифровой двоичный код, полученный из него в результате аналого-цифрового преобразования.
Использование носителей различной физической сущности для записи звукового сигнала – оптических (компакт-диск, фонограмма фильмокопии), магнитных ( R-DAT, S-DAT, жесткий магнитный диск, MRAM-память), магнитооптических, твердотельных на основе Flash-памяти – объединяет использование цифрового кода, формирование которого подчиняется одним и тем же законам, не зависящим от типа носителя. Изучение законов формирования цифрового сигнала является наиважнейше й задачей дисциплины «Запись аудио - и видеосигналов». Однако физические основы записи-воспроизведения, как и сами системы, различны. Принципы аудиовидеозаписи наиболее просто и наглядно изучать на примере передачи аналогового сигнала.
Исходя из вышеизложенных соображений курсовая работа для студентов по дисциплине «Запись аудио - и видеосигналов» содержит как задачи по цифровому преобразованию сигналов, так и расчеты аналоговых трактов звукопередачи.

Избыточность блокового кода определяется равенством Rизб = r/n.Расстоянием по Хэммингу между двумя q- последовательностями x и y длины n (в том числе кодовыми словами длины n) называется число позиций, в которых они различаются. Это расстояние обозначается через d (x,y).Например, расстояние между последовательностями x = 01001011 и y = 00100111 равно четырем (подчеркнутые позиции), т. е. d (01001011, 00100111) = 4.Теорема о минимальном кодовом расстоянии. Минимальное расстояние любого линейного [n,k]-кода удовлетворяет неравенствуМинимальное кодовое расстояние (граница Синглтона) характеризует обнаруживающую и исправляющую способность кода.Если to – число ошибок, которые код может обнаружить, а tи – число ошибок, которые код может исправить, то для нечетных значений dmin, - для четных значений dmin.Код называется циклическим, если он линеен и любой циклический сдвиг кодового слова также является кодовым словом. Например, если (с0, с1, …, cn-1) принадлежит коду С, то и (cn-1, c0, …, cn-2) и (c1, c2, …, cn-1, c0) также принадлежат коду С.Кодами Хэмминга называются коды, у которых n = 2r -1, а k = 2r – 1 – r.Кодирование блоковых кодов состоит в том, что каждому из k-символьных информационных слов ставится в соответствие n-символьное кодовое слово, причем у систематических кодов первые k символов являются исходными информационными символами. Дополнительные r = n-k символы называются проверочными и определяются по k информационным, исходя из определенных правил. У двоичных кодов для этого чаще всего используется проверка на четность, т.е. результат сложения некоторых информационных символов и одного из проверочных по модулю 2, с таким расчетом, чтобы полученная сумма была равна 0. Число таких проверок, разумеется, равно числу проверочных символов r.Например, для того чтобы кодировать 3-символьные информационные слова в 6-символьные кодовые (код [6,3]), необходимо задать 3 проверки на четность, определяющие значения трех проверочных символов. Это можно сделать следующим образом:197739026670000176783947625a1 + a2 = b1a2 + a3 = b2 (1)a1 + a2 + a3 = b300a1 + a2 = b1a2 + a3 = b2 (1)a1 + a2 + a3 = b3где a1, a2, a3 – информационные символы, а b1, b2, b3 – проверочные символы. То же самое можно записать в другом виде:188214084455a1 + a2 + b1 = 0a2 + a3 + b2 = 0 (2)a1 + a2 + a3 + b3 = 000a1 + a2 + b1 = 0a2 + a3 + b2 = 0 (2)a1 + a2 + a3 + b3 = 0Однако вместо того, чтобы явно выписывать уравнения для проверок на четность, часто более удобным оказывается использование матричных обозначений. Матрица, содержащая ту же информацию, что и система уравнений для проверок на четность, называется проверочной матрицей Н:23393401549401 1 0 1 0 00 1 1 0 1 01 1 1 0 0 1Н =001 1 0 1 0 00 1 1 0 1 01 1 1 0 0 1Н =Каждый столбец матрицы Н соответствует некоторому символу кодового слова: первые три столбца – информационным символам, а последние три – проверочным. Соотношение, выражаемое первой строкой, состоит в том, что четвертый символ является суммой a1 и a2. Аналогично вторая строка указывает, что пятый символ является суммой a2 и a3 и т.д. Такая форма записи матрицы Н называется канонической. Это значит, что первые k столбцов задают информационные символы, которые входят во все уравнения, в то время как последние n – k столбцов образуют единичную матрицу In-k.:Таким образом, если некоторый набор символов a длины n является кодовым словом, то должно выполняться равенствоН · aT = 0 , (3)где aT – матрица-столбец, составленная из символов, входящих в набор a. Это равенство называется условием ортогональности.Чтобы понять, как должна выглядеть порождающая матрица, вспомним, что сумма по модулю 2 двух любых кодовых слов также является кодовым словом. Несколько раз используя это свойство, получаем, что любая линейная комбинация кодовых слов (при сложении по модулю 2) также является кодовым словом. Поскольку информационные символы выбираются независимо, можно надеяться, что существуют кодовые слова, каждое из которых содержит ровно один символ «1» в информационной части кодового слова. Тогда все 2k кодовых слов можно будет получить как 2k возможных линейных комбинаций этих k кодовых слов или базисных векторов (если код рассматривать как линейное векторное пространство, что и в самом деле является справедливым).Любое кодовое слово кода [6,3] может быть получено как линейная комбинация строк этой матрицы. 177736588201500В канонической форме матрица G всегда состоит из единичной матрицы размерности k×k, к которой присоединена k×(n-k)-матрица проверочных символов:Проверочная часть порождающей матрицы получается из матрицы Н (в канонической форме) транспонированием подматрицы, образованной первыми k столбцами. Любое информационное слово i кодируется в кодовое слово a путем умножения на порождающую матрицу G. Например, если i = 011, то:4419605715000Следует отметить, что проверочная часть первой строки матрицы G эквивалентна первому столбцу матрицы Н, проверочная часть второй строки – второму столбцу и проверочная часть третьей строки – третьему столбцу.Расчетная часть1. Кодами Хемминга называются коды, длина которых n = 2r – 1. Величина r (количество проверочных символов в кодовом слове) заданного кода равна степени порождающего многочлена g(x), т.е. r = 4. Следовательно, длина кодового слова заданного кода n = 24 -1 = 16 – 1 = 15. Количество информационных символов в кодовом слове k = n – r = 15 – 4 = 11. Определим параметры данного кода [15.11].Скорость кода R = k/n = 11/15;Избыточность кода Rизб = r/n = 4/15;Минимальное кодовое расстояние кодаdmin ≤ n – k + 1 = 15-11 + 1 = 5 (граница Синглтона);Количество ошибок to, которое данный код может гарантированно обнаружить: to = d – 1 = 4.